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Generación de modelos de enseñanza – aprendizaje en el álgebra lineal
Primera Fase: Transformaciones Lineales
Dr. Eduardo Miranda Montoya
Departamento de Matemáticas y Física
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO): MÉXICO
[email protected]
Resumen: La enseñanza del álgebra lineal, en Ingeniería, reviste ciertas características muy especiales
para su enseñanza y aprendizaje. En el álgebra lineal, la enseñanza de objetos como espacios vectoriales,
transformaciones lineales, valores y vectores propios, etc. parte de una definición formal, sin que en la
mayoría de las veces medie una motivación previa similar a lo que ocurre, por ejemplo en el cálculo Una vez
que se ha dado la definición el estudiante debe aprender a usarla para demostrar las propiedades de ese
objeto. Se ha detectado en algunas investigaciones que una de las dificultades del aprendizaje del álgebra
lineal está en esta manera de proceder, ya que si un estudiante no comprende bien una definición entonces
ese estudiante tendrá problemas para entender conceptos, resolver problemas y demostrar propiedades
asociadas a esa definición ( Sierpinska, 1996, Dorier, 2002, etc.).
En algunas investigaciones en torno a los problemas en el aprendizaje del álgebra lineal se reporta que entre
los orígenes de esas dificultades están los diversos lenguajes que se usan para hablar de conceptos como
espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices, etc. (Hillel, 2000.) .El uso de estos lenguajes sin
articulación son, muchas veces e origen de algunas de las dificultades para el aprendizaje de los conceptos
del álgebra lineal (Sierpinska 1996)
En este trabajo se propone generar modelos de enseñanza –aprendizaje de conceptos del álgebra lineal a
partir de la implementación de prácticas pedagógicas que logren articular estos lenguajes de manera
dialéctica. De inicio, se comienza con un primer ejemplo para construir un modelo de enseñanza para el
tema de las transformaciones lineales, concepto en donde los tres lenguajes descritos por Sierpinska están
presentes.
1.- Problemas asociados con la enseñanza del Álgebra Lineal: La enseñanza y
aprendizaje del álgebra lineal en ingeniería representan un conjunto de dificultades
diferentes a las que se presentan, por ejemplo en el cálculo. En esta materia, es frecuente
motivar la enseñanza de los conceptos a partir de otros conocimientos físicos o geométricos
presentados previamente, pero en el álgebra lineal, la mayor parte de conceptos se
presentan como definiciones formales de objetos cuya existencia no tiene (en la mayoría de
los casos) conexión con conocimientos previos ni argumentos geométricos o físicos que
motiven la definición presentada. Los problemas asociados se resuelven usando la
definición dada junto con argumentos derivados de la lógica. Esto hace que muchos
estudiantes sientan que la materia es demasiado abstracta y que los contenidos son objetos
que no tienen relación con algo que se pueda aplicar en la realidad.
Entre los problemas relativos al aprendizaje del álgebra lineal, están las diferentes
representaciones que puede tener un mismo objeto y para las cuales no resulta muy claro
para un estudiante que se trata del mismo objeto. Por ejemplo en un momento dado se
puede presentar al conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo
como un subespacio vectorial y en otro momento ese mismo conjunto se puede presentar
como el núcleo de una transformación lineal o bien es frecuente ayudarse de la geometría
en R2 o R3 para visualizar la suma de vectores, pero es difícil usar la geometría para
visualizar las sumas en espacios vectoriales como polinomios o matrices. El alumno se
encuentra, entonces, con dos representaciones diferentes de la suma de vectores, una
geométrica con una definición formal y otra enteramente formal para espacios vectoriales
generales (Sierpinska, 1996).
En algunas investigaciones dedicadas al problema del aprendizaje del álgebra lineal se
reporta que entre las diversas dificultades que un estudiante enfrenta para aprender la
materia están la variedad de lenguajes y representaciones semióticas con los que se estudian
los objetos del álgebra lineal. Entre esos lenguajes están: el lenguaje abstracto
(correspondiente a la teoría general abstracta del álgebra lineal; el lenguaje algebraico de
Rn y el lenguaje geométrico de R2 y R3 (Hillel, 2000).
En forma análoga, Sierpinska menciona la coexistencia de tres tipos de lenguaje: Lenguaje
geométrico: el que se usa para ilustrar las representaciones y propiedades de los vectores en
R2 y R3; Lenguaje aritmético: usado para describir las operaciones entre matrices,
soluciones de ecuaciones, etc. y Lenguaje algebraico: usado para formalizar y simbolizar
entes como espacios vectoriales, transformaciones lineales, etc. (Sierpinska, 1996), A su
vez, cada uno de estos tipos de lenguaje desarrolla, en forma correspondiente los siguientes
tipos de pensamiento necesarios para que un estudiante pueda entender la materia:
Pensamiento sintético geométrico: Este tipo de pensamiento se da en una persona, por
ejemplo, cuando se piensa en las posibles colocaciones de rectas o planos en R2 o R3 que
representan las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Pensamiento
aritmético - analítico: Siguiendo con el ejemplo anterior, si la persona examina el
problema en términos de los posibles resultados después de haber reducido la matriz
respectiva, se está en el modo de pensamiento aritmético analítico. Pensamiento analítico
estructural: Cuando se piensa el problema anterior en términos de las propiedades de las
matrices invertibles o no invertibles o de los determinantes del sistema.
La autora afirma que algunas de las dificultades en el aprendizaje de los conceptos de la
asignatura tienen que ver con la falta de una práctica instruccional que articule estos
lenguajes y que la desarticulación puede deberse a los contenidos propician la coexistencia
de esos lenguajes como modos de pensamiento que algunas veces son intercambiables pero
que nos son equivalentes. Entonces un estudiante podría entender un problema o concepto
solo desde el punto de vista geométrico sin que eso implique que pueda pasar del lenguaje
geométrico al lenguaje algebraico para resolver completamente un problema.
Por su parte, Dorier encuentra en la epistemología del álgebra lineal que la axiomatización
de la materia solo es útil para agrupar los conceptos en una gran teoría central mediante la
reconstrucción de los métodos de solución de problemas, pero que en realidad la solución
de muchos de los problemas del álgebra lineal puede ser encontrada de forma operacional
sin usar la teoría axiomática (Dorier 2002).
2.- Diferentes acercamientos didácticos: Algunas de las propuestas didácticas que se han
hecho para la enseñanza del álgebra lineal sugieren la implementación de prácticas
pedagógicas en las que el aprendizaje se da en forma de un ciclo que articule los lenguajes
como modos de pensamiento necesarios para que un estudiante entienda los conceptos.
Sierpinska, Trgalova, Hillel y Dreyfus (Sierpinska et al, 1999) proponen obtener algunos
modelos de enseñanza - aprendizaje del álgebra lineal siguiendo las fases siguientes: a) La
adquisición de conceptos por medio de modelos geométricos de espacios y subespacios
vectoriales; b) La redefinición de esos modelos vistos en R, R2 y R3 al espacio Rn y c) La
generalización a espacios vectoriales más abstractos. La idea es ayudar a los estudiantes a
desarrollar el modo de pensamiento analítico mediante la enseñanza de conceptos como
vector, transformación lineal y valores propios partiendo del uso de objetos geométricos y
el diseño de una secuencia de experimentos de enseñanza - aprendizaje conceptual usando
Cabri como una herramienta de exploración.
Sin embargo, Harel concluye que la enseñanza del álgebra lineal con un cierto énfasis en la
sustentación geométrica, puede llevar a un estudiante a tener bases sólidas de aprendizaje,
si embargo cuando se introduce la geometría antes de los conceptos algebraicos, muchos
estudiantes tienen dificultades para moverse del ámbito geométrico al algebraico. Las
dificultades provienen de las limitaciones de la geometría (Harel 2000).
3.- Objetivos de este trabajo: En este trabajo se propone encontrar algunos modelos de
enseñanza aprendizaje de conceptos tales como: vectores, combinaciones lineales,
independencia lineal, bases o transformaciones lineales. Se tratará de diseñar secuencias de
aprendizaje donde se articule el lenguaje geométrico con el algebraico buscando que el
estudiante se apoye en figuras geométricas en R2 o en R3 (en forma inicial) para que junto
con la definición formal del concepto referido pueda demostrar sus propiedades o encontrar
contraejemplos apropiados. Por ejemplo, si un estudiante ha aprendido la idea de la
cerradura de una operación definida en un conjunto de vectores, entonces en una primera
aproximación, con la ayuda de figuras geométricas adecuadas podría decidir si un
subconjunto de R2 o R3 es o no subespacio vectorial de R2 o R3. Y una vez que el estudiante
pueda decidir, mediante la visualización entonces deberá adquirir práctica algebraica para
que pueda formalizar con símbolos lo que pudo intuir visualmente. La etapa final será
cuando el estudiante pueda demostrar en forma generalizada y algebraica, sin recurrir a
figuras geométricas, las propiedades del concepto estudiado, para, de este modo, se pase al
pensamiento analítico. La estructura del modelo de enseñanza, que se encuentre, no se
supone que deba seguir una estructura lineal ya que en cada etapa puede haber retrocesos
en donde se tenga que volver a revisar conceptos estudiados en etapas anteriores.
La metodología elegida para encontrar los modelos de enseñanza es la siguiente:
Análisis inicial del concepto a enseñar: En este paso, se consultan los libros de texto que se
usan para enseñar la materia y se pregunta a los profesores de la asignatura por los
conocimientos necesarios que se deben enseñar para llegar a un concepto dado. Con este
análisis se realiza un diseño inicial del modelo de enseñanza.
Recolección de datos: Una vez que se aplica el modelo inicial, se recaban datos. Éstos son
los obtenidos por exámenes escritos y por entrevistas a algunos estudiantes del grupo.
Rediseño del modelo de enseñanza: Los datos recabados se analizan para saber que partes
de modelo no están funcionando o qué conocimientos le hacen falta al estudiante para
llegar a comprender el tema. Con estos datos se rediseña un nuevo modelo de enseñanza
que volverá a ser aplicado. Se espera que el modelo de enseñanza pueda variar en sus
primeras versiones, pero que las afinaciones sucesivas lleven a encontrar un modelo más o
menos estable.
4.- Exploración de algunos conceptos del Álgebra Lineal (Transformaciones lineales):
Un ejemplo donde aparecen imbricados los tres lenguajes del álgebra lineal, descritos al
principio de este trabajo, son las transformaciones lineales. Para este concepto se han
estado reuniendo datos empíricos, desde el semestre Enero – Mayo del 2002, para
determinar un modelo de enseñanza que nos lleve a un diseño de instrucción adecuado en el
curso de Álgebra lineal para Ingeniería del ITESO. En ese semestre la clase sobre
transformaciones lineales se dio siguiendo el siguiente modelo preliminar de conocimientos
que debe adquirir una persona para llegar a las transformaciones lineales. Se consideró que
el tema de geometría de rectas y planos en R2 y R3 es un tema que el estudiante debe
recuperar para visualizar las acciones de las transformaciones lineales
geometría de planos
y rectas en R2 y R3
subespacios
vectoriales
combinaciones
lineales
transformación
lineal
independencia
lineal
Para ilustrar el poder geométrico de las transformaciones lineales se presenta el siguiente
extracto de una práctica computacional, diseñado con la finalidad de que un estudiante
manipule y ejercite acciones sobre fórmulas de transformaciones lineales sencillas.
HLHLHLHLH L
Consideremos un triángulo con vértices en los puntos - 1, 1 ,
HLHLHLHL
7, - 1 y 3, 8
Al mismo tiempo, supóngase definidas las transformaciones T : R2 ® R2 dadas por T x, y
T x, y
=
- x, - y
y T x, y
=
- y, - x
=
2 x, 3 y ,
¿Cuál es el efecto de estas transformaciones sobre el triángulo anterior?
Este problema se debería contestar primero con cálculos manuales para después “enseñarle
a la computadora” cómo debería hacer los cálculos. Este planteamiento, se respondió con la
ejecución del siguiente código en Mathematica.
8
"Solución: Primero graficamos el triángulo;"
@
8
8<8<8<8 <
<
D
@D8 <
@
8@D@D@
D@D
<
D
Entre las respuestas más comunes (en cuanto al efecto producido por las transformaciones
-6
-4
-2
6
ListPlot
- 1, 1 ,
7, - 1 ,
3, 8 ,
- 1, 1
, PlotJoined ® True
Ahora definimos la transformación;
T x_, y_ =
4
-4
- x, - y ;
2
-6
Y graficamos los puntos transformados;
ListPlot
-2
T - 1, 1 , T 7, - 1 , T 3, 8 , T - 1, 1
, PlotJoined ® True
-8
2
4
6
sobre las figuras) fueron:
“el triángulo giró en forma simétrica sobre el eje de las x”
O bien:
“la figura giró 2700”
La visualización indujo comentarios para las otras transformaciones como: “la transformación
T(x, y) = (2x, 3y) hace crecer los lados horizontales el doble y el triple para los lados verticales”
Algunos estudiantes intuyeron que si la transformación tuviera coeficientes como ½ o 1/3
entonces los lados se reducirían a la mitad o a la tercera parte.
En la evaluación correspondiente, se incluyeron los siguientes problemas que forman parte
de la parte aritmético – analítica del concepto:
1.- Dada la transformación T: R2 →R2 definida como T(x-y, x+y) calcula: T(1,2), T(-1,2), T(3,2) , T(-2,2)
2.- Bosqueja el cuadrilátero con vértices (1,2), (-1, 2), (3,-2) y (-2,-2) así como el objeto en que se transforma
mediante T
3.- Demuestra que la transformación anterior es lineal
Los resultados entregados, denotan un cierto dominio de la sustitución de valores
numéricos en una transformación, lo cual se refleja también en la escritura del código de
Mathematica mostrado arriba. Pero se encontró que esto no fue suficiente para llegar a
formalizar una prueba de la linealidad de una transformación. En sus escritos había
respuestas como éstas:
a) T(u+ v) = u-v + u + v = 2u
b) T(u + v) = (u-v,u+v)
c) T(cu) = cu-cu = 0
d) T(cu) = (cu-v, cu + v)
Cuatro (de los cinco entrevistados) concluían cosas, como las siguientes:
a) Como T(x,y) = (x-y, x+y), T transforma rectas en rectas, por lo que T si es transformación lineal
b) Si aplicáramos la transformación a una recta se transformaría en otra recta, por lo que si es
transformación lineal.
Lo anterior refleja, otra vez, la desconexión entre la parte geométrica y la parte aritmético analítica del concepto. En la entrevista, se determinó que uno de los problemas asociados a
la demostración reside en que en realidad se debe considerar a un vector y a la expresión de
T como funciones de varias variables. El problema es que el estudiante sabe que para
demostrar la relación T(u + v) = T(u) + T(v) tiene que sustituir variables en la expresión
dada para T, pero lo hace como si fuera una sola variable, lo cual vemos en el siguiente
extracto: (E es el entrevistador y A es el alumno)
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
Si la transformación es T(x, y) = (x-y, x+y) ¿cómo es que determinas que T(u+ v) = u-v + u + v = 2u?
Bueno tengo que demostrar que T(u+v) = T(u) + T(v), entonces sustituyo u y v en vez de x & y como si fuera una
función y me queda T(u+ v) = u-v + u + v = 2u
Pero ¿eso es T(u) + T(v)?
Si porque T(u) = u – y + u + y = u y también T(v) = v –y + v + y = v
Pero entonces te resultaría que T(u) + T(v) = u + v y antes dijiste que T(u+v) = 2u
Si...pero... si es transformación lineal pues en las gráficas se ve que se transforman rectas en rectas
Si lo visualizas así pues si es cierto, pero hay que demostrarlo analíticamente
¿Qué no es como lo hice?
No
Entonces no entiendo, porque hay que sustituir en la fórmula de T a u y v y....
A ver hazlo
T(u + v) = (u-v.......no se... me sale lo mismo
Otro de los entrevistados hizo respuestas similares, y los otros tres no respondieron al
problema, pues mencionaron que no tenían idea de cómo hacerlo. Lo anterior nos hace ver
que a pesar de que las personas entrevistadas pueden hacer sustituciones numéricas en la
expresión algebraica de T, estas personas no han podido hacerse a la idea de que los
vectores u y v deben ser vistos como funciones de dos variables que deben ser sustituidos
en la expresión de T y manejar ésta como una función de varias variables. Estos datos nos
sugieren modificar el modelo de enseñanza adoptado inicialmente.
En el semestre Agosto – Diciembre del 2002, se implementaron estas mismas prácticas
computacionales y con lo sugerido por los resultados anteriores, se añadió (en forma
experimental) a la clase de transformaciones lineales, un apartado para describir funciones
de varias variables y algunas formas de graficar regiones solo en forma operativa.
geometría de planos
y rectas en R2 y R3
subespacios
vectoriales
combinaciones
lineales
independencia
lineal
funciones de varias
variables
transformación
lineal
Con esta modificación se introdujo el concepto de transformación desde las funciones de
una variable, donde se puede considerar que un segmento de recta (que será el dominio de
la función) es transformado, por la acción de la función en otros objeto geométrico. Así, por
ejemplo: la función f: [-1,1] → [0, 1] dada por f(x) = 1 x 2 podemos considerarla como
la transformación del segmento [-1, 1] en un arco de circunferencia, lo cual se podría
visualizar como:
-1 ________1 →
Con este punto de partida, se esperaba preparar a un estudiante en la graficación de figuras
en dos o tres dimensiones y mirar como se transforman bajo una función multivariada.
La aplicación de las prácticas computacionales referidas trajo consigo respuestas, de la
parte geométrica, similares a las obtenidas en el semestre pasado.
En esta ocasión, se eligieron al azar 10 exámenes, sin importar la calificación obtenida. De
estos exámenes, uno de los problemas a evaluar es precisamente la verificación de las
propiedades de la siguiente transformación:
Demuestra que T: R3→R3, definida como T(x,y,z) = (3x+2y + 4z, 2x + 2z, 9x + 2y + 3z) es una
transformación lineal
De los 10 exámenes elegidos, 7 obtuvieron resultados correctos. Los restantes 3 ni siquiera
hicieron anotación alguna. Se entrevistó solamente a los estudiantes que no respondieron
ese problema, pero el denominador común es que no habían asistido a clases, ni habían
hecho las tareas, por lo que su respuesta común es que no tenían ni idea de cómo hacer la
demostración. Con los otros estudiantes no hubo oportunidad de hablar con ellos, debido a
problemas de tiempo.
En el semestre Agosto – Diciembre del 2003, se volvió a aplicar el modelo de enseñanza
para las transformaciones lineales a un grupo de estudiantes de Ingeniería del ITESO.
Se puede considerar que la parte de visualización geométrica correspondiente a las
computacionales tuvo cierto éxito, ya que se comprobó 20 de un grupo de 22 estudiantes:
a) tenían la capacidad de describir con sus propias palabras los efectos que tendría una
transformación lineal sobre una figura geométrica sin necesidad de realizar la
transformación manualmente
b) podían evaluar puntos en las transformaciones y graficar bosquejos de figuras
geométricas sujetas a una transformación
En los exámenes se incluyeron los siguientes problemas:
1.- Si T: R3 R3 se define como T(x, y, z) = (-x +z, 2x – y, x + 2y – z). Obtenga su representación matricial.
2.- Determine si las siguientes transformaciones son lineales, justifique su respuesta:
a) T(x, y, z) = (x + y + z, 2x)
b) T(x, y) = (x + 4, x – y)
3.- Si B = {(1,2), (-1,1)} es una base para R2 y hay una transformación lineal tal que T(1,2) = (2,1,2) y
T(-1,1) = (-1,3,1) determina T(x, y)
De una muestra de 10 (de un total de 22) estudiantes, se encontró que: nueve contestaron
correctamente el primer problema; diez resolvieron correctamente el segundo problema y
cuatro resolvieron correctamente el tercer problema
Como comentario general al respecto, se puede mencionar que la verificación de las
propiedades de una transformación lineal no resultó un problema como pasó en exámenes
anteriores, ya que la mayoría, pudo verificar correctamente las propiedades que debe
satisfacer una transformación lineal. Así mismo, aunque solo cuatro estudiantes resolvieron
correctamente el tercer problema, todos los demás (los seis restantes de la muestra)
intentaron resolver ese problema pero con errores de cálculo numérico.
Uno de los estudiantes entrevistados dio muestras de que su tipo de pensamiento que han
alcanzado es del tipo aritmético – analítico. Esta conclusión se basa en las respuestas de lo
que respondió tanto en forma escrita como en forma oral. Este alumno contestó
correctamente los dos primeros problemas, pero en el tercer problema, esta persona,
muestra que aún no puede pensar las propiedades de las transformaciones lineales en forma
generalizada, ya que todavía tiene que recurrir a ejemplos numéricos muy particulares para
poder resolver el problema, como se puede apreciar en el siguiente extracto de la
entrevista. Él escribió como respuesta al tercer problema lo siguiente: T(x ,y) = (y, 4y – 7x, y)
Pero antes de escribir esto, hay un conjunto de anotaciones como las siguientes:
T(1,2) = (2,1,2)
T(-1,-1) = (-1,3,-1)
2y y 2y
-y 3y -y
y, 4y – 7x, y
A partir de esto, hubo el siguiente diálogo:
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
No entiendo, qué es lo que escribiste antes de llegar a la respuesta T(x,y) = (y,4y–7x, y)
Bueno, lo que estuve haciendo, es tantear qué valores deben tener x & y para que me dieran (2,1,2) y
(-1,3,-1) y
me di cuenta que en los dos casos, debería resultar el mismo valor en los extremos
¿Cómo es eso?
Si, como los resultados debían ser 2 y -1 en la orillas de los vectores entonces supuse que la transformación debería
tener y en las orillas. Por eso puse 2y & .y en las orillas primero. Después me puse a tantear los valores de x & y
para que de 1 y 3 en medio de los vectores de la transformación.
¿Cómo hiciste para llegar a esos valores que escribiste?
Pues le di distintos valores para a x para y para combinarlos hasta que diera el valor de 1 y 3
¿Solamente esos valores de 1 y 3?
No, también los valores 2 y -1
Me gustaría que me mostraras cómo es que tanteaste esos valores
Empecé con y = 2, y = -1 y me fijé que con esos valores de y daban los resultados correctos en los vectores
¿Cuáles vectores?
los del resultado que se daba (2, 1, 2) y (-1, 3, -1)
¿Y después?
Me fijé si con esos valores tendría que poner coeficientes para x y para y para que la combinación diera los valores
1 y 3.
Y finalmente llegaste a que deberían ser 4y – 7x
Si
Como se muestra en el diálogo anterior, esta persona no acierta a tener un método general
para encontrar la transformación pedida, pero que si tiene idea de cómo debería ser la
fórmula de la transformación y el hecho de que esté pensando en valores aritméticos
particulares de vectores para encontrar la fórmula es lo que hace sentir que el tipo de
pensamiento al que está anclado esta persona es el aritmético – analítico.
Por otra parte otros dos estudiantes, que también resolvieron correctamente los dos
problemas iniciales, resolvieron el tercer problema en una forma que llama la atención por
su manera pensar tan analítica, por lo que a estos dos estudiantes podrían ser clasificadas en
cuanto a su tipo de pensamiento como el analítico – estructural. Uno de ellos, en la
entrevista, respondió lo siguiente: En su escrito, se encontró lo siguiente (se transcribe tal y
como él lo escribió):
T(1,2) = (2,1,2) T(-1,-1) = (-1,3,-1)
a + 2b = 2
c + 2d = 1
e + 2f = 2
 1 2 2  1 2 2

 ≈ 
 a = 0 b = 1 e =0 f = 1
  1  1  1  0 1 1 
-a – b = -1
-c – d = 3
-e – f = -1
2 1  1 2 1 
1
 a = -7 b = 4

 ≈ 
  1  1 3  0 1 4 
T(x, y) = (y, -7x + 4y, y)
De primera impresión, lo que escribió no resultó algo coherente para quien calificó este
problema, pero después de entrevistar al alumno, resultó lo siguiente:
E
¿Me podrías explicar qué hiciste? Porque no tengo idea de dónde sacaste los sistemas de ecuaciones que resolviste en
los últimos párrafos
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
Es que supuse que cada término del vector debería ser lineal
¿Cuál vector?
Los vectores (2, 1, 2) y (-1, 3, -1)
A ver, ¿a qué términos te refieres?
Como la transformación va de R2 a R3 entonces cada componente del vector a encontrar debe tener tres componentes
(a, b, c). Pero como en el dominio son solo las variables x & y entonces cada término a, b y c debería ser una recta ax
+ by. Entonces sustituí los valores x = 1, y = 2 para que de el sistema a + 2b = 2
¿Por qué debe dar 2?
Porque la transformación debe ser 2 en la primer componente
Y ¿entonces, eso hiciste con los demás términos?
Si, porque en el segundo término debería ser cx + dy y el último debe ser ex + fy. Después se sustituyen los valores x
= -1, y = -1 y se obtiene el sistema de ecuaciones.
¿Por qué supusiste que cada componente debería tener esa forma?
Pues nada más….la transformación es lineal, ¿o no?
Si
Entonces todos los exponentes deben ser uno, y por eso deben tener esa forma
Pues en eso tienes razón, y luego ¿qué pasó?
Pues comprobé que los vectores (2, 1, 2) y (-1, 3, -1) estuvieran bien transformados con la fórmula
La forma de pensar de este estudiante, sugiere que ha comprendido no solamente el
significado geométrico de una transformación y la verificación de sus propiedades, sino que
también ha adquirido la capacidad de pensar analíticamente. El otro estudiante hizo algo
similar a éste último. De las entrevistas a estos estudiantes se puede concluir que ambos
estudiantes tienen suficiente dominio de las propiedades de una transformación lineal, entre
otras cosas, lo que les permite pensar analíticamente, y en forma correcta, la solución del
problema.
Respecto a los otros estudiantes que no se entrevistaron, puede decirse que se les puede
clasificar al menos en el tipo de pensamiento aritmético – analítico ya que mostraron
habilidad algebraica para resolver los problemas correctamente, quizá en una entrevista a
cada uno de ellos revelaría otras conclusiones. Por los resultados obtenidos vale la pena
volver a probar el modelo en otro grupo e intentar entrevistar a más alumnos y tener más
evidencias del funcionamiento de este modelo.
Referencias:
Anton H., (2003), Introducción al Álgebra Lineal, Limusa Wiley 3a Ed., México
Dorier (2002), Teaching Linear Algebra at University, ICM 2003 vol III.pág 875 - 884
Harel G, (2000) Principles of Learning and Teaching Mathematics, With Particular
Reference to the Learning and Teaching of Linear Algebra: Old and New Observations, in
J-L. Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht, 2000, 177–189.
Hillel J., (2000), Modes of Description and the Problem of Representation in Linear
Algebra. in J-L. Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra, Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, pp 191–207.
Lay D., (2001), Álgebra Lineal y sus Aplicaciones, Prentice Hall 2a Ed., México
Sierpinska A, Trgalova J., Hillel J., Dreyfus T., (1999) Teaching and Learning Linear
Algebra with Cabri. Research Forum paper, Proceedings del PME 23, Haifa University,
Israel, Vol 1, 119–134.
Sierpinska A. (1996) Problems related to the design of the teaching and learning process in
linear álgebra, Research Conference in Collegiate Mathematics Education, Central
Michigan University.