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Seminario: Lógicas no Clásicas: inconsistencias sin trivialidad
Lógicas Modales
Eduardo Alejandro Barrio - Lucas Rosenblatt
Universidad de Buenos Aires - Conicet
Buenos Aires - Primer cuatrimestre de 2016
Semana 2
Objetivos:
- presentación de la lógica clásica como un sistema de Tableaux
- presentación de la lógica clásica como un sistema de secuentes.
- presentación de las lógicas modales (extensiones de la lógica clásica)
- Axiomatizaciones - Modelos - Tableaux
Recursos
Libro:
Internet:
Priest Introduction to non-classical Logic
Caps 1 y 2
Stanford
Ficha de Cátedra (OpFyL)
http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/
James Garson
http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal-origins/ Roberta Ballarin
Internet Encyclopedia
http://www.iep.utm.edu/modal-lo/ van Benthem
Sitio BA-Logic
ba-logic.com
Clase 2
Lógicas no extensionales
Lógica
Símbolos
Logic Modal
Lógica Deontica
Lógica temporal
Lógica doxástica
□
◊
O
P
F
G
F
H
P
B
K
Expresiones formalizadas
It is necessary that ..
It is possible that …
It is obligatory that …
It is permitted that …
It is forbidden that …
It will always be the case that …
It will be the case that …
It has always been the case that …
It was the case that …
x believes that …
x sabe que…
Fallas de sustitutividad - intensionalidad - opacidad
no veritativo funcionales
Inferencias que involucran modalidades
Es posible que A y B. Por lo tanto, es posible que A y es posible que B
Es necesario que A sea falsa. Por lo tanto, no es posible que A
Es necesario que A. Es posible que B. Por lo tanto, es posible que A y B.
Es necesario que A Por lo tanto, A
Es necesario que sea posible que A. Por lo tanto, es necesario que sea posible que sea necesario
que sea posible que A
Lógica Modal: intuiciones
material no representa la implicación lógica (entailment / implicación estricta)
- El condicional
(1) ¬p → (p → q) & (2) p → (q → p)
- dice que ϕ es verdadero en todo mundo posible w
- ◊ϕ dice que ϕ es verdadero en algún mundo posible w
una formula ϕ sea verdadera en todo mundo posible no significa que sea válida en una lógica
- Quemodal.
- Validez y necesidad no son necesariamente equivalentes.
- M, w ⊨ ϕ dice que ϕ es verdadera en el modelo M en el mundo w.
que una formula sea válida debe ser verdadera en todo modelo
- Para
- Para que una formula sea necesaria debe ser verdadera en todo mundo.
- → ϕ es valido
- ϕ → no es valido
- ↔ ¬◊¬ϕ es valido.
- (ϕ→ψ)→( ϕ→ ψ) es válido (analogía con la cuantificación universal)
- ◊ϕ? ◊ ?
Lógica Modal: intuiciones
- ◊ϕ
-◊
La accesibilidad entre mundos (las relaciones entre puntos) condiciona la verdad en un mundo
de las formulas que tienen operadores modales
La totalidad de los modelos condicionan la validez.
w2
w1
L(p ∧q ) → (Lp ∧Lq)
p
q
p
q
¬q
p
w0
q
Un modelo es una
estructura
<W, R, V>
p
w3
V (Lp, w0): 1 ssi V le asigna 1 a p en w0 y en todo mundo accesible
desde w0.
V (Mp, w0): 1 ssi E le asigna 1 a p en w0 y en algún mundo accesible
desde w0.
α es válida universalmente ssi es verdadera en todo mundo de toda estructura
w2
w1
p
Mp →p
p
p
w0
Modelo
<W, R, V>
p
w3
Relación de Accesibilidad entre mundos:
Reflexividad:
Transitividad:
Simetría
∀w Rww
∀w ∀x ∀y (Rwx ∧ Rxy→Rwy)
∀w ∀x (Rwx → Rxw)
Propiedades de las relaciones binarias
Reflexividad:
Simetría:
Transitividad:
Lineal:
Serial:
Funcional
Euclidea
Determinista:
Reflexividad:
Simetría:
Transitividad:
Lineal:
Serial:
Fucional:
Euclidea:
Determinista:
∀x Rxx
∀x ∀y (Rxy→ Ryx)
∀x ∀y ∀z ((Rxy ∧ Ryz) → Rxz)
∀x ∀y ∀z ((Rxy ∧ Ryz) → (Ryz v y = z v Rzy))
∀x ∃y Rxy
∀x ∃y (Rxy ∧ ∃z (Rxz → y = z))
∀x ∀y ∀z ((Rxy ∧ Rxz) → Ryz)
∀x ∀y ∀z ((Rxy ∧ Ryz) → y = z)
Lp → p
p → LMp
Lp → LLp
Lp → Mp
Lp ↔ Mp
Lp →LMp
Mp →Lp
(T)
(B)
(S4)
(D)
(S5)
Las propiedades impuestas sobre las
relaciones de accesibilidad definen
familias de estructuras.
Distintas axiomatizaciones de Lógica Modal
- La lógica modal es una extensión de la lógica clásica.
- Todo teorema de la lógica proposicional es un teorema de la lógica proposicional modal.
- Toda derivación correcta de la lógica proposicional es una derivación correcta de la lógica
proposicional modal.
- Toda fórmula universalmente válida de la lógica proposicional es una fórmula universalmente válida
de la lógica proposicional modal.
- Todo caso de consecuencia lógica proposicional es un caso de consecuencia lógica modal.
Distintas axiomatizaciones de Lógica Modal
Sistema K
(A1) (B ⊃ (A ⊃ B))
(A2) (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C)))
(A3) ((¬ B ⊃ ¬ A) ⊃ ((¬B ⊃ A) ⊃ A)
(A5) ☐(A⊃B) ⊃ (☐A ⊃ ☐B)
Sistema T
(A4) ☐A ⊃ A
(A5) ☐(A⊃B) ⊃ (☐A ⊃ ☐B)
Reglas de Inferencia:
SE
MP
Nec: Si una fórmula es teorema, el resultado de anteponerle el operador de necesidad también es
teorema.
R4: Si (A⊃B) es un teorema, entonces (☐A ⊃ ☐B) es un teorema.
Distintas axiomatizaciones de Lógica Modal
Teoremas de T:
T1: (p ⊃ ♢p)
T2: ☐(p∧q) ≡ (☐p ∧ ☐q)
T3: ☐p ≡ ¬♢¬p
T4: ¬☐p ≡ ♢¬p
T5: ¬♢p ≡ ☐¬p
T6: ♢ (p ∨ q) ≡ (♢p ∨ ♢q)
T7: (☐p∨☐q)⊃☐(p∨q)
T8: ♢ (p ∧ q) ≡ (♢p ∧ ♢q)
T9: ☐q ⊃ (p → q) T10: ¬♢q ⊃ (p → q)
Propiedades metalógicas de T:
T es consistente.
T es decidible.
T es completo con respecto a los modelos-T.
T es una extensión propia y conservativa de LPC.
T no tiene leyes reductivas: hay infinitas modalidades normales no equivalentes entre sí.
S4
Agregando axiomas y propiedades a las relaciones de accesibilidad
S4 (A6) ☐A ⊃ ☐☐A
Teoremas de S4:
(T1) ☐A ≡ ☐☐A (T2) ♢A ≡ ♢♢A
(T3) ☐♢A ≡ ☐♢☐♢A
(T4) ♢☐A ≡ ♢☐♢☐A
S5
Agregando axiomas y propiedades a las relaciones de accesibilidad
(A6) ☐A ⊃ ☐☐A
(A7) ♢A ⊃ ☐♢A
Teoremas de S5:
(T1) ♢A ≡ ☐♢A
(T2) ♢A ≡ ♢♢A
(T3) ☐A ≡ ♢☐A
(T4) ☐A ⊃ ☐☐A
(T6) ♢A ≡ ♢♢A
(T5) ☐A ≡ ☐☐A
Relaciones de Accesibilidad
Los distintos sistemas reflejan distintas propiedades (restricciones a las
relaciones de accesibilidad)
S5 (Reflexiva - Simétrica y Transitiva)
S4 (Reflexiva y Transitiva)
Menos restricciones (más libertades para construir modelos).
Modelos para lógicas modales
Los Sistema K con semántica de mundos posibles
Una interpretación es una estructura <W, R, v >
vw (A) = 1 vw (A) = 0
vw (¬A) = 1 si vw(A) = 0, y 0 en cualquier otro caso.
vw(A ∧ B) = 1 si vw(A) = vw(B) = 1, y 0 en cualquier otro caso.
vw(A ∨ B) = 1 si vw(A) = 1 o vw(B) = 1, y 0 en cualquier otro caso.
vw(A ⊃ B) = 1 si vw(A) = 0 o vw(B) = 1, y 0 o en cualquier otro caso.
vw(A ≡ B) = 1 si vw(A) = vw(B), y 0 en cualquier otro caso.
vw(☐A) = 1 si para todo w′ ∈ W tal que wRw′, vw′ (A) = 1; y 0 en cualquier otro caso.
gram in the same way. For example, since p and q are true at w2 , so is
p ∧ q. But w1 Rw2 ; hence, ✸(p ∧ q) is true at w1 . At the only world that w3
accesses (namely itself), p is true. Hence, ! p is true at w3 . But w1 accesses
w3 , hence, ✸! p is true at w1 . w2 accesses no world; hence, ✸q is false at
Representación de Modelos
w2 , so ¬✸q is true there. We can add these facts to the diagram in the
obvious way:
w2
¬p
✸(p ∧ q)
¬q
✸! p
↗
p
q
p∧q
¬✸q
w1
↘
!
w3
p
!p
¬q
2.3.9 Observe that the truth value of ¬✸A at any world, w, is the same as
that of ! ¬A. For:
νw (¬✸A) = 1
iff νw (✸A) = 0
iff for all w′ such that wRw′ , νw′ (A) = 0
iff for all w′ such that wRw′ , νw′ (¬A) = 1
A ∨ B, i
↙
A, i
↘
B, i
Modal Tableux: Reglas
2.4.4 There are four new rules for the modal operators:
¬! A, i
¬✸A, i
✸¬A, i
! ¬A, i
! A, i
✸A, i
irj
↓
↓
↓
A, j
↓
irj
A, j
In the rule for ! (bottom left), both of the lines above the arrow must be
present for the rule to be triggered (the lines do not have to occur in the
order shown, and they do not have to be consecutive), and it is applied to
every such j. In the rule for ✸ (bottom right), the number j must be new. That
is, it must not occur on the branch anywhere above.
3 I will avoid using r as a propositional parameter where this might lead to confusion.
Basic Modal Logic
2.4.5 Finally, a branch is closed iff for some formula, A, and number, i, A, i
Ejemplo de Prueba de Validez
and ¬A, i both occur on the branch. (It must be the same i in both cases.)4
2.4.6 Here are some examples of tableaux:
(i) !(A ⊃ B) ∧ !(B ⊃ C) ⊢ !(A ⊃ C).
!(A ⊃ B) ∧ !(B ⊃ C), 0
¬!(A ⊃ C), 0
!(A ⊃ B), 0
!(B ⊃ C), 0
✸¬(A ⊃ C), 0
0r1
¬(A ⊃ C), 1
(1)
(1)
A, 1
¬C, 1
A ⊃ B, 1
¬A, 1
×
B ⊃ C, 1
↙
↘
(2)
(2)
B, 1
↓
¬B, 1
×
↘
C, 1
×
The lines marked (1) are obtained by applying the rule for ✸ to the line
immediately above them. Note that in applying the rule for ✸, a number
new to the branch must be chosen. The lines marked (2) are the results of
25
Metafísica de la modalidad
¿Qué es un mundo posible?
¿En qué mundo estamos? ¿Qué caracteriza al mundo actual?
¿Qué quiere decir que un mundo es accesible desde otro?
Lecturas
Cap. 2 de Priest Intro. to non-classical Logic
Ficha de cátedra