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Factótum 8, 2011, pp. 1-7
ISSN 1989-9092
http://www.revistafactotum.com
Charles Sanders Peirce como lógico modal
Guillermo Badía Hernández
Universidad de La Habana (Cuba)
E-mail: [email protected]
Resumen: Este artículo recoge algunas ideas de Charles Sanders Peirce que son de interés para la lógica modal
contemporánea, especialmente la idea de que los juicios condicionales y los categóricos son en realidad del mismo
tipo, y por tanto ameritan la misma especie de cuantificación. Se dan los conceptos generales de posibilidad y
necesidad que defendió Peirce en alguna etapa de su vida. Tratamos de dar una idea detallada del método que
ideó Peirce para la cuantificación de los condicionales sobre posibles estados de cosas.
Palabras clave: Charles Sanders Peirce, lógica modal, semántica de mundos posibles, proposición condicional,
estado posible de cosas.
Abstract: This paper offers a brief survey of some ideas of Charles Sanders Peirce that are of interest for
contemporary modal logic, specially his claim that conditional and categorical propositions are of the same kind
and that they require, therefore, the same kind of quantification. Some of the concepts of necessity and possibility
which Peirce stood for are given. We study the method given by Peirce for quantification over possible states of
things to analyze conditional propositions.
Keywords: Charles Sanders Peirce, modal logic, possible worlds semantics, conditional proposition, possible state
of things.
1. Introducción
La lógica modal ha sido tradicionalmente la
parte de la lógica que estudiaba los modos de
verdad o falsedad de las proposiciones. Si φ es
una proposición, estudiaba los operadores del
tipo “es necesario que φ”, en símbolos “□φ”, y
“es posible que φ”, en símbolos “◊φ”. Sin
embargo, el nombre tiene hoy día un uso más
flexible entre los especialistas, siendo empleado
para denominar una amplia familia de lógicas
con estructuras semánticas muy similares, e.g.
lógica temporal, espacial, deóntica, doxástica,
epistémica, etc. Desde esta perspectiva amplia,
la lógica modal clásica se ocupa de las llamadas
modalidades aléticas, que principalmente son
las tres modalidades de necesidad, posibilidad y
contingencia.
En este trabajo abordaremos algunas de las
ideas fundamentales del lógico y filósofo
norteamericano Charles Sanders Peirce (18391914) sobre este tema, en particular sobre la
lógica modal proposicional, cuyo lenguaje es
una extensión del lenguaje proposicional clásico
mediante los operadores monarios {□, ◊}.
Siguiendo la costumbre, abreviamos The
Collected Papers of Charles Sanders Peirce
mediante CP y The Essential Peirce: Selected
Philosophical Writings mediante EP. Citamos la
fecha de una fuente entre corchetes [...] si
queremos referirnos al año de edición original y
entre paréntesis (...) si queremos referirnos a
la edición más reciente manejada.
2. La lógica modal hasta Lewis
Aristóteles fue el primero en advertir los
diferentes modos en que puede ser verdad un
enunciado. En su De Interpretatione, 12, señala
en primer lugar la dualidad entre los conceptos
de posibilidad y necesidad. Descubre que “no
es posible que no φ” es equivalente a “es
necesario que φ”, y que “no es necesario que
no φ” es equivalente a “es posible que φ”. Este
hecho es un fundamento básico de la lógica
modal en su forma clásica.
Por otra parte, postula principios como el
esquema de axioma T (por Tarski) □φ → φ, i.e.
si φ es necesario, entonces φ es verdadero, y
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2
su conversa dual φ → ◊φ, i.e. si φ es
verdadero, entonces φ es posible.1
También señala que de las posibilidades
aisladas de dos hechos no se sigue la
posibilidad de la conjunción de ambos. Por
ejemplo, del hecho de que es posible para
un estudiante obtener la máxima calificación
y de que también le es posible no obtener la
máxima calificación, no se infiere que le sea
posible obtener ambas.
Entre los estoicos y los peripatéticos (de
los segundos resalta en particular el nombre
de Teofrasto) también se obtuvieron algunos
resultados y en cualquier caso se siguió
considerando el estudio de las modalidades
un fragmento importante de la lógica.
De la escuela de los lógicos megáricos
heredamos cuatro modos de comprender la
implicación [Bochenski, 1951: 136], de los
cuales son especialmente importantes los
dos primeros:
1) El primero se debe a Filón de Megara,
para
quien
“una
(proposición)
condicional es verdadera si y sólo si no
tiene un antecedente verdadero y un
consecuente falso”. Esta implicación será
llamada
“implicación
material”
por
Bertrand Russell y es como se entiende
el condicional φ → ψ en lógica clásica
desde Gottlob Frege hasta nuestros días.
2) El segundo se debe a Diodoro Crono,
para quien un condicional verdadero es
aquél “que no es y nunca es capaz de
tener un antecedente verdadero y un
consecuente falso”. Peirce se inspirará
en esta implicación para cuantificar
sobre estados de cosas.
3) El tercero es el llamado punto de vista
“conectivo”,
según
el
cual
una
implicación es verdadera si y solo si la
negación
de
su
consecuente
es
incompatible con su antecedente. Esta
implicación puede interpretarse como la
“implicación estricta” de Lewis.
4) El cuarto es el llamado punto de vista
“sugestivo”,
según
el
cual
una
implicación es verdadera si y solo si su
consecuente se incluye potencialmente
en su antecedente.
No obstante, durante los primeros
tiempos del desarrollo de la lógica
matemática moderna, la teoría de las
modalidades no parecía una rama seria de
investigación. Gottlob Frege había sugerido
1
Para una discusión general y actualizada del tema de la
dualidad, cf. Chellas (1980: 39-40).
Guillermo Badía Hernández
que no existía diferencia alguna entre la
proposición “es verdadero que φ” y “es
necesario que φ”, atacando así la tabla de
las categorías de Kant como un reducto
metafísico que debía ser extirpado de la
lógica.
No es sino hasta que Clarence Irving
Lewis intenta desarrollar en Lewis (1918) un
sistema2 de la “implicación estricta”, en
oposición a la “implicación material” del
sistema de Principia Mathematica, que el
estudio de la lógica modal comienza a hacer
aparición en contextos formales. Lewis era
un filósofo, por supuesto, y no un
matemático. De hecho, se trata de una
figura
bastante
notable
dentro
del
pragmatismo (del que recordemos que
Peirce es fundador) y uno de los primeros
estudiosos de los papeles de Peirce en
Harvard. Comoquiera, lo que Lewis pretende
eliminar
con
la
introducción
de
su
“implicación estricta” son los efectos de un
tipo
de
relación
que
él
encuentra
problemática en los sistemas clásicos.
Por ejemplo, la oración condicional “Si la
Luna está hecha de queso, entonces 2 + 2
= 4” es verdadera de acuerdo a la semántica
tradicional de la implicación “si… entonces…”
(implicación material), pues el antecedente
es falso y el consecuente es verdadero. Pero
esa no es, según Lewis, la forma en que
entendemos la implicación en el lenguaje
ordinario. Algunas “paradojas de implicación
material” son:
φ → (ψ → φ)
Una
proposición
verdadera es implicada
por cualquier proposición.
¬φ → (φ → ψ)
Una
proposición
falsa
implica
cualquier
proposición.
Un ejemplo interesante es la siguiente
versión de una deducción que aparece en
Edgington (1991: 187) y originalmente viene
de W. D. Hart., donde φ representa “Dios
existe”, ψ representa “Yo rezo”, y χ
representa la oración “Mis plegarias son
contestadas”):
2
Un “sistema” puede ser definido como una teoría formal
axiomatizada. Una teoría es cualquier conjunto Γ deductivamente
cerrado de proposiciones, i.e. tal que si de Γ es deducible φ,
entonces φ es un miembro de Γ (e.g. la Teoría de la Aritmética es
el conjunto de proposiciones verdaderas sobre los números
naturales). Una teoría T es una teoría formal axiomatizada si y
solo si T cuenta con un lenguaje formal L, un conjunto decidible X
de axiomas sobre L y un conjunto decidible R de reglas sobre L
tal que podemos decidir si una determinada secuencia de
fórmulas de L es o no es una prueba en T a partir de X y R.
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1. ¬φ → ¬(ψ → χ)
Premisa
2. ¬ψ
Premisa
3. (ψ → χ) → φ
Contraponiendo (1)
4. ¬ψ → (ψ → χ)
Teorema de la lógica proposicional
5. ψ → χ
Modus Ponens en (2) y (4)
6. φ
Modus Ponens en (3) y (5)
Lo anterior es una demostración en la
lógica proposicional de que “Dios existe”,
partiendo
de
dos
premisas
bastante
plausibles para cualquiera: (1) “Dios no
existe solo si no es el caso que si yo rezo,
entonces mis plegarias son contestadas” y
(2) “Yo no rezo”.3
Ahora bien, lo que esperamos que diga
un enunciado condicional, al menos en el
plano intuitivo, es que en cierta forma existe
una relación necesaria entre su antecedente
y su consecuente, i.e. “es necesario que si φ
entonces ψ”, a lo cual Lewis denomina
“implicación estricta”,4 que en realidad no es
sino la implicación tradicional modalizada.
Por desgracia el trabajo de Lewis no
consiguió su objetivo original pues en el
contexto de la implicación estricta también
surgen paradojas, similares a las del
condicional material. Respecto a esto,
resulta útil citar el siguiente pasaje:
“En
la
implicación
material
las
paradojas centrales que implican todas las
otras son: una proposición falsa implica
cualquier proposición; una proposición
verdadera es implicada por cualquier otra;
dos proposiciones falsas cualesquiera son
equivalentes; dos proposiciones verdaderas
cualesquiera son equivalentes. De modo
correspondiente, las paradojas centrales de
la implicación estricta son: una proposición
contradictoria
(inconsistente)
implica
cualquier proposición; una proposición
analítica es implicada por cualquier otra
proposición;
dos
proposiciones
contradictorias
cualesquiera
son
equivalentes; dos proposiciones analíticas
cualesquiera son equivalentes.” [Lewis y
Langford, 1932: 511]
3
En realidad lo que hemos presentado es un “esquema
deductivo”, de ahí el empleo que hemos hecho de metavariables
como “φ” y “ψ”. Este esquema es también una prueba de
cualquier otro argumento cuya estructura lógica sea la misma.
4
La implicación estricta φ £ ψ es definida por Lewis (1918:
293) como ¬◊(φ ∧ ¬ψ), que equivale a □(φ → ψ).
3
No obstante, Lewis aportó una serie de
sistemas imprescindibles en el estudio actual
de la teoría de las modalidades, como los
famosos S4 y S5 [Lewis y Langford, 1932].
3. La lógica modal de Peirce
El problema que Lewis intenta atacar
había sido advertido con anterioridad por
Peirce en su estudio de la cópula (el ergo de
los argumentos). Puede comprobarse con
facilidad (Lewis, 1918: 84-85) que Peirce es
una de las influencias nada despreciables de
Lewis en su intento por corregir nuestro
empleo de la implicación.
Cuando Peirce reconstruye con sus
modificaciones el álgebra booleana se
detiene sobre el problema del tipo de
implicación que sea justo introducir en el
sistema. Según su concepción, todas las
proposiciones son condicionales, aunque la
relación ilativa del juicio aparezca oculta (CP
3.440). Esto es lo mismo que decir que todo
enunciado es de la forma de un condicional,
incluso si no nos percatamos a simple vista
de ello. ¿Pero qué tipo de implicación
expresa dicho condicional? Peirce prefiere
utilizar en su sistema la implicación material,
i.e. la versión de Filón, aunque advierte
perfectamente las paradojas que pueden
surgir de este hecho:
“A pesar de que el punto de vista
filónico conduce a tales inconvenientes
como
que
es
verdadero,
como
consecuencia de inesse, que si el Diablo
fuera electo presidente de los Estados
Unidos sería de gran provecho para el
bienestar espiritual del pueblo (porque él
nunca saldría electo), a pesar de esto,
ambos, el Profesor Schröder y yo hemos
preferido construir el álgebra de las
relaciones sobre esta concepción de la
proposición condicional.” (Peirce, CP 3.442)
Sostiene
que
la
dificultad
puede
superarse expresando la implicación que
utilizamos normalmente en términos de una
proposición compuesta de condicionales y
negaciones de condicionales. Pese a todo,
Peirce está convencido de que una
formulación más clara de la implicación
diodórica
sería
probablemente
más
provechosa que la formulación filónica.
Por otra parte, cuando discute (CP
3.437) el tema de la necesidad lógica, pone
el ejemplo de los condicionales lógicamente
necesarios en lo que sería hoy la lógica de
primer orden. Señala que, si la relación es
necesaria, entonces, para cualquiera que sea
la distribución de los objetos de un universo
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4
Guillermo Badía Hernández
del discurso dado, la implicación seguirá
siendo verdadera. Esto se halla vinculado de
manera evidente a la búsqueda de
contramodelos (interpretaciones de un
lenguaje L que falsifiquen alguna fórmula de
L). Es un hecho bien conocido que si de un
conjunto de premisas Γ se deduce una
fórmula φ, entonces ΛΓ → φ (donde ΛΓ es
la conjunción de todas las fórmulas en Γ) es
una fórmula lógicamente válida. Peirce pone
el ejemplo de un argumento, y lo interpreta
como una implicación para demostrar que
esta implicación siempre es verdadera y
habla entonces de necesidad lógica.
Por el Teorema de Completitud de la
lógica clásica (si φ es fórmula válida
entonces φ es teorema), junto con la Regla
de Necesidad de la lógica modal (si φ es
teorema entonces □φ es teorema), toda
fórmula clásica φ → ψ que sea válida es
necesaria, i.e. se trata de una “implicación
estricta” en el sentido de Lewis.
En un lugar distinto, Peirce reflexiona
sobre la noción de posibilidad y llama la
atención sobre un hecho importante:
“[U]n estado de cosas tiene la
Modalidad de lo posible –eso es, de lo
meramente posible– solo en caso de que el
estado de cosas contradictorio sea igual de
posible […] Uno que sabe que la
Universidad de Harvard tiene una oficina en
State Street, y tiene la impresión de que se
encuentra en el No. 30, pero de todos
modos sospecha que el número podría ser
el 50, diría «Creo que está en el No. 30,
pero podría estar en el No. 50», por lo cual
«posiblemente está en el No. 50».” (Peirce,
EP2, 354)
En este tipo de afirmaciones en que se
trata de proposiciones que bajo el signo de
modalidad afirman algo y su contradictorio
se halla el origen de las lógicas trivalentes
de Alfred Tarski y Jan Łukasiewicz. Estos
sistemas surgen con el objetivo principal de
dar cuenta de la verdad de enunciados de la
forma ◊φ ∧ ◊¬φ (relacionados con el
problema aristotélico de los “futuros
contingentes”). Houser (1998: xxix) apunta
el hecho de que Peirce trabajó en uno de
estos sistemas buen tiempo antes de que
aparecieran las investigaciones de dichos
lógicos.5
Una idea fundamental en la lógica de
Peirce, como veremos en el apartado 5, es
que las proposiciones categóricas y los
condicionales deben tratarse del mismo
5
Sobre este tema se han encontrado tres páginas entre los
manuscritos de Peirce. Cf. Shin y Hammer (2011).
modo, puesto que comparten la misma
estructura lógica. Las implicaciones de esta
propuesta son sorprendentes y anticipan una
de las ideas más originales de la lógica
modal moderna: la semántica basada en la
cuantificación sobre mundos posibles. Peirce
propone que en el caso de las proposiciones
hipotéticas (i.e. los condicionales, a los
efectos de este trabajo, aunque para Peirce
sean también proposiciones hipotéticas las
conjunciones
y
las
disyunciones)
la
cuantificación, en vez de ser sobre
individuos, tiene que ser sobre posibilidades,
casos posibles, estados posibles de cosas.
Esto también supone una anticipación al
hecho de que la lógica modal actual pueda
verse (por el Teorema de Van Benthem)
como un fragmento restringido de la lógica
de primer orden, siendo posible la traducción
de todas las fórmulas modales al lenguaje de
esta lógica, y la transformación de los
“modelos” de la semántica de mundos
posibles a “interpretaciones” de la lógica de
primer orden.
4. Modelos de Kripke
Siguiendo el camino abierto por Lewis,
se publicaron varios trabajos que intentaban
construir una semántica apropiada para los
nuevos términos modales.6 La opción más
generalizada era la de construir lógicas
polivalentes, pero pronto esta vía se
mostraría
como
poco
atractiva
en
comparación
con
los
sorprendentes
resultados obtenidos por la tradición que
empleó estructuras de la teoría de conjuntos
(cf. Copeland, 2002). Entre las primeras
versiones de una semántica modal que
utilizaba los desarrollos de la teoría de
modelos, estuvo la de Rudolf Carnap,
elaborando una adaptación de la famosa
noción de Ludwig Wittgenstein de estados
(posibles) de cosas, y hablando de
descripciones (posibles) de estados [cf.
Wittgenstein, 1922; Carnap, 1947].
En la idea original de Wittgenstein
[1922: 2.202] “la figura representa un
posible estado de cosas en el espacio
lógico”, i.e. el signo, el enunciado, nos habla
de la existencia o no de determinados
hechos atómicos. El mundo podría ser
descrito para Wittgenstein, en cierta forma,
6
De acuerdo a Carnap (1942: 22): “entender una oración,
conocer lo que es aseverado en ella, es lo mismo que conocer
bajo cuales condiciones sería verdadera”. Esta idea es el
presupuesto de la teoría semántica, al menos en lógica. Como
sostiene Kleene [1967: 33], en la semántica (de la cual la teoría
de los modelos es una rama) tratamos de obtener “modelos” o
“réplicas concretas” de lo que la oración en cuestión expresa.
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mediante la conjunción de todas las
proposiciones atómicas verdaderas, pues se
compone de la totalidad de los hechos
atómicos [Wittgenstein, 1922: 1.11, 1.12].
De acuerdo a Carnap:
“Una clase de oraciones en SI [el
sistema de Carnap] que contenga para
cada oración atómica esa oración o su
negación, pero no ambas, y ninguna otra
oración, es llamada una descripción de
estado en SI porque es obvio que da una
completa descripción de un estado posible
del universo de individuos con respecto a
todas
las
propiedades
y
relaciones
expresadas por los predicados del sistema.”
[Carnap, 1947: 9]
Así pues, Carnap está en condiciones de
considerar una oración como L-verdadera
(i.e.
lógicamente
necesaria)
en
una
descripción de estado si y sólo si es
verdadera en todas las descripciones de
estado. En semejante semántica es válida la
fórmula □□φ ↔ □φ (es necesario que sea
necesario que φ si y solo si es necesario que
φ),7 lo cual es problemático. Tal tipo de
oraciones (con modalidades iteradas) se
vuelven equivalentes a oraciones sin
iteración. Esto nos impide estudiar lógicas
modales más débiles que S5 ó S4, como K,
cuya importancia resulta extraordinaria.
Por suerte para nosotros, Saul Kripke
formuló en Kripke (1959; 1963) una
semántica más flexible al introducir una
relación de accesibilidad R entre las
descripciones de estado, que él llamó
“mundos posibles”.8
La idea básica de Kripke es que una
fórmula □φ es verdadera en un mundo w si y
solo si, para todo mundo v tal que Rwv
(leído “v es accesible desde w”) se cumple
que φ es verdadera en v. Alternativamente,
◊φ es verdadera en un mundo w si y solo si
existe algún mundo v tal que Rwv y en el
cual es verdadera φ. El resto de conectivas
se definen respecto de w (o de cualquier
otro mundo) como en lógica clásica.
7
Demostración: (De izquierda a derecha) Supongamos que
“es necesario que sea necesario que p” en la descripción de
estado D, entonces de acuerdo a la semántica de Carnap, “es
necesario que p” en toda descripción de estado, de modo que “es
necesario que p” en D. (De derecha a izquierda) Supongamos
que “es necesario que p” en la descripción de estado D, así pues
siguiendo a Carnap, “p” es verdadera en cualquier descripción de
estado, por tanto “es necesario que p” en cualquier descripción de
estado, y entonces, “es necesario que sea necesario que p” en
cualquier descripción de estado, por lo que también en D.
8
La introducción de esta noción por Kripke (1959: 2) está
inspirada en la Teodicea de Leibniz, donde se formula la idea de
una infinidad de mundos posibles, de entre los cuales Dios ha
escogido solo uno (el mejor) para que fuese actual.
5
De este modo podemos introducir
muchas sutilezas en la semántica de acuerdo
a las restricciones que impongamos sobre R.
Dicha relación puede ser interpretada como
una relación de compatibilidad entre
mundos. Dado un mundo w, R dictamina qué
mundos v, v', v''... son compatibles con él
desde una perspectiva interna, i.e. qué
mundos
considerarían
compatibles
los
habitantes de w.
Un marco de Kripke es un sistema F =
(W, R) donde W es un conjunto no vacío y R
una relación binaria sobre W. Un modelo de
Kripke para un lenguaje modal L* es un
sistema M = (F, V) donde V es una función
V: AT  ℘(W) donde AT es el conjunto de
fórmulas atómicas de L* y ℘(W) el conjunto
potencia de W o conjunto de todos los
subconjuntos de A.
Desde el punto de vista intuitivo, W es el
conjunto
de
“mundos
posibles”.
Sin
connotaciones metafísicas, los elementos de
W pueden ser “puntos” de un grafo, “estados
de
información”
de
un
autómata,
“momentos” de una línea temporal, etc. La
semántica formal no lo especifica. R es una
relación
de
accesibilidad
entre
estos
mundos. V es una evaluación que hace a
cada variable proposicional p (de AT)
verdadera o falsa en cada mundo w (de W).9
5. Las proposiciones hipotéticas como
proposiciones cuantificacionales
Ya en CP 3.444 aparece claramente
expresada la idea de cuantificación sobre
estados posibles de cosas mucho antes de la
aparición del Tractatus de Wittgenstein, por
no hablar del trabajo de Kripke. Y en otro
sitio (EP2: 283), Peirce sostiene que de
acuerdo a si una proposición “asevera algo
como verdadero o falso en todo el rango de
posibilidades, es necesaria (llamada por Kant
apodíctica) o imposible. De acuerdo a si
asevera la verdad o falsedad de algo dentro
del rango de posibilidades (no incluyendo o
excluyendo explícitamente el estado de
cosas existente), es posible (llamada por
Kant problemática) o contingente”.
También en CP 3.444, aclara el
verdadero sentido de la implicación material,
referida al estado de cosas actual, i.e. todo
lo que dice “φ implica materialmente a ψ” es
que no es el caso, dado el actual estado de
cosas, que φ sea verdadero y ψ falso.
Propone el simbolismo φ[i], donde φ es una
proposición e i es un índice representando al
9
También puede formularse V como una función binaria que
a cada par (p, w), donde p es una variable proposicional de AT y
w un mundo de W, le asigna un elemento del conjunto {V, F}.
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6
Guillermo Badía Hernández
estado de cosas donde la proposición es
verdadera, con lo que tendríamos que no es
el caso que φ[i] sea verdadero y ψ[i] sea
falso.
La cuestión residía en utilizar un
universo del discurso no compuesto por
individuos sino por estados de cosas. Peirce
escribe:
“El universo es el de los determinados
estados de cosas que son admisibles
hipotéticamente […] De modo que decir «El
podría no ser capaz voluntariamente de
actuar diferente a como lo fuerzan las
causas físicas, ya sea que trate o no» es lo
mismo que decir que existe un estado de
cosas hipotéticamente admisible en el cual
un hombre puede intentar actuar de un
modo y voluntariamente actuar de otro a
consecuencia de las causas físicas.”
(Peirce, CP 3.621)
La forma de entender la posibilidad en
este fragmento, cuantificando sobre estados
de cosas admisibles, es a todas luces la
misma que en la semántica actual de los
modelos de Kripke: algo es posible en w si y
sólo si es verdadero en alguno de los
mundos posibles accesibles desde w.
En otro pasaje, Peirce se vale del mismo
método de cuantificación pero esta vez sobre
individuos y no estados de cosas para
mostrar que la forma de los juicios
condicionales y los categóricos (aquellos que
afirman pertenencia de un predicado a un
sujeto y por tanto son el objeto de la teoría
de cuantificación clásica) es la misma. Peirce
lo pone del siguiente modo:
“Ahora,
tomemos
la
proposición
categórica «Todo hombre es sabio». Aquí
h[i] significa que el objeto individual i es un
hombre y s[i] que es sabio. Entonces,
podemos decir que «tomando cualquier
individuo del universo i, sin importar nada
más de ese objeto i, no es un hombre o es
sabio» […] La proposición condicional y la
categórica se expresan exactamente en la
misma forma.” (Peirce, CP 3.445)
Otras veces distingue entre lo que sería
la implicación material (consequentia de
inesse, como le llama Peirce siguiendo la
tradición medieval) y la implicación formal
del siguiente modo:
“La consequentia de inesse es, por
supuesto, el caso extremo donde la
proposición condicional pierde todo su
correcto significado, debido a la ausencia
del rango de posibilidades. El modo
correcto de entender el condicional es «En
cualquier posible caso i, A[i] es falso o B[i]
es verdadero». En la consequentia de
inesse el significado viene a ser «En el
estado de cosas verdadero i, A[i] es falso o
B[i] es verdadero».” (Peirce, CP 3.446)
La consequentia de inesse es un
operador veritativo-funcional en relación a
un mundo dado de antemano, i.e. el valor de
verdad de un enunciado de la forma φ → ψ
depende de los valores de verdad de su
antecedente φ y de su consecuente ψ en el
contexto de un mismo mundo w en un
modelo M. Por otro lado, el valor de verdad
de la implicación modalizada □(φ → ψ), que
abrevia el operador de Lewis φ £ ψ, no es
veritativo-funcional. Para determinarlo es
necesario recorrer antes todos los mundos
accesibles desde w por medio de R. Como
sugiere Peirce:
“Una proposición de inesse contempla
solo el estado de cosas existente […] en el
universo
lógico
del
discurso.
Una
proposición modal da cuenta de un
completo rango de posibilidades.” (Peirce,
EP2, 283)
Como dice en CP 3.375, si el rango de
posibilidades se circunscribe al estado
actual, entonces estamos frente al sentido
en que se entiende la implicación material en
la lógica tradicional, pero si descubrimos que
alguna de estas fórmulas es necesariamente
verdadera, entonces “se vuelve aplicable a
cualquier estado de cosas en el rango de
posibilidades lógicas”. Es decir, la idea de
cuantificación sobre estados de cosas
aparece indisolublemente relacionada al
problema de la necesidad.
Más adelante (CP 3.473) vuelve a insistir
sobre el hecho de que la cuantificación en
los argumentos condicionales debe ser
interpretada en la misma forma que
interpretamos “todo A es un B”, i.e.
tendríamos que “A necesariamente implica B
si y solo si de la verdad de A, en cualquier
modo en que pueda aparecer, se sigue la
verdad de B”. En CP 3.366 dice que una
proposición hipotética general no dice lo que
actualmente ocurre, sino más bien lo que de
ocurre a través de un universo de
posibilidades. Se retoma esta idea en CP
3.374, donde Peirce sostiene que la
particularidad
de
las
proposiciones
hipotéticas reside en que “van más allá del
actual estado de cosas y declaran lo que
sucedería si las cosas fuesen diferentes a
como son”.
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Por último, uno de los aportes más
controvertidos de Peirce a la lógica
contemporánea son los llamados “gráficos
existenciales”. Dentro de estos, Peirce
concibió el sistema Gamma (justo después
de su sistema proposicional Alpha y el
cuantificacional Beta), destinado al análisis
de las proposiciones modales (Ramharter y
Gottschal, 2011). En la presentación de
Gamma podemos encontrar una regla
equivalente a la Regla de Necesidad (o Regla
de Gödel de los sistemas modales actuales),
según la cual de φ se deduce □φ, así como
una regla que equivale al actual esquema de
axioma T, que es □φ → φ.
7
6. Conclusión
Charles Sanders Peirce, sin lugar a
dudas, estuvo un paso más allá en la
concepción moderna de la lógica modal, si
bien quizá sus resultados no contaban con el
suficiente nivel de sistematización como para
que
la
tradición
lógica
los
hubiese
continuado. No obstante, la importancia de
Peirce en este ámbito merece ser resaltada y
estudiada minuciosamente, contribuyendo
así a juzgar de modo adecuado el genio
polifacético del fundador del pragmatismo.
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