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FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL ALGEBRA LINEAL SÍLABO I. DATOS GENERALES: 1.1 ASIGNATURA : ALGEBRA LINEAL 1.2 CÓDIGO : 2404-24109 1.3 PRE-REQUISITO : 2404-24102 1.4 HORAS SEMANALES : 5 HORAS 1.4.1 TEORÍA : 3 HORAS 1.4.2 PRÁCTICA : 2 HORAS 1.5 N° DE CRÉDITOS : 4 CRÉDITOS 1.6 CICLO : II CICLO 1.7 TIPO DE CURSO : OBLIGATORIO 1.8 DURACIÓN DEL CURSO : 18 SEMANAS EN TOTAL 1.9 CURSO REGULAR : 17 SEMANAS 1.10 EXAMEN SUSTITUTORIO : 1 SEMANA 1.11 DURACIÓN MODALIDAD DISTANCIA : 9 SEMANAS EN TOTAL 1.12 CURSO REGULAR : 8 SEMANAS 1.13 EXAMEN SUSTITUTORIO : 1 SEMANA II. DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA: El curso proporciona al alumno los conocimientos fundamentales de matrices, espacios vectoriales y transformaciones lineales para que a la vez que desarrolle sus habilidades intelectuales y creativas, pueda aplicar tales conocimientos en la conceptualización de los sistemas de información a ser mecanizados o automatizados. El curso comprende: determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, números complejos, espacios vectoriales, transformaciones lineales, autovalores, autovectores y diagonalización de matrices. III. OBJETIVOS: A. OBJETIVOS GENERALES: Después de estudiada esta asignatura el estudiante deberá ser capaz de: 1. Utilizar los conceptos de espacios vectoriales y transformaciones lineales como instrumentos principales para poder investigar, describir y aplicar adecuadamente las reglas lógicas de las bases de datos y poder con facilidad entender el software en el cual se aplican. 2. Emplear las principales técnicas del Álgebra Lineal en la elaboración de modelos matemáticos como una herramienta para la investigación, descripción y aplicación adecuada de sistemas de información que tenga que desarrollar e implementar en las áreas de Economía, Estadística y Marketing. ALGEBRA LINEAL Página 1 FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al finalizar el curso el alumno estará en condiciones de: 1. Calcular determinantes e inversas de matrices. 2. Resolver sistemas de ecuaciones lineales, reconociendo su consistencia o inconsistencia y el número de soluciones posibles. 3. Operar y graficar números complejos. 4. Reconocer, interpretar y aplicar correctamente espacios y subespacios vectoriales. 5. Establecer la dependencia o independencia lineal de vectores. Aplicándolos entre otras cosas a la determinación de bases y generadores de espacios vectoriales. 6. Reconocer, interpretar, y manejar transformaciones lineales y sus respectivas matrices asociadas. 7. Determinar autovalores y autovectores de matrices y transformaciones. 8. Encontrar bases ortogonales y ortonormales de espacios vectoriales. 9. Diagonalizar matrices. IV. METODOLOGÍA: Modo Presencial El profesor promoverá la investigación y la participación constante de los alumnos en el curso ayudándolos a que fijen y profundicen los conocimientos que vayan adquiriendo, enfatizando que no sólo deben conocer, sino investigar los temas tratados. El desarrollo del curso se realizará ejecutando los siguientes lineamientos pedagógicos. MOTIVACIÓN, procurando generar expectativas en función al objetivo del aprendizaje a lograr. INFORMACIÓN, presentando las nociones teórico prácticas de los conceptos básicos sobre los contenidos temáticos que comprende el objetivo del aprendizaje. Los alumnos deberán asistir a clases repasando los temas ya tratados y estudiando los temas a tratarse, con el propósito de lograr una mayor participación en clases y un mejor aprovechamiento de las mismas. EJEMPLIFICACIÓN Y PRÁCTICA, presentando el uso y aplicaciones de los conceptos fundamentales a tratar buscando de manera continua la participación activa de los alumnos en cada clase, para que muestren sus inquietudes con claridad utilizando para ello el lenguaje matemático. ASESORÍA Y CONSEJERÍA, permitirá a los alumnos, complementar los temas dictados en clase, es de carácter obligatorio y parte de la evaluación. La Universidad tiene a disposición de los alumnos guías de prácticas y otros materiales (para ser copiados) los que deberán ser resueltos por los alumnos, y luego discutidos en grupos en forma de seminarios, donde el profesor asumirá el papel de guía. ALGEBRA LINEAL Página 2 FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL Modo a distancia En este proceso, es indispensable que cuente usted con un nivel de lectura comprensiva e interpretativa para lo cual se pone en su consideración las siguientes pautas: a) Busque las condiciones ambientales más propicias para el estudio, lo que le facilitará su concentración y su aprendizaje. b) Haga un cronograma de estudio que deberá cumplir en forma sistemática. c) Recuerde que debe interpretar con sus propias palabras los conceptos presentados por el autor, esto le permitirá una mayor comprensión del tema. d) Recurra a los glosarios que se encuentran al final de cada unidad didáctica así como al diccionario, ya que enriquecerá su vocabulario y entenderá claramente las ideas expresadas en el texto. e) Resuelva todas las actividades: autoevaluación, prácticas y ejercicios propuestos. f) Cuide la adecuada presentación de sus trabajos, ya sea de fondo (profundidad, exactitud y rigurosidad de sus respuestas) como de forma (ortografía, orden). V. EVALUACIÓN: Modo Presencial El reglamento vigente de la universidad exige la asistencia obligatoria a clases; el 30% de inasistencias inhabilita al alumno a continuar en el curso, colocando como promedio final: NSP. El docente deberá tomar lista en cada clase que dicta registrando asistencias en el sistema que le proporciona la Universidad. las Dada la naturaleza del curso respecto a que imparte conocimientos pero además es de suma importancia la transmisión directa de la experiencia del profesor y que los alumnos participen en clase, se reitera que es de vital importancia la asistencia a clases. La justificación de las inasistencias sólo serán aceptadas con el informe que pueda elevar la Oficina de Coordinación Académica EAPISI al profesor del curso. Finalmente, debe quedar perfectamente entendido que sólo cuando el alumno asiste a clases, gana el derecho a ser evaluado y que en todo momento estará presente la normatividad expresada en el reglamento de la Universidad. La modalidad de Evaluación será la siguiente: ALGEBRA LINEAL Página 3 FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL La nota final se establecerá del promedio ponderado de: NF = 30%EP + 30%EF + 40%PPT N.F. = Nota final E.P. = Nota Examen Parcial E.F. = Nota Examen Final P.P.T. = Promedio de Prácticas y Trabajos (30%) (30%) (40%) En el Promedio de Prácticas y Trabajos (P.P.T.), estarán incluídas la Práctica 1, Práctica 2 (prácticas obligatorias programadas por la universidad), además de las prácticas y trabajos adicionales que el docente considere pertinente. Solamente se considerará el redondeo de decimales para la Nota Final (N.F.). El examen Sustitutorio (ES), será tomado en la semana 18 del ciclo y consiste en la evaluación teórico - práctico de conocimiento de todo el curso y donde el alumno dará sus respuestas por escrito. La nota obtenida en el examen Sustitutorio, podrá reemplazar la nota más baja que el alumno haya obtenido en el examen Parcial o Examen Final y de proceder el reemplazo, se recalculará la nueva nota final (N.F.). En caso la nota del Examen Sustitutorio sea más baja que el Examen Parcial o Examen final, no se reemplazará ninguna de ellas, quedando el alumno con la nota obtenida hasta antes del examen Sustitutorio. En todas las evaluaciones se calificará con una escala de 0 a 20 siendo la nota mínima aprobatoria 11 (once). Es de total aplicación el Reglamento de Estudios de la Universidad entregado al alumno. Modo a distancia A continuación se detallarán los criterios de evaluación de esta asignatura: a) Exámenes Son evaluaciones que Ud. rendirá en forma presencial en sus unidades descentralizadas. Dichos exámenes consisten en: Examen Parcial, consiste de una evaluación teórico - práctico de conocimiento y donde el alumno dará sus respuestas por escrito. Examen Final, consiste en la evaluación teórico - práctico de conocimiento de todo el curso y donde el alumno dará sus respuestas por escrito. Examen Sustitutorio, consiste en la evaluación teórico - práctico de conocimiento de todo el curso y donde el alumno dará sus respuestas por escrito. ALGEBRA LINEAL Página 4 FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL La nota obtenida en el examen Sustitutorio (0-20) , podrá reemplazar la nota más baja que el alumno haya obtenido en el examen Parcial o en el Examen Final y de proceder el reemplazo, se recalculará la nueva nota final. En caso la nota del Examen Sustitutorio sea más baja que las notas obtenidas en el Examen Parcial o Examen Final, no se reemplazará ninguna de ellas, quedando el alumno con el promedio obtenido antes del examen Sustitutorio. A continuación le señalamos la semana de estudios en la que serán evaluados los exámenes: EXAMEN Examen Parcial Examen Final Examen Sustitutorio SEMANA DE ESTUDIO 4ta semana 8va semana 18ava semana La nota mínima aprobatoria de los exámenes tanto parcial como final es de once (11). La máxima calificación a obtenerse en el examen sustitutorio es veinte (20) y la nota mínima aprobatoria del mismo es once (11). Es importante resaltar que la calificación obtenida en el examen sustitutorio reemplazará a la nota del Examen Parcial o al Examen Final. Usted solo podrá acceder al examen sustitutorio sino ha sido evaluado en el examen parcial o en el examen final o haya desaprobado alguno de ellos. Solamente el alumno podrá decidir si rinde el Examen Sustitutorio ya sea para aprobar el curso o para subir su promedio. Dada la naturaleza del curso, es muy importante que exista la participación activa del estudiante en su proceso de aprendizaje. Por ello, se tiene las siguientes características: Examen Parcial. Examen Final. Actividad Obligatoria Individual NF = 35%EP + 35%EF + (35%) (35%) (30%) 30%AO Las especificaciones de la actividad obligatoria, han sido dadas a conocer oportunamente, en el campus. ALGEBRA LINEAL Página 5 FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL VI. CONTENIDO DEL CURSO SEMANA 01 Modalidad presencial – Semana 01 Modalidad a distancia MATRICES Y DETERMINANTES Definición de matrices. Tipos de matrices: cuadrada, simétrica, antisimétrica, diagonal, triangular superior, triangular inferior, transpuesta. Operaciones con matrices. SEMANA 02 Modalidad presencial – Semana 01 Modalidad a distancia Métodos de cálculo de determinantes. Matriz cofactor. Adjunta de una matriz. Inversa de una matriz: definición y propiedades. SEMANA 03 Modalidad presencial – Semana 02 Modalidad a distancia SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Métodos de solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Método Crammner, Gauss-Jordan. Consistencia e Inconsistencia de los sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones homogéneas. SEMANA 04 Modalidad presencial – Semana 02 Modalidad a distancia Rango de una matriz: Soluciones con variables libres. Problemas con sistemas de ecuaciones lineales. Práctica Calificada SEMANA 05 Modalidad presencial – Semana 03 Modalidad a distancia VECTORES EN R² y R³. Definición de vectores en R² y R³. Operaciones con vectores. Producto interno en R² y R³., Norma de un vector. Vector unitario. Propiedades del producto interno. Ángulo entre dos vectores. Vectores ortogonales. Proyección de un vector sobre otro. SEMANA 06 Modalidad presencial – Semana 03 Modalidad a distancia ESPACIOS VECTORIALES Definición de Espacios Vectoriales sobre los números reales. Espacios R² y R³. Rn. Otros espacios vectoriales: C n , Pn, Mmn, funciones continuas, función derivadas, función integral. SEMANA 07 Modalidad presencial – Semana 04 Modalidad a distancia SUBESPACIOS VECTORIALES Definición de subespacios vectoriales. Combinaciones lineales y subespacios vectoriales generado por vectores. Ejercicios de espacios y subespacios vectoriales. SEMANA 08 Modalidad presencial – Semana 04 Modalidad a distancia • Examen Parcial (*) El examen parcial Modalidad a distancia se tomará en la semana 04, revisar cronograma. SEMANA 09 Modalidad presencial DEPENDENCIA DE VECTORES Vectores linealmente independientes. Vectores linealmente dependientes. Vectores generadores. Ejercicios de vectores linealmente dependientes e independientes. ALGEBRA LINEAL Página 6 FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL SEMANA 10 Modalidad presencial – Semana 05 Modalidad a distancia BASES Y GENERADORES Definición de Base de un espacio vectorial. Dimensión de un espacio vectorial. Teoremas de dimensión de espacios vectoriales. Ejercicios de dimensión de subespacios vectoriales. SEMANA 11 Modalidad presencial – Semana 05 Modalidad a distancia TRANSFORMACIONES LINEALES Definición de Transformación lineal, ejemplos. Álgebra de las transformaciones lineales: suma, composición, inversa, y multiplicación por escalar de transformaciones lineales. Determinación del núcleo y de la imagen de una transformación lineal. SEMANA 12 Modalidad presencial – Semana 06 Modalidad a distancia MATRICES ASOCIADAS A TRANSFORMACIONES LINEALES Relación entre transformaciones lineales y matrices. Matriz canónica o matriz standard de una transformación lineal. Transformación lineal asociada a una matriz. Matriz asociada a una transformación lineal Práctica Calificada SEMANA 13 Modalidad presencial – Semana 06 Modalidad a distancia Matriz de cambio de base o matriz de transición. Matriz asociada a una composición de transformaciones. Dimensión del espacio solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas SEMANAS 14 Modalidad presencial – Semana 07 Modalidad a distancia AUTOVALORES Y AUTOVECTORES Definición de autovalores y autovectores. Modo práctico de encontrar los autovalores y los autovectores. Ejercicios de aplicación. SEMANAS 15 Modalidad presencial – Semana 07 y 08 Modalidad a distancia BASES ORTOGONALES Bases ortogonales y ortonormales. Proceso de Gram -Schmidt. Productos internos y normas en espacios vectoriales diferentes de R n SEMANA 16 Modalidad presencial – Semana 08 Modalidad a distancia Proceso de Gram-Schmidt en otros espacios diferentes de R n. Matrices semejantes o equivalentes. Proceso de diagonalización de una matriz cuadrada. SEMANA 17: • Examen Final (*) El examen Final Modalidad a distancia se tomará en la semana 08, revisar cronograma. SEMANA 18: • Examen Sustitutorio (*) El examen sustitutorio Modalidad a distancia se tomará en la semana 18, revisar cronograma. ALGEBRA LINEAL Página 7 FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL VII. BIBLIOGRAFÍA: Además de la bibliografía básica, la complementaria y la electrónica, el alumno tendrá acceso al uso del Internet para ampliar los temas de investigación y consulta que requiera. A. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA a. STANLEY I.GROSSMAN. Algebra Lineal. Editorial McGraw-Hill / Interamericana de México,S.A. de C.V. Impreso en Colombia –Ultima Edición- 2002 b. Mg. Ángela Noemí Benites Quezada ÁLGEBRA LINEAL. Dirección Universitaria de Educación a Distancia (DUED) Impreso en los Talleres gráficos de la UAP Editorial. UAP-FISI. Lima. B. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA 1. FRALEIGH John B, BEAUREGARD RAYMOND A. “Álgebra Lineal”. Editorial Addison Wesley Iberoamericana. 2000. Impreso en Estados Unidos 2. FIGUEROA G., RICARDO. “Vectores y Matrices”. Editorial América. 2002 3. GERBER, HARVEY. “Álgebra Lineal”. Grupo Editorial Iberoamérica. 1999 4. HOFFMAN / KUNZE. “Álgebra Lineal”. Prentice Hall. México. 5. SERGE LANG. “Introducción al Álgebra Lineal”. Editorial Addison. México. 6. EDUARDO ESPINOZA RAMOS. “Álgebra Lineal”. Impreso en el Perú 2004 7. RICHARD O. HILL, Jr. “Álgebra Lineal Elemental con aplicaciones”. Editorial Prentice- Hall, Hispanoamericana S.A., México, 2001, Sexta Edición C. BIBLIOGRAFÍA ELECTRÓNICA DUED https://dued.uap.edu.pe/biblioteca_virtual.htm MATRICES Y DETERMINANTES a. http://carmesimatematic.webcindario.com/determinantesweb.htm b. http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes_Actividades.ht ml#dos SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a. http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni1/seccion11.html b. http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan c. http://palancar.izt.uam.mx/uea/file.php/1/Proyecto_extraordinario/proyecto.p df VECTORES EN EL ESPACIO a. http://estructuras.eia.edu.co/Est%C3%A1tica/vectores%20en%20el%20esp acio/vectores_en_el_espacio.htm b. http://www.geoan.com/analitica/vectores/ejercicios_vectores.html ALGEBRA LINEAL Página 8 FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES a. http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/Algebra/Apuntes/AL_ap_02.pdf b. http://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio c. http://docentes.uacj.mx/gtapia/algebra/Contenido/Unidad%20II/SUBESPACI OS%20%20GENERADOS.htm BASE Y DIMENSIÓN a. www.unav.es/metcuantitativos/algebralineal/Espacios_base_dimension.pdf. b. www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo1/teoria-1-6/1-6-base-dimension.html. TRASFORMACIONES LINEALES a. www.cmat.edu.uy/cmat/notas/alglin1/2006/cap04.pdf. b. http://docentes.uacj.mx/gtapia/algebra/Contenido/Unidad%20IV/LA%20MAT RIZ.htm c. http://docentes.uacj.mx/gtapia/algebra/Contenido/Unidad%20IV/NUCLEO.ht m. d. http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-53.pdf. AUTOVALORES Y AUTO VECTORES PROPIOS a. http://es.wikipedia.org/wiki/Autovalor b. http://www.geocities.com/mialgebralineal/7.9CalcAutovAutovec9.doc DIAGONALIZACIÓN DE UNA MATRIZ a. http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/slgonzal/matematicas2_archiv os/diagonalizacion-2006.pdf ALGEBRA LINEAL Página 9