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Subespacios Generados y Fundamentales
Profesores
Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga
Instituto de Matemáticas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga
Subespacios Generados y Fundamentales
Definición (Subespacio generado por un conjunto de vectores)
Sea V un espacio vectorial y sean v1 , . . . , vk ∈ V , definimos el conjunto
generado por estos vectores, denotado por gen{v1 . . . , vk }, como el conjunto
de combinaciones lineales de los vectores v1 , . . . , vk . Esto es,
gen{v1 . . . , vk } = {α1 v1 + · · · + αk vk | α1 , . . . , αk ∈ R } .
Es fácil mostrar que el conjunto generado por los vectores v1 , . . . , vk ∈ V es
un subespacio de V , por esta razón al conjunto gen{v1 . . . , vk } lo
llamaremos el subespacio generado por los vectores v1 , . . . , vk .
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Teorema
Sea H 6= Φ un subespacio de Rm , entonces existen vectores v1 ,
. . . , vk ∈ Rm tal que {v1 , . . . , vk } es una base de H.
Teorema
Sea V un subespacio de Rm y sean {v1 , . . . , vk } y {w1 , . . . , wl } bases para
V , entonces k = l. Es decir, todas las bases de V tienen exactamente el
mismo número de vectores.
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Teorema
Sea H 6= Φ un subespacio de Rm , entonces existen vectores v1 ,
. . . , vk ∈ Rm tal que {v1 , . . . , vk } es una base de H.
Teorema
Sea V un subespacio de Rm y sean {v1 , . . . , vk } y {w1 , . . . , wl } bases para
V , entonces k = l. Es decir, todas las bases de V tienen exactamente el
mismo número de vectores.
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Definición
Sea A una matriz de tamaño m × n definimos los siguientes subespacios:
1
El espacion nulo de A, denotado N ul(A), se define como
N ul(A) = {x ∈ Rn | Ax = 0.}
2
El espacio columna, denotado Col(A), se define como
Col(A) = gen{c1 , . . . , cn },
donde c1 , . . . , cn son las columnas de A.
3
El espacio fila de A, denotado por F il(A), se define como
t
F il(A) = gen{f1t , . . . , fm
},
donde f1 , . . . , fm son las filas de A.
4
El espacio nulo a izquierda de A, denotado por N uliz(A), se define
como
N uliz(A) = {x ∈ Rm | At x = 0}.
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Teorema
Sea A una matriz de tamaño m × n y sea A0 la forma escalonada reducida
de A. Entonces los vectores formados por las columnas de A las cuales se
corresponden con las columnas de A0 que tienen un pivote, forman una base
para Col(A) y por tanto dim Col(A) = rango(A). Además se tiene que
dim N ul(A) = n − rango(A).
Corolario
Sea A una matriz de tamaño m × n, entonces
dim Col(A) + dim N ul(A) = n = # de columnas de A.
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Teorema
Sea A una matriz de tamaño m × n y sea A0 la forma escalonada reducida
de A. Entonces los vectores formados por las columnas de A las cuales se
corresponden con las columnas de A0 que tienen un pivote, forman una base
para Col(A) y por tanto dim Col(A) = rango(A). Además se tiene que
dim N ul(A) = n − rango(A).
Corolario
Sea A una matriz de tamaño m × n, entonces
dim Col(A) + dim N ul(A) = n = # de columnas de A.
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Ejemplo
Calcule
 los cuatro
1 −1 0
A = 2 −2 1
3 −3 1
subespacios
fundamentales de la matriz

1
4 .
5
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Teorema
Sea A una matriz, entonces tenemos que F ilA = F ilA0 donde A0 es la
forma escalonada reducida de A, además se tiene que
dim F ilA = rango(A). Es decir, el espacio fila de una matriz coincide con
el espacio de su forma escalonada reducida.
Corolario
Sea A una matriz de tamaño m × n, entonces rango(A) = rango(At ).
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Teorema
Sea A una matriz, entonces tenemos que F ilA = F ilA0 donde A0 es la
forma escalonada reducida de A, además se tiene que
dim F ilA = rango(A). Es decir, el espacio fila de una matriz coincide con
el espacio de su forma escalonada reducida.
Corolario
Sea A una matriz de tamaño m × n, entonces rango(A) = rango(At ).
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