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Apuntes de Álgebra
Publicación 0.0.1
Valentín Barros Puertas
16 de January de 2015
Índice general
1. Tema 1
1.1. Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
2. Tema 2
2.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
3. Tema 3
3.1. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
4. Tema 4
4.1. Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
44
I
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Índice:
Índice general
1
CAPÍTULO 1
Tema 1
1.1 Cuerpo
Propiedades de las operaciones + y · en R:
+
• Propiedad asociativa: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R
∀𝑎 ∈ R
• Elemento neutro: 0 + 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 + 0
• Elemento simétrico —o inverso— de otro: (−𝑎) + 𝑎 = 0 = 𝑎 + (−𝑎) ∀𝑎 ∈ R
• Propiedad conmutativa: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
∀𝑎, 𝑏 ∈ R
·
• Propiedad asociativa: (𝑎 · 𝑏) · 𝑐 = 𝑎 · (𝑏 · 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R
• Elemento neutro: 1 · 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 · 1
∀𝑎 ∈ R
• Elemento simétrico —o inverso— de otro: 1/𝑎 · 𝑎 = 1 = 𝑎 · 1/𝑎 ∀𝑎 ∈ R/𝑎 ̸= 0
• Propiedad conmutativa: 𝑎 · 𝑏 = 𝑏 · 𝑎
∀𝑎, 𝑏 ∈ R
Propiedad distributiva de · respecto de +: 𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R
Definición
Un cuerpo K es un conjunto K con dos operaciones internas que denotamos por + y · tales que verifican las propiedades
anteriores.
Ejemplos de cuerpos: R, C, Q...
Es posible definir un cuerpo con dos elementos, {0, 1},
+
0
1
·
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
Este cuerpo se llama Z2 .
2
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
1.2 Matriz
Definición
Una matriz 𝐴 de orden 𝑚 × 𝑛 con entradas en un cuerpo K es una tabla de doble entrada con 𝑚 · 𝑛 elementos en K
distribuidos en 𝑚 filas y 𝑛 columnas.
Al elemento de la matriz 𝐴 que está en la fila 𝑖 y en la columna 𝑗 lo denotaremos por 𝐴(𝑖, 𝑗) o por 𝑎𝑖𝑗 .
⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 · · · 𝑎1𝑛
⎜ 𝑎21 𝑎22 · · · 𝑎2𝑛 ⎟
⎜
⎟
𝐴=⎜ .
..
.. ⎟
..
⎝ ..
.
.
. ⎠
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 · · · 𝑎𝑚𝑛
Ejemplo
(︂
𝐵=
1
−1
)︂
2 3
∈ ℳ2×3 (R), 𝑏23 = 5 = 𝐵(2, 3)
7 5
1.2.1 Conjuntos de matrices
El conjunto de matrices de orden 𝑚 × 𝑛 con entradas en un cuerpo K lo denotaremos por ℳ𝑚×𝑛 (K).
1.2.2 Igualdad de matrices
Dos matrices 𝐴 y 𝐵 de orden 𝑚 × 𝑛 con entradas en el mismo cuerpo K son iguales si
𝐴(𝑖, 𝑗) = 𝐵(𝑖, 𝑗) ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑚
∀𝑗 = 1, · · · , 𝑛
1.2.3 Casos particulares
Matriz fila
(︀
𝑎11
𝑎12
···
)︀
𝑎1𝑛 ∈ ℳ1×𝑛 (K)
Matriz columna
⎛
⎞
𝑎11
⎜ 𝑎21 ⎟
⎜
⎟
⎜ .. ⎟ ∈ ℳ𝑚×1 (K)
⎝ . ⎠
𝑎𝑚1
1.2. Matriz
3
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Matrices cuadradas de orden 𝑛
Si 𝑚 = 𝑛
ℳ𝑚×𝑛 (K) = ℳ𝑛 (K)
Matriz diagonal de orden 𝑛
𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K) es diagonal si 𝑎𝑖𝑗 = 0 ⇔ 𝑖 ̸= 𝑗
Ejemplo
⎛
1
⎝0
0
0
0
0
⎞
0
0⎠
3
Matriz identidad de orden 𝑛
𝐼𝑛 ∈ ℳ𝑛 (K) diagonal
/
𝐼𝑛 (𝑖, 𝑖) = 1 ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
Delta de Kronecker
La matriz identidad también se puede expresar con la función delta de Kronecker, 𝛿𝑖𝑗 , definida como
{︂
1 si 𝑖 = 𝑗
𝛿𝑖𝑗 =
0 si 𝑖 ̸= 𝑗
1.2.4 Operaciones con matrices
Suma
Sean 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
Se define la suma de 𝐴 y 𝐵 como una matriz de orden 𝑚 × 𝑛 con entradas en K que denotamos 𝐴 + 𝐵 tal que
(𝐴 + 𝐵)(𝑖, 𝑗) := 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ∈ K ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑚
∀𝑗 = 1, · · · , 𝑛
Multiplicación por escalares
Sean 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) y 𝛼 ∈ K. Se define 𝛼𝐴 como una matriz de orden 𝑚 × 𝑛 con entradas en K tal que
𝛼𝐴(𝑖, 𝑗) := 𝛼 · 𝑎𝑖𝑗 ∈ K
1.2. Matriz
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑚
∀𝑗 = 1, · · · , 𝑛
4
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Propiedades
Con 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) y 𝛼, 𝛽 ∈ K.
1. Propiedad asociativa de +
𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶
Demostración
(︀
)︀
(︀
)︀
𝐴 + (𝐵 + 𝐶) (𝑖, 𝑗) = 𝑎𝑖𝑗 + (𝑏𝑖𝑗 + 𝑐𝑖𝑗 ) =1 (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ) + 𝑐𝑖𝑗 = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 (𝑖, 𝑗)
1 ↦→ Por la propiedad asociativa de la suma en K
2. Elemento neutro para la suma
0(𝑖, 𝑗) := 01
1 ↦→ Neutro de la suma en K
3. Simétrico
∃𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) ⇒ ∃ − 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
−𝐴(𝑖, 𝑗) := −𝑎𝑖𝑗
−𝐴 es la simétrica de 𝐴
4. Propiedad conmutativa
+
𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴
Multiplicación por escalares
𝛼𝐴 = 𝐴𝛼
5. Distributiva de la multiplicación por escalares respecto de la suma de matrices
𝛼(𝐴 + 𝐵) = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵
6. Distributiva
(𝛼 + 𝛽)𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴
7. Elemento neutro para la multiplicación
1𝐴 = 𝐴
Matriz traspuesta
Definición
Sea 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K).
1.2. Matriz
5
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Se define la traspuesta de 𝐴 como una matriz de orden 𝑛 × 𝑚 que se denota por 𝐴𝑡 tal que
𝐴𝑡 (𝑖, 𝑗) := 𝐴(𝑗, 𝑖)
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
∀𝑗 = 1, · · · , 𝑚
Ejemplo
(︂
)︂
1 2 3
𝐴=
4 5 6
⎛
⎞
1 4
𝐴𝑡 = ⎝2 5⎠
3 6
Propiedades
𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)𝐵 ∈ ℳ𝑛×𝑠 (K)
𝐴𝑡 ∈ ℳ𝑛×𝑚 (K)𝐵 𝑡 ∈ ℳ𝑠×𝑛 (K)
Se verifica
1. (𝐴𝑡 )𝑡 = 𝐴
2. (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵 𝑡 𝐴𝑡
Demostración
(𝐴𝐵)𝑡 (𝑖, 𝑗) := (𝐴𝐵)(𝑗, 𝑖) =
𝑛
∑︁
𝑎𝑗𝑘 𝑏𝑘𝑖 =1
𝑘=1
𝑛
∑︁
𝐵 𝑡 (𝑖, 𝑘)𝐴𝑡 (𝑘, 𝑗) = (𝐵 𝑡 𝐴𝑡 )(𝑖, 𝑗)
∀𝑖
𝑘=1
∀𝑗
1 ↦→ Por la propiedad conmutativa del producto en K
Definición
Con
𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K) no singular
Se verifica
(𝐴−1 )𝑡 = (𝐴𝑡 )−1
Producto de matrices
Siendo 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) y 𝐵 ∈ ℳ𝑛×𝑠 (K) se define
𝐴𝐵 ∈ ℳ𝑚×𝑠 (K) tal que
𝑛
∑︁
𝐴𝐵(𝑖, 𝑗) :=
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑚
𝑘=1
∀𝑗 = 1, · · · , 𝑠
1.2. Matriz
6
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Propiedades
Sea 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
1. Asociativa
𝐴𝐵 ⇒ 𝐵 ∈ ℳ𝑛×𝑠 (K)
(︁
(𝐴𝐵)𝐶 ⇒ 𝐶 ∈ ℳ𝑠×𝑟 (K)
)︁
(𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) ∈ ℳ𝑚×𝑟 (K)
2. Elemento neutro
𝐼𝑚 𝐴 = 𝐴
𝐴𝐼𝑛 = 𝐴
Y, en particular,
Si 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K) ∃𝐼𝑛 ∈ ℳ𝑛 (K)
tal que
𝐴𝐼𝑛 = 𝐼𝑛 𝐴 = 𝐴
3. Distributiva —por la izquierda y por la derecha
Con 𝐵 ′ ∈ ℳ𝑛×𝑠 (K)
𝐴(𝐵 + 𝐵 ′ ) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 ′
(𝐵 + 𝐵 ′ )𝐶 = 𝐵𝐶 + 𝐵 ′ 𝐶
Con 𝛼 ∈ K
𝛼(𝐴𝐵) = (𝛼𝐴)𝐵 = 𝐴(𝛼𝐵)
Nota: El producto de matrices no verifica la propiedad conmutativa.
Observación
⎛
(︀
𝑎11
···
𝑏11
⎜
)︀ ⎜ 𝑏21
𝑎1𝑛 ⎜ .
⎝ ..
···
···
..
.
⎞
𝑏1𝑠
𝑏2𝑠 ⎟
⎟
.. ⎟ = 𝑎11 𝐹1 (𝐵) + 𝑎12 𝐹2 (𝐵) + · · · + 𝑎1𝑛 𝐹𝑛 (𝐵)
. ⎠
𝑏𝑛1
···
𝑏𝑛𝑠
Es decir, las filas de 𝐴𝐵 son combinación lineal de las filas de 𝐵.
Ejemplo
(︀
2
(︂
)︀ 1
3
2
3
4
5
6
)︂
(︀
= 2·1+3·2
2·3+3·4
)︀
(︀
2·5+3·6 =2 1
3
)︀
(︀
5 +3 2
4
)︀
6
Consecuencia
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) y 𝐵 ∈ ℳ𝑛×𝑠 (K)
𝐹𝑖 (𝐴𝐵) = 𝑎𝑖1 𝐹1 (𝐵) + 𝑎𝑖2 𝐹2 (𝐵) + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝐹𝑛 (𝐵) ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑚
1.2. Matriz
7
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Observación
⎛
𝑎11
⎜ 𝑎21
⎜
⎜ ..
⎝ .
···
···
..
.
⎞⎛ ⎞
𝑎1𝑛
𝑏11
⎜ 𝑏21 ⎟
𝑎2𝑛 ⎟
⎟⎜ ⎟
.. ⎟ ⎜ .. ⎟ = 𝐶1 (𝐴)𝑏11 + 𝐶2 (𝐴)𝑏21 + · · · + 𝐶𝑛 (𝐴)𝑏𝑛1
. ⎠⎝ . ⎠
𝑎𝑚1
···
𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑛1
Es decir, las columnas de 𝐴𝐵 son combinación lineal de las columnas de 𝐴.
Ejemplo
⎛
1
⎝0
3
⎞
⎛
⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
2 (︂ )︂
1·5+2·7
1
2
5
1⎠
= ⎝ 0 · 5 + 1 · 7 ⎠ = ⎝0⎠ 5 + ⎝ 1 ⎠ 7
7
−1
3 · 5 + (−1) · 7
3
−1
1.2.5 Matriz no singular
Definición
Una matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ ℳ𝑛 (K) es no singular —o inversible— si existe una matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) ∈ ℳ𝑛 (K) tal que
𝐴𝐵 = 𝐼𝑛 = 𝐵𝐴.
No todas las matrices cuadradas tienen inversa.
Propiedades
Con 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ ℳ𝑛 (K) no singular,
1. Si existe inverso es único.
Demostración
𝐴 tiene inverso ⇔ ∃𝐵 ∈ ℳ𝑛 (K) / 𝐴𝐵 = 𝐼𝑛 = 𝐵𝐴
Si existiese 𝐵 ′ ∈ ℳ𝑛 (K) / 𝐴𝐵 ′ = 𝐼𝑛 = 𝐵 ′ 𝐴
}︂
⇒? 𝐵 = 𝐵 ′
𝐵 = 𝐵𝐼𝑛 = 𝐵(𝐴𝐵 ′ ) =1 (𝐵𝐴)𝐵 ′ = 𝐼𝑛 𝐵 ′ = 𝐵 ′
1 ↦→ Propiedad asociativa
2. Con 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝑛 (K) no singulares,
Se verifica que 𝐴𝐵 es no singular y (𝐴𝐵)−1 = 𝐵 −1 𝐴−1 .
Demostración
}︂
∃𝐴−1 ∈ ℳ𝑛 (K)
𝐵 −1 𝐴−1 ∈ ℳ𝑛 (K)
∃𝐵 −1 ∈ ℳ𝑛 (K)
(𝐵 −1 𝐴−1 )(𝐴𝐵) =1 𝐵 −1 (𝐴−1 𝐴)𝐵 = 𝐵 −1 𝐼𝑛 𝐵 = 𝐵 −1 𝐵 = 𝐼𝑛
1 ↦→ Propiedad asociativa
1.2. Matriz
8
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
1.2.6 Matrices elementales
𝐸 ∈ ℳ𝑛 (K) es una matriz elemental si es de uno de los siguientes tipos:
1. Si la matriz 𝐸 se obtiene de 𝐼𝑛 intercambiando dos filas: 𝐸𝑖↔𝑗
Nota: Estas matrices se llaman matrices de permutación.
2. Si la matriz 𝐸 se obtiene de 𝐼𝑛 multiplicando una fila por un escalar no nulo.
Con 𝛼 ∈ K y 𝛼 ̸= 0
𝐸𝛼𝐹𝑖
⎛
1
⎜
⎜
⎜
=⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
..
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
𝛼
..
.
1
3. Si la matriz 𝐸 se obtiene de 𝐼𝑛 sumándole a una fila un múltiplo de otra fila: 𝐸𝐹𝑖 +𝛼𝐹𝑗 con 𝑖 ̸= 𝑗
Propiedades por filas
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) se verifica:
1. 𝐸𝐹𝑖 ↔𝐹𝑗 𝐴 es la matriz que se obtiene de 𝐴 al intercambiar su fila 𝑖-ésima por su fila 𝑗-ésima.
2. 𝐸𝛼𝐹𝑖 𝐴 con 𝛼 ̸= 0 es la matriz que se obtiene de 𝐴 multiplicando su fila 𝑖-ésima por el escalar 𝛼.
3. 𝐸𝐹𝑖 +𝛼𝐹𝑗 𝐴 con 𝑖 ̸= 𝑗 es la matriz que se obtiene de 𝐴 sumando a su fila 𝑖-ésima 𝛼 veces su fila 𝑗-ésima.
Propiedades por columnas
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) se verifica:
′
1. 𝐴𝐸𝐹𝑖 ↔𝐹𝑗 = 𝐴𝐸𝐶
es la matriz que se obtiene de 𝐴 al intercambiar su columna 𝑖-ésima por su columna
𝑖 ↔𝐶𝑗
𝑗-ésima.
′
2. 𝐴𝐸𝛼𝐹𝑖 = 𝐴𝐸𝛼𝐶
con 𝛼 ̸= 0 es la matriz que se obtiene de 𝐴 multiplicando su columna 𝑖-ésima por el escalar
𝑖
𝛼.
′
3. 𝐴𝐸𝐹𝑖 +𝛼𝐹𝑗 = 𝐴𝐸𝐶
con 𝑖 ̸= 𝑗 es la matriz que se obtiene de 𝐴 sumando a su columna 𝑗-ésima 𝛼 veces su
𝑗 +𝛼𝐶𝑖
columna 𝑖-ésima.
Corolario
Las matrices elementales son no singulares y su inversa es de nuevo una matriz elemental.
Demostración
1.2. Matriz
9
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
𝐸𝐹𝑖 ↔𝐹𝑗 𝐸𝐹𝑖 ↔𝐹𝑗 = 𝐼 ⇒ (𝐸𝐹𝑖 ↔𝐹𝑗 )−1 = 𝐸𝐹𝑖 ↔𝐹𝑗
Con 𝛼 ̸= 0,
𝐸𝛼−1 𝐹𝑖 𝐸𝛼𝐹𝑖 = 𝐼 = 𝐸𝛼𝐹𝑖 𝐸𝛼−1
⏟
⏞
⇓
(𝐸𝛼𝐹𝑖 )−1 = 𝐸𝛼−1 𝐹𝑖
𝐸𝐹𝑖 −𝛼𝐹𝑗 𝐸𝐹𝑖 +𝛼𝐹𝑗 = 𝐼 = 𝐸𝐹𝑖 +𝛼𝐹𝑗 𝐸𝐹𝑖 −𝛼𝐹𝑗
⏟
⏞
⇓
(𝐸𝐹𝑖 +𝛼𝐹𝑗 )−1 = 𝐸𝐹𝑖 −𝛼𝐹𝑗
1.2.7 Escalonamiento de matrices
Definición
Una matriz 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) es escalonada por filas si
1. Si tiene filas de ceros están al final.
2.
Definición
El primer elemento no nulo de cada fila no nula se llamará pivote.
El pivote de cada fila está situado más a la derecha —i.e. en una columna posterior— que los pivotes de las filas
anteriores.
Definición
Una matriz 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) escalonada es escalonada reducida si todos los pivotes son 1 y además todos los otros
elementos de la columna en donde hay pivote son 0.
1.2.8 Matrices equivalentes
Definición
Dos matrices 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) son equivalentes por filas (𝐴 ∼𝑓 𝐵) si existen 𝐸1 , · · · , 𝐸𝑠 matrices elementales de
orden 𝑚 tal que 𝐴 = 𝐸𝑠 · · · 𝐸1 𝐵
Propiedades
Reflexiva:
𝐴 ∼𝑓 𝐴
Simétrica:
𝐴 ∼𝑓 𝐵 ⇔ 𝐵 ∼𝑓 𝐴
1.2. Matriz
10
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Transitiva:
𝐴 ∼𝑓 𝐵
𝐴 ∼𝑓 𝐶
}︂
⇒ 𝐴 ∼𝑓 𝐶
Teorema
𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
𝐴 es equivalente por filas con alguna matriz escalonada y con una única matriz escalonada reducida.
Proposición
Sean 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝑛 (K) equivalentes por filas (𝐴 ∼𝑓 𝐵). Se verifica:
𝐴 es no singular ⇔ 𝐵 es no singular
Demostración
”⇒”
𝐴 ∼𝑓 𝐵 ⇔ ∃𝐸1 , · · · , 𝐸𝑠 matrices elementales / (𝐸𝑠 · · · 𝐸1 𝐴)1 = 𝐵 ∧ 𝐵 −1 = (𝐸𝑠 · · · 𝐸1 𝐴)−1 = 𝐴−1 𝐸1−1 · · · 𝐸𝑠−1
”⇐”
Como 𝐴 ∼𝑓 𝐵 ⇔ 𝐵 ∼𝑓 𝐴 se aplica el mismo razonamiento.
1 ↦→ Es no singular por ser producto de no singulares.
Observación
Sea 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K)
𝐴 tiene una fila nula —i.e. una fila de ceros
⇓
𝐴 no tiene inversa
Proposición
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K) escalonada reducida
𝐴 no singular ⇔ 𝐴 = 𝐼𝑛
Demostración
}︂
𝐴 no singular ⇒ 𝐴 no tiene ninguna fila nula
𝐴 escalonada
⏟
⏞
⇓
número de pivotes = número de filas = 𝑛 = número de columnas
⇓
⎛
1 0
⎜0 1
⎜
⎜ ..
𝐴 reducida, 𝐴 = ⎜
⎜. 0
⎜. .
⎝ .. ..
0 0
1.2. Matriz
···
0
..
.
..
.
···
⎞
··· 0
· · · 0⎟
⎟
..
.. ⎟
.
.⎟
⎟ = 𝐼𝑛
.. ⎟
..
. .⎠
0
1
11
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Observación
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K) se verifica
𝐴 matriz escalonada ∧ 𝐴 no singular.
⇓
No tiene filas de ceros, es decir, en todas las filas hay un pivote.
⇓
Hay 𝑛 pivotes.
⇓
En cada columna hay un pivote.
⇓
𝐴 es trangular superior.
Proposición
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K)
𝐴 no singular ⇔ 𝐴 ∼𝑓 𝐼𝑛
Demostración
”⇒”
∃!𝐵 ∈ ℳ𝑛 (K) escalonada reducida / 𝐴 ∼𝑓 𝐵
𝐴 no singular ⇒ 𝐵 no singular
}︂
⇒ 𝐵 = 𝐼𝑛
”⇐”
}︂
𝐴 ∼𝑓 𝐼 𝑛
⇒ 𝐴 es no singular
𝐼𝑛 es no singular
Escalonamiento de matrices por filas utilizando matrices elementales
Operaciones elementales permitidas para escalonar matrices:
Matriz elemental
𝐸𝐹𝑖 ↔𝐹𝑗
𝐸𝛼𝐹𝑖 con 𝛼 ∈ K y 𝛼 ̸= 0
𝐸𝐹𝑖 +𝛼𝐹𝑗 con 𝑖 ̸= 𝑗 y 𝛼 ∈ K
Operación elemental
Intercambiar la fila 𝑖 por la fila 𝑗.
Multiplicar la fila 𝑖 por un escalar no nulo.
Sumarle a una fila un múltiplo de otra.
1.2.9 Cálculo de la inversa de una matriz
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K) no singular
∃𝐸1 , · · · , 𝐸𝑠 / 𝐸𝑠 · · · 𝐸1 𝐴 = 𝐵 escalonada reducida = 𝐼𝑛
Es decir, existen 𝑡1 , · · · , 𝑡𝑠 transformaciones elementales en filas que aplicadas sucesivamente transforman 𝐴 en una
matriz escalonada reducida.
1.2. Matriz
12
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Ejemplo
𝐴=
(︂
1
3
2
4
)︂
(︂
−−−−−→
𝐹2 −3𝐹1
1
0
(︂
)︂
2
1
−−−→
−2 −1
0
2 𝐹2
)︂
(︂
2
1
−−−−−→
1 𝐹1 −2𝐹2 0
0
1
)︂
= 𝐼2
O, lo que es lo mismo,
𝐸𝐹1 −2𝐹2 𝐸 −1 𝐹2 𝐸𝐹2 −3𝐹1 𝐴 = 𝐼2
2
⏟
⏞
⇓
𝐸𝐹1 −2𝐹2 𝐸 −1 𝐹2 𝐸𝐹2 −3𝐹1 = 𝐴−1
2
(︂
𝐼2 −−−−−→
𝐹2 −3𝐹1
1
−3
(︂
)︂
1
0
−−1
−−→ 3
1
𝐹
2
2
2
0
−1
2
)︂
−−−−−→
𝐹1 −2𝐹2
(︂
−2
3
2
1
−1
2
)︂
= 𝐴−1
Por lo que, si 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K) es no singular, para calcular su inversa basta con ampliar 𝐴 con la identidad y transformar
la parte de 𝐴 hasta convertirla en la identidad —de este modo la parte que inicialmente era la identidad se habrá
transformado en 𝐴−1 , es decir
(︀ ⃒
)︀
(𝐴|𝐼𝑛 ) −→ · · · −→ 𝐼𝑛 ⃒𝐴−1
𝑡1
𝑡𝑠
1.2.10 Rango por filas
Definición
Sea 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
Se define el rango por filas de 𝐴, 𝑟𝑓 (𝐴), como el número de pivotes de cualquier matriz escalonada equivalente por
filas con 𝐴.
Nota: Toda matriz escalonada equivalente con 𝐴 tiene el mismo número de pivotes.
Si 𝐵 es escalonada entonces el número de pivotes de 𝐵 es igual al número de pivotes de la única matriz escalonada
reducida equivalente por filas con 𝐵.
Con 𝐵 escalonada,
𝑏𝑖𝑗 pivote de 𝐵 ⇔ 𝑏𝑖𝑗 ̸= 0
Para pasar de 𝐵 a la escalonada reducida:
1.
1
𝑏𝑖𝑗 𝐹𝑖
—todos los pivotes pasan a ser 1.
2. 𝐹𝑘 − 𝑏𝑘𝑗 𝐹𝑖 ∀𝑘 < 𝑖 —la cual es una operación que conserva el número de pivotes.
Ejemplo
⎛
2
⎝0
0
1.2. Matriz
⎛
⎞
⎛
⎞
⎞
1
1 23 12 12
1 32 21 12
2⎠ −1−−−−1−−−−1−→ ⎝0 0 1 27 ⎠ −−−−2−→ ⎝0 0 1 0 ⎠ → · · ·
2 𝐹1 ; 7 𝐹2 ; 5 𝐹3
5
0 0 0 1
0 0 0 1 𝐹2 − 7 𝐹3
⎛
⎞
⎛
⎞
3
1
3
1 2 2 0
1 2 0 0
· · · −−−−1−→ ⎝0 0 1 0⎠ −−−−1−→ ⎝0 0 1 0⎠ escalonada reducida
𝐹1 − 2 𝐹3
0 0 0 1 𝐹1 − 2 𝐹2
0 0 0 1
3
0
0
1
7
0
13
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Corolario
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K)
𝐴 no singular ⇔ 𝐴 ∼𝑓 𝐼𝑛 ⇔ 𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑛
1.2.11 Determinantes
Con 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ ℳ2 (K) se define el determinante de 𝐴 como
⃒
⃒
⃒𝑎
𝑎12 ⃒⃒
= 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12
det(𝐴) = ⃒⃒ 11
𝑎21 𝑎22 ⃒
Definición
Sea 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K)
Si 𝑛 = 1 se define |𝐴| := 𝑎11
Si 𝑛 > 1
|𝐴| := 𝑎11 𝛼11 + · · · + 𝑎𝑛1 𝛼𝑛1
siendo
𝛼𝑖1 := (−1)𝑖+1 |𝐴𝑖1 | adjunto del elemento 𝑎𝑖1
y
𝐴𝑖𝑗 := matriz obtenida de 𝐴 eliminando la fila 𝑖 y la columna 𝑗
Lo que se conoce como el desarrollo de Laplace por la 1ª columna.
Desarrollo de Laplace por la fila 𝑖-ésima
Se verifica que
|𝐴| = 𝑎𝑖1 𝛼𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝛼𝑖2 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝛼𝑖𝑛
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
Determinante de una matriz triangular superior
Definición
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K) triangular superior se verifica
|𝐴| = 𝑎11 𝑎22 · · · 𝑎𝑛𝑛
Demostración
Por inducción en 𝑛
1.2. Matriz
14
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Si 𝑛 = 1
|𝐴| = 𝑎11
Si 𝑛 > 1 la fórmula es cierta para 𝑛 − 1.
Caso general:
⎛
𝑎11
⎜ 0
⎜
⎜ ..
𝐴=⎜
⎜ .
⎜ .
⎝ ..
0
···
𝑎22
0
..
.
0
⎞
··· ··· ···
··· ··· ···⎟
⎟
..
.. ⎟
..
.
.
. ⎟
⎟
..
.. ⎟
..
.
.
. ⎠
0
0 𝑎𝑛𝑛
Por lo que tenemos que el desarrollo de Laplace por la 1ª columna es
|𝐴| = 𝑎11 (−1)1+1 |𝐴11 | = 𝑎11 𝑎22 · · · 𝑎𝑛𝑛
Con
𝐴11 ∈ ℳ𝑛−1 (K)
Corolario
|𝐼𝑛 | = 1
Propiedades de los determinantes
1.
⎫
𝐴, 𝐴′ , 𝐴′′ ∈ ℳ𝑛 (K)
⎬
∃𝑖 / 𝐹𝑖 (𝐴) = 𝐹𝑖 (𝐴′ ) + 𝐹𝑖 (𝐴′′ )
⇒ |𝐴| = |𝐴′ | + |𝐴′′ |
⎭
′
′′
𝐹𝑗 (𝐴) = 𝐹𝑗 (𝐴 ) = 𝐹𝑗 (𝐴 ) ∀𝑗 ̸= 𝑖
Ejemplo
⎛
1
𝐴 = ⎝4
7
2
5
8
⎞
3
6⎠
9
⎛
1
𝐴′ = ⎝3
7
2
2
8
⎞
3
5⎠
9
⎛
1
𝐴′′ = ⎝1
7
2
3
8
⎞
3
1⎠
9
2.
𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K) tiene dos filas iguales ⇒ |𝐴| = 0
3. Si se intercambian dos filas de 𝐴 el determinante cambia de signo.
4. Si multiplicamos una fila de 𝐴 por un escalar 𝛽 ∈ K, el determinante de la nueva matriz es
𝛽|𝐴|
Luego,
𝐴 tiene una fila de 0 ⇒ |𝐴| = 0
1.2. Matriz
15
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
5. Si a la fila 𝑖-ésima de 𝐴 le sumamos 𝛼 veces la fila 𝑗-ésima —con 𝑖 ̸= 𝑗—, entonces el valor del determinante
no varía.
Demostración de la propiedad 3 utilizando las propiedades 1 y 2
⃒
⃒
⃒
⃒
𝐹1 (𝐴)
⃒
⃒
⃒
⃒
..
⃒
⃒
.
⃒
⃒
𝑖 → ⃒⃒𝐹𝑖 (𝐴) + 𝐹𝑗 (𝐴)⃒⃒
= 0 (El determinante es 0 por tener la matriz dos filas iguales)
𝑗 → ⃒⃒𝐹𝑗 (𝐴) + 𝐹𝑖 (𝐴)⃒⃒
⃒
⃒
..
⃒
⃒
.
⃒
⃒
⃒
⃒
𝐹𝑛 (𝐴)
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒ 𝐹1 (𝐴) ⃒ ⃒ 𝐹1 (𝐴) ⃒ ⃒ 𝐹1 (𝐴) ⃒ ⃒ 𝐹1 (𝐴) ⃒
⃒ ⃒
⃒
𝐹1 (𝐴)
𝐹1 (𝐴)
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒ .. ⃒ ⃒ .. ⃒ ⃒ .. ⃒ ⃒ .. ⃒
⃒ ⃒
⃒
..
..
⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒
⃒ ⃒
⃒
.
.
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒ 𝐹𝑖 (𝐴) ⃒ ⃒ 𝐹𝑖 (𝐴) ⃒ ⃒ 𝐹𝑗 (𝐴) ⃒ ⃒ 𝐹𝑗 (𝐴) ⃒
⃒ ⃒
⃒
𝐹𝑗 (𝐴)
𝐹𝑖 (𝐴)
𝑖→⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒ .. ⃒ ⃒ .. ⃒ ⃒ .. ⃒ ⃒ .. ⃒
⃒ ⃒
⃒
..
..
+
=
+
=
+
⃒=0
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
.
.
⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒
⃒ ⃒
⃒
𝑗 → ⃒𝐹𝑗 (𝐴) + 𝐹𝑖 (𝐴)⃒ ⃒𝐹𝑗 (𝐴) + 𝐹𝑖 (𝐴)⃒ ⃒ 𝐹𝑗 (𝐴) ⃒ ⃒ 𝐹𝑖 (𝐴) ⃒ ⃒ 𝐹𝑗 (𝐴) ⃒ ⃒ 𝐹𝑖 (𝐴) ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒
⃒ ⃒
⃒
..
..
.
.
.
.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
.
.
⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒ ⃒ . ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝐹𝑛 (𝐴)⃒
𝐹𝑛 (𝐴)
𝐹𝑛 (𝐴)
𝐹𝑛 (𝐴)
𝐹𝑛 (𝐴)
𝐹𝑛 (𝐴)
1.2.12 Determinantes y matrices equivalentes
Con 𝐴, 𝐸 ∈ ℳ𝑛 (K) / 𝐸 elemental
|𝐸𝐴| = |𝐸||𝐴|
Observaciones
1.
𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K) no singular ⇔ 𝐴 ∼𝑓 𝐼𝑛 ⇔ 𝐼𝑛 ∼𝑓 𝐴 ⇔ ∃𝐸1 , · · · , 𝐸𝑟 ∈ ℳ𝑛 (K) elementales / 𝐸𝑟 · · · 𝐸1 𝐼𝑛 = 𝐴
⏟
⏞
⇓
|𝐴| = |𝐸𝑟 · · · 𝐸1 | = |𝐸𝑟 ||𝐸𝑟−1 · · · 𝐸1 | = |𝐸𝑟 ||𝐸𝑟−1 | · · · |𝐸1 | =
̸ 0
2.
𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K) singular ⇔ 𝐴 ∼𝑓 𝐴′ ⇔ 𝐴′ ∼𝑓 𝐴
⏞
⏟
𝐴′ escalonada reducida
⇕
Número de pivotes de 𝐴′ < 𝑛
∃𝐸1 , · · · , 𝐸𝑠 ∈ ℳ𝑛 (K) elementales / 𝐴 = 𝐸𝑠 · · · 𝐸1 𝐴′
(𝐴′ tiene alguna fila de ceros)
⇓
|𝐴| = |𝐸𝑠 · · · 𝐸1 𝐴′ | = |𝐸𝑠 ||𝐸𝑠−1 𝐴′ | = |𝐸𝑠 | · · · |𝐸2 ||𝐸1 𝐴′ | = |𝐸𝑠 | · · · |𝐸1 ||𝐴′ | =1 0
1 ↦→ |𝐴′ | = 0
Proposición
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K)
𝐴 no singular ⇔ |𝐴| =
̸ 0
1.2. Matriz
16
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Teorema
Con 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝑛 (K)
|𝐴𝐵| = |𝐴||𝐵|
Demostración
Caso 1:
𝐴 no singular
⇕
∃𝐸1 , · · · , 𝐸𝑟 elementales /
𝐸𝑟 · · · 𝐸1 = 𝐴
∧
|𝐴𝐵| = |𝐸𝑟 · · · 𝐸1 𝐵| = |𝐸𝑟 | · · · |𝐸𝑟−1 𝐵| = · · · = |𝐸𝑟 | · · · |𝐸2 ||𝐸1 𝐵| = (|𝐸𝑟 | · · · |𝐸2 ||𝐸1 |)1 |𝐵| = |𝐴||𝐵|
Caso 2:
𝐴 singular
⇕
∃𝐸1 , · · · , 𝐸𝑠 elementales /
∃𝐴′ ∈ ℳ𝑛 (K) matriz con alguna fila de ceros /
𝐴 = 𝐸𝑠 · · · 𝐸1 𝐴′ ∧ 𝐴𝐵 = (𝐸𝑠 · · · 𝐸1 𝐴′ )𝐵 = 𝐸𝑠 · · · 𝐸1 (𝐴′ 𝐵)2
⏞
⏟
⇓
𝐴𝐵 ∼𝑓 (𝐴′ 𝐵)2
⇕
𝐴𝐵 singular
⇓
|𝐴||𝐵| = |𝐴𝐵| = 0
1 ↦→ |𝐸𝑟 | · · · |𝐸2 ||𝐸1 | = |𝐴|
2 ↦→ 𝐴′ 𝐵 es una matriz con una fila de ceros
1.2.13 Determinantes y matrices traspuestas
Observación
(𝐸𝐹𝑖 ↔𝐹𝑗 )𝑡 = 𝐸𝐶𝑖 ↔𝐶𝑗 = 𝐸𝐹𝑖 ↔𝐹𝑗
Con 𝛼 ̸= 0, (𝐸𝛼𝐹𝑖 )𝑡 = 𝐸𝛼𝐶𝑖 = 𝐸𝛼𝐹𝑖
Con 𝑖 ̸= 𝑗, (𝐸𝐹𝑖 +𝛼𝐹𝑗 )𝑡 = 𝐸𝐶𝑖 +𝛼𝐶𝑗 = 𝐸𝐹𝑗 +𝛼𝐹𝑖
Nota: En este último caso la matriz elemental traspuesta no coincide con la original, aunque siguen teniendo el
mismo determinante.
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K)
|𝐴| = |𝐴𝑡 |
Demostración
1.2. Matriz
17
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
𝐴 no singular ⇔ 𝐴𝑡 no singular
(𝐴−1 )𝑡 = (𝐴𝑡 )−1
𝐴 singular ⇔ 𝐴𝑡 singular
⎫
𝐴 singular ⇔ |𝐴| = 0 ⎬
⇕
⎭
𝐴𝑡 singular ⇔ |𝐴𝑡 | = 0
𝐴 no singular
⇕
⏞
⏟
∃𝐸1 , · · · , 𝐸𝑠 matrices elementales / 𝐴 = 𝐸𝑠 · · · 𝐸1 ⇒ |𝐴| = |𝐸𝑠 | · · · |𝐸1 | = |𝐸𝑠𝑡 | · · · |𝐸1𝑡 | = |𝐸1𝑡 · · · 𝐸𝑠𝑡 | = |𝐴𝑡 |
|𝐸𝑖 | = |𝐸𝑖𝑡 |
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑠
𝐴𝑡 = (𝐸𝑠 · · · 𝐸1 )𝑡 = 𝐸1𝑡 · · · 𝐸𝑠𝑡
Corolario
Con 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ ℳ𝑛 (K)
|𝐴| = 𝑎11 𝛼11 + 𝑎12 𝛼12 + · · · + 𝑎1𝑛 𝛼1𝑛
(Desarrollo de Laplace por la 1ª fila)
Demostración
|𝐴| = |𝐴𝑡 | = 𝑎11 (−1)1+1 |(𝐴𝑡 )11 | + · · · + 𝑎1𝑛 (−1)1+𝑛 |(𝐴𝑡 )𝑛1 | = 𝑎11 (−1)1+1 |𝐴11 | + · · · + 𝑎1𝑛 (−1)1+𝑛 |𝐴1𝑛 |
(𝐴𝑡 )𝑖1 = (𝐴1𝑖 )𝑡 ⇒ |(𝐴𝑡 )𝑖1 | = |(𝐴1𝑖 )𝑡 | = |𝐴1𝑖 |
Proposición
|𝐴| = 𝑎𝑖1 𝛼𝑖1 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝛼𝑖𝑛
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
|𝐴| = 𝑎1𝑗 𝛼1𝑗 + · · · + 𝑎𝑛𝑗 𝛼𝑛𝑗
∀𝑗 = 1, · · · , 𝑛
Por lo que las propiedades de los determinantes enunciadas en Propiedades de los determinantes son aplicables también por columnas.
Proposición
Con 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ ℳ𝑛 (K) no singular
⎛
𝐴−1
𝛼11
⎜ 𝛼12
1
1 ⎜
= |𝐴|
(adj(𝐴))𝑡 = |𝐴|
⎜ ..
⎝ .
···
···
⎞
𝛼𝑛1
𝛼𝑛2 ⎟
⎟
.. ⎟
. ⎠
𝛼1𝑛
···
𝛼𝑛𝑛
adj(𝐴) = (𝛼𝑖𝑗 )
𝛼𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 |𝐴𝑖𝑗 |
1.2. Matriz
18
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Demostración
Con 𝐵 :=
1
|𝐴|
adj(𝐴)𝑡
𝐵 = 𝐴−1 ⇔ 𝐴𝐵 = 𝐼𝑛
⎫
𝐴𝐵(𝑖, 𝑖) = 𝑎𝑖1 𝐵(1, 𝑖) + 𝑎𝑖2 𝐵(2, 𝑖) + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝐵(𝑛, 𝑖) ⎬
𝐵(1, 𝑖) =
⏟
1
𝑡
|𝐴| (adj𝐴) (1, 𝑖)
1
1
𝛼𝑖1 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 |𝐴|
𝛼𝑖𝑛
𝐴𝐵(𝑖, 𝑖) = 𝑎𝑖1 |𝐴|
1
1
= |𝐴|
adj(𝐴)(𝑖, 1) = |𝐴|
𝛼𝑖1 ⎭
⏞
⇓
1
= |𝐴|
(𝑎𝑖1 𝛼𝑖1 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝛼𝑖𝑛 )1 =
1
|𝐴| |𝐴|
=1
∀ 𝑖 ̸= 𝑗 𝐴𝐵(𝑖, 𝑗) = 02
1 ↦→ Es el desarrollo de Laplace por la fila 𝑖-ésima.
2 ↦→ Pendiente de demostrar.
Proposición
El desarrollo del determinante usando la regla de Laplace se puede hacer por cualquier fila o columna.
Demostración
Con 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ ℳ𝑛 (K)
⎛
⎞
𝑎2𝑛
𝑎1𝑛 ⎟
⎟
𝑎3𝑛 ⎟
⎟
.. ⎟
. ⎠
𝑎21
⎜ 𝑎11
⎜
⎜
𝐴′ := 𝐸𝐹1 ↔𝐹2 𝐴 = ⎜ 𝑎31
⎜ ..
⎝ .
···
···
···
𝑎2𝑗
𝑎1𝑗
···
..
.
···
···
···
𝑎𝑛1
···
···
· · · 𝑎𝑛𝑛
(︁
)︁
|𝐴| = −|𝐴′ | = − 𝑎21 (−1)1+1 |𝐴21 | + · · · + 𝑎2𝑛 (−1)1+𝑛 |𝐴2𝑛 | = 𝑎21 (−1)2+1 |𝐴21 | + · · · + 𝑎2𝑛 (−1)2+𝑛 |𝐴2𝑛 |
1.2. Matriz
19
CAPÍTULO 2
Tema 2
2.1 Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal sobre el cuerpo K con 𝑛 incognitas —o variables— 𝑥1 , · · · , 𝑥𝑛 es una expresión de la forma
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + · · · + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏
𝑎𝑖 ∈ K ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
𝑏∈K
Los elementos 𝑎𝑖 se llamarán coeficientes, mientras que 𝑏 es el término independiente.
Ejemplo
𝑥+𝑦 =0
Un elemento (𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ) ∈ K𝑛 es una solución de una ecuación lineal si se verifica
𝑎1 𝛼1 + · · · + 𝑎𝑛 𝛼𝑛 = 𝑏
Definición
Un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes en K y con 𝑛 incógnitas —o variables— 𝑥1 , · · · , 𝑥𝑛 es
⎫
𝑎11 𝑥1 + · · · + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 ⎪
⎪
⎪
𝑎21 𝑥1 + · · · + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⎬
..
⎪
.
⎪
⎪
⎭
𝑎𝑚1 𝑥1 + · · · + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
𝑎𝑖𝑗 ∈ K ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑚
∀𝑗 = 1, · · · , 𝑛
𝑏𝑖 ∈ K ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑚
Es decir, 𝑚 ecuaciones con coeficientes en K en las mismas 𝑛 incógnitas.
(𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ) ∈ K𝑛 es solución del sistema si es la solución de cada una de las 𝑚 ecuaciones lineales que lo
forman.
Si 𝑏𝑗 = 0 ∀𝑗 = 1, · · · , 𝑚 se dice que el sistema es homogéneo.
Si el sistema tiene solución se dice que es compatible, y será
• Compatible Determinado si la solución es única.
20
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
• Compatible Indeterminado si tiene más de una solución.
Si el sistema no tiene solución se dice que es Incompatible.
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) es la matriz de coeficientes del sistema.
⎛ ⎞
𝑏1
⎜ 𝑏2 ⎟
⎜ ⎟
𝑏 = ⎜ . ⎟ ∈ ℳ𝑚×1 es la matriz de términos independientes del sistema.
⎝ .. ⎠
𝑏𝑚
⎛
⎞
𝑥1
⎜ 𝑥2 ⎟
⎜ ⎟
𝐴𝑥 = 𝑏 es la expresión matricial del sistema —con 𝑥 = ⎜ . ⎟
⎝ .. ⎠
𝑥𝑛
(𝐴|𝑏) ∈ ℳ𝑚×(𝑛+1) es la matriz ampliada del sistema.
Definición
Dos sistemas 𝑆 y 𝑆 ′ de ecuaciones lineales en K en las mismas 𝑛 incógnitas —𝑥1 , · · · , 𝑥𝑛 — son equivalentes si tienen
el mismo conjunto de soluciones.
Nota: Si ambos son incompatibles tienen el mismo conjunto de soluciones.
Definición
Dado un sistema 𝐴𝑥 = 𝐵, el sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada se obtiene de (𝐴|𝐵) después de una sucesión
finita de operaciones elementales en filas, es un sistema equivalente a 𝐴𝑥 = 𝐵.
Demostración
(𝐴|𝐵) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 𝐸(𝐴|𝐵) = (𝐸𝐴|𝐸𝐵)
Op. elemental en filas con la matriz elemental 𝐸
(𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ) ∈ K𝑛 es solución de 𝐴𝑥 = 𝐵
⎛ ⇕⎞
𝛼1
⎜ .. ⎟
𝐴⎝ . ⎠ = 𝐵
𝛼𝑛
⎛ ⇕⎞
𝛼1
⎜ .. ⎟
𝐸𝐴 ⎝ . ⎠ = 𝐸𝐵
𝛼𝑛
⇕
(𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ) ∈ K𝑛 es solución de (𝐸𝐴)𝑥 = 𝐸𝐵
Definición
El sistema 𝐴𝑥 = 𝐵 es escalonado si la matriz 𝐴 es escalonada.
A las incógnitas —o variables— correspondientes a las columnas de los pivotes se les llama incógnitas principales, y
a las otras incógnitas libres.
2.1. Sistemas de ecuaciones lineales
21
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Corolario
Todo sistema 𝐴𝑥 = 𝐵 es equivalente a un sistema escalonado.
Demostración
(𝐴|𝐵) es equivalente a una matriz escalonada (𝐴′ |𝐵 ′ ), entonces los sistemas 𝐴𝑥 = 𝐵 y 𝐴′ 𝑥 = 𝐵 ′ son equivalentes.
2.1.1 Método de Gauss
Para resolver el sistema 𝐴𝑥 = 𝐵
1. Escalonamos la matriz (𝐴|𝐵), obteniendo la matriz equivalente (𝐴′ |𝐵 ′ ).
2. Resolvemos 𝐴′ 𝑥 = 𝐵 ′ con el método de substitución hacia atrás. Si no es posible, el sistema no tiene solución.
2.1.2 Discusión de un sistema escalonado
1. Si existe un pivote en la última columna de la matriz ampliada, es decir 𝑟𝑓 (𝐴) =
̸ 𝑟𝑓 (𝐴|𝐵), el sistema es
incompatible, ya que existe una ecuación de la forma 0𝑥1 + · · · + 0𝑥𝑛 = 𝑏𝑠 ̸= 0 —siendo 𝑏𝑠 el pivote de la
columna 𝐵.
2. Si no hay pivote en la última columna de la matriz ampliada, es decir 𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑟𝑓 (𝐴|𝐵), el sistema es compatible:
a)
𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑟𝑓 (𝐴|𝐵) = número de incógnitas ⇒ Sistema Compatible Determinado
b)
𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑟𝑓 (𝐴|𝐵) < número de incógnitas
⇓
Existen 𝑛 − 𝑟𝑓 (𝐴) variables libres
⇓
Sistema Compatible Indeterminado
Proposición
Con 𝐴𝑥 = 𝐵 sistema de 𝑛 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas
El sistema es compatible y determinado ⇔ 𝐴 es no singular
Demostración
”⇐”
𝐴𝑥 = 𝐵
𝐴 no singular
}︂
⇒ 𝐴−1 𝐴𝑥 = 𝐴−1 𝐵 = 𝐴−1 𝐴𝑥 = 𝑥
”⇒”
𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑟𝑓 (𝐴|𝐵) = 𝑛 ⇒ 𝐴 ∼𝑓 𝐼𝑛 ⇒ 𝐴 es no singular
2.1. Sistemas de ecuaciones lineales
22
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
2.1.3 Regla de Cramer
Con 𝐴𝑥 = 𝐵 Sistema Compatible Determinado
𝑥𝑖 =
⃒
⃒ 𝑎11
⃒
⃒ ..
⃒ .
⃒
⃒𝑎𝑛1
···
···
···
𝑖
↓
𝑏1
..
.
⃒
𝑎1𝑛 ⃒⃒
.. ⃒
. ⃒⃒
𝑎𝑛𝑛 ⃒
···
···
𝑏𝑛 · · ·
|𝐴|
Demostración
𝐴−1 =
1
𝑡
|𝐴| (adj𝐴)
⎛
⎞
𝑥1
⎜ .. ⎟
⎝ . ⎠ = 𝐴−1 𝐵
𝑥𝑛
𝑥𝑖 = 𝑋(𝑖, 1) = (𝐴−1 𝐵)(𝑖, 1) =
𝑛
∑︁
𝐴−1 (𝑖, 𝑘)𝐵(𝑘, 1)
𝑘=1
Observación
−−−−−−→ (adj 𝐴)𝑡 (𝑖, 𝑘) = (adj 𝐴)(𝑘, 𝑖) = 𝛼𝑘𝑖
𝑛
𝑥𝑖 =
2.1. Sistemas de ecuaciones lineales
1 ∑︁
𝛼𝑘𝑖 𝑏𝑘
|𝐴|
𝑘=1
⏟
⏞
Desarrollo de
Laplace por la
columna 𝑖
23
CAPÍTULO 3
Tema 3
3.1 Espacios Vectoriales
R3
R𝑛
C3
C𝑛
ℳ𝑚×𝑛 (R)
Q3
Q𝑛
ℳ𝑚×𝑛 (K)
+ operación interna que cumple
⎫ las siguientes propiedades
asociativa ⎪
⎪
⎬
elemento neutro
Grupo Abeliano
opuesto
⎪
⎪
⎭
conmutativa
Definición
Con 𝑉 conjunto no vacío y K cuerpo, se dice que 𝑉 es un K-espacio vectorial si verifica
1. (𝑉, +) es un Grupo Abeliano.
2. La multiplicación por escalares,
K×𝑉 →𝑉
(𝛼, 𝑣)
𝛼𝑣
verifica las siguientes propiedades:
∀ 𝛼, 𝛽 ∈ K
∀ 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
a) (𝛼 + 𝛽)𝑣 = 𝛼𝑣 + 𝛽𝑣
b) 𝛼(𝑣 + 𝑤) = 𝛼𝑣 + 𝛼𝑤
c) (𝛼𝛽)𝑣 = 𝛼(𝛽𝑣)
d) 1𝑣 = 𝑣
Nota: A los elementos de 𝑉 se les llama vectores y a los elementos del cuerpo K se les llama escalares.
Ejemplo
{︀
}︀
𝑈 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 / 𝑧 = 0 ⊂ R3
24
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Definición
Con 𝑉 K-espacio vectorial, un subconjunto no vacío 𝑈 de 𝑉 es un subespacio vectorial de 𝑉 si
1. ∀𝑢, 𝑢′ ∈ 𝑈
𝑢 + 𝑢′ ∈ 𝑈
2. ∀𝑢 ∈ 𝑈 ∀𝛼 ∈ K 𝛼𝑢 ∈ 𝑈
Ejemplo
{︀
}︀
𝑈 ′ = (𝑥, 𝑦) ∈ R2 / 𝑥 = 𝑦 − 1 ⊂ R2
𝑈 ′ no es un subespacio vectorial de R2 ya que
(0, 1) ∈ 𝑈 ′ ∧ 0 ∈ R ∧ 0(0, 1) ∈
/ 𝑈′
3.1.1 Propiedades
Con 𝑉 K-espacio vectorial, 0 el cero escalar y 0𝑉 el cero vectorial se verifica
1. 𝛼𝑣 = 0𝑉 ⇔ 𝛼 = 0 ∨ 𝑣 = 0𝑉
∀𝛼 ∈ K, ∀𝑣 ∈ 𝑉
Demostración
”⇐”
Con 𝛼 = 0,
0𝑣 = (0 + 0)𝑣 = 0𝑣 + 0𝑣
0 = −(0𝑣) + 0𝑣 + 0𝑣 = 0 + 0𝑣 = 0𝑣
”⇒”
𝛼𝑣 = 0𝑉
𝛼 ̸= 0
}︂
⎫
𝛼𝑣 = 0𝑉 ⎬
⇒ 𝑣 = 0𝑉 ya que 𝛼 ̸= 0
⇒ 𝛼−1 (𝛼𝑣) = (𝛼−1 𝛼)𝑣 = 1𝑣 = 0𝑉 ⇔ 𝑣 = 0𝑉
⎭
−1
∃𝛼 ∈ K
2. (−𝛼)𝑣 = −(𝛼𝑣) = 𝛼(−𝑣) ∀𝛼 ∈ K, ∀𝑣 ∈ 𝑉
3. 𝛼𝑣 = 𝛽𝑣 ⇒ 𝛼 = 𝛽
∀𝛼, 𝛽 ∈ K, 𝑣 ̸= 0𝑉 ∈ 𝑉
3.1.2 Combinaciones lineales
Definición
Con 𝑉 K-espacio vectorial y 𝑆 ̸= ∅ subconjunto de 𝑉 , una combinación lineal de elementos de 𝑆 es un vector de la
forma 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑟 + 𝑣𝑟 en donde 𝛼1 , · · · , 𝛼𝑟 ∈ K y 𝑣1 , · · · , 𝑣𝑟 ∈ 𝑆.
Ejemplo
𝑉 = R2
𝑆 = {(1, 1), (1, 0), (0, −1)}
(3, 7) = 2(1, 1) + (1, 0) − 5(0, −1) = 7(1, 1) − 4(1, 0)
Definición
3.1. Espacios Vectoriales
25
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
{︂
⟨𝑆⟩ :=
⧸︂
𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛
𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ∈ K
𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ∈ 𝑆
}︂
⊂𝑉
es el menor subespacio vectorial de 𝑉 que contiene al conjunto 𝑆. Este espacio vectorial se llama subespacio de 𝑉
generado por el conjunto 𝑆.
Ejemplo
∅=
̸ 𝑆 = {(1, 1)} ⊂ R2
⟨(1, 1)⟩ = {𝛼(1, 1)/𝛼 ∈ R} = {(𝛼, 𝛼)/𝛼 ∈ R}
Demostración
(1)
𝑆 ⊂ ⟨𝑆⟩
𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 = 1𝑢 ∈ ⟨𝑆⟩
(2)
⟨𝑆⟩ subespacio de 𝑉
∅=
̸ ⟨𝑆⟩ ⊂ 𝑉 ya que 𝑆 ̸= ∅ ∧ 𝑆 ⊂ ⟨𝑆⟩
(3)
Menor subespacio de 𝑉 que contiene a 𝑆
Si 𝑈 es un subespacio de 𝑉 / 𝑆 ⊂ 𝑈 ⇒? ⟨𝑆⟩ ⊂ 𝑈
𝛼𝑖 ∈ K ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
⎫
𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 ⎬
𝑣𝑖 ∈ 𝑆 ⊂ 𝑈 ⇒ 𝑣𝑖 ∈ 𝑈 ⇒ 𝛼𝑖 𝑣𝑖 ∈ 𝑈 ⇒ 𝛼𝑖 𝑣𝑖 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 ∈ 𝑈
⎭
Proposición
Con 𝑆 y 𝑆 ′ subconjuntos no vacíos de 𝑉
⟨𝑆⟩ = ⟨𝑆 ′ ⟩ ⇔
{︂
𝑆 ⊂ ⟨𝑆 ′ ⟩
𝑆 ′ ⊂ ⟨𝑆⟩
Ejemplo
⟨𝑆⟩ = ⟨(1, 1), (0, −1)⟩ = ⟨(1, 0), (0, −1), (3, 4)⟩ = ⟨𝑆 ′ ⟩
Demostración
”⇒”
𝑆 ⊂ ⟨𝑆⟩ = ⟨𝑆 ′ ⟩
𝑆 ′ ⊂ ⟨𝑆 ′ ⟩ = ⟨𝑆⟩
”⇐”
⎫
⟨𝑈 ⟩ es el menor subespacio vectorial que contiene a 𝑈 ⎬
𝑆 ⊂ ⟨𝑆 ′ ⟩ ⇒ ⟨𝑆⟩ ⊂ ⟨𝑆 ′ ⟩
⇒ ⟨𝑆⟩ = ⟨𝑆 ′ ⟩
⎭
𝑆 ′ ⊂ ⟨𝑆⟩ ⇒ ⟨𝑆 ′ ⟩ ⊂ ⟨𝑆⟩
Observación
Con ∅ =
̸ 𝑆 =𝑉 y𝑢∈𝑉
⟨𝑆⟩ = ⟨𝑆 ∪ {𝑢}⟩ ⇔ 𝑢 ∈ ⟨𝑆⟩
3.1. Espacios Vectoriales
26
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Demostración
{︂
⟨𝑆⟩ = ⟨𝑆 ∪ {𝑢}⟩ ⇔
𝑆 ⊂ ⟨𝑆 ∪ {𝑢}⟩
𝑆 ∪ {𝑢} ⊂ ⟨𝑆⟩
}︂
⇔ 𝑢 ∈ ⟨𝑆⟩
Propiedades
Con 𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 , 0 ̸= 𝛼 ∈ K y 𝛽 ∈ K.
1.
⟨𝑣1 , · · · , 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 , · · · , 𝑣𝑛 ⟩ = ⟨𝑣1 , · · · , 𝑣𝑗 , 𝑣𝑖 , · · · , 𝑣𝑛 ⟩
Demostración
Trivial, ya que en los conjuntos no hay orden.
2.
⟨𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ⟩ = ⟨𝑣1 , · · · , 𝛼𝑣𝑖 , · · · , 𝑣𝑛 ⟩ 𝛼 ̸= 0
⏟
⏞
⏟
⏞
𝑆
𝑆′
Demostración
𝑣𝑖 = 𝛼−1 (𝛼𝑣𝑖 ) = 1𝑣𝑖 ⇒ 𝑆 ⊂ ⟨𝑆 ′ ⟩
𝛼𝑣𝑖 ⇒ 𝑆 ′ ⊂ ⟨𝑆⟩
3.
⟨𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ⟩ = ⟨𝑣1 , · · · , 𝑣𝑖 + 𝛽𝑣𝑗 , · · · , 𝑣𝑛 ⟩ 𝑖 ̸= 𝑗
⏟
⏞
⏞
⏟
𝑆′
𝑆
Demostración
𝑣𝑖 = (𝑣𝑖 + 𝛽𝑣𝑗 ) − 𝛽𝑣𝑗 ∈ ⟨𝑆 ′ ⟩ ⇒
{︂
}︂
𝑆 ⊂ ⟨𝑆 ′ ⟩
⇐ 𝑣𝑖 + 𝛽𝑣𝑗 ∈ ⟨𝑆⟩
𝑆 ′ ⊂ ⟨𝑆⟩
3.1.3 Intersección de subespacios
Con 𝑈, 𝑊 subespacios de 𝑉
𝑈 ∩ 𝑊 = {𝑣 ∈ 𝑉 /𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑊 }
es un subespacio de 𝑈 .
Demostración
3.1. Espacios Vectoriales
27
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
𝑈 ⊂𝑉
𝑊 ⊂𝑉
0∈𝑈
0∈𝑊
𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑈 ∩ 𝑊 ⇔1
⇒𝑈 ∩𝑊 ⊂𝑉
}︂
⇒ 0 ∈ 𝑈 ∩ 𝑊 ⇒ 𝑈 ∩ 𝑊 ̸= ∅
𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑈
𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑊
𝛼∈K
𝑣 ∈𝑈 ∩𝑊
}︂
}︂
⇔
}︂
𝑣∈𝑈
𝑣∈𝑊
⇒2
}︂
⇒
𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑈
𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑊
𝛼𝑣 ∈ 𝑈
𝛼𝑣 ∈ 𝑊
}︂
⇒ 1 𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑈 ∩ 𝑊
}︂
⇔ 𝛼𝑣 ∈ 𝑈 ∩ 𝑊
1 ↦→ Definición de intersección.
2 ↦→ 𝑈 y 𝑊 son subespacios vectoriales.
3.1.4 Unión de subespacios
Con 𝑈, 𝑊 subespacios de 𝑉
𝑈 ∪ 𝑊 = {𝑣 ∈ 𝑉 /𝑣 ∈ 𝑈 ∨ 𝑣 ∈ 𝑊 }
en general no es un subespacio de 𝑉 .
Ejemplo
𝑉 = R2
𝑈 = {(𝑥, 0)/𝑥 ∈ R}
𝑊 = {(0, 𝑦)/𝑦 ∈ R}
(1, 0) ∈ 𝑈 ⊂ 𝑈 ∪ 𝑊
(0, 1) ∈ 𝑊 ⊂ 𝑈 ∪ 𝑊
}︂
∧ (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ∈
/ 𝑈 ∪𝑊
3.1.5 Suma de subespacios
Con 𝑈, 𝑊 subconjuntos de 𝑉
𝑈 + 𝑊 := {𝑢 + 𝑤/𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊 } ⊂ 𝑉
Se verifica que 𝑈 + 𝑊 es el menor subespacio de 𝑉 que continene a 𝑈 y a 𝑊 .
Además, si 𝑆 y 𝑆 ′ son subconjuntos no vacíos de 𝑉 tales que 𝑈 = ⟨𝑆⟩ y 𝑊 = ⟨𝑆 ′ ⟩ entonces
𝑈 + 𝑊 = ⟨𝑆 ∪ 𝑆 ′ ⟩
Nota: Para entender esta proposición es útil entender las propiedades descritas bajo el epígrafe Propiedades.
Demostración
3.1. Espacios Vectoriales
28
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
0∈𝑈
0∈𝑊
0 = 0 + 0 ∈ 𝑈 + 𝑊 ⇒ 𝑈 + 𝑊 ̸= ∅
(1)
}︂
𝑢1 ∈ 𝑈 𝑤1 ∈ 𝑊
𝑢2 ∈ 𝑈 𝑤2 ∈ 𝑊
⏞
⇓
⏞
⏟
(𝑢1 + 𝑤1 ) + (𝑢2 + 𝑤2 ) = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑤1 + 𝑤2 ∈ 𝑈 + 𝑊
⏟ ⏞
⏟ ⏞
𝑢1 + 𝑤1
𝑢2 + 𝑤2
⏟
∈𝑈
∈𝑊
(2)
}︂
𝑢∈𝑈 𝑤∈𝑊
𝛼∈K
⏟
⏞
⇓
⏞
⏟
𝛼(𝑢 + 𝑤) = ⏟𝛼𝑢
⏞ + ⏟𝛼𝑤
⏞ ∈𝑈 +𝑊
𝑢+𝑤
∈𝑈
∈𝑊
𝑈 ⊂𝑈 +𝑊 ∧𝑊 ⊂𝑈 +𝑊
𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 = ⏟ 𝑢⏞ + ⏟ 0⏞ ∈ 𝑈 + 𝑊
∈𝑈
𝑤∈𝑊
∈𝑊
𝑤 = ⏟ 0⏞ + ⏟ 𝑤⏞ ∈ 𝑈 + 𝑊
∈𝑈
∈𝑊
Además de ser subespacio, es el menor subespacio de 𝑉 que contiene a 𝑈 y 𝑊 . Es decir, si 𝑇 fuese subespacio de 𝑉
tal que 𝑈 ⊂ 𝑇 y 𝑊 ⊂ 𝑇 , entonces 𝑈 + 𝑊 ⊂ 𝑇 .
Demostración
⃒
}︂
𝑢 + 𝑤 ∈ 𝑈 + 𝑊 ⃒⃒ 𝑢 ∈ 𝑈 ⊂ 𝑇
⇒1 𝑢 + 𝑤 ∈ 𝑇
𝑢∈𝑈 ∧𝑤 ∈𝑊 ⃒ 𝑤 ∈𝑊 ⊂𝑇
1 ↦→ 𝑇 es subespacio.
3.1.6 Suma directa
Definición
Con 𝑈 y 𝑊 subespacios de 𝑉 / 𝑉 = 𝑈 + 𝑊 y 𝑈 ∩ 𝑊 = {0}
Todo vector de 𝑉 tiene una única representación de la forma 𝑢 + 𝑤 con 𝑢 ∈ 𝑈 y 𝑤 ∈ 𝑊 .
⨁︀
En este caso se dice que es una suma directa y se representa como 𝑈
𝑊
Demostración
3.1. Espacios Vectoriales
29
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
𝑉 =𝑈 +𝑊
⧸︂
}︂
∃𝑢 ∈ 𝑈
𝑣 =𝑢+𝑤
∃𝑤 ∈ 𝑊 ⧸︂
}︂
Si además
∃𝑢′ ∈ 𝑈
′
′
𝑣
=
𝑢
+
𝑤
∃𝑤′ ∈ 𝑊
⏟
⏞
⇓
𝑢 + 𝑤 = 𝑢′ + 𝑤′ ⇔ −𝑢′ + 𝑢 + 𝑤 = 𝑤′ ⇔ −𝑢′ + 𝑢 = 𝑤′ − 𝑤 ∈ 𝑈
⏟ ∩⏞𝑊
⏟ ⏞
⏟ ⏞
𝑣 ∈𝑉 =𝑈 +𝑊
𝑢1
𝑤2
{0}
1 ↦→ 𝑈 es un subespacio
2 ↦→ 𝑊 es un subespacio
3.1.7 Independencia lineal
Definición
Un subconjunto no vacío 𝑆 de 𝑉 es linealmente independiente si
𝛼 𝑣 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 0 𝛼𝑖 ∈ K, 𝑣𝑖 ∈ 𝑆
⏟1 1
⏞
⇓
⏞
⏟
𝛼𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
En caso contrario se dirá que 𝑆 es un subconjunto de 𝑉 linealmente dependiente.
Ejemplo
𝑉 = R4
𝑆 = ⟨(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1)⟩ es linealmente independiente ya que
𝑥(1, 1, 1, 1) + 𝑦(0, 1, 1, 1) + 𝑧(0, 0, 1, 1) = (0, 0, 0, 0)
⇕
(𝑥, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = (0, 0, 0, 0)
⇕⎫
𝑥=0 ⎪
⎪
𝑥=0
⎬
𝑥+𝑦 =0
⇒ 𝑦=0
𝑥+𝑦+𝑧 =0 ⎪
⎪
𝑧=0
⎭
𝑥+𝑦+𝑧 =0
Ejemplo
𝑉 = R3
𝑆 = ⟨(1, 1, 1), (0, 0, 1), (1, 1, 2)⟩ es linealmente dependiente ya que
(1, 1, 1) + (0, 0, 1) − (1, 1, 2) = (0, 0, 0)
Observaciones
Con 𝑉 espacio vectorial
3.1. Espacios Vectoriales
30
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
1.
𝑆 = {𝑢} ⊂ 𝑉
𝑆 linealmente independiente ⇔ 𝑢 ̸= 0
Demostración
𝛼𝑢 = 0 ⇔ 𝛼 = 0 ∨ 𝑢 = 0
2.
0 ∈ 𝑆 ⊂ 𝑉 ⇒ 𝑆 es linealmente dependiente.
Demostración
1·0=0
0∈𝑆
0 ̸= 1 ∈ K
3.
𝑆 = {𝑢, 𝑣} ⊂ 𝑉
𝑆 es linealmente dependiente
⇕
∃𝛼 ∈ K / 𝑢 = 𝛼𝑣 ∨ ∃𝛽 ∈ K / 𝑣 = 𝛽𝑢
Desmostración
𝑆 linealmente dependiente
⇓
∃𝛼, 𝛽 ∈ K / (𝛼 ̸= 0 ∨ 𝛽 ̸= 0) ∧ 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 0
⇓
Si 𝛼 ̸= 0 𝑢 + 𝛼−1 𝛽𝑣 = 0 ⇒ 𝑢 = −𝛼−1 𝛽𝑣 es decir, 𝛼 es múltiplo de 𝛽
4.
∅=
̸ 𝑆1 ⊂ 𝑆2 ⊂ 𝑉
𝑆2 linealmente independiente ⇒ 𝑆1 linealmente independiente
𝑆1 linealmente dependiente ⇒ 𝑆2 linealmente dependiente
Demostración
𝛼𝑖 𝑣𝑖 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 0
𝛼𝑖 ∈ K ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
𝑣𝑖 ∈ 𝑆1 ⊂ 𝑆2
⏟
⏞
}︂
𝑆2 es linealmente independiente
⇓ ←−−−−−−−−−−−−−−−−
𝛼𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
3.1. Espacios Vectoriales
31
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Proposición
Con 𝑉 K-espacio vectorial y ∅ =
̸ 𝑆 ⊂ 𝑉 linealmente independiente
𝑣∈
/ ⟨𝑆⟩ ⇔ 𝑆 ∪ {𝑣} linealmente independiente
Demostración
”⇒”
𝛼𝑣 + 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 0
𝛼, 𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ∈ K
𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ∈ 𝑆
𝑣 ∈ 𝑆 ∪ {𝑣}
Si 𝛼 ̸= 0
𝑣 = −𝛼−1 𝛼1 𝑣1 · · · − 𝛼−1 𝛼𝑛 𝑣𝑛 ∈ ⟨𝑆⟩ [Contradicción]
Luego 𝛼 = 0
𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 0 ⇒ 𝛼𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ∈ K
𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ∈ 𝑆
⏞
⏟
⇓
𝑆 ∪ {𝑣} linealmente independiente
”⇐”
𝑣 ∈ ⟨𝑆⟩ ⇒ 𝑆 ∪ {𝑣} linealmente dependiente
𝑣 ∈ ⟨𝑆⟩ ⇒ ∃𝑣𝑖 , · · · , 𝑣𝑛 ∈ 𝑆
𝛼𝑖 , · · · , 𝛼𝑛 ∈ K
𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛
⇓
−𝑣 + 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 0
⇓
𝑆 ∪ {𝑣} linealmente dependiente
Ejemplo
{(1, 1, 1), (0, 1, 1)} = 𝑆 ⊂ R3
𝑣 = (2, 5, 7)
𝑣∈
/ ⟨𝑆⟩ ya que
(2, 5, 7) = 𝛼(1, 1, 1) + 𝛽(0, 1, 1) = (𝛼, 𝛼 + 𝛽, 𝛼 + 𝛽)
⇕
⏟
⏞
⎫
𝛼=2 ⎬
𝛼+𝛽 =5
Sistema Incompatible
⎭
𝛼+𝛽 =7
⏟
⏞
⇓
(2, 5, 7) ∈
/ ⟨𝑆⟩
3.1.8 Base de un subespacio vectorial
Con 𝑉 ̸= {0} K-espacio vectorial.
3.1. Espacios Vectoriales
32
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Definición
Un subconjunto ordenado 𝐵 de 𝑉 es una base si
1. 𝐵 es un conjunto de generadores de 𝑉 —i.e. ⟨𝐵⟩ = 𝑉 .
2. 𝐵 es linealmente independiente.
Ejemplo
En R3
𝒞 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ⊂ R3
es una base que llamamos base canónica.
𝐵 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} ⊂ R3
es otra base de R3
Ejemplo
En R4
𝒞 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
𝒞 es la base canónica de R4
(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 ) ∈ R4
(0, 0, 0, 0) = 𝑎1 (1, 0, 0, 0) + 𝑎2 (0, 1, 0, 0) + 𝑎3 (0, 0, 1, 0) + 𝑎4 (0, 0, 0, 1)
⏞
⏟
⇓
𝑎𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, 2, 3, 4
Ejemplo
⎧
⧸︃
⎨
𝑛
R[𝑥] = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + · · · + 𝑎𝑛 𝑥
⎩
⎫
𝑛∈N ⎬
𝑎𝑖 ∈ R
⎭
𝑖 = 0, · · · , 𝑛
{︀ ⧸︀
}︀
𝐵 = {1 = 𝑥0 , 𝑥, 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 , · · · } = 𝑥𝑖 𝑖 ≥ 0
Nota: Hay espacios vectoriales que tienen bases infinitas.
Proposición
Con ∅ =
̸ 𝐵 ⊂ 𝑉 , son equivalentes
1. 𝐵 base de 𝑉 .
2. Cualquier vector de 𝑉 se expresa como combinación lineal de elementos de 𝐵 de modo único.
Demostración
3.1. Espacios Vectoriales
33
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
(1) ⇒ (2)
𝐵 base
⇓
⟨𝐵⟩ = 𝑉
⇕
Cada vector de 𝑉 es combinación lineal de elementos de 𝐵, es decir
⧸︃
si 𝑣 ∈ 𝑉
𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛
𝑣 = 𝛽1 𝑣1 + · · · + 𝛽𝑛 𝑣𝑛
𝑣𝑖 ∈ 𝐵
𝛼𝑖 ∈ K
𝛽𝑖 ∈ K
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
⏟
⏞
⇓
0 = 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 − 𝛽1 𝑣1 − · · · − 𝛽𝑛 𝑣𝑛 = (𝛼1 − 𝛽1 )𝑣1 + · · · + (𝛼𝑛 − 𝛽𝑛 )𝑣𝑛
⇓
𝛼𝑖 𝛽𝑖 = 0 ⇔ 𝛼𝑖 = 𝛽𝑖
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
(2) ⇒ (1)
Cada 𝑣 ∈ 𝑉 es combinación lineal de elementos de 𝐵
⇕
⟨𝐵⟩ = 𝑉 (𝐵 genera 𝑉 )
⎫
Sea 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 0 = 0𝑣1 + · · · + 0𝑣𝑛 ⎬
De modo único
𝛼𝑖 ∈ K
⇒
𝛼𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
⎭
𝑣𝑖 ∈ 𝐵
Definición
Con 𝑉 K-espacio vectorial y 𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉 , si 𝑣 ∈ 𝑉 y 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 , al elemento
(𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ) ∈ K𝑛 se le llama coordenadas de 𝑣 en la base 𝐵.
Ejemplo
𝑉 = R3
𝒞 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es base de R3
𝐵 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es base de R3
𝑣 = (3, 5, 6) = 3(1, 1, 1) + 2(0, 1, 1) + (0, 0, 1) = 3(1, 0, 0) + 5(0, 1, 0) + 6(0, 0, 1)
𝑣 = (3, 2, 1)𝐵 = (3, 5, 6)𝒞
Definición
Un espacio vectorial es finitamente generado cuando tiene un conjunto de generadores finito.
Proposición
𝑉 es un K-espacio vectorial finitamente generado por 𝑆, es decir
∃𝑆 finito / 𝑉 = ⟨𝑆⟩
Entonces, existe un subconjunto 𝐵 de 𝑆 que es base de 𝑉 .
3.1. Espacios Vectoriales
34
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Nota:
𝑣 ∈ ⟨𝑆⟩ ⇔ ⟨𝑆⟩ = ⟨𝑆 ∖ {𝑣}⟩
Demostración
𝑉 ̸= {0} ⇒ número de elementos no nulos de 𝑆 es ≥ 1
⎧
− 𝑆 linealmente independiente ⇒ 𝐵 = 𝑆
⎪
⎪
⎪
⎪
− 𝑆 linealmente dependiente ⇒ ∃𝑣 ∈ 𝑆 / 𝑣 ∈ ⟨𝑆 ∖ {𝑣}⟩
⎪
⎪
⏞
⏟
⎪
⎪
⎪
⎪
⇓
⎪
⎪
⎨
⟨𝑆⟩ = ⟨𝑆 ∖ {𝑣}⟩
Con ⟨𝑆⟩ = 𝑉 ,
⏞
⏟
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪ − ⟨𝑆 ∖ {𝑣}⟩ linealmente independiente ∧ 𝐵 = ⟨𝑆 ∖ {𝑣}⟩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
− ⟨𝑆 ∖ {𝑣}⟩ linealmente dependiente y esto continuaría
⎪
⎪
⎪
⎪
recursivamente hasta que ⟨𝑆 ∖ {𝑣}⟩ sea linealmente
⎪
⎪
⎪
⎩ ⎩
independiente.
Ejemplo
𝑉 = ⟨(1, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 0)⟩
⏞
⏞
⏞
⏞
⏞
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
𝑣1
𝑣2 =𝑣1 +𝑣3
𝑣3
𝑣4
𝑣5
⇓
𝑉 = ⟨(1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 0)⟩
⏞
⏟
𝑣5 =𝑣3 +𝑣4
⇓
𝑉 = ⟨(1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)⟩
𝐵 = {𝑣1 , 𝑣3 , 𝑣4 } ⊂ 𝑆 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 , 𝑣5 }
Corolario
Todo conjunto de generadores contiene a una base.
Proposición
Sea 𝑉 un K-espacio vectorial y 𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉 .
Cualquier subconjunto de 𝑉 con más de 𝑛 elementos es linealmente dependiente.
Demostración
3.1. Espacios Vectoriales
35
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
𝑆 = {𝑢1 , · · · , 𝑢𝑚 } ⊂ 𝑉 𝑚 > 𝑛
𝑢𝑗 = 𝑎1𝑗 𝑣1 + 𝑎2𝑗 𝑣2 + · · · + 𝑎𝑛𝑗 𝑣𝑛 ∀𝑗 = 1, · · · , 𝑚
Sea 0 = 𝛼1 𝑢1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑢𝑚
0 = 𝛼1 (𝑎11 𝑣1 + · · · + 𝑎𝑛1 𝑣𝑛 ) + · · · + 𝛼𝑛 (𝑎1𝑚 𝑣1 + · · · + 𝑎𝑛𝑚 𝑣𝑛 )
0 = (𝛼1 𝑎11 + · · · + 𝛼𝑚 𝑎1𝑚 )𝑣1 + · · · + (𝛼1 𝑎𝑛1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑎𝑛𝑚 )𝑣𝑛
𝐵 es base
⏞
𝛼1 𝑎11 + · · · + 𝛼𝑚 𝑎1𝑚 = 𝑣
..
.
𝛼1 𝑎𝑛1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑎𝑛𝑚 = 0
⏟
⇓ ←−−−−−
⏟
⎫
⎪
⎬
Es un sistema homogéneo con 𝑚
⎪ incógnitas y 𝑛 ecuaciones con 𝑚 > 𝑛
⎭
⏞
⇓
Sistema Compatible Indeterminado
⇓
Existen soluciones no triviales
Teorema
Si 𝑉 es K-espacio vectorial tal que 𝑉 ̸= {0} entonces 𝑉 tiene una base.
Demostración
𝑉 ̸= {0} ⇒ Cualquier conjunto de generadores de 𝑉 tiene al menos un vector no nulo
⎧
− Si 𝑆 es linealmente independiente ⇒ 𝐵 = 𝑆 (𝑆 es base de 𝑉 )
⎪
⎪
⎪
⎪
− Si 𝑆 es linealmente dependiente
⎪
⎪
⏟
⏞
⎪
⎪
⎪
⎪
⇓
⎪
⎪
⎪
⎨
∃𝑣1 ∈ 𝑆 que es combinación lineal de los restantes,
Con ⟨𝑆⟩ = 𝑉
𝑣1 ∈ ⟨𝑆 ∖ {𝑣1 }⟩ y
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪ − 𝑆 ∖ {𝑣1 } linealmente independiente ⇒ 𝑆 ∖ {𝑣1 } base de 𝑉
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
− 𝑆 ∖ {𝑣1 } linealmente dependiente ⇒ ∃𝑣2 ∈ 𝑆 ∖ {𝑣1 } que es
⎪
⎪
𝑉
=
⟨𝑆⟩
=
⟨𝑆
∖
{𝑣
}⟩
⎪
1
⎪
combinación lineal de los restantes.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎩
Y el proceso recursivo termina como muy tarde al quedar un elemento.
Teorema
Sea 𝑉 un K-espacio vectorial con una base 𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } con 𝑛 vectores.
Si 𝐵 ′ es otra base de 𝑉 entonces 𝐵 ′ tiene también 𝑛 vectores.
Demostración
Cualquier subconjunto de 𝐵 ′ linealmente independiente tiene a lo sumo 𝑛 vectores —𝐵 ′ es un conjunto finito.
Sea 𝐵 ′ = {𝑢1 , · · · , 𝑢𝑠 }
}︂
𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } es base
⇒𝑠≤𝑛
𝐵 ′ = {𝑢1 , · · · , 𝑢𝑠 } es linealmente independiente }︂
𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } es linealmente independiente
⇒𝑠≥𝑛
𝐵 ′ = {𝑢1 , · · · , 𝑢𝑠 } es base
Luego 𝑠 = 𝑛
3.1. Espacios Vectoriales
36
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
3.1.9 Dimensión de un subespacio
Definición
Con 𝑉 K-espacio vectorial finitamente generado y 𝑉 ̸= {0}
Se define dimensión de 𝑉 como el número de elementos de cualquier base de 𝑉 y se denota por dimK 𝑉 = dim 𝑉 .
Nota: Por convenio, dim{0} := 0
Ejemplo
{(1, 0), (0, 1)} base de R2
dim R2 = 2
dim R𝑛 = 𝑛
Ejemplo
{1} base de K
dim K = 1
Ejemplo
⎧⎛
1
⎪
⎪
⎪
⎨⎜0
⎜
ℳ𝑚×𝑛 (K) = ⎜ .
⎪
⎝ ..
⎪
⎪
⎩
0
{︂
𝐸𝑖𝑗 = (𝑒𝑘𝑠 ) =
{︂
⧸︂
𝐸𝑖𝑗
0
0
..
.
···
···
0
···
···
···
···
⎫
⎞
0
⎪
⎪
⎪
⎬
0⎟
⎟
.. ⎟ , · · ·
⎪
.⎠
⎪
⎪
⎭
0
si 𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑠 = 𝑗
en cualquier otro caso
𝑒𝑘𝑠 = 1
𝑒𝑘𝑠 = 0
𝑖 = 1, · · · , 𝑚
𝑗 = 1, · · · , 𝑛
⎞ ⎛
0
0 1
⎜0 0
0⎟
⎟ ⎜
.. ⎟ , ⎜ .. ..
.⎠ ⎝. .
0
0 0
}︂
⊂ ℳ𝑚×𝑛 (K)
dim ℳ𝑚×𝑛 (K) = 𝑚𝑛
Proposición
Con 𝑉 K-espacio vectorial y dim 𝑉 = 𝑛 ̸= 0 se verifica
1. Cualquier subconjunto de 𝑉 linealmente independiente y con 𝑛 vectores es una base de 𝑉 .
2. Cualquier conjunto generador de 𝑉 con 𝑛 vectores es una base.
Demostración
1.
Sea 𝑆 = {𝑢1 , · · · , 𝑢𝑛 } linealmente independiente
⎧
− ⟨𝑆⟩ = 𝑉 ⇒ 𝑆 es base de 𝑉
⎪
⎪
⎪
⎪
−
⟨𝑆⟩ ( 𝑉 ⇒ ∃𝑣 ∈ 𝑉 / 𝑣 ∈
/ ⟨𝑆⟩
⎪
⎨
⏞
⏟
⇓
⎪
⎪
⎪
𝑆
∪
{𝑣}
=
{𝑢
,
·
·
·
,
𝑢𝑛 , 𝑣} es linealmente independiente,
⎪
1
⎪
⎩
lo cual es una contradicción, ya que 𝑛 + 1 > 𝑛
3.1. Espacios Vectoriales
37
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
2.
𝑆 = {𝑢1 , · · · , 𝑢𝑛 } / ⟨𝑆⟩ = 𝑉
⇓
∃𝐵 ⊆ 𝑆 / 𝐵 es base de 𝑉
⇓
𝐵 es una base con a lo sumo 𝑛 elementos y dim 𝑉 = 𝑛
⇓
𝐵=𝑆
Ejemplo
𝑈 ⊂ R4
dim 𝑈 = 4
⇓
∃𝐵 = {𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑢4 } base de 𝑈
⇓
𝐵 ⊂ R4 es linealmente independiente
dim R4 =4
⇓ ←−−−−−−
𝑈 = R4
Proposición
Con 𝑉 K-espacio vectorial, dim 𝑉 ̸= 0 y 𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉
Si 𝑆 = {𝑢1 , · · · , 𝑢𝑠 } es un subconjunto de 𝑉 linealmente independiente, ∃𝑣𝑖1 , · · · , 𝑣𝑖𝑛−𝑠 ∈ 𝐵 tales que 𝑆 ∪
{𝑣𝑖1 , · · · , 𝑣𝑖𝑛−𝑠 } es base de 𝑉 .
Demostración
𝑆 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑠 } ⊂ 𝑉 linealmente independiente
dim 𝑉 =𝑛
⇓ ←−−−−−−
⎧
− 𝑠 = 𝑛 ⇒ 𝑆 es base de 𝑉
⎪
⎪
⎪
⎪
− Si 𝑠 < 𝑛, ⟨𝑢1 , · · · , 𝑢𝑠 ⟩ ( 𝑉 = ⟨𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ⟩ ya que si
⎪
⎪
⎪
⎪
⟨𝑢1 , · · · , 𝑢𝑠 ⟩ = ⟨𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ⟩ = 𝑉 , 𝑉 tendría una base con 𝑠 elementos y
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑠 < 𝑛, lo cual es una contradicción.
⎪
⎪
⎪
⏞
⎨ ⏟
⇓
𝑠≤𝑛
⎪
⎪
∃𝑣𝑖1 ∈ {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } / 𝑣𝑖1 ∈
/ ⟨𝑢1 , · · · , 𝑢𝑠 ⟩
⎪
⎪
⎪
⇓
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{𝑢1 , · · · , 𝑢𝑠 , 𝑣𝑖1 } linealmente independiente
⎪
⎪
⎪
⎪
Repitiendo el proceso recursivamente 𝑛 − 𝑠
⎪
⎩
veces se obtiene una base de 𝑉
Proposición
Con 𝑉 K-espacio vectorial de dimensión finita y 𝑈 un subespacio de 𝑉
1. dim 𝑈 ≤ dim 𝑉
2. dim 𝑈 = dim 𝑉 ⇔ 𝑈 = 𝑉
3.1. Espacios Vectoriales
38
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Demostración
Con dim 𝑉 = 𝑛
(1)
Todo subconjunto de 𝑉
linealmente independiente tiene a lo sumo
𝑛 elementos
⇓
Cualquier subconjunto de 𝑈
linealmente independiente es un subconjunto de
𝑉 linealmente independiente y por tanto tiene a lo sumo
𝑛 elementos
⇓
dim 𝑈 ≤ dim 𝑉
(2)
”⇐”
Trivial
”⇒”
𝑈 ⊂𝑉
dim 𝑈 = dim 𝑉 = 𝑛
}︂
Si {𝑢1 , · · · , 𝑢𝑛 } es una base de 𝑈
⏞
⏟
⇓
{𝑢1 , · · · , 𝑢𝑛 } es un subconjunto de 𝑉 linealmente independiente con 𝑛 elementos
dim 𝑉 =𝑛
⇓ ←−−−−−−
{𝑢1 , · · · , 𝑢𝑛 } base de 𝑉 y ⟨𝑢1 , · · · , 𝑢𝑛 ⟩ = 𝑈 = 𝑉
Ejemplo
𝑈 ⊂ R3
dim 𝑈 = 3
}︂
⇒ 𝑈 = R3
Fórmula de Grassman
Con 𝑈, 𝑊 subespacios de 𝑉 y dim 𝑉 = 𝑛
dim 𝑈 + dim 𝑊 = dim(𝑈 ∩ 𝑊 ) + dim(𝑈 + 𝑊 )
Demostración
3.1. Espacios Vectoriales
39
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
dim 𝑈 = 𝑠 ≤ 𝑛 y sea 𝐵𝑈 = {𝑢1 , · · · , 𝑢𝑠 } base de 𝑈
dim 𝑊 = 𝑡 ≤ 𝑛 y sea 𝐵𝑊 = {𝑤1 , · · · , 𝑤𝑡 } base de 𝑊
𝑈 ∩ 𝑊 ⊂ 𝑈 ⇒ dim(𝑈 ∩ 𝑊 ) = 𝑟 ≤ 𝑠 (1)
𝑈 ∩ 𝑊 ⊂ 𝑊 ⇒ dim(𝑈 ∩ 𝑊 ) = 𝑟 ≤ 𝑡 (2)
𝐵𝑈 ∩𝑊 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑟 } base de 𝑈 ∩ 𝑊 (3)
(1) ∧ (3) ⇒ ∃𝑢𝑖1 · · · 𝑢𝑖𝑠−𝑟 ∈ 𝐵𝑈 / {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑟 , 𝑢𝑖1 , · · · , 𝑢𝑖𝑠−𝑟 } es base de 𝑈
(2) ∧ (3) ⇒ ∃𝑤𝑗1 · · · 𝑤𝑗𝑡−𝑟 ∈ 𝐵𝑊 / {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑟 , 𝑤𝑗1 , · · · , 𝑤𝑗𝑡−𝑟 } es base de 𝑊
(4)
(5)
(4) ∧ (5) ⇒ 𝑈 + 𝑊 = ⟨𝑣1 , · · · , 𝑣𝑟 , 𝑢𝑖1 , · · · , 𝑢𝑖𝑠−𝑟 , 𝑤𝑗1 , · · · , 𝑤𝑗𝑡−𝑟 ⟩
y {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑟 , 𝑢𝑖1 , · · · , 𝑢𝑖𝑠−𝑟 , 𝑤𝑗1 , · · · , 𝑤𝑗𝑡−𝑟 } linealmente independiente (Falta probarlo)
⇓
dim(𝑈 + 𝑊 ) = 𝑠 + 𝑡 − 𝑟 = dim 𝑈 + dim 𝑊 − dim(𝑈 ∩ 𝑊 )
Ejemplo
Con 𝑈, 𝑊 ⊂ R4 subespacios
⎫
dim 𝑈 = 3
⎬
dim 𝑊 = 1
⇒ dim(𝑈 + 𝑊 ) = 4 ⇒ 𝑈 + 𝑊 = R4
⎭
dim(𝑈 ∩ 𝑊 ) = 0
3.1.10 Matrices, sistemas de ecuaciones lineales y subespacios
Definición
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
Se define el rango por columnas de 𝐴
𝑟𝑐 (𝐴) := dim⟨𝐶1 (𝐴), · · · , 𝐶𝑛 (𝐴)⟩ = dim 𝒞(𝐴)
Definición
Con 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
𝐴 es equivalente por columnas a 𝐵 —𝐴 ∼𝑐 𝐵— si haciendo una sucesión finita de operaciones elementales en
columnas se pasa de 𝐴 a 𝐵.
Teorema
𝑟𝑐 (𝐴) = 𝑟𝑓 (𝐴)
Definición
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
rango 𝐴 := dim ℱ(𝐴) = 𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑟𝑐 (𝐴) = dim 𝒞(𝐴) = 𝑟(𝐴)
3.1. Espacios Vectoriales
40
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Proposición
Si 𝐴 y 𝐵 son matrices 𝑚 × 𝑛 sobre K equivalentes por filas, las columnas de 𝐴 y las columnas de 𝐵 verifican las
mismas relaciones de dependencia.
Demostración
𝐴 ∼𝑓 𝐵
⇒
(𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ) solución de 𝐴𝑋 = 0 ⇔
⇕
𝐶1 (𝐴)𝛼1 + · · · + 𝐶𝑛 (𝐴)𝛼𝑛 = 0
Los sistemas 𝐴𝑋 = 0 y 𝐵𝑋 = 0 son equivalentes
(𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ) solución de 𝐵𝑋 = 0
⇕
𝐶1 (𝐵)𝛼1 + · · · + 𝐶𝑛 (𝐵)𝛼𝑛 = 0
Corolario
𝐴 ∼𝑓 𝐵 escalonada reducida
⇓
𝑟𝑐 (𝐴) = 𝑟𝑐 (𝐵) = 𝑟𝑓 (𝐵) = 𝑟𝑓 (𝐴) = rango(𝐴) = rango(𝐵)
Corolario
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K)
𝐴 no singular ⇔
⇕
|𝐴| =
̸ 0
𝑟(𝐴) = 𝑛
⇔ dim ℱ(𝐴) = 𝑛
⇕
dim 𝒞(𝐴) = 𝑛
Nota: El rango de 𝐵 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) es el orden del mayor menor no nulo.
Proposición
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (K)
𝐴 no singular ⇔ 𝑟(𝐴) = 𝑛
Demostración
|𝐴| =
̸ 0 ⇔ 𝐴 no singular ⇔ 𝐴 ∼𝑓 𝐼𝑛 ⇔ 𝑟(𝐴) = 𝑛
3.1.11 Ecuaciones implícitas de un subespacio de K𝑛
Observaciones
3.1. Espacios Vectoriales
41
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Con 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
{𝐹1 (𝐴), · · · , 𝐹𝑚 (𝐴)} ⊂ K𝑛
ℱ(𝐴) = ⟨𝐹1 (𝐴), · · · , 𝐹𝑚 (𝐴)⟩
⊂
subespacio
K𝑛
𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑠 ⇔ 𝐴 ∼𝑓 𝐵 ∧ 𝐵 escalonada con 𝑠 pivotes
ℱ(𝐴) = ⟨𝐹1 (𝐴), · · · , 𝐹𝑚 (𝐴)⟩ = ⟨𝐹1 (𝐵), · · · , 𝐹𝑠 (𝐵)⟩ = ℱ(𝐵)
𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑠, {𝐹1 (𝐵), · · · , 𝐹𝑠 (𝐵)} es base de ℱ(𝐴)
𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑠 = dim ℱ(𝐴)
En particular,
}︂
Si 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
⇒ dim ℱ(𝐴) = 𝑚 ⇔ {𝐹1 (𝐴), · · · , 𝐹𝑚 (𝐴)} es linealmente independiente
𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑚
Ecuaciones de 𝑈
Con 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
Sea 𝑈 = ⟨(𝑎11 , · · · , 𝑎1𝑛 ), (𝑎21 , · · · , 𝑎2𝑛 ), · · · , (𝑎𝑚1 , · · · , 𝑎𝑚𝑛 )⟩ ⊂ K𝑛
⏟
⏞
⏟
⏞
⏟
⏞
subespacio
𝐹1 (𝐴)
𝐹2 (𝐴)
𝐹𝑚 (𝐴)
{𝐹1 (𝐴), · · · , 𝐹𝑚 (𝐴)} es base de 𝑈
⇓
(𝑥1 , · · · , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝑈 ⇔ {(𝑥1 , · · · , 𝑥𝑛 ), 𝐹1 (𝐴), · · · , 𝐹𝑚 (𝐴)} linealmente dependiente
⇕
⎛
⎞
𝑎11 · · · 𝑎1𝑛
⎜ 𝑎21 · · · 𝑎2𝑛 ⎟
⎜
⎟
⎜
.. ⎟ = 𝑚
..
𝑟 ⎜ ...
.
. ⎟
⎜
⎟
⎝𝑎𝑚1 · · · 𝑎𝑚𝑛 ⎠
𝑥1 · · · 𝑥𝑛
Ejemplo
3.1. Espacios Vectoriales
42
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
𝑈 = ⟨(1, 1, 1, 1), (0, 1, 2, 3), (0, 0, 5, 7)⟩ ⊂ R4
⎛
1
⎜0
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 𝑈 ⇔ 𝑟 ⎜
⎝0
𝑥
⎛
1
⎜0
⎜
⎝0
𝑥
⎛
1
⎜0
· · · −−−−−−−−→ ⎜
𝐹4 −(𝑦−𝑥)𝐹2 ⎝0
0
1
1
0
0
1
1
0
𝑦
1
2
5
𝑧
1
2
5
𝑧 − 2𝑦 + 𝑥
⎞
⎛
1
1
⎜0
3⎟
⎟ −−−−−→ ⎜
7⎠ 𝐹4 −𝑥𝐹1 ⎝0
𝑡
0
1
1
0
𝑦
1
2
5
𝑧
1
1
0
𝑦−𝑥
⎞
1
3⎟
⎟ = 3 ⇔ (1)
7⎠
𝑡
1
2
5
𝑧−𝑥
⎞
⎛
1
1
⎟
⎜0
3
⎟ −−−−−−−−−→ ⎜
⎠ 𝐹 − 𝑧−2𝑦+𝑥 𝐹 ⎝0
7
4
3
5
𝑡 − 3𝑦 + 2𝑥
0
⎞
1
3 ⎟
⎟ → ···
7 ⎠
𝑡−𝑥
1
1
0
0
1
2
5
0
⎞
1
⎟
3
⎟
⎠
7
7
𝑡 − 3𝑦 + 2𝑥 − 5 (𝑧 − 2𝑦 + 𝑥)
(1)
⇕
𝑡 − 3𝑦 + 2𝑥 − 57 (𝑧 − 2𝑦 + 𝑥) = 0
⇕
7
𝑡 − 3𝑦 + 2𝑥 − 57 𝑧 + 14
5 𝑦 − 5𝑥 = 0
⇕
5𝑡 − 15𝑦 + 10𝑥 − 7𝑧 + 14𝑦 − 7𝑥 = 0
⇕
3𝑥 − 𝑦 − 7𝑧 + 5𝑡 = 0
{︀
⧸︀⇓
}︀
𝑈 = (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ R4 3𝑥 − 𝑦 − 7𝑧 + 5𝑡 = 0
3.1. Espacios Vectoriales
43
CAPÍTULO 4
Tema 4
4.1 Aplicaciones lineales
Definición
Sean 𝑉 y 𝑉 ′ K-espacios vectoriales.
Una aplicación 𝑓 : 𝑉 → 𝑉 ′ es lineal si
1. 𝑓 (𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝑓 (𝑣1 ) + 𝑓 (𝑣2 ) ∀𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉
2. 𝑓 (𝛼𝑣) = 𝛼𝑓 (𝑣) ∀𝛼 ∈ K
∀𝑣 ∈ 𝑉
Ejemplo
Los siguientes son ejemplos de aplicaciones lineales:
1.
𝑓 :𝑉 →𝑉′
𝑣
𝑓 (𝑣) := 0
∀𝑣 ∈ 𝑉
2.
1𝑉 = id𝑉 : 𝑉 → 𝑉
𝑣
id𝑉 (𝑣) := 𝑣
∀𝑣 ∈ 𝑉
3.
𝑓 : R2 → R
(𝑥, 𝑦)
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦
Demostración
)︀
(︀
𝑓 (𝑥, 𝑦) + (𝑥′ , 𝑦 ′ ) = 𝑓(︀(𝑥 + 𝑥′ ,)︀𝑦 + 𝑦 ′ ) = (𝑥 + 𝑥′ ) + 2(𝑦 + 𝑦 ′ ) = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑥′ + 2𝑦 ′ = 𝑓 (𝑥, 𝑦) + 𝑓 (𝑥′ , 𝑦 ′ )
𝑓 𝛼(𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝛼𝑥, 𝛼𝑦) = 𝛼𝑥 + 2𝛼𝑦 = 𝛼(𝑥 + 2𝑦) = 𝛼𝑓 (𝑥, 𝑦)
∀𝛼 ∈ R
∀(𝑥, 𝑦) ∈ R2
4.
𝑓 : R3 → R2
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 2𝑧)
44
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Los siguientes son ejemplos de aplicaciones no lineales:
1.
𝑓 : R2 → R
(𝑥, 𝑦)
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦
2.
𝑓 : R2 → R3
(𝑥, 𝑦)
𝑓 (𝑥, 𝑦) := (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 1)
4.1.1 Propiedades
Con 𝑓 : 𝑉 → 𝑉 ′ aplicación lineal
1.
𝑓 (0𝑉 ) = 0𝑉 ′
Demostración
𝑓 (0) = 𝑓 (0 + 0) = 𝑓 (0) + 𝑓 (0) ⇒ 𝑓 (0) − 𝑓 (0) = 𝑓 (0) + 𝑓 (0) − 𝑓 (0) = 𝑓 (0) ⇒ 𝑓 (0) = 0
𝑓 lineal
⏞
⏟
⏞
⏟
0
0
2.
𝑓 (−𝑣) = −𝑓 (𝑣) ∀𝑣 ∈ 𝑉
Demostración
𝑓 (−𝑣) = 𝑓 (𝑣) = 𝑓 (−𝑣 + 𝑣) = 𝑓 (0) = 0
⇕
𝑓 (−𝑣) = −𝑓 (𝑣)
3.
𝑓 (𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 ) = 𝛼1 𝑓 (𝑣1 ) + · · · + 𝛼𝑛 𝑓 (𝑣𝑛 )
∀𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ∈ K
∀𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉
Demostración
𝑓 (𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 ) = 𝑓 (𝛼1 𝑣1 ) + 𝑓 (𝛼2 𝑣2 ) = 𝛼1 𝑓 (𝑣1 ) + 𝛼2 𝑓 (𝑣2 )
4.1. Aplicaciones lineales
45
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
4.
{𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } ⊂ 𝑉 linealmente dependiente
⇕
{𝑓 (𝑣1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )} ⊂ 𝑉 ′ linealmente dependiente
Demostración
{𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } ⊂ 𝑉 linealmente dependiente
{︂
⧸︂ ⇕
}︂
∃𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ∈ K
𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 0
(no todos cero)
⇓
𝛼1 𝑓 (𝑣1 ) + · · · + 𝛼𝑛 𝑓 (𝑣𝑛 ) = 𝑓 (𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 ) = 𝑓 (0) = 0
⇓
{𝑓 (𝑣1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )} ⊂ 𝑉 ′ linealmente dependiente
4.1.2 Aplicaciones lineales y subespacios
Proposición
Sea 𝑓 : 𝑉 → 𝑉 ′ aplicación lineal.
Se verifica
1. Si 𝑈 es subespacio de 𝑉 entonces 𝑓 (𝑈 ) := {𝑓 (𝑢)/𝑢 ∈ 𝑈 } ⊂ 𝑉 ′ es subespacio de 𝑉 ′ .
Además 𝑈 = ⟨𝑢1 , · · · , 𝑢𝑛 ⟩ ⇒ 𝑓 (𝑈 ) = ⟨𝑓 (𝑢1 ), · · · , 𝑓 (𝑢𝑛 )⟩. En particular, el subespacio 𝑓 (𝑉 ) es la imagen de
la aplicación 𝑓 y se denotará Im 𝑓 .
Im 𝑓 = 𝑓 (𝑉 ) ⊂ 𝑉 ′ es un subespacio
Demostración
(Conjunto no vacío)
0 ∈ 𝑈 ⇒ 𝑓 (0) ∈ 𝑓 (𝑈 ) ⇒ 𝑓 (𝑈 ) ̸= ∅
(Cerrado para la suma)
𝑓 (𝑢1 ) + 𝑓 (𝑢2 ) = 𝑓 (𝑢1 + 𝑢2 ) ∈ 𝑓 (𝑈 ) 𝑢1 + 𝑢2 ∈ 𝑈
𝑓 lineal
(Cerrado para la multiplicación por escalares)
𝛼 ∈ K, 𝑢 ∈ 𝑈, 𝑓 (𝑢) ∈ 𝑓 (𝑈 ), 𝛼𝑓 (𝑢) = 𝑓 (𝛼𝑢) ∈ 𝑓 (𝑈 ) 𝛼𝑢 ∈ 𝑈
𝑓 lineal
(Generadores
del subespacio)
{︂
⧸︂
}︂
𝑢 = 𝛼1 𝑢1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑢𝑛
𝑓 (𝑈 ) := {𝑓 (𝑢)/𝑢 ∈ 𝑈 = ⟨𝑢1 , · · · , 𝑢𝑛 ⟩} = 𝑓 (𝑢)
= ⟨𝑓 (𝑢1 ), · · · , 𝑓 (𝑢𝑛 )⟩
𝛼𝑖 ∈ K ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
2. Sea 𝑊 un subespacio de 𝑉 ′
𝑓 −1 (𝑊 ) := {𝑣 ∈ 𝑉 /𝑓 (𝑣) ∈ 𝑊 } ⊂ 𝑉 es un subespacio de 𝑉
En particular, 𝑓 −1 (0𝑉 ′ ) = {𝑣 ∈ 𝑉 /𝑓 (𝑣) = 0𝑉 ′ } se llama núcleo de 𝑓 ≡ ker 𝑓 .
4.1. Aplicaciones lineales
46
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Ejemplo
R3 → R2
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
(𝑥, 𝑦)
𝑊 = {(𝑥, 0)/𝑥 ∈ R} ⊂ R2
{︂
⧸︂
}︂
{︀
⧸︀
}︀
𝑦=0
𝑓 −1 (𝑊 ) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑊 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑥, 𝑧 ∈ R
4.1.3 Composición de aplicaciones lineales
Proposición
Si 𝑓 : 𝑉 → 𝑊 y 𝑔 : 𝑊 → 𝐹 son aplicaciones lineales, entonces 𝑔 ∘ 𝑓 : 𝑉 → 𝐹 es también lineal.
𝑉
𝑓
/𝑊
𝑔
/7 𝐹
𝑔∘𝑓
Demostración
(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑣) := 𝑔(𝑓 (𝑣)) ∀𝑣 ∈ 𝑉
(Cerrado para la suma)
(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝑔(𝑓 (𝑣1 + 𝑣2 )) = 𝑔(𝑓 (𝑣1 ) + 𝑓 (𝑣2 )) = 𝑔(𝑓 (𝑣1 )) + 𝑔(𝑓 (𝑣2 )) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑣1 ) + (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑣2 ) ∀𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉
𝑔 lineal
𝑓 lineal
(Cerrado para la multiplicación por escalares)
(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝛼𝑣) = 𝑔(𝑓 (𝛼𝑣)) = 𝑔(𝛼𝑓 (𝑣)) = 𝛼𝑔(𝑓 (𝑣)) = 𝛼(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑣) ∀𝑣 ∈ 𝑉
𝑓 lineal
𝑔 lineal
4.1.4 Aplicaciones lineales inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Con 𝑓 : 𝐴 → 𝐵
1.
𝑓 inyectiva
⇕
𝑓 (𝑎1 ) = 𝑓 (𝑎2 ) ⇔ 𝑎1 = 𝑎2
∀𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝐴
2.
𝑓 sobreyectiva
⇕
Im 𝑓 = {𝑓 (𝑎)/𝑎 ∈ 𝐴} = 𝐵
⇕
∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑎 ∈ 𝐴/𝑓 (𝑎) = 𝑏
4.1. Aplicaciones lineales
47
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
3.
𝑓 biyectiva
⇕
𝑓 inyectiva ∧ 𝑓 sobreyectiva
⧸︂⇕
𝑔 ∘ 𝑓 = id𝐴
∃𝑔 : 𝐵 → 𝐴
𝑓 ∘ 𝑔 = id𝐵
Definición
Un isomorfismo lineal 𝑓 : 𝑉 → 𝑊 es una aplicación lineal biyectiva.
Proposición
Con 𝑓 : 𝑉 → 𝑊 una aplicación biyectiva (isomorfismo)
𝑓 es lineal ⇔ 𝑓 −1 es lineal
Demostración
𝑓 :𝑉 →𝑊
𝑓 −1 : 𝑊 → 𝑉
”⇒”
(Cerrado para la suma)
𝑓
−1
1?
(𝑤1 + 𝑤2 ) = 𝑓 −1 (𝑤1 ) + 𝑓 −1 (𝑤2 )
1?
𝑓 (𝑓 −1 (𝑤1 + 𝑤2 )) = 𝑓 (𝑓 −1 (𝑤1 )) + 𝑓 (𝑓 −1 (𝑤2 ))
∀𝑤1 , 𝑤2 ∈ 𝑊
(Demostración de 1)
𝑓 (𝑓 −1 (𝑤1 ) + 𝑓 −1 (𝑤2 )) = 𝑓 (𝑓 −1 (𝑤1 )) + 𝑓 (𝑓 −1 (𝑤2 )) = 𝑤1 + 𝑤2 = 𝑓 (𝑓 −1 (𝑤1 + 𝑤2 ))
𝑓 lineal
(Cerrado para la multiplicación por escalares)
2?
𝑓 −1 (𝛼𝑤) = 𝛼𝑓 −1 (𝑤)
2?
𝑓 (𝑓 −1 (𝛼𝑤)) = 𝑓 (𝛼𝑓 −1 (𝑤))
∀𝑤 ∈ 𝑊
∀𝛼 ∈ K
(Falta la demostración de 2)
(Falta la demostración de ” ⇐ ”)
4.1.5 Aplicaciones lineales, generadores y bases
Proposición
4.1. Aplicaciones lineales
48
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Con 𝑉 y 𝑉 ′ K-espacios vectoriales, 𝐵𝑉 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉 y 𝑤1 , · · · , 𝑤𝑛 ∈ 𝑉 ′ , existe una única aplicación
lineal
𝑓 : 𝑉 → 𝑉 ′ / 𝑓 (𝑣𝑖 ) = 𝑤𝑖
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
Demostración
𝑣 ∈ 𝑉 existen (y son únicos)
(Existencia)
𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ∈ K/𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛
𝑓 :𝑉 →𝑉′
𝑛
∑︁
𝑓 (𝑣) :=
𝛼𝑖 𝑤𝑖
𝑖=1
La aplicación es lineal y además 𝑓 (𝑣𝑖 ) = 𝑤𝑖
(Unicidad)
Con 𝑔 : 𝑉 → 𝑉 ′ aplicación lineal /𝑔(𝑣𝑖 ) = 𝑤𝑖 ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
𝑔(𝑣) = 𝑔(𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 ) = 𝑔(𝛼1 𝑣1 ) + · · · + 𝑔(𝛼𝑛 𝑣𝑛 ) = 𝛼1 𝑔(𝑣1 ) + · · · + 𝛼𝑛 𝑔(𝑣𝑛 ) = 𝛼1 𝑤1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑤𝑛 = 𝑓 (𝑣)
𝑔 lineal
𝑔 lineal
∀𝑣 = 𝛼1 𝑣1 , · · · , 𝛼𝑛 𝑣𝑛 ∈ 𝑉
Ejemplo
R3 R 2
𝒞 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
𝑤1 = (1, 1)
𝑤2 = (2, 3)
𝑤3 = (0, 7)
𝑓 : R3 → R2
(1, 0, 0)
(1, 1)
(0, 1, 0)
(2, 3)
(0, 0, 1)
(0, 7)
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(1, 0, 0) + 𝑦(0, 1, 0) + 𝑧(0, 0, 1)
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(1, 1) + 𝑦(2, 3) + 𝑧(0, 7) = (𝑥 + 2𝑦, 𝑥 + 3𝑦 + 7𝑧)
Proposición
Sea 𝑓 : 𝑉 → 𝑉 ′ aplicación lineal.
1. 𝑓 inyectiva ⇔ ker 𝑓 = {0} ⇔ La imagen por 𝑓 de cualquier subconjunto de vectores de 𝑉 que sea linealmente
independiente es un subconjunto de 𝑉 ′ de vectores linealmente independientes.
2. 𝑓 sobreyectiva ⇔ Im 𝑓 = 𝑉 ′ ⇔ La imagen por 𝑓 de cualquier conjunto de generadores de 𝑉 es un conjunto de
generadores de 𝑉 ′ .
3. 𝑓 biyectiva ⇔ La imagen por 𝑓 de una base de 𝑉 es una base de 𝑉 ′ .
Demostración
4.1. Aplicaciones lineales
49
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
1.
?
(I) 𝑓 inyectiva ⇒ ker 𝑓 = {0}
ker 𝑓 := 𝑓 −1 ({0}) = {𝑣 ∈ 𝑉 /𝑓 (𝑣) = 0} = {0}
ya que
𝑓 (𝑣) = 0 =O 𝑓 (0) =O 𝑣 = 0
𝑓 lineal
𝑓 inyectiva
?
(II) ker 𝑓 = {0} ⇒ 𝑓 inyectiva
𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
𝑓 (𝑣) = 𝑓 (𝑤) ⇔ 0 = 𝑓 (𝑣) − 𝑓 (𝑤) =M 𝑓 (𝑣 − 𝑤) ⇔ 𝑣 − 𝑤 ∈ ker 𝑓 =Q {0} ⇔ 𝑣 − 𝑤 = 0 ⇔ 𝑣 = 𝑤
hipótesis
𝑓 lineal
?
(III) ker 𝑓 = {0} ⇒ La imagen por 𝑓 de cualquier...
?
{𝑣1 , · · · , 𝑣𝑚 } ⊂ 𝑉 linealmente independiente ⇒ {𝑓 (𝑣1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑚 )} ⊂ 𝑉 ′ linealmente independiente
𝛼1 , · · · , 𝛼𝑚 ∈ K
𝑓 lineal
0 = 𝛼1 𝑓 (𝑣1 ) + · · · + 𝛼𝑚 𝑓 (𝑣𝑚 ) = 𝑓 (𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑣𝑚 )
⏟
⏞
𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑣𝑚 ∈ ker 𝑓 = {0}
⇓
{︂
𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑣𝑚 = 0
{𝑣1 , · · · , 𝑣𝑚 } es linealmente independiente
⇓
𝛼𝑖 = 0
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑚
?
(IV) La imagen por 𝑓 de cualquier... ⇒ ker 𝑓 = {0}
?
𝑣 ∈ ker 𝑓 ⇒ 𝑣 = 0 ⇔ ker 𝑓 = {0}
hipótesis
𝑣=
̸ 0 ⇔ {𝑢} es linealmente independiente ⇒ {𝑓 (𝑣)} es linealmente independiente
⏟
⏞
⇓
𝑓 (𝑣) ̸= 0
4.1. Aplicaciones lineales
50
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
2.
?
(I) 𝑓 sobreyectiva ⇔ Im 𝑓 = 𝑉 ′
𝑓 sobreyectiva
⇕
∀𝑣 ′ ∈ 𝑉 ′ ∃𝑣 ∈ 𝑉 /𝑣 ′ = 𝑓 (𝑣)
⇕
Im 𝑓 = {𝑓 (𝑣)/𝑣 ∈ 𝑉 } = 𝑉 ′
?
(II) 𝑓 sobreyectiva ⇔ La imagen por 𝑓 de cualquier conjunto de generadores...
𝑉 = ⟨𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ⟩ ⇒ Im 𝑓 = 𝑓 (𝑉 ) = ⟨𝑓 (𝑣1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )⟩ —siempre que 𝑓 sea lineal.
”⇒”
𝑉 = ⟨𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ⟩
⇓
′
𝑉 =Q Im 𝑓 = ⟨𝑓 (𝑣1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )⟩
𝑓 es inyectiva
”⇐”
Con 𝑉 = ⟨𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 ⟩
hipótesis
′
Im 𝑓 = 𝑓 (𝑉 ) = ⟨𝑓 (𝑣1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )⟩ = 𝑉 ⇒ 𝑓 sobreyectiva
3.
𝑓 biyectiva ⇔ 𝑓 inyectiva ∧ 𝑓 sobreyectiva
”⇒”
𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉
⇓
}︂
(por ser inyectiva) {𝑓 (𝑣1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )} es linealmente independiente
(por ser biyectiva) {𝑓 (𝑣1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )} es conjunto de generadores de 𝑉 ′
⏟
⏞
⇓
{𝑓 (𝑣1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )} es base de 𝑉 ′
”⇐”
𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉
Con 𝑤𝑖 ≡ 𝑓 (𝑣𝑖 ) {𝑤𝑖 , · · · , 𝑤𝑛 } es base de 𝑉 ′
𝑓 biyectiva ⇔ 𝑓 tiene inversa
/ 𝑉′
𝑉
∃ 𝑔 : 𝑉 → 𝑉 /𝑔(𝑤𝑖 ) = 𝑣𝑖 ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
{𝑤1 , · · · , 𝑤𝑛 } es base de 𝑉 ′
𝑣1 · · · 𝑣𝑛 son elementos de 𝑉
Se verifica 𝑔 ∘ 𝑓 = id𝑉 y 𝑓 ∘ 𝑔 = id𝑉 ′ —es decir, 𝑔 es la inversa de 𝑓
𝑓
∙
′
Ejemplo
4.1. Aplicaciones lineales
51
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
𝑓
/ R2
R2
𝑓 (1, 0) = (1, 1)
𝑓 (0, 1) = (2, 0)
(Comprobar que 𝑓 es biyectiva y calcular su inversa)
𝒞 = {(1, 0), (0, 1)} base canónica de R2
(𝑥, 𝑦) = 𝑥(1, 0) + 𝑦(0, 1)
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑓 (1, 0) + 𝑦𝑓 (0, 1) = 𝑥(1, 1) + 𝑦(2, 0) = (𝑥 + 2𝑦, 𝑥)
{(1, 1), (2, 0)} ⊂ {︂
R2 es base de⧸︂
R2
}︂
{︀
⧸︀
}︀
𝑥 + 2𝑦 = 0
2
2
ker 𝑓 = (𝑥, 𝑦) ∈ R 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2𝑦, 𝑥) = (0, 0) = (𝑥, 𝑦) ∈ R
= {(0, 0)} ⇒ 𝑓 inyectiva
𝑥=0
2
Im 𝑓 = ⟨𝑓 (1, 0),
}︂ 𝑓 (0, 1)⟩ = ⟨(1, 1), (2, 0)⟩ ⊂ R
dim Im 𝑓 = 2
⇒ Im 𝑓 = R2 ⇒ 𝑓 sobreyectiva
Im 𝑓 ⊂ R2
(Inversa de 𝑓 )
𝑔
/ R2
R2
𝑔(1, 1) = (1, 0)
𝑔(2, 0) = (0, 1)
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝛼(1, 1) + 𝛽(2, 0) = (𝛼 + 2𝛽, 𝛼)
⇕
(︂
)︂
1 2 𝑥
}︂
1 0 𝑦
𝛼 + 2𝛽
𝛼=𝑦
𝛼=𝑦
𝛽 = 𝑥−𝑦
2
-⇓
(𝑥, 𝑦) = 𝑦(1, 1) + 𝑥−𝑦
2 (2, 0)
𝑥−𝑦
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑔(1, 1) + 𝑥−𝑦
𝑔(2,
0)
=
𝑦(1,
0) + 𝑥−𝑦
2
2 (0, 1) = (𝑦, 2 )
Proposición
Con 𝑉, 𝑉 ′ K-espacios vectoriales de dimensión finita
1. 𝑉 y 𝑉 ′ son isomorfos ⇔ dim 𝑉 = dim 𝑉 ′
Demostración
4.1. Aplicaciones lineales
52
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
”⇒”
}︂
𝑉 ≃ 𝑉 ′ ⇔ ∃𝑓 : 𝑉 → 𝑉 ′ isomorfismo
Con 𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉
⏟
⏞
⇓
{𝑓 (𝑣1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )} base de 𝑉 ′
⇓
dim 𝑉 ′ = 𝑛 = dim 𝑉
”⇐”
}︂
Con 𝐵𝑉 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉
y 𝐵𝑉 ′ = {𝑤1 , · · · , 𝑤𝑛 } base de 𝑉 ′
⏞
⏟
⇓
⧸︂
∃∙ 𝑓 : 𝑉 → 𝑉 ′ aplicación lineal /𝑓 (𝑣𝑖 ) = 𝑤𝑖 ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
𝑔 ∘ 𝑓 = id𝑉
∃∙ 𝑔 : 𝑉 ′ → 𝑉 aplicación lineal /𝑔(𝑤𝑖 ) = 𝑣𝑖 ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
𝑓 ∘ 𝑔 = id𝑉 ′
⏟
⏞
⇓
𝑓 es isomorfismo
}︂
2. dim 𝑉 = 𝑛 ⇒ 𝑉 es isomorfo a K𝑛
Teorema de la dimensión
Sea 𝑓 : 𝑉 → 𝑉 ′ una aplicación lineal.
Se verifica:
dim ker 𝑓 + dim Im 𝑓 = dim 𝑉
Demostración
4.1. Aplicaciones lineales
53
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
ker 𝑓 subespacio de 𝑉 ⇒ 𝑟 = dim ker 𝑓 ≤ dim 𝑉 = 𝑛
1
{𝑣1 , · · · , 𝑣𝑟 } base de ker 𝑓
⇓
{𝑣1 , · · · , 𝑣𝑟 } ⊂ 𝑉 linealmente independiente
⇓
∃𝑣𝑟+1 , · · · , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 /{𝑣1 , · · · , 𝑣𝑟 , 𝑣𝑟+1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉
⇓
⟨𝑓 (𝑣𝑟+1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )⟩ = Im 𝑓 = ⟨𝑓 (𝑣1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑟 ), 𝑓 (𝑣𝑟+1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )⟩
⏟ ⏞
⏟ ⏞
0
2
0
{𝑓 (𝑣𝑟+1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )} es linealmente independiente (pendiente de demostrar)
1
2
}︂
{︂
⇒
{𝑓 (𝑣𝑟+1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )} base de Im 𝑓
dim Im 𝑓 = 𝑛 − 𝑟 = dim 𝑉 − dim ker 𝑓
({𝑓 (𝑣𝑟+1 ), · · · , 𝑓 (𝑣𝑛 )} es linealmente independiente)
𝛼𝑟+1 , · · · , 𝛼𝑛 ∈ K
0 = 𝛼𝑟+1 𝑓 (𝑣𝑟+1 ) + · · · + 𝛼𝑛 𝑓 (𝑣𝑛 ) = 𝑓 (𝛼𝑟+1 𝑣𝑟+1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 )
⇓
𝛼𝑟+1 𝑣𝑟+1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 ∈ ker 𝑓
∃𝛼1 , · · · , 𝛼𝑟 ∈ K/𝛼𝑟+1 𝑣𝑟+1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑟 𝑣𝑟
⇓
−𝛼1 𝑣1 − · · · − 𝛼𝑟 𝑣𝑟 + 𝛼𝑟+1 𝑣𝑟+1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 0
2⇓
{𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } es linealmente independiente
𝛼𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛
Ejemplo
𝑓 : R3 → R2
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
(𝑥 − 𝑧, 𝑦 + 𝑧)
dim R3 = 3 dim R2 = 2
⧸︂
}︂
𝑥−𝑧 =0
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3
= {(𝑧, −𝑧, 𝑧)/𝑧 ∈ R} = ⟨(1, −1, 1)⟩
𝑦+𝑧 =0
⏞
⇓
dim ker 𝑓 = 1
𝐵ker 𝑓 = {(1, −1, 1)}
⏞
⏟
{︀
⧸︀
}︀
ker 𝑓 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 (𝑥 − 𝑧, 𝑦 + 𝑧) = (0, 0) =
⏟
{︂
𝑣1
𝑣2 = (0, 1, 0)
𝑣3 = (0, 0, 1)
{𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 } es base de R3
Im 𝑓 = ⟨𝑓 (𝑣1 ), 𝑓 (𝑣2 ), 𝑓 (𝑣3 )⟩ =M ⟨(0, 1), (−1, 1)⟩ ⇒ dim Im 𝑓 = 2
𝑓 (𝑣1 ) = 0
Corolario
Con 𝑓 : 𝑉 → 𝑉 aplicación lineal y dim 𝑉 = 𝑛 (endomorfismo de 𝑉 )
Son equivalentes:
4.1. Aplicaciones lineales
54
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
𝑓 biyectiva (isomorfismo).
𝑓 inyectiva.
𝑓 sobreyectiva.
Demostración
Se verifica que dim 𝑉 = dim ker 𝑓 + dim Im 𝑓
𝑓 inyectiva
⇕
ker 𝑓 = {0}
⇕
dim ker 𝑓 = 0
⇕
dim 𝑉 = dim Im 𝑓
5⇕
Im 𝑓 ⊂ 𝑉
Im 𝑓 = 𝑉
⇕
𝑓 sobreyectiva
Ejemplo
¿Existe 𝑓 : R3 → R4 aplicación lineal y sobreyectiva?
No
3 = dim ker 𝑓 + dim Im 𝑓 ⇒ dim Im 𝑓 ≤ 3 ⇒ Im 𝑓 ( R4
4.1.6 Matriz asociada a una aplicación lineal
Con dim 𝑉 = 𝑛, dim 𝑊 = 𝑚, 𝐵𝑉 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉 y 𝐵𝑊 = {𝑤1 , · · · , 𝑤𝑛 } base de 𝑊 .
Definición
Sea 𝑓 : 𝑉 → 𝑊 una aplicación lineal tal que
𝑓 (𝑣𝑗 ) =
𝑚
∑︁
𝑎𝑖𝑗 𝑤𝑖 = 𝑎1𝑗 𝑤1 + · · · + 𝑎𝑚𝑗 𝑤𝑚
∀𝑗 = 1, · · · , 𝑛
𝑖=1
A la matriz (𝑎𝑖𝑗 ) le llamaremos matriz asociada a 𝑓 respecto de las bases 𝐵𝑉 y 𝐵𝑊 y se denota por
(𝑓 )𝐵𝑉 ,𝐵𝑊 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K)
Ejemplo
4.1. Aplicaciones lineales
55
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
id : R3 → R3
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
id(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐵 = {𝑣1 , 𝑣2 , ⎛
𝑣3 } base de⎞R3
1 0 0
(id)𝐵,𝐵 = ⎝0 1 0⎠
0 0 1
𝐵 ′ = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}
𝒞 = {(1, 0, 0), (0,
0, 1)}
⎛ 1, 0), (0,⎞
1 0 0
(id)𝐵 ′ ,𝒞 = ⎝1 1 0⎠
1 1 1
Ejemplo
R2 → R3
𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 2𝑦)
(𝑥, 𝑦)
𝐵R2 = {(1, 1), (0, 2)}
𝐵R3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} = 𝒞R3
𝑓 (1, 1) = (2, 0, 2) = 2(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + 2(0, 0, 1)
𝑓 (0, 2) = (2, −2, 4) = 2(1, 0, 0) − 2(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1)
⎛
(𝑓 )𝐵R2 ,𝒞R3
2
= ⎝0
2
⎞
2
−2⎠
4
Nota:
(𝑓 )𝐵 := (𝑓 )𝐵,𝐵
Proposición
Si 𝑣 ∈ 𝑉 y 𝑣 =
𝑛
∑︁
⎛
𝛼𝑖 𝑣𝑖 y denoto (𝑣)𝐵𝑉
⎞
𝑥1
⎜ ⎟
≡ ⎝ ... ⎠ entonces se verifica
𝑖=1
𝑥𝑛
(𝑓 (𝑣))𝐵𝑊 = (𝑓 )𝐵𝑉 ,𝐵𝑊 · (𝑣)𝐵𝑉
Demostración
𝑓 (𝑣) = 𝑓
(︃ 𝑛
∑︁
)︃
𝛼𝑖 𝑣𝑖
𝑖=1
aplicación lineal
=K
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑓 (𝛼𝑖 𝑣𝑖 ) =K
𝑛
∑︁
𝛼𝑖 𝑓 (𝑣𝑖 ) =
𝑖=1
··· =
(︃
𝛼𝑖 𝑓
𝑖=1
𝑛 ∑︁
𝑚
∑︁
𝑖=1 𝑘=1
4.1. Aplicaciones lineales
𝑛
∑︁
𝛼𝑖 𝑎𝑘𝑖 𝑤𝑘 =
𝑚
∑︁
)︃
𝑎𝑘𝑖 𝑤𝑘
= ···
𝑘=1
(︃ 𝑛
𝑚
∑︁
∑︁
𝑘=1
)︃
𝛼𝑖 𝑎𝑘𝑖
𝑤𝑘
𝑖=1
56
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Ejemplo
Sea 𝑓 : R3 → R2 la aplicación lineal cuya matriz asociada en 𝐵R3 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} y 𝐵R2 = 𝒞R2 es
(︂
)︂
1 1 0
−1 2 5
Calcular 𝑓 (1, 2, 3).
𝑣 = (1, 2, 3) = 𝛼(1, 1, 1) + 𝛽(0, 1, 1) + 𝛾(0, 0, 1) ∈ R3
(𝑣)𝐵R3
⎛ ⎞
𝛼
= ⎝𝛽 ⎠
𝛾
(︂
1
−1
(𝑓 (𝑣))𝒞 =
⎛ ⎞
)︂ 𝛼
1 0 ⎝ ⎠
𝛽
2 5
𝛾
Observación
1. Con 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K), 𝑉 K-espacio vectorial, dim 𝑉 = 𝑛, 𝐵𝑉 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 }, 𝑊 K-espacio
vectorial, dim 𝑊 = 𝑚 y 𝐵𝑊 = {𝑤1 , · · · , 𝑣𝑛 } existe una única aplicación lineal 𝑓 : 𝑉 → 𝑊 cuya matriz
asociada respecto de 𝐵𝑉 y 𝐵𝑊 es la matriz 𝐴 = (𝑓 )𝐵𝑉 ,𝐵𝑊
Demostración
𝑓 :𝑉 →𝑊
𝑚
∑︁
𝑓 (𝑣𝑗 ) :=
𝑎𝑘𝑗 𝑤𝑘 ∀𝑗 = 1, · · · , 𝑛
𝑘=1
y se verifica
(𝑓 )𝐵𝑉 ,𝐵𝑊 = 𝐴
2.
𝑣
id𝑉 : 𝑉 → 𝑉
id𝑉 (𝑣) = 𝑣
⎛
(id𝑉 )𝐵𝑉
1
= ⎝0
0
0
1
0
⎞
0
0⎠ = 𝐼𝑛
1
Si 𝐵𝑉 y 𝐵𝑉′ = {𝑣1′ , · · · , 𝑣𝑛′ } son bases de 𝑉 a la matriz (id𝑉 )𝐵𝑉 ,𝐵𝑉′ se le llama matriz de cambio de base de
𝐵𝑉 a 𝐵𝑉′
Ejemplo
R2
id
/ R2
𝐵 = {(1, 1), (0, −1)}
(︂
(id𝑉 )𝐵,𝒞R2 =
1
1
)︂
0
−1
Proposición
Sean 𝑓 : 𝑉 → 𝑊 aplicación lineal, 𝐵𝑉 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉 , 𝐵𝑊 = {𝑤1 , · · · , 𝑤𝑚 } base de 𝑊 , 𝑔 : 𝑊 → 𝑉 ′
aplicación lineal y 𝐵𝑉 ′ = {𝑣1′ , · · · , 𝑣𝑠′ } base de 𝑉 ′
4.1. Aplicaciones lineales
57
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Si 𝐴 = (𝑓 )𝐵𝑉 ,𝐵𝑊 ∈ ℳ𝑚×𝑛 (K) y 𝐵 = (𝑔)𝐵𝑊 ,𝐵𝑉 ′ ∈ ℳ𝑠×𝑚 (K) entonces (𝑔 ∘ 𝑓 )𝐵𝑉 ,𝐵𝑉 ′ = 𝐵𝐴.
En particular, si 𝑓 es un isomorfismo (𝑛 = 𝑚)
/𝑊
𝑉
𝐴 = (𝑓 )𝐵𝑉 ,𝐵𝑊 ∈ ℳ𝑛 (K)
⏟
⏞
⇓
𝐴 es no singular
𝑓
Corolario
Con 𝑓 : 𝑉 → 𝑊 aplicación lineal, 𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉 y 𝐵 ′ = {𝑤1 , · · · , 𝑤𝑛 } base de 𝑊 se verifica
𝑓 isomorfismo
⇕
(𝑓 )𝐵,𝐵 ′ = 𝐴 es no singular
Demostración
”⇓”
𝑉
𝑓
/𝑊
𝑓 −1
𝐵′
𝐵
∃𝑓 −1 : 𝑊 → 𝑉 inversa de 𝑓
⧸︂
/𝑉
𝐵
𝑓 −1 ∘ 𝑓 = id𝑉 : 𝑉 → 𝑉
𝑓 ∘ 𝑓 −1 = id𝑊 : 𝑊 → 𝑊
𝐼𝑛 = (𝑓 −1 ∘ 𝑓 )𝐵,𝐵 = (𝑓 −1 )𝐵 ′ ,𝐵 · (𝑓 )𝐵,𝐵 ′
⏟
⏞
⇓
𝐴 es no singular
”⇑”
𝐴 no singular ⇔ ∃𝐴−1 inversa de 𝐴
𝑔:𝑊 →𝑉
𝑔(𝑤𝑗 ) :=
𝑛
∑︁
𝐴−1 (𝑖, 𝑗)𝑣𝑖 aplicación lineal
𝑖=1
(𝑔)𝐵 ′ ,𝐵 = 𝐴−1 y 𝑔 es inversa de 𝑓
Definición
Con 𝑉 espacio vectorial, 𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } y 𝐵 ′ = {𝑣1′ , · · · , 𝑣𝑛′ } bases de 𝑉
Se llama matriz de cambio de base de la base 𝐵 a la base 𝐵 ′ a la matriz asociada a id𝑉 respecto de las bases 𝐵 y 𝐵 ′
(id𝑉 )𝐵,𝐵 ′ es una matriz no singular ya que la aplicación identidad es biyectiva.
Proposición
Toda matriz de orden 𝑛 y no singular 𝐴 es una matriz de cambio de base.
4.1. Aplicaciones lineales
58
Apuntes de Álgebra, Publicación 0.0.1
Demostración
Con 𝑉 K-espacio vectorial, dim 𝑉 = 𝑛 y 𝐵 ′ = {𝑤1 , · · · , 𝑤𝑛 } base de 𝑉 definimos
𝑣𝑗 :=
𝑛
∑︁
𝑎𝑖𝑗 𝑤𝑖
∀𝑗 = 1, · · · , 𝑛
𝑖=1
El conjunto {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } = 𝐵 es base de 𝑉 ya que 𝐴 es no singular
(id)𝐵,𝐵 ′ = 𝐴
4.1.7 Isomorfismo de asignación de coordenadas
Definición
Con dim 𝑉 = 𝑛 y 𝐵 = {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑛 } base de 𝑉
Existe un isomorfismo 𝑓𝑖 : 𝑉 → K𝑛 definido por 𝑓 (𝑣𝑖 ) = 𝑒𝑖
asignación de coordenadas.
∀𝑖 = 1, · · · , 𝑛 al que llamamos isomorfismo de
𝑓 es lineal y es isomorfismo ya que la imagen de una base del dominio es una base del rango.
𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑣𝑛
𝑓 (𝑣) = 𝛼1 𝑓 (𝑣1 ) + · · · + 𝛼𝑛 𝑓 (𝑣𝑛 ) = 𝛼1 (1, 0, · · · , 0) + · · · + 𝛼𝑛 (0, · · · , 0, 1) = (𝛼1 , 𝛼2 , · · · , 𝛼𝑛 )
4.1. Aplicaciones lineales
59