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TRAZADOS BÁSICOS EN EL PLANO
OBJETIVOS
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Recordar conceptos y construcciones elementales sobre
lugares geométricos, ángulos, etc. y hallar aplicaciones.
1 LUGARES GEOMÉTRICOS
Un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica reciben el
nombre de lugar geométrico (l.g.).
1.1 La circunferencia.
El ejemplo más sencillo de definición de una figura como lugar geométrico es la circunferencia (fig.1.1a): lugar geométrico de todos los
puntos del plano que equidistan una distancia,
llamada radio ( r ), de un punto fijo, llamado
centro (O). Así, el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r que pasan por un punto P, es una circunferencia de
centro dicho punto y radio POi = r (fig. 1.1b).
Aunque no se puede hablar en sentido estricto
de los lugares geométricos como un método,
es un recurso conceptual muy intuitivo y habitual en la práctica del dibujo.
1.2 Mediatriz de un segmento.
Es el l.g. de los puntos del plano equidistantes
de los extremos del segmento AB dado.
Dicha mediatriz es la recta m perpendicular al
segmento AB por su punto medio M .
Para construirla se hace centro en los extremos
A y B del segmento considerado y se trazan
arcos de igual radio que se cortan en los puntos
P y Q . Su unión determina la recta mediatriz
del segmento AB considerado.
1.3 La mediana, como paralela media.
El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas paralelas (r y s) es la mediatriz n del segmento que tiene por extremos los
puntos A y B ; es, en definitiva, la paralela
media o mediana de las rectas consideradas.
Así, en una autovía, la mediana es la línea que
separa los dos sentidos de circulación.
1.4 Bisectriz de un ángulo.
Es el l.g. de los puntos del plano equidistantes
de los lados del ángulo. Es la semirrecta que
divide el ángulo en dos partes iguales.
1.4.1 Trazado si el vértice está localizado.
Con centro en el vértice V se dibuja un arco
cualquiera que corta a los lados en A y B . Con
centro en ellos, se trazan dos nuevos arcos, de
igual radio, consiguiendo el punto P. La unión
de P con V determina la recta bisectriz .
1.4.2 Trazado si el vértice no está localizado.
Sea el ángulo formado por las rectas r y s,
cuyo vértice es inaccesible.
Se traza una secante t cualquiera y se dibujan las bisectrices a, b, c y d de los ángulos
que forman la secante con los lados del ángulo. Dichas rectas se cortan en P y Q, definiendo la bisectriz buscada.
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Disponer de un medio de investigación inductiva en la elaboración de esquemas geométricos.
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Familiarizarse con las herramientas tradicionales (escuadra,
cartabón y compás), manejándolas con precisión y soltura.
2 ÁNGULOS EN LA
CIRCUNFERENCIA
2.1 Ángulo central.
Su vértice está situado en el centro de la circunferencia y sus lados son radios.
La medida del ángulo central es la misma que
la del ángulo que abarca.
Esto es:
α = AB
2.2 Ángulo inscrito.
Su vértice está en la circunferencia y sus lados
son cuerdas de la misma.
El valor del ángulo es la mitad del central cuyos lados pasan por los extremos de la cuerda.
Para demostrarlo consideremos un ángulo inscrito con un lado como diámetro. En el triángulo
isósceles AOV , se tiene: α = γ ; y el ángulo
exterior β = α + γ = 2 α ; luego: α = β / 2
Por tanto, en general, para un ángulo inscrito
con sus lados cuerdas cualesquiera, como el
a MVN de la figura adjunta, se verificará que:
α= β /2
2.3 Ángulo semiinscrito.
Su vértice está en la circunferencia y sus lados
lo forman una cuerda y una tangente.
El valor de un ángulo semiinscrito, como en un
inscrito, es la mitad del ángulo central, cuyos
lados pasan por los extremos de la cuerda.
Como OVB es recto y el triángulo AOV es
isósceles: α = 90° - γ = 90° - (180° - β ) / 2
esto es:
α = β /2
2.4 Ángulo exterior.
Su vértice es exterior a la circunferencia y sus
lados son secantes o tangentes a ella.
Su valor es igual a la semidiferencia de los ángulos centrales que abarcan sus lados.
En el triángulo ACV que se forma, se cumple:
α = 180° - VAC - (180° - ACB )
α = 180° - γ / 2 - (180° - β / 2 ) ; luego:
α = (β - γ ) /2
2.5 Ángulo interior.
Su vértice es interior a la circunferencia.
Su valor es igual a la semisuma de los ángulos
centrales que abarcan sus extremos y el ángulo opuesto por el vértice.
Considerando el triángulo BCV , se cumple:
α = 180°- BVC = 180°- (180°- VBC - VCB)
α = 180° - (180° - γ / 2 - β / 2 ) ; luego :
α = (β + γ) /2
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5 CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS
3 ARCO CAPAZ
«Es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se observa un segmento,
de dicho plano, bajo un mismo ángulo».
La construcción del arco capaz de un ángulo α
(cualquiera) de un segmento AB , consiste en
dibujar un arco de circunferencia tal que los
ángulos inscritos en ella, que determinan una
cuerda AB , tengan el valor α.
Si el ángulo inscrito mide α, el central valdrá
2α y, en consecuencia, en el triángulo OAB su
ángulo γ será el complementario de α :
γ = (180° - 2α ) / 2
= 90° - α
Por tanto, para construir un arco capaz de un
ángulo α dado, cuyos lados pasen por dos
puntos A y B , se procede como sigue:
- Por A se traza el ángulo α dado y la recta s
perpendicular a r , que corta a la mediatriz m
en el punto O , centro del arco capaz.
- Con centro O y radio OA = OB se dibuja el arco capaz, lugar geométrico de todos los puntos que miran con el mismo ángulo los extremos del segmento AB .
El arco capaz simétrico respecto del segmento
AB considerado, también es solución.
4 RECTIFICACIÓN APROXIMADA DE
ARCOS DE CIRCUNFERENCIA
En Geometría, se entiende por rectificación el
determinar, sobre una línea recta, la longitud de
una curva, de un arco o de una circunferencia.
4.1 Rectificación de una semicircunferencia.
La longitud de la semicircunferencia es igual a
la suma de los lados del triángulo equilátero
( l 3 ) y el cuadrado ( l 4 ) inscritos en ella.
En la figura, el punto 3 (obtenido al llevar desde el
punto 1 dos veces el radio), determina l3 =1-3 .
La distancia l 4 =1-4 (lado del cuadrado inscrito) se consigue trazando dos diámetros perpendiculares. La suma de ambos segmentos es
aproximadamente igual a π ·r (longitud de la
circunferencia), como se demuestra, analíticamente, en la parte inferior de la figura.
4.2 Rectificación de una circunferencia.
Siguiendo la construcción anterior, la rectificación
será igual a la de un segmento suma de dos semicircunferencias. Esto es: AB + AB = 2 π r.
4.3 Rectificación de un cuadrante.
La determinación del punto medio del segmento AB , mediante el trazado de su mediatriz, define el segmento AB / 2 , cuya longitud es la rectificación de un cuadrante de circunferencia.
4.4 Rectificación de un arco menor de 90°.
Dado AR < 90° , se procede como sigue:
Se une el centro O con el extremo A del arco,
se divide el radio OM en cuatro partes iguales y
se toma MN igual a tres de dichas partes. La
recta NR corta a la recta perpendicular al diámetro por A en el punto B. El segmento AB es
la rectificación del arco de circunferencia AR.
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