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TRAZADOS EN EL PLANO
Trazados fundamentales en el plano
Arco capaz
Cuadrilátero inscriptible
Teoremas del cateto y de la altura
TEMA
ti.
Objetivos y orientaciones
metodológicas
El objetivo de este tema es, en primer lugar,
completar los conocimientos adquiridos en el
tema "Trazados fundamentales en el plano"
del libro Dibujo Técnico 1del curso pasado; en
segundo lugar adquirir el concepto de "arco
capaz" de un segmento bajo un ángulo dado
y sus aplicaciones prácticas. Finalmente estos
problemas servirán de repaso del concepto de
"lugar geométrico".
Fig. 1. La arquitectura
utiliza los trazados
DIBUJO
TÉCNICO
geométricos.
11- Bachillerato
11
1. Trazado de la perpendicular a una
semirrecta en su extremo (Fig. 2)
p
p
4
3
Sea la semirrecta O-t, de origen o. Se toman cinco
segmentos iguales y se construye un triángulo rectángulo
de lados3, 4 y 5 (estos números se llamanpitagóricos,
ya
que se verifica 32 + 42 = 52). Para ello, se tomaON = 3;
con centro enN se traza el arco de radio 5 y con centro en
O se traza el arco de radio 4; estos dos arcos se cortan en
P La rectap que une los puntos O y P es la perpendicular
a la semirrecta t en su extremo o.
o
Fig. 2.
2. Trazado de las rectas paralelas a
otra a una distancia dada (Fig.3)
Recuérdese la definición de rectas paralelas: son dos
rectas coplanarias que se cortan en el punto del infinito
de ellas, llamado punto impropio.
Sea la rectar y hay que trazar las rectas s y u paralelas
a ella a la distancia t. Se toman dos puntos cualesquiera
R y S de la recta t y se traza por cada uno de ellos la
perpendicular a ella. Con centros en R y S Yradio t. se
trazan los arcos que cortan a las perpendiculares
anteriores en los puntos E, G, F YH. Las rectas s y u son
las paralelas pedidas
Fig. 3.
~. Trazado de la recta que pasando
por un punto P sea concurrente
con otras dos rectas r y s que se
cortan fuera del dibujo (Fig.4)
N
Por P se trazan dos rectas cualesquieraPN y PM, con
lo cual se obtiene el triángulo NMP A partir de un punto
cualquiera N' deJ, se dibuja el triángulo N'M'?, cuyos
lados sean paralelos a los del triángulo anterior, estando
M' en s. La recta solución es P- P'.
Fig. 4.
4. Bisectriz de un ángulo cuyos lados
se cortan fuera del dibujo (Fig. 5)
Sea el ángulo formado por las rectasry s, cuyo vértice
.es inaccesible. Se traza una secante t cualquiera y se
determinan las bisectricesa, b, e yd de los ángulos que
forma t con ry s; estas bisectrices se cortan enPy Q; la
rectaPQ es la bisectriz buscada. En un triángulo, cada
vértice y los puntos de intersección de las bisectrices .
interiores y exteriores están en línea recta.
Fig. 5.
12
DIBUJO TÉCNICO
II - Bachillerato
5. Trazado de la bisectriz
ángulo mixtilíneo (Fig. 6)
de un
s
El ángulo está formado por la recta r y el arco de
centro O; el vértice es el punto O'. Se toma un radio
cualquiera OA del arco y se van tomando segmentos
igualesA-1' = 1'-2'; igualmente, sobre una perpendicular
a r se van tomando segmentos iguales a los anteriores.
La paralela por 1 a ry el arco concéntrico al s que pasa
s
por 1' se cortan en P, punto de la bísectríz buscada, En la
figura se han determinado una serie de puntos que
unidos con O' dan la curva bisectriz.
o
6. Trazado de la bisectriz
ángulo curvilíneo (Fig. 7)
de un
Fig. 6.
El procedimiento es el mismo que para el ángulo
mixtilíneo. Los dos arcos que forman el ángulo son a y b,
de centros 01 y O2 siendo V el vértice. Los arcos
concéntricos a los anteriores por los puntos 1,2, etc., van
dando, al cortarse, puntos de la bisectriz, tales como los
MyN
01
7. Construcción
de ángulos
compás (Figs. 8 a 13)
con el
En las figuras siguientes se afÍaden seis nuevas
construcciones, como complemento a las estudiadas en
el ~urso pasado.
-,
- Angulo
de 37° 30'(Fig.
Fig. 7.
b
8):
Se traza la bisectriz f del ángulo AOi5 de 750. La
solución es el ángulo Fé5A que forman las rectasfy a.
- Ángulo
a
de 105° (Fig. 9)
Se obtiene como suma de los ángulos de 90° y 150.
Para esto, se toma la cuerda BE = BD sobre la
prolongación del arcoAB. La solución es el ánguloEOA
que forman las rectas e ya.
------
- Ángulo
de 120° (Fig. 10)
Fig. 9.
Fig. 8.
b
1200
b
1350
Se construye como suma de los ángulos de 90° y 300.
~
El ánguloAOC es de 60°, luego el ángulo que forma la
recta e == OC con la semirrecta O-a es de 1200.
-Ángulo
de 135° (Fig. 11):
Se construye como suma de los ángulos de 90° y 45°;
el ángulo que forman e ya es de 1350.
a
a
Fig, 11.
Fig. 10.
DIBUJO TÉCNICO
II - Bachillerato
13
• Ángulo
b
180'
ISO'
Se obtiene como suma de los ángulos de 90° y 60°; el
ángulo que forman e y a es de 150°.
180'
b
o
de 1500 (Fig. 12):
• Ángulo
de 180° (Fig. 13)
Es el ángulo llano y su construcción es inmediata. Las
semirrectas O-a y O-b forman 180°. Los lados de este
ángulo están en prolongación.
a
Fig. 13.
Fig. 12.
8. Arco capaz
/
Fig. 14.
~---«
Supongamos la circunferencia de centro O y en ella
una cuerda P-O (Fig. 14). Si tomamos puntos de esta
circunferencia, tales camaL, N, M, etc., y los unimos con
P y O, tenemos una serie de ángulos inscritos que son
iguales porque sus extremos abarcan el mismo arco
PSO de circunferencia.
Arco capaz de un segmento P-O bajo un ángulo A
es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los
cuales se ve este segmento bajo el ángulo A (Fig. 14).
s
N
(Figs. 14 y 15)
Para construir el arco capaz del segmento P-O que se
vea bajo un ángulo A (Pig. 15), se toma el segmento
P-O, se traza su mediatriz m y se dibuja la rectar que
forme el ángulo A conP-O. La perpendicular porP al lado
r del ángulo A corta en O a la mediatriz.
R
__
M
El arco de circunferencia
PRO de centro O y radio
OP = 00 es el arco capaz. Ouiere decir esto que
tomando puntos como 10sN y M Yuniéndolos con P y O,
se obtienen ángulos iguales al A.
El valor del ánguloA, semiinscrito, es igual a la mitad
del ángulo central E, ánguloP-O-Q
r-;
\
J
~
S
El arco P-S-O sería el arco capaz del segmento
baja un ángulo de 1800-A
P-O
Fig. 15.
v
9. Aplicación
del arco capaa en la
construcción de un triángulo
(Fig. 16)
Los datos del triángulo son los lados a y b Yel ángulo
al lado a.
A opuesto
Se puede obtener el triángulo construyendo el arco
A
capaz del segmento a bajo el ángulo A Si b = bl, hay
dos soluciones, que son los triángulos AlEG y A'lEG, los
cuales se obtienen haciendo centro en G y con radio b 1
cortando el arco capaz, que es la circunferencia de centro
O y radio OE = OG. Si b = b ; igual al diámetro de la
circunferencia que contiene el arco capaz, hay una sola
solución, triángulo A2EG. Si b = b., mayor que el
diámetro de la circunferencia,
Fig. 16.
14
DIBUJO TÉCNICO"
- Bachillerato
solución.
el problema no tiene
10. Cuadrilátero inscriptible (Figs. 17 y 18)
Un cuadrilátero es inscriptible
inscrito en una circunferencia.
cuando puede ser
Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia cuando sus cuatro vértices están en ella
(Fig. 17).
De lo estudiado en la construcción del arco capaz (Fig.
15) podemos deducir que, por ejemplo, los arcosBA15 y
Bci5 son arco capaz de la diagonal BD y los vértices A y
e, opuestos, tienen ángulos suplementarios, es decir,
suman 1800. También son suplementarios los ángulos
opuestos By D. Según esto se puede decir que todo
cuadrilátero
convexo cuyos ángulos opuestos son
suplementarios es inscriptible.
Fig. 17.
B
En todo cuadrilátero inscrito, son iguales los ángulos que
forman las diagonales con dos lados opuestos (Fig. 18).
Al
= =e = =
El; E2
2;
el
DI; D2
A2
Recíprocamente se puede decir que todo cuadrilátero
convexo es inscriptible,
si cumple alguna de las
igualdades anteriores.
Aplicación: Un cuadrilátero es inscriptible en una
circunferencia demostrando cualquiera de estas dos
propiedades:
1. Que los ángulos
suplementarios.
de dos vértices
opuestos
son
2. Que los ángulos formados por las diagonal es con
dos lados opuestos son iguales.
Fig. 18.
11. Construcción gráfica de la cuarta
proporcional a tres segmentos a,
b y e (Fig. 19)
La cuarta proporcional x a tres segmentos a, b y e se
expresa así:
1+=+1
Esta fórmula se construye en la figura aplicando el
teorema de Thales.
Fig. 19.
12. Construcción gráfica de la tercera
proporcional a dos segmentos
a
y b (Fig. 20)
La tercera proporcional x a dos segmentos
expresa así:
a y b se
1+=+1
Se construye como en el caso anterior en el que se
repite el segmento b.
Fig. 20.
DIBUJO
TÉCNICO
II - Bachillerato
15
13. Construcción gráfica de la media
proporcional a dos segmentos a
yb
a
b
Primer
procedimiento
(Fig. 21).
La media proporcional x a dos segmentos
expresa así:
a
y b se
proporción en la que se desconoce el medio común, o lo
que es igual: X2 = a . b. Aplicamos el teorema de
triángulos rectángulos que dice: un cateto es media
proporcional entre la hipotenusa
y su proyección
sobre ella. Según esto, tomamos el segmento a y,
superpuesto con él, el segmentob; la semicircunferencia
de diámetro a nos permite obtener el segmento x, media
proporcional buscada.
a
Fig. 21.
a
b
Segundo
procedimiento
(Fig. 22).
En la figura se obtiene por otro procedimiento la media
proporcional x a los segmentos a y b, aplicando el
teorema de triángulos rectángulos que dice: la altura
sobre la hipotenusa
es la media proporcional
entre los segmentos
en que la divide.
x
Tercer procedimiento
En esta figura se obtiene la media proporcional x a los
segmentos a y b sabiendo que la potencia de un
punto respecto
de una circunferencia
es igual
al cuadrado
de la tangente
trazada
desde el
punto a la circunferencia (este concepto de potencia
se explica en el capítulo siguiente). Según esto, colocados
los segmentos a y b como indica la figura, se traza la
tangente desde el extremo común de a y b a la circunferencia de diámetroa-b.
a
b
(Fig. 23).
Fig. 22.
a
b
a
\
b
14. Problema (Fig. 24)
Dados dos puntos A y B Y una recta r que los
separa, encontrar en ésta el punto P tal que la
diferencia PA-PB sea máxima.
Se halla el simétrico del punto E respecto a la recta r,
punto E', y se une con A. El punto P es el pedido y la
Fig.
23.
diferencia máxima es AB '.
15. Problema (Fig. 25)
Dados dos puntos A y B Y una recta r tal que los
dos puntos están en el mismo semiplano, encontrar
en ésta el punto P tal que la suma PA + PE sea
mínima.
Se halla el simétrico del puntoA respecto a r, y se une
B
con el punto E . El puntoP es el pedido y la suma mínima
o
A'
Fig. 24.
16
DIBUJO TÉCNICO 11- Bachillerato
esPA
Fig. 25.
+ PB.
A
16. Construcción de un cuadrado equivalente a un pentágono regular
(Fig.
B
L
26)
Se transforma el pentágono en el triángulo equivalente
1-M-N mediante las paralelas 5-M Y2-N a las diagonales
1-4 y 1-3 del pentágono. Después, a partir del triángulo,
se obtiene el cuadrado equivalente: V = b . a/2; según
esto, basta construir la media proporcional entre la base
y la mitad de la altura para tener el lado L del cuadrado.
p
17. Cuadratura del círculo
(Fig. 27)
Fig. 26.
Se pide construir el cuadrado equivalente a un círculo
dado. Aunque este problema no es exacto, ya que
interviene en el área el número inconmensurable n, se
puede obtener gráficamente con bastante aproximación.
El área del círculo es nr2 y la del cuadrado buscado es V.
Igualando las dos superficies se tiene rrr- = V, o lo que
es igual: V = nr . r. De aquí se deduce que elladoL del
cuadrado que buscamos es media proporcional entre
los segmentos tti y r. En la figura, se toma el radio r y el
segmento ttr, que es la rectificación de la semicircunferencia (suma de PR y PO), y se traza la semicircunferencia de diámetror + tti. El segmentoL = AD es el lado
del cuadrado buscado y con él se construye éste.
Fig. 27.
18. Construcción de un círculo equivalente a una elipse (Fig. 28)
Se igualan las áreas de las dos figuras y tendremos:
nrz = nab; de esto se deduce r' = a . b. Basta hallar la
media proporcional entre los semiejes a y b de la elipse
para obtener el radio r del círculo equivalente. En la
figura, ON = OD = b y OE = a; se traza la circunferencia
de diámetro NE = a-b y la tangente a ella desde O es el
radior = OPde la circunferencia equivalente a la elipse.
Fig. 28.
DIBUJO
TÉCNICO
11- Bachillerato
17
19. Teoremas del cateto y de la altura
en un triángulo rectángulo (Fig. 29)
En el apartado 13, para construir la media proporcional a dos segmentos, hemos hecho aplicación gráfica
de estos dos teoremas.
En un triángulo rectángulo se considera la altura a la
perpendicular AD desde el vértice del ángulo recto a la
hipotenusa CE.
"Cada cateto
es media proporcional
entre
hipotenusa
y su proyección
sobre ella."
la
a
b
-----
b
m
La segunda expresión se deduce de considerar
semejanza entre los triángulos CAE y ADB.
Los triángulos ADC y ADE son semejantes
los dos son semejantes al CAE. Se deduce:
m
h
h
n
"La altura
cional entre
la
y a su vez
sobre la hipotenusa
es media proporlos segmentos
en que la divide."
Sumando las relaciones
anteriores
resulta
b2 =a'm
d =a'n
b2 +c2 =am +00 =a(m + n)=aa =a2
I
Fig. 29.
2
b
+ c2
=
2
a
I
expresión que enuncia el teorema de Pitágoras:
La altura divide a la hipotenusa en dos segmentos m
y n que son las proyecciones ortogonales de cada cateto
sobre ella.
Los triángulos
CAE y ADC son semejantes
y de esta
semejanza se deduce el teorema:
"El cuadrado
de la hipotenusa
es igual
suma de los cuadrados
de los catetos."
a la
Un triángulo cuyos lados sean proporcionales a 3,4 Y
5 (números pitagóricos) es rectángulo, pues se verifica
que 52 = 42 + 32.
ACTIVIDADES
1. Dado un ángulo de 22° 30' construir
tenga por vértice un punto dado.
otro igual que
7. Empleando
la teoría del arco capaz construir un
triángulo cuyos datos son a = 3 cm, b = 4,5 cm y A =
300.
2. Por un punto dado exterior a una recta, trazar otra
que forme con ella un ángulo igual a otro dado.
3. z.Córno se construye
transportador?
un ángulo
por medio
4. Dividir un ángulo en un número cualquiera
iguales (transportador).
del
de partes
5. Dividir un ángulo recto en tres partes iguales.
6. Dado un segmento
AB = 4 cm, hallar el arco capaz
del mismo bajo ángulos de 45° y 1350.
18
DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato
Estudiar la posibilidad de que según sea mayor o
menor el valor de b, el problema tenga dos soluciones,
una o ninguna.
8. Construir el triángulo rectángulo del que se conoce la
altura h = 3 cm y la proyección m = 2,5 cm de un
cateto sobre la hipotenusa.
9. Construir el triángulo rectángulo
conociendo
los
segmentos m = 3 cm y n = 5 cm en que su altura
divide a la hipotenusa.