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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 1º B.C.N Siempre hay que tener en cuenta, tanto en los datos (verificarlos) como en los resultados, que se tiene que cumplir: (1).‐ La suma de los tres ángulos 1800. (2).‐La suma de dos lados cualesquiera ha de ser mayor que el tercero (desigualdad triangular) (3).‐ El ángulo mayor tiene que estar enfrentado al lado mayor y el menor al lado menor. 1ºCASO : CONOCIDOS LOS TRES LADOS (VERIFICAR LA DESIGUALDAD TRIÁNGULAR) (TEOREMA DEL COSENO) Nota: Resulta más fácil aplicar el TEOREMA DEL COSENO para no tener que estudiar cual de las dos soluciones del seno ( A y 1800‐A) es la que corresponde. Ej.: Resolver el triángulo: a=4, b=3, c=a. Se cumple la desigualdad triangular, única solución) a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cos A cos A = 0.805… A = arc. cos (0.85) = 360.33.. b2 = a2 + c2 – 2.a.c. cos B cos B = 0.896.. B = arc. cos (0.896) =260,385.. c2 = a2 + b2 – 2.a.b. cos C cos C = ‐0.45.. C = arc. cos (‐0.45) = 1170.279.. ( C = 1800‐(A+B) ) 2º CASO : CONOCIDOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO COMPRENDIDO. (TEOREMA DEL COSENO) *Nota: Resulta más fácil aplicar el TEOREMA DEL COSENO para no tener que estudiar cual de las dos soluciones del seno ( A y 1800‐A) es la quE Ej.: Resolver el triángulo: b= 4, c= 6 y A = 45 2 2 2 a = b + c – 2.b.c. cos A a = 0 . c2 = a2 + b2 – 2.a.b. cos C cos C = 0.48… C = arc. cos (0.48) = 180.45.. (ver nota). B= 1800‐(A+C) B = 1160.565.. (TAMBIÉN REPETIR TEOREMA DEL COSENO PARA B, EVITARIA ERRORES). 3º CASO : CONOCIDOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO AGUDO NO COMPRENDIDO ENTRE ELLOS. (TEOREMA DEL SENO) Ej.: Geométricamente puede ocurrir: 1.‐ EL TRIÁNGULO NO EXISTA. Al aplicar el teorema del seno, se obtiene mayor que la unidad. 2.‐ TRÍANGULO EXISTE Y ES ÚNICO: Uno de los ángulos del teorema del seno no cumplirá (1) 3.‐ DOS POSIBLES TRIÁNGULOS SOLUCIÓN: Aplicando teorema del seno, ambas soluciones válidas. 0 1.‐Ej.: Resolver el triángulo: C= 60 , b = 10 y c= 7. 2.‐Ej.: Resolver el triángulo: A= 250, a = 5 y b = 4 B= 190.76.. C= 1350.24.. sen B = 0.33.. B=1600.24.. Imposible A+B>1800 c = 8.33.. ( Aplicando T. del seno o del coseno) B DOBLE SOLUCIÓN 3.‐ Ej.: Resolver el triángulo: A= 450, a = 4 y b = 5 B = 620.11.. C = 720.89.. c=5.41.. a =4 B B = 1170.89.. C =170.11.. c= 1.66 0 C a=4 A = 45 Ambas soluciones son válidas b= 5 4º CASO : CONOCIDOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO OBTUSO NO COMPRENDIDO ENTRE ELLOS. (TEOREMA DEL SENO) VERIFICAR LA DESIGUALDAD TRIÁNGULAR).Nota: Aplicando el TEOREMA DEL SENO, aparece un valor del ángulo que no cumple (1). Ej.: Resolver el triángulo: A= 1500, b = 8 y a = 12. Por construcción geométrica: TRIÁNGULO B= 190.47.. C=100.53.. EXISTE Y LA SOLUCIÓN sen B = 0.33..B = arc. sen(0,33) = ÚNICA. 0 B =160 .52..Imposible 0 A+B>180 c= 4.386.. 5º CASO : CONOCIDOS UN LADO Y DOS ÁNGULOS. (TEOREMA DEL SENO) Ej.: Resolver el triángulo: A= 600, B = 750 Y c = C = 1800‐(A+B) = 450. a= 1.73… . Por construcción geométrica: TRIÁNGULO EXISTE Y LA SOLUCIÓN ÚNICA. b = 1.93.. I.E.S PROFESOR MÁXIMO TRUEBA CURSO 2008/2009. Rosa Hernández Gila
