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Trigonometría
TRIGONOMETRÍA
DEFINICIÓN
La trigonometría se ocupa, principalmente, de estudiar la relación entre
lados y ángulos de un triángulo, y surgió a razón de las necesidades de
la astronomía, la cartografía (el estudio de mapas), la artillería, entre
otras.
La trigonometría, que necesitó para su desarrollo de elementos de
aritmética (para la configuración de tablas), álgebra (para establecer
fórmulas que relacionan ángulos y lados de un triángulo) y geometría,
tuvo un florecimiento mucho más tardío que la geometría.
HABLEMOS DE TRIÁNGULOS
Como lo expresamos en la definición de trigonometría, trabajaremos en
este capítulo fundamentalmente con triángulos. Por lo tanto, diremos que
un triángulo es un polígono de tres lados (se sobreentiende que se trata
de un triángulo cerrado).
B
Vemos en el triángulo ABC:
Los puntos A, B y C se llaman vértices.
c
a
Los segmentos AB, BC y CA se llaman
lados (también los podemos llamar a, b y
C
c, de acuerdo a que estén opuestos a los A
b
vértices A, B y C respectivamente).
Los ángulos ABC, BCA y CAB se llaman ángulos interiores (la letra que
se escribe en el medio de las tres que forman parte del nombre del
ángulo, es la que corresponde al vértice del mismo). Pueden designarse
también A, B y C, de acuerdo al vértice.
Los triángulos, de acuerdo a sus ángulos, se pueden clasificar en
acutángulos (cuando los tres ángulos son agudos), rectángulos (cuando
un ángulo es recto) y obtusángulos (cuando un ángulo es obtuso).
Particularmente, en el triángulo rectángulo el lado mayor (que es el que
se opone al ángulo recto) se llama hipotenusa. Los demás lados (que se
oponen a los ángulos agudos) se llaman catetos.
Los triángulos, de acuerdo a sus lados, se pueden clasificar en
equiláteros (cuando los tres lados son iguales), isósceles (cuando dos
lados son iguales y uno es desigual) y escalenos (cuando los tres lados
son desiguales).
Una particular propiedad de los triángulos, nos dice que la suma de sus
ángulos interiores es igual a 180°, o dos ángulos rectos.
A su vez, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los catetos. Esta
97
MATEMÁTICA BÁSICA
propiedad se conoce como Teorema de Pitágoras y nos será de mucha
utilidad más adelante.
ÁNGULOS ORIENTADOS EN UN SISTEMA CARTESIANO
Precisemos cómo consideramos a un ángulo
en un sistema de coordenadas cartesianas:
su
vértice
coordenadas.
es
el
origen
y
de
está generado por la rotación de una
+
0
x
_
semirrecta o rayo con origen en (0;0).
El rayo parte desde una posición inicial
coincidente con el semieje positivo de
las x -éste será su lado inicial- y gira
manteniendo fijo su origen hasta llegar a una posición que marca
su lado terminal. Además puede realizar más de un giro completo.
es positivo cuando está generado en el sentido contrario al
movimiento de las agujas del reloj y negativo cuando está
generado en el sentido horario.
para referirnos a su ubicación, consideramos el plano cartesiano
dividido en cuatro sectores, llamados cuadrantes, y localizamos el
lado terminal.
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Hay varios sistemas de medición de ángulos. Entre ellos, los más usados
son el sistema sexagesimal y el sistema circular.
En el sistema sexagesimal, la unidad de medida es el grado, que
corresponde a la 360-ava parte de la circunferencia. A su vez, cada
grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas minutos, y
cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos.
Así, si un ángulo mide 34°14´23´´ leemos: 34 grados, 14 minutos, 23
segundos.
Por lo tanto:
un ángulo central tiene 360°,
un ángulo llano tiene 180°,
un ángulo recto tiene 90°,
98
Trigonometría
un ángulo obtuso tiene entre 90 y 180 grados,
un ángulo agudo tiene entre 0 y 90 grados.
Llamamos ángulos complementarios a los que suman 90° y ángulos
suplementarios a los que suman 180°.
En el sistema circular, se llama radián al ángulo
que, teniendo su vértice en el centro de un círculo,
corta en su circunferencia un arco de longitud igual
al radio.
r
O
α
r
Si sabemos que una circunferencia completa tiene
360° y su longitud es 2. π .r podemos ver que:
2.π .r
= 2π radianes
r
Se puede observar en la gráfica, la medida aproximada de un radián que
equivale aproximadamente a 57° 17´ 45´´ ( α )
De esta manera, podemos obtener la medida en radianes de un ángulo
de α grados:
360 α
2.π .α
= ⇒x=
radianes
2.π
x
360
Así, por una simple regla de tres simple, podremos convertir grados
sexagesimales a radianes y viceversa.
Veamos estos ejemplos.
Ejemplo 1: Convertir 90° a radianes.
360 90
2.π .90
π
=
⇒x=
radianes = radianes
2.π
x
360
2
Ejemplo 2: Convertir 1,5 π a grados sexagesimales.
360 α
360 . 1,5π
=
⇒α =
= 270°
2.π 1,5
2.π
Ejercicios de aplicación. Conversión de sistemas de
medición.
1- Completa la siguiente tabla:
99
MATEMÁTICA BÁSICA
Grados
Rad.
0 30°
90°
135°
4 3
240°
π
2π
3
π π
0
150°
360°
5π
3
2π
2- Calcula el ángulo central y el interior de un decágono regular, tanto en
grados como en radianes (recuerda que un decágono es un polígono de
10 lados).
3- Calcula la medida, en radianes, de los dos ángulos que forman las
agujas del reloj cuando son las 4 hs. Considerar que ambos se generan
en sentido negativo.
4- Halla la medida, en radianes, de estos ángulos:
α 1 = 45°
α 2 = 130°
α 3 = 270° 30´
 α 4 = 20°
5- Halla la medida, en grados sexagesimales, de estos ángulos:
β 1 = π /5
β 2 = 3π

β3=2
β 4= 5 π
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Consideremos un triángulo rectángulo
ABC. En él, el vértice A corresponde al
ángulo recto y los vértices B y C
corresponden a los ángulos agudos. Por
a
consiguiente, la letra a corresponderá al
lado que se opone al ángulo recto (que
denominamos
anteriormente B
hipotenusa) y b y c a los lados que se
c
oponen a los ángulos agudos (que
denominamos catetos).
¿Cuántas razones podemos formar entre los lados a, b y c?
Son 6 y corresponden a:
b
a
;
c
a
;
b
c
;
c
b
;
a
c
;
a
b
C
b
A
Vamos a definir estas razones dándoles un nombre. Tomaremos como
referencia al ángulo agudo B. Para este ángulo, el cateto b (que es el
que se opone al vértice B, está enfrente de él) se llamará cateto opuesto
y el cateto c (que es el que está contiguo al vértice B) se llamará cateto
100
Trigonometría
adyacente. Se definen, entonces, las siguientes razones trigonométricas
(seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante del ángulo B):
cateto opuesto b
cateto adyacente c
=
cot g B =
=
hipotenusa
a
cateto opuesto
b
cateto adyacente c
hipotenusa
a
cos B =
=
sec B =
=
hipotenusa
a
cateto adyacente c
cateto opuesto
b
hipotenusa
a
tg B =
=
cos ec B =
=
cateto adyacente c
cateto opuesto b
sen B =
Las primeras razones trigonométricas son las fundamentales, pues
podrás observar que las otras tres son recíprocas de las primeras (mira
tu calculadora, y verás que sólo se encuentran las funciones
1
tg B
1
sec B =
cos B
1
cos ec B =
sen B
cot g B =
trigonométricas seno, coseno y tangente). Entonces:
Algunas identidades trigonométricas importantes
Las tres igualdades que observamos en el apartado anterior, nos
permiten relacionar a las razones trigonométricas. Estas igualdades se
llaman identidades, pues son válidas para cualquier ángulo. Veremos
ahora otras dos.
b
⇒ b = a.sen B
a
c
A su vez, si cos B = ⇒ c = a.cos B
a
Si sen B =
101
MATEMÁTICA BÁSICA
Teniendo en cuenta el Teorema de Pitágoras que definimos en el primer
apartado de este capítulo :
b 2 + c 2 = a 2 y reemplazando por las igualdades que obtuvimos anteriormente,
a 2 sen 2 B + a 2 cos 2 B = a 2 y si dividimos ambos miembros por a 2 , nos queda :
sen 2 B + cos 2 B = 1
Otra identidad importante que vincula al seno, el coseno y la tangente es
la siguiente:
Hagamos el cociente entre el seno y el coseno del ángulo B :
b
sen B a b.a b
= =
=
cos B c c.a c
a
tan B =
El cociente
b
es la tangente. Por lo tanto :
c
sen B
cos B
LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Podemos visualizar gráficamente el seno, el coseno y la tangente de un
ángulo en un sistema cartesiano, si consideramos un punto P sobre una
circunferencia de radio 1, a la que llamamos circunferencia
trigonométrica o circunferencia unidad.
Sobre la circunferencia trigonométrica y, apoyándonos en las definiciones
dadas de las razones trigonométricas, encontraremos segmentos que
coincidan en su medida con cada una de las razones definidas, además
de poder darles un signo.
y
yp
0
1
P
x
α
102
sen α =
r
α
yp
yp
= yp
r
1
Por lo tanto, el segmento y p está asociado al seno de α .
=
Trigonometría
y
1
P
r
α
cosα =
y
1
yp
0
x
xp
0
M
r
α
xp
= xp
r
1
Por lo tanto,el segmentox p está asociadoal cosenodeα.
tg α =
P
xp
yp
xp
=
Además
yp
xp
=
MQ MQ
=
= MQ
r
1
Por ser los triángulos OPx p y OMQ , semejantes.
ypxp Q x
Por lo tanto, el segmento MQ está asociado a la
tangente de α .
Lo que hemos definido aquí para el ejemplo del ángulo alfa (que es
agudo) se puede hacer extensivo para cualquier ángulo, aunque
deberemos tener en cuenta el signo de las razones trigonométricas, de
acuerdo a los cuadrantes en los cuales se hallen los ángulos.
Estos gráficos te ayudarán a recordarlo:
y
y
2do. cuadrante
y
1er. cuadrante
+
+
_
_
3er. cuadrante
x
_
+
_
+
_
+
+
_
x
x
4to. cuadrante
SENO
COSENO
TANGENTE
103
MATEMÁTICA BÁSICA
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Como la medida en radianes de un ángulo orientado es un número real,
podemos definir las funciones seno, coseno y tangente de un número.
Comenzaremos con la función f(x) = sen x.
La función f(x) = sen x, cuyo dominio es R, asigna a cada número real
"x" el seno de ese número.
Para representarla, se puede dividir la circunferencia de radio 1 en doce
partes iguales y determinar los valores: ... π /6; π /3; π /2; 2/3 π ; ...
Luego, se trazan los segmentos asociados a esos valores y se trasladan
como muestra la figura. Recuerda lo que mostramos en el apartado
anterior: para observar la medida del seno de "x", deberás observar la
medida del cateto opuesto al triángulo formado en la circunferencia (que
anteriormente habíamos llamado xp).
π
2
π
3
2
π
3
1
π
6
π
0
π
π π π
6 3 2
3
π
2
3
π
2
2π
-1
Al unir los puntos se obtiene el gráfico de la función. Esta gráfica se llama
sinusoide.
Es continua y acotada (es decir, para ningún valor de x valen más de 1 ni
menos que -1).
Como f(0) = 0, el gráfico corta al eje y en (0,0). Como los valores que
toma la función se repiten cíclicamente cada 2 π , se cumple que:
sen (x + 2 π ) = sen x
Por eso la función es periódica; su período es 2 π .
La función f(x) = cos x, cuyo dominio es R, asigna a cada número real
"x" el coseno de ese número.
104
Trigonometría
Al igual que con el seno, para representarla, se puede dividir la
circunferencia de radio 1 en doce partes iguales y determinar los valores:
... π /6; π /3; π /2; 2/3 π ; ... Luego, se trazan los segmentos asociados a
esos valores y se trasladan como muestra la figura. Recuerda lo que
mostramos en el apartado anterior: para observar la medida del coseno
de "x", deberás observar la medida del cateto adyacente al triángulo
π
2
π
3
2
π
3
1
π
π
6
2
0
π
π π
6 3
3
π
2
π
3
π
2
2π
-1
formado en la circunferencia (que anteriormente habíamos llamado yp).
Al unir los puntos se obtiene el gráfico de la función. Esta gráfica se llama
cosinusoide.
Es continua y acotada (es decir, para ningún valor de x valen más de 1 ni
menos que -1).
Como f(0) = 1, el gráfico corta al eje y en (0,1).
Como los valores que toma la función se repiten cíclicamente cada 2 π ,
se cumple que:
cos (x + 2 π ) = cos x
Por eso la función es periódica; su período es 2 π .
Como tg x = sen x / cos x, la función f(x) = tg x, está definida para todos
los números reales para los que cos x ≠ 0.
Para construir su gráfico, procedemos así: en las abscisas
correspondientes a los valores que están excluidos del dominio de la
función (...- π /2; π /2; 3/2 π ;...), es decir, en los valores para los que
cos x = 0, trazamos rectas verticales con líneas punteadas.
105
MATEMÁTICA BÁSICA
Trazamos una recta tangente a la circunferencia en el punto M. Sobre
esta recta se marcan los segmentos asociados a las tangentes de los
valores indicados en la circunferencia de radio 1. Después, se trasladan
los segmentos a las posiciones que correspondan.
Su gráfico, a diferencia de la sinusoide y de la cosinusoide, no puede ser
dibujado de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel. Esto se
debe a las interrupciones que presenta en los valores excluidos de su
dominio. Por este motivo, la función tangente es discontinua.
El conjunto imagen es R.
Como f(0) = 0, el gráfico corta al eje y en (0,0).
Es una función periódica; su período es π .
2
π
2
π
3
2
π
3
1
π
6
π
M
3
π
2
π
0
π π
π
6 3
2
3
π
2
2π
-1
-2
Se cumple que tg (x + π ) = tg x
Tiene infinitas asíntotas verticales: una en cada uno de los valores reales
excluidos del dominio: (...; x = - π /2; x = π /2; x = 3/2 π ; ...).
INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Cada vez que buscamos un ángulo conociendo el valor de alguna de sus
razones trigonométricas, estamos aplicando una de las relaciones
inversas de éstas.
Las funciones trigonométricas inversas se llaman arcoseno, arcocoseno
y arcotangente y son las inversas de las funciones seno, coseno y
tangente respectivamente.
106
Trigonometría
Si queremos, por ejemplo, conocer el valor del ángulo x que hace
verdadera la siguiente igualdad, utilizamos las funciones inversas.
sen x = 0,5 por lo tanto x = arcosen 0,5 y esto es igual a x = 30°
(es importante tener en cuenta que esta solución no es única si tenemos
en cuenta que x tiene que valer entre 0° y 360°, pues si a 180° le
restamos 30°,obtenemos el ángulo de 150° párale cual el seno es igual a
0,5. Si tomamos como dominio todos los reales, podremos observar que
los valores 390°, 750°, etc. también son solución, pues al valor 30° le
sumamos sucesivas veces 360°).
Otro ejemplo: tg x = 1 por lo tanto x = arcotg 1 y esto es igual a x = 45°
(ahora, es importante tener en cuenta que esta solución no es la única si
tenemos en cuenta que x tiene que valer entre 0° y 360°, pues si a 45° le
sumamos 180° -obtenemos 225°-, el valor de la tangente nos dará
también 1. Es decir, podremos observar que los valores 45°, 225°, 405°,
etc. también son solución, pues al valor 45° le sumamos sucesivas veces
180°).
Ejercicios de aplicación. Funciones trigonométricas inversas
ACTIVIDAD 6
Hallar los valores de x que verifican las siguientes ecuaciones,
siendo 0° ≤ x ≤ 360°:
a) tg x = -3
b) cos x = 0,5 c) sen x = 0,6
d) 2.sen x = 0,9
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Cuando conocemos datos suficientes para que un triángulo quede
completamente definido, resolverlo es encontrar las medidas de los
restantes elementos (ángulos y/o lados).
Para triángulos rectángulos se pueden presentar dos problemas:
Conocido un lado y un ángulo,
calcular los demás elementos
Ejemplo: Dado el ángulo A = 35º y el lado
adyacente c = 10 m de un triángulo rectángulo,
calcular los demás ángulos y lados.
Comenzamos
croquizando
un
triángulo
C
b
A
c =10m
a
B
107
MATEMÁTICA BÁSICA
rectángulo insertando los datos y las incógnitas. El ángulo
B = 90º,
el ángulo C = 180º - B - A = 180º - 90º - 35º = 55º (Recordar que la suma
de los ángulos internos de un triángulo sumas 180º).
Para calcular el lado a, podemos relacionar los lados a, c y el ángulo A,
mediante la razón trigonométrica llamada tangente de A:
tgA =
a
⇒ a = c . tgA
c
⇒ a = 10.tg (35º ) ≅ 7 m
De forma similar calculamos el lado b (hipotenusa): relacionando los
lados b, c y el ángulo A:
cos A =
c
c
10
⇒ b=
⇒ b=
≅ 12,21 m
b
cos A
cos(35º )
Conocidos dos lados, calcular los demás elementos
Ejemplo: Dado el lado adyacente c = 10 m y el lado opuesto a = 4 m de
un triángulo rectángulo, calcular los ángulos y el lado restantes.
Comenzamos croquizando un triángulo rectángulo insertando los datos y
las incógnitas. El ángulo B = 90º, el ángulo A puedo hallarlo relacionando
dicho ángulo con los lados conocidos:
a
a
4
⇒ A = arctg   = arctg   ≅ 21.8º
c
c
 10 
⇒ A ≅ 21º 48' 5.07' '
El ángulo B = 90º, y el ángulo C = 180º - B - A
= 180º - 90º - 21.8º = 68,2º.
C
tgA =
El lado b desconocido, lo calculamos mediante:
a) el Teorema de Pitágoras (aplicando
directamente los datos):
b
A
b 2 = a 2 + c 2 = ( 4) 2 + (10 ) 2 = 116 ⇒ b = 116 ≅ 10 ,77 m
a= 4m
c =10m
B
o bien:
b) relacionando los lados b, c y el ángulo A:
cos A =
c
b
⇒ b=
c
cos A
⇒ b=
10
≅ 10 , 77 m
cos( 21,8 º )
o también, si utilizamos la razón sen A. Dejamos al alumno como
actividad, calcular el lado b mediante este último planteo.
Confirmamos que el resultado es el mismo.
Ejercicios de aplicación. Resolución de
triángulos rectángulos
7- Se necesita instalar una torre de 50 m de altura.
108
A
Trigonometría
a) Calcular la longitud de la cuerda que une el extremo superior de la
torre con el punto de amarre (A) situado a 80 m de la base.
b) Hallar el ángulo que forma la cuerda con la horizontal.
8- Calcular: a) el ángulo agudo de un triángulo rectángulo entre el lado
adyacente de longitud “a” y su hipotenusa de longitud igual a “5/3 de a”.
b) Hallar la longitud del lado que falta.
9- Dado un triángulo cuyos lados tienen las siguientes longitudes: 3 m,
4 m y 5 m respectivamente, hallar los ángulos del mismo. Graficar.
10- Resolver el siguiente problema utilizando las razones trigonométricas
fundamentales. Una persona desde el punto A observa el extremo de un
edificio con un ángulo de 30º. Si avanza 30 m en línea recta hacia la
base del edificio, observa el mismo extremo con un ángulo de 50º.
a) ¿Qué altura tiene el edificio?
b) ¿Cuál es la distancia desde la medición del último ángulo hasta la
base del edificio?
11- Si sen A = 5 3 , determinar en valor exacto
los valores del cos A, de la tg A y de la sec A.
3m
12- Dada la siguiente torre cuya vista lateral forma
un triángulo isósceles, hallar la altura total "h", si la
base tiene un ancho de 5 m, y la separación entre
dos barras
horizontales del reticulado que
conforman la torre, de 3 m y 3,5 m respectivamente
es de 1 m.
1m
h
3,5
5m
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALQUIERA
Para resolver estos triángulos relacionamos los datos conocidos con los
desconocidos mediante fórmulas.
Para ello utilizamos dos teoremas:
a) Teorema del seno.
b) Teorema del coseno.
Teorema del seno
Su enunciado es el siguiente: La longitud del lado a es al seno del ángulo
opuesto A, como la longitud del lado b es al seno del ángulo opuesto B, y
como la longitud del lado c lo es al ángulo opuesto C. Donde estas
proporciones son iguales a la constante 2r, siendo r es el radio de la
circunferencia circunscripta al triángulo ABC:
109
MATEMÁTICA BÁSICA
a
sen Aˆ
=
b
sen Bˆ
=
c
sen Cˆ
C
= 2r
b
a
h
Demostración:
Si tomamos al lado AB como base del A
c
triángulo, la altura es la mínima distancia
desde la base al vértice C (medida perpendicularmente a la base). La
designaremos como “h”.
Considerando el ángulo A y el ángulo B, podemos expresar las
siguientes razones trigonométricas:
h
sen Bˆ =
a
h
sen Aˆ =
b
al despejar las alturas, obtenemos:
h = a.sen Bˆ
h = b.sen Aˆ
igualando las alturas, y operando,
a
b
llegamos a:
(I )
=
Ahora, al considerar la base AC, y su nueva sen Aˆ sen Bˆ
altura
C
“ h2 ” medida verticalmente a AC,
h
sen Aˆ = 2
c
h
y sen Cˆ = 2 podemos expresar:
A
a
que al despejar “ h2 ” se obtienen respectivamente:
h2 = c.sen Aˆ y
b
a
c
h2
h2 = a.sen Cˆ
y al igualar ambas alturas y operar, obtenemos:
a
sen Aˆ
=
c
sen Cˆ
(II )
C
A’
Por otra parte suponemos este
a
triángulo ABC inscripto en una
2r
b
circunferencia, y consideramos un
triángulo rectángulo A’BC también
inscripto en la misma donde BC es
B
común a ambos triángulos. Los A
c
ángulos A y A’ son iguales porque
corresponden a un mismo arco BC
de dos triángulos inscriptos en la
misma circunferencia. Si A’BC es rectángulo, su hipotenusa es igual al
diámetro (2r). Entonces se deduce:
110
Trigonometría
sen Aˆ = sen Aˆ '
a
a
a
sen Aˆ ' =
⇒ sen Aˆ =
⇒
= 2r
2r
2r
sen Aˆ
(III )
Considerando las expresiones deducidas ( I ), ( II ) y ( III ), teniendo en
cuenta que sus primeros miembros son iguales, y por carácter transitivo
llegamos a:
a
sen Aˆ
=
b
sen Bˆ
=
c
sen Cˆ
= 2r
lo que demuestra el enunciado del teorema.
Aplicaciones del teorema del seno:
1º) Conocido dos ángulos y un lado.
Ejemplo: Supongamos que conocemos A =
30º, B = 40º y el lado AC = 10 metros. Hallar
todos los demás elementos.
Graficamos e identificamos en el mismo, cada
dato e incógnita:
C
a
b = 10 m
B
c
El ángulo C = 180º - A - B
C = 180º A
30º - 40º
C = 110 º (Es obvio que si la suma de los
ángulos dados es mayor de 180º, el problema no tiene solución).
Para determinar los lados aplicamos el teorema del seno:
a
sen Aˆ
=
b
sen Bˆ
=
c
sen Cˆ
donde para calcular a, utilizamos solamente la primera igualdad del
teorema del seno:
a
b
=
senA sen B
⇒
a = b.
sen Aˆ
sen 30º
= 10.
≅ 7,78 metros
sen 40º
sen Bˆ
ahora, para el cálculo de c aplicamos la igualdad que relaciona c con los
datos:
c
b
=
sen C sen B
10.
⇒
c = b.
sen Cˆ
=
sen Bˆ
sen 110º
≅ 14,62 metros
sen 40º
111
MATEMÁTICA BÁSICA
2º) Conocido dos lados y el lado opuesto a uno de dichos lados.
Ejemplo: Supongamos que conocemos Q = 50º y los lados QR = 15 m,
PR = 20 m. Hallar los dos ángulos restantes y el
lado desconocido.
Q
Como en el ejemplo anterior, graficamos e
p = 15 m
50º
identificamos en el mismo, cada dato e
incógnita:
Aplicamos el teorema del seno:
r
p
q
=
ˆ
sen P sen Qˆ
donde al operar, obtenemos:
p
15
.sen Qˆ = .sen 50º ≅ 0,574533... ⇒
q
20
P = arcsen(0,574533...) = 35º 4' 1,05' '
sen Pˆ =
R
q = 20 m
P
y ahora R = 180º - P - Q = 180 - (35º 4’ 1,05’’) - 50º =
94º 55’ 58,9’’
aplicando nuevamente el teorema del seno para hallar r:
se obtiene:
r = q.
r
sen Rˆ
=
q
sen Qˆ
⇒
sen Rˆ
sen( 94º 55' 58.9' ' )
= 20.
≅ 26,01 metros
sen 50º
sen Qˆ
Ejercicios de aplicación.
Resolución
cualquiera utilizando el teorema del seno
de
triángulos
13- Resolver el siguiente triángulo conocido el lado AB = 15 m y los
ángulos A = 60º y B = 50º.
14- Dos aviones viajan a la misma
42º
28º
altura, la distancia entre ellos es de
8 km. Despreciar la curvatura de la
tierra. Un observador desde tierra
los ve con 2 ángulos diferentes.
Calcular: a) Las distancias del
observador a cada uno de los
aviones. b) La altura a la que están
volando los aviones (medida perpendicularmente a tierra).
112
Trigonometría
15- Un terreno de forma
triangular debe cercarse con
alambrado.
Se
necesita
conocer el perímetro para
solicitar
los
materiales
necesarios. Los datos se
suministran junto a la gráfica.
C
B
110º
38º
500 m
A
Ruta provincial
Teorema del coseno
Su enunciado es el siguiente: Dado
C
un triángulo cualquiera, el cuadrado
de la longitud de de un lado es igual
b
a la suma de los cuadrados de las
h
a
longitudes de los otros dos lados
menos el doble producto de las A
D
B
longitudes de estos dos lados por el
c
producto del coseno del ángulo
comprendido entre ellos.
Ya que un triángulo tiene tres lados, el teorema del coseno puede
expresarse de tres formas distintas:
a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c. cos Aˆ
b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c. cos Bˆ
c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b. cos Cˆ
Demostración:
Desarrollamos solamente la primera de ellas ya que las otras dos
demostraciones, se obtienen mediante el mismo procedimiento.
Del triángulo BCD, y aplicando el Teorema de Pitágoras, obtenemos:
a 2 = h 2 + DB 2
por otra parte, del triángulo ACD, podemos expresar: h 2 = b 2 − AD 2
Al sustituir la segunda expresión en la primera, resulta:
a 2 = (b 2 − AD 2 ) + DB 2
113
MATEMÁTICA BÁSICA
La longitud del segmento DB es igual: DB = c − AD , sustituyéndola en
la anterior y operando:
a 2 = b 2 − AD 2 + (c − AD) 2
a 2 = b 2 + c 2 − 2.c. AD
a 2 = b 2 − AD 2 + c 2 − 2.c. AD + AD 2
pero AD = b. cos Aˆ ⇒
a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c. cos Aˆ
Demostrada así, la primera expresión del teorema del coseno.
Cuando el ángulo A es igual a 90º (caso particular), el teorema del
coseno se transforma en el Teorema de Pitágoras:
Si A = 90 º ⇒ cos Aˆ = cos 90 º = 0 ⇒ −2.b.c. cos Aˆ = 0 ⇒ a 2 = b 2 + c 2
Aplicaciones del teorema del coseno:
1º) Conocido dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
Ejemplo: Conocemos el ángulo A = 37º, el lado
C
AC = 10 m y el lado AB = 18 m. Hallar todos los
a
demás elementos.
Graficamos.
Aplicamos el teorema del coseno:
b = 10 m
a = b + c − 2.b.c. cos Aˆ ⇒
2
2
2
2
2
B
c = 18 m
2
a = (10) + (18) − 2.(10).(18). cos 37 º = 136,49 ⇒ A
a = 11,68m
Para conocer el ángulo B, debemos aplicar el teorema del seno:
a
=
b
10
⇒ sen Bˆ = .sen Aˆ =
.sen 37 º = 0,515253 ⇒
a
11,68
sen Bˆ
b
sen Aˆ
Bˆ = arcsen(0,515253) ≅ 31º 0' 51,62' '
Ahora el ángulo C:
111º 59’ 8,3’’
C = 180º - A - B = 180º - 37º - 31,01 =
2º) Conocido los tres lados
Ejemplo: Dados los lados RS = 12 m, el lado RT = 28 m y el lado
ST = 19 m. Hallar todos los demás elementos.
Graficamos.
114
Trigonometría
Aplicamos el teorema del coseno para cada uno de los lados y
despejamos sus cosenos:
s2 + t 2 − r 2
r 2 = s 2 + t 2 − 2.s.t. cos Rˆ ⇒ cos Rˆ =
=
2.s.t
2
S
(
28 ) + (12) 2 − (19) 2
=
= 0,84375
2.( 28).(12)
⇒ Rˆ = arccos( 0,84375 ) = 32 º 27 ' 42,2' '
r = 19 m
t = 12 m
2
2
r +t −s
s = r + t − 2.r.t. cos Sˆ ⇒ cos Sˆ =
=
2.r.t
R
(19 )2 + (12) 2 − (28) 2 = − 0,6118421
2.(19).(12)
⇒ Sˆ = arccos( −0,6118421) = 127 º 43' 22' '
2
2
2
T
2
s = 28 m
El ángulo T, podemos determinarlo haciendo: T = 180º - R - S = 19º
48’ 55,5’’
o también planteando la tercer ecuación correspondiente al teorema del
coseno:
r 2 + s2 − t2
t 2 = r 2 + s 2 − 2.r.s. cos Tˆ ⇒ cos Tˆ =
=
2.r.s
(19 )2 + (28) 2 − (12) 2 = 0,940789473
2.(19).( 28)
⇒ Tˆ = arccos( 0,940789473 ) = 19 º 48' 55.5' '
Ejercicios de aplicación.
Resolución
de
triángulos
cualquiera utilizando el teorema del
coseno.
16- Dado el triángulo graficado, hallar el
lado x.
30
x
40º
45
115
MATEMÁTICA BÁSICA
17- Determine todos los lados del triángulo que tiene las siguientes
longitudes es sus lados: 30 cm, 55 cm y 75 cm. Graficar e identificar
todos los datos e incógnitas en la misma.
OTRAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Ya hemos visto que
tgθ =
trigonometría:
senθ
cos θ
y
sen 2θ + cos 2 θ = 1
y recordando que:
1
cos θ
1
cot gθ =
=
,
sec θ =
,
tgθ senθ
cos θ
la identidad fundamental de la
cos ecθ =
1
senθ
podemos obtener otras identidades trigonométricas, por ejemplo:
Tomando la identidad fundamental de la trigonometría y dividiéndola
miembro a miembro por cos 2 θ , obtengo:
1
sen 2θ cos 2 θ
+
=
2
2
cos θ cos θ cos 2 θ
tg 2θ + 1 = sec 2 θ
Si ahora tomamos la identidad fundamental y la dividimos por sen 2θ :
sen 2θ cos 2 θ
1
+
=
2
2
sen θ sen θ sen 2θ
cot g 2θ + 1 = cos ec 2θ
Ejercicios de aplicación. Identidades trigonométricas.
Verificar las siguientes identidades trigonométricas
2
18.
19.
 cos ec( x) 
1
1
 .
+ cos ec( x). cot g ( x) = 
sen( x). cot g ( x)
 cos( x)  sec( x)
(1 + cos x )(. 1 − cos x ) = sen 2 x
20.
(tg x + cot g x ).tg x = sec 2 x
21.
(1 − sen x )(. 1 + tg x ) = 1
116
2
2
Trigonometría
RELACIONES ENTRE ÁNGULOS
A continuación analizaremos las distintas relaciones considerando que:
a) El seno es proporcional al cateto opuesto dirigido ( o sea con el signo
+ o - según esté sobre el eje de las x o por debajo de él).
b) El coseno es proporcional al cateto adyacente dirigido ( o sea con el
signo + o - según esté a la derecha del eje y o a su izquierda).
c) La tangente es igual al cociente entre el seno y coseno del ángulo
correspondiente.
Ángulos opuestos
Relaciones entre ángulos: − θ y θ
sen(−θ ) = − senθ
cos(−θ ) = cos θ
tg (−θ ) =
sen(−θ ) − senθ
=
= −tgθ
cos(−θ )
cos θ
Ángulos que difieren en 180º ( π radianes)
Relaciones entre ángulos: π + θ y θ
sen(π + θ ) = − senθ cos(π + θ ) = − cos θ
sen(π + θ ) − senθ
tg (π + θ ) =
=
= tgθ
cos(π + θ ) − cos θ
Ángulos complementarios
Relaciones entre ángulos cuya suma es 90º (es π /2 radianes)
β = π 2 −θ y θ º
π

π

sen − θ  = cos θ cos − θ  = senθ
2

2

π

sen − θ 
π

 = cos θ = cot g θ
2
tg  − θ  =
 cos π − θ  senθ
2



2
Ángulos suplementarios
Relación entre ángulos cuya suma es 180º (es π radianes):
117
MATEMÁTICA BÁSICA
β = π −θ y θ
sen(π − θ ) = senθ cos(π − θ ) = − cos θ
sen(π − θ )
senθ
tg (π − θ ) =
=
= −tgθ
cos(π − θ ) − cos θ
Ángulos opuestos
θ
Ángulos que difieren
en 180º
π +θ
θ
−θ
Ángulos
complementarios
Ángulos suplementarios
π +θ
π
2
θ
−θ
θ
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA
DE ÁNGULOS ( θ + β ) Y ( θ − β ).
Las expresaremos en función de las trazones trigonométricas de los
ángulos simples: sen θ ,cos θ , tg θ , sen β ,cos β y tg β
Dado los dos triángulos rectángulos OAB
Y ACD con ángulos centrales
β
D
θ yβ
respectivamente, pueden
G
determinarse las siguientes razones
trigonométricas:
ED FC + CG
=
(I )
r
r
OE OF − DG
cos(θ + β ) =
=
( II )
r
r
sen(θ + β ) =
B
θ
C
O
118
E
F
A
Trigonometría
Seno de la suma de dos ángulos
Del triángulo OFC (semejante a OAB):
senθ =
FC
⇒ FC = OC.senθ ( III )
OC
Del triángulo CGD (semejante a OAB):
cos θ =
CG
⇒ CG = CD. cos θ ( IV )
CD
Del triángulo OCD:
senβ =
CD
r
Sustituyendo
(V )
(III
cos β =
)
OC
r
y
(VI )
(IV
)
en
la
expresión
(I
):
en
última:
ED FC + CG OC.senθ + CD. cos θ
=
=
=
r
r
r
OC
CD
senθ +
cos θ
r
r
sen(θ + β ) =
Sustituyendo
(V
)
y
(VI
)
la
OC
CD
sen(θ + β ) =
senθ +
cos θ = cos β .senθ + senβ . cos θ
r
r
sen(θ + β ) = cos β .senθ + senβ . cosθ
( A)
Coseno de la suma de dos ángulos
Partimos de la expresión (II ):
cos (θ + β ) =
OE OF − DG
=
( II )
r
r
Del triángulo OFC, obtenemos:
cos θ =
OF
OC
⇒
Del triángulo CGD:
OF = OC. cos θ
senθ =
DG
⇒
CD
(VII )
DG = CD.senθ
(VIII )
Sustituimos (VII ) y (VIII ) en la expresión (II ):
cos(θ + β ) =
OF − DG OC. cos θ − CD.senθ OC
CD
=
=
. cos θ −
.senθ
r
r
r
r
119
MATEMÁTICA BÁSICA
Pero del triángulo OCD: cos β =
OC
r
( IX )
senβ =
CD
r
(X )
que al reemplazar en la expresión anterior, se llega a la siguiente
identidad:
OC
CD
. cos θ −
.senθ = cos β . cos θ − senβ .senθ
r
r
cos(θ + β ) = cos β . cos θ − senβ .senθ
( B)
cos(θ + β ) =
sen(θ + β ) cos β .senθ + senβ . cos θ
=
cos(θ + β ) cos β . cos θ − senβ .senθ
Dividiendo numerador y denominador por cos β . cos θ , se obtiene:
tgθ + tgβ
tg (θ + β ) =
(C )
1 − tgθ .tgβ
La tangente resulta: tg (θ + β ) =
Si el segundo ángulo es negativo, remplazamos en las expresiones (A) y
(B) y (C) el ángulo β por - β , obteniéndose:
sen(θ − β ) = cos β .senθ − senβ . cos θ
cos(θ − β ) = cos β . cos θ + senβ .senθ
tg (θ − β ) =
tgθ − tgβ
1 + tgθ .tgβ
( D)
(E)
(F )
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DOBLE
Se pueden obtener a partir de las expresiones (A) y (B) y (C)
considerando los ángulos θ y β iguales:
sen(θ + θ ) = cos θ .senθ + senθ . cos θ = 2.senθ . cos θ
sen(2θ ) = 2.senθ . cos θ
(G )
cos(θ + θ ) = cos θ . cos θ − senθ .senθ
cos(2θ ) = cos 2 θ − sen 2θ
120
(H )
Trigonometría
tgθ + tgθ
1 − tgθ .tgθ
2.tgθ
tg (2θ ) =
(I )
1 − tg 2θ
tg (θ + θ ) =
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE MITAD DE ÁNGULO
Sustituyendo en las expresiones (G), (H) y (I) el ángulo θ por θ /2,
obtenemos:
θ
θ
θ
− sen 2
sen(θ ) = 2.sen . cos
2
2
cos(θ ) = cos 2
2
(J )
θ
2
(K )
Expresando la ecuación fundamental de la trigonometría en función de
los ángulos mitad, nos queda:
sen 2
θ
2
+ cos 2
θ
2
=1
Y sustituyendo en ella las ecuaciones (J) y (K) y operando, nos queda:
1 + cosθ
θ 
cos  =
2
2
1 − cos θ
θ 
sen  =
2
2
1 − cos θ
θ 
tg   =
1 + cos θ
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ELEVADAS AL CUADRADO
Si en la expresión (H) sustituimos el seno en función del coseno o
viceversa obtendremos nuevas identidades:
121
MATEMÁTICA BÁSICA
cos(2θ ) = cos 2 θ − sen 2θ = cos 2 θ − (1 − cos 2 θ ) = 2. cos 2 θ − 1
⇒ cos 2 θ =
1
(1 + cos 2θ )
2
(M )
cos(2θ ) = cos 2 θ − sen 2θ = (1 − sen 2θ ) − sen 2θ = 1 − 2.sen 2θ
⇒ sen 2θ =
1
(1 − cos 2θ )
2
(N )
Dividiendo ambas expresiones, obtenemos:
tg 2θ =
(1 − cos 2θ )
(1 + cos 2θ )
(O )
Ejercicios de aplicación. Resolución de triángulos utilizando
la relación entre ángulos.
22- Dado un triángulo rectángulo. Si el coseno de A es la mitad del
coseno de B, y el ángulo C es de 90º, calcular los ángulos A y B.
Graficar.
23- Las razones trigonométricas de 25° son: sen 25° = 0,423;
cos 25° = 0,906; tg 25° = 0,466; con estos datos, calcula las
razones trigonométricas de 65°, 155° y 206°.
24- Calcula el seno, el coseno y la tangente de 150°, sabiendo que el
sen 30° = 0,5; el cos 30° = 0,866 y la tg 30° = 0,577.
25- Si el sen 12° = 0,2 y el sen 37° = 0,6; calcula el sen 49°, cos 49° y
la tg 49°.
2
2
26- Demuestra que: sen (a + b ). sen (a − b ) = sen a − sen b
27- Determina el sen 2x, cos 2x y tg 2x, sabiendo que cos x = 0,6.
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ecuación es la igualación de dos o más expresiones. En este caso por lo
menos una de ellas deberá ser trigonométrica. Como en toda ecuación,
el conjunto solución debe satisfacer a la igualdad. El conjunto solución es
el conjunto de valores que puede tomar la variable o variables para
satisfacer a la ecuación.
122
Trigonometría
Observación: Las identidades trigonométricas vistas anteriormente, son
ecuaciones pero que se satisfacen para todos los valores de la variable o
variables.
Ejemplo 1:
5.sen 2 x − 2. cos 2 x − 5 = 0
Teniendo en cuenta la identidad fundamental: cos 2 x = 1 − sen 2 x , al
sustituirla en la ecuación, obtenemos:
5.sen 2 x − 2.(1 − sen 2 x) − 5 = 0 ⇒ 5.sen 2 x + 2.sen 2 x = 7

 x = arcsen (1)
 x = 90º ± n.360º
⇒ sen x = ± 1 ⇒ 
⇒
 x = arcsen (−1)
 x = −90º ± n.360º

⇒ x = 90º ± n.180º = (1 ± 2.n).90º donde n es un número natural.
Ejemplo 2:
tg x − cot g x = 1
⇒ sen 2 x = 1
sen x cos x
2.sen 2 x − 1
−
=1
=1 ⇒
cos x sen x
sen x. cos x
2.sen 2 x − 1 = sen x. cos x
1
1
1 1

2 − . cos 2 x  − 1 = .sen 2 x ⇒ 1 − cos 2 x − 1 = .sen 2 x ⇒
2
2
2 2

2 cos 2 x = sen 2x
1
⇒ tg 2 x = 2 ⇒ 2 x = arctg (2) ⇒ x = .arctg (2) = 31º 43' 2.91' '
2
Ejemplo 3:
sen 2 x
sen x
sen 2 x
2.sen 2 x
1
⇒ 8. cos x − 3. cos ec x = 2.
⇒ 8. cos x = 3.
+
sen x
sen x
sen x
8. cos x − 3. cos ec x = 2.
⇒ 8. cos x =
3 + 2.sen 2 x
⇒ 8.sen x. cos x = 3 + 2.sen 2 x
sen x
3
2
 3
2 x = 60º + n.360º
 x = 30º + n.180º
 ⇒ 
⇒ 2 x = arcsen
⇒

 2 x = 30º + n.360
 x = 15º + 180º
 2 
⇒ 4.sen 2 x − 2.sen 2 x = 3 ⇒ 2.sen 2 x = 3 ⇒ sen 2 x =
123
MATEMÁTICA BÁSICA
 x = 30º.(1 + 6.n)
conjunto solución 
 x = 15º.(1 + 12.n)
donde n es un número natural
Ejercicios de aplicación. Ecuaciones trigonométricas.
28- Resuelve las siguientes ecuaciones (Tener en cuenta que
x está expresado en radianes):
a) 2senx = tgx
b) cos 2 x =
1
2
c) cos 2 x − sen x =
3
4
Otros ejercicios.
29- Dada la gráfica y los
datos que figuran a
continuación,
determinar
la longitud del lado CD.
Ángulo CAB = 30°
Ángulo DAB = 70°
Ángulo DBA = 25°
Ángulo CBA = 80°
AB = 100 m
C
D
A
B
30- El viento corta un árbol y la
punta se apoya en el suelo en
un punto situado a 20 m de la
base del tronco formando un
ángulo de 30º con el plano
horizontal. ¿Qué altura tenía
dicho árbol antes de cortarse?
31- Los lados de un triángulo miden
respectivamente 13, 14 y 15. Hallar los
ángulos A, B y C.
30º
20 m
CC
13
A
124
14
15
B
Trigonometría
32- En lo alto de un farol de 3 m de altura
brilla una luz. Un hombre de 1,70 m
de estatura se aleja caminando del
farol. Determinar la longitud de la
sombra “S” cuando X = 2.5 m y
cuando X = 5 m.
X
S
C
33- En el triángulo ABC obtusángulo se
tiene que el ángulo CAB= 28º y el
ángulo ABC= 140º y AB= 6m. Calcular
la altura CD.
A
B
D
34- Desde un OVNI que vuela a
42º 28º
1200 m de altura, un E.T. mide
con su pistola espacial los
1200 m
Peatones
ángulos de depresión de dos
personas que caminan por una
calle,
siendo
estos
respectivamente de 28º y 42º ¿Qué distancia separa a los
peatones?
35- La torre inclinada de Pisa
tiene 53,7 m de longitud.
Debido a fallas del terreno,
se inclinó un ángulo α
como muestra la figura. A
una distancia de 30 m
desde el centro de la base
de la torre, el ángulo de
elevación al
extremo
superior de la torre es de
65º. Hallar el ángulo α , y
la altura H de la torre.
Alfa
53.7 m
H
65º
30 m
125
MATEMÁTICA BÁSICA
36- Con los datos del dibujo, calcular
el ancho de la calle y la altura del
rascacielo “B”.
B
A
58º
12 m
37- Dado el siguiente triángulo escaleno ABC:
a) Calcular el ángulo B
b) Calcular la altura “h”
3
c) Calcular la superficie del triángulo.
14º
calle
C
h
8
B
A
B
10
38- Desde el punto A con un
ángulo de 33º 40’ se observa
el extremo de una torre de
altura “h”. Caminando 20 m
hacia la torre llegamos al punto
B donde observamos con un
ángulo de 26º 34’ el centro de
la torre. ¿Qué altura tiene la
torre?
h
h/2
A
B
20 m
39- Una montaña de 650 metros de altura
separa a dos pueblos A y B. Desde el
pueblo A se ve la cima de la montaña
con un ángulo de 24º, y desde el
pueblo B la cima se observa con un
ángulo de 36º. ¿Cuál es la distancia
entre los dos pueblos?
A
B
A
B
30°
40- Determinar el perímetro
de la siguiente figura:
20 m
30 m
45°
D
126
C