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Campo Gravitatorio
01. ¿Hasta qué altura sobre a superficie terrestre hay que subir para que la intensidad del campo
gravitatorio se reduzca en un 25%?. ¿Hasta qué profundidad hay que descender para que ocurra
lo mismo?
A esa altura g  0,75g T  7,35  G
MT
 RT  h 
(R T  h)2
6,67·10 11·5,98·10 24

7,35
 7,37·106 m  h  106 m
Dentro de la esfera terrestre la gravedad varía linealmente con la altura, luego habrá que
descender hasta que el radio de la esfera sea 0,75R T es decir 1592,5 km
02. Júpiter tiene un diámetro 12 veces mayor que el terrestre y su masa es 320 veces mayor.
Calcular:
a) La relación entre las densidades
3
J M JR 3T  M J   R T 
320


    3  0,185
3
T M TR J  M T  R J 
12
b) La relación entre las velocidades de escape
vJ 
2GM J

RJ
v
2G·320 M T
 5,16 v T  J  5,16
12R T
vT
03. Consideremos los puntos extremos de una órbita elíptica alrededor del Sol. Una de las
distancias es el doble de la otra. Calcular la excentricidad de la elipse y la relación entre sus
velocidades.
La excentricidad de la elipse es e 
PERIHELIO
s
vP
vA
AFELIO
c 0,5

 0,33
a 1,5
el momento angular se mantiene constante
1
L A rA  mv A 2 v A
v
1


 A 
LP rP  mv P
vP
vP 2
04. Si la densidad de la Tierra es de 5500 kg/m3, calcular el valor de su radio sabiendo que la
gravedad media al nivel del mar vale 9,8 m/s2. Calcular el valor de la gravedad a una altura
sobre la Tierra equivalente a la longitud del radio encontrado.
4 3

RT
MT
4
3
gT  G 2  G
 G  R T
2
3
RT
RT

RT 
3g T
 6377,5km
4 G 
4 3
 R T  5,976·1024 kg
3
MT
M
 G T2  2,45ms2
a esa altura la gravedad vale g  G
2
4R T
R T  h 
la masa es M T  
05. La masa de la Luna es de 6.5.1022 kg, y su radio 16.105 m. ¿Qué distancia recorrerá un cuerpo
en un segundo en caída libre hacia la Luna, si se le abandona en un punto próximo a su
superficie?
1
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La gravedad lunar es gL  G
ML
1
 1,69ms2 y el espacio recorrido es e  gL t2  0,85m
2
2
RL
06. Consideramos la Tierra como una esfera homogénea (densidad constante) en cuya superficie
g0=9,8 m/s2. Debido a una explosión nuclear, desaparece un tercio de la masa del planeta
situada en la parte más externa, manteniendo la homogeneidad. Calcular el valor de g en la
nueva superficie.
2
2 4
4
M T    R 3T    RN3 de donde 0,87R T  RN
3
3 3
3
M
0,67 M T
0,67

g  8,67 ms2
y la gravedad en la nueva superficie es gN  G 2N  G
2 2
2 T
RN
0,87 R T 0,87
La masa del nuevo planeta es MN 
07. Dos planetas esféricos tienen la misma masa, M1 = M2, pero la aceleración de la gravedad en
la superficie del primero es cuatro veces mayor que en la del segundo. Calcula la relación entre
los radios de los dos planetas, R1/R2, y entre sus densidades medias.
M1 
2
R12  g1
M1 R 22  R 2 
4
  
Relacionamos los valores de g

M 2  g2
M 2 R12  R1 
g2  G 2
R 2 
g1  G
R1 1

R2 2
4 3
3
1 M1V2 M1 3  R 2
M1  R 2 
3
La relación entre las densidades será:



   1·2  8
4
2 M 2 V1
M 2  R1 
M 2  R13
3
08. Rhea y Titán son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 días
terrestres en recorrer sus órbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la
órbita de Rhea es 5,27·108 m, calcula el radio medio de la órbita de Titán y la masa de Saturno.
Aplicando la tercera ley de Kepler:
FA
TR2 TT2

;
RR3 R 3T
FCF
4,522
15,92

 R T  1,22·10 9 m
8 3
3
(5,27·10 )
RT
Las dos fuerzas son iguales: FA  FCF
G
MS m
4 2
2

m

R

m
RR ;
R
RR2
TR2
MS 
4 2 RR3
 5,674·10 26 kg
2
G TR
09. Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, siendo sus órbitas de distinto
radio. ¿Cuál de los dos se moverá con mayor velocidad? ¿Por qué?
La velocidad con la que se mueve un satélite en su órbita es:
FA  FCF  G
2
Mm
v2
GM

m
 v
2
R
R
R
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v1
R2
si R 2  R1 , entonces v1  v 2

v2
R1
lo que quiere decir que el de órbita de más radio se mueve más despacio.
10. La Tierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de
1,52·1011 m y su velocidad orbital es 2,92·104 m/s. Calcular:
a) El momento angular de la Tierra respecto al Sol.
b) La velocidad orbital en el perihelio. (distancia al Sol 1,47·1011m).
El momento angular es L  r  mv  1,52·1011·5,98·1024 ·2,92·10 4  2,65·10 40 kgm2s 1
El momento angular es constante en todos los puntos. En el perihelio:
L  r  mv  1,47·1011·5,98·10 24 ·v  2,65·10 40 kgm2s1
v  3,02·10 4 ms1
11. Un satélite de comunicaciones está situado en órbita geoestacionaria circular en torno al
ecuador terrestre. Calcular:
a) Radio de la trayectoria, aceleración tangencial del satélite y trabajo realizado por la
fuerza gravitatoria durante un semiperiodo.
b) Campo gravitatorio y aceleración de la gravedad en cualquier punto de la órbita.
a) La fuerza de atracción es la fuerza centrípeta:
RO
FA  FC  G
FA
Mm
v2
M 4 2 R O2

m

G

 RO 
RO
R O2
RO
T2
3
G M T2
 42265km
4 2
La velocidad del satélite es constante, luego aT=0 m·s-2
El trabajo es cero porque los dos puntos están en la misma superficie
equipotencial.
b) la gravedad en la órbita es: g  G
5,98·10 24
M
11

6,67·10
 0,22m·s2
2
6 2
RO
(42,265·10 )
12. Fobos (1,1·1016 kg) es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de 9380 km de
radio, respecto al centro del planeta, con un periodo de revolución de 7,65 horas. El otro
satélite de Marte, Deimos (2,4·1015 kg), gira en una órbita de 23460 km de radio. Calcular:
a) La masa de Marte.
b) El período de revolución de Deimos.
c) El módulo del momento angular de Fobos respecto al centro de Marte.
Masa Fobos = 1,1·1016 kg; Masa Deimos = 2,4·1015 kg
a) FA  FC  G
4 2 R 3
Mm
v2
M 4 2 R 2

m

G


M

 6,43·10 23 kg
2
2
2
R
R
R
T
GT
3
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RF3 RD3
RD3
b) 2  2  TD 
TF 
TF
TD
RF3
234603
7,65  30,26h
93803
c) el momento angular es LF  RF ·MF ·v F 
2  MF ·RF2
 2,21·10 26 kg·m2 ·s2
TF
13. Representa gráficamente en función de la distancia r al centro de la Tierra las energías
cinética y potencial gravitatoria de un proyectil si no hay pérdidas de energía por rozamiento,
para r mayor que el radio terrestre.
La energía potencial es EP  G
EC
la energía cinética EC 
ET
RT
EP
MT m
r
1
1 G MT m
mv 2 
2
2 r
y la total ET  EC  EP  
1 G MT m
2 r
14. La masa de un planeta se puede calcular si, mediante observaciones astronómicas, se conoce
el radio de la órbita y período de rotación de alguno de sus satélites. Razonar físicamente por
qué (suponer órbitas circulares y utilizar las leyes de la mecánica).
G
MPLANETA m
4 2
2

m

R

m
R;
R2
T2
MPLANETA 
4 2 R 3
G T2
15. Una de las lunas de Júpiter describe una órbita prácticamente circular con un radio de
4,22·108 m y un período de 1,53·105 s. Deducir los valores de:
a) el radio de la órbita de otra de la lunas de Júpiter cuyo período es de 1,44·106 s.
b) la masa de Júpiter.
T12 T22
a) Aplicamos Kepler3, 3  3  R 2 
R1 R 2
b) Ver problema anterior, M JUPITER
2
3
 1,44·106 
T22
3
R1  
·4,22·108  1,881·10 9 m
2
5 
T1
 1,53·10 
4 2 (4,22·108 )3

 1,898·1027 kg
11
5 2
6,67·10 (1,53·10 )
16. En una galaxia lejana, se detecta un planeta que recorre una órbita de radio semejante al de
Plutón en un tiempo equivalente a un año terrestre, por lo que los astrónomos deducen que gira
alrededor de una estrella más masiva que el Sol. ¿Es correcta esta deducción? Razona por qué.
Mm
4 2
4 2 R 3
v2
m 2 R  M 
Para cualquier planeta, G 2  m
R
R
T
G T2
Para Plutón, M SOL 
4 2 RP3
4 2 RP3
M

y
para
el
planeta
X,
ESTRELLA
G TT2
G Tp2
4
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Dividiendo:
MEST R ELLA TP2
 2 y como TP  TT  MESTRELLA  MSOL
M SOL
TT
17. Sabiendo que el diámetro de la tierra es cuatro veces el de la Luna y que la aceleración de la
gravedad en la superficie terrestre es seis veces la de la superficie lunar, ¿cuántas veces es
mayor la masa de la Tierra que la de la Luna?
MT
g
R 2T
M R2 M 1
M
 T 2L  T
 T  96
Relacionando los valores de la gravedad, T  6 
M
gL
ML
MLR T ML 16
G 2L
RL
G
18. La Tierra tarda 365 días en dar una vuelta completa alrededor del Sol. La masa del Sol es
1,986·1030 kg y su radio es 108 veces el terrestre. Calcular:
a) La distancia entre la Tierra y el Sol suponiendo la órbita circular.
FA  FCF
MS M T
4 2
G 2  MT 2 R
R
T
R
3
GMS T 2
 1,49·1011m
2
4
b) La velocidad con la que llegaría al Sol un objeto que cayese desde la Tierra.
19. Un satélite artificial de 100 kg de masa se encuentra girando alrededor de la Tierra en una
órbita circular de 7100 km de radio. Calcular:
a) El periodo de revolución del satélite.
Velocidad del satélite en su órbita: v 
GM

R
el tiempo que tarda en dar una vuelta es T 
6,67·10 11·5,98·10 24
 7495,2m·s1
7,1·106
2R 2·7,1·106

 5948,87 s
v
7495,2
b) El momento lineal y el momento angular respecto al centro de la Tierra.
el momento lineal es p  mv  100·7495,2  749520kg·m·s1
y el angular L  r  mv  5,32·1012 kg·m2 ·s1
c) La variación de energía potencial para subirlo a esa altura desde la superficie terrestre.
la energía en la superficie es EP 0  G
y en la órbita EPF  G
5,98·1024 ·100
Mm
 6,67·10 11
 5,93·10 9 J
R
6,73·106
5,98·1024 ·100
Mm
 6,67·10 11
 5,62·10 9 J
R
7,1·106
luego la variación de energía es EP  EPF  EP0  2,69·109 J
d) Las energías cinética y total del satélite.
1 2 1
mv  100·7495,22  2,81·109 J
2
2
9
y la total ET  EC  EP  2,81·10  5,62·109  2,81·109 J
La energía cinética es EC 
20. Calcular el trabajo necesario para trasladar un satélite de 500 kg desde una órbita de radio
2RT hasta otra de radio 3RT.
5
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Si lo que queremos es pasarlo desde la órbita inferior a la superior y que el satélite describa la
órbita superior, el trabajo es la diferencia entre las energías totales:
W  ET  ET F  ET 0
G M Tm G M Tm G M Tm 6,67·10 11 5,98·10 24 ·500




 2,61·10 9 J
6
2 3R T 2 2R T
2 6R T
2
6·6,37·10
21. Una masa de 1000 kg se desplaza desde un punto en el que el potencial es -5 J/kg a otro en
el que es -7 J/kg. Calcular el trabajo de las fuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una
transformación espontánea. Repetir los cálculos si el cuerpo se aleja desde el punto en que el
potencial vale -5 J/kg hasta otro en el que el potencial es nulo.
La masa se desplaza desde un punto en el que EP  5000 J hasta otro en el que
EP  7000 J . Supongamos que se trata de la Tierra. Nos movemos acercándonos hacia la
Tierra. El trabajo es realizado por las fuerzas del campo gravitatorio, luego es
espontáneo (es una atracción).
En el otro caso hay que desplazarse en contra del campo gravitatorio (hay que vencer una
fuerza) y la transformación no es espontánea.
22. Dos satélites artificiales de masa m y 2m describen órbitas circulares del mismo radio r=2RT,
siendo RT el radio de la Tierra. Calcular la diferencia y el cociente entre las energías mecánicas
de ambos satélites.
La energía mecánica de un satélite es ETOT  
1 GMm
2 r
1 G M1m 

1 GMm

2 r
  ETOT 2  ETOT1  
2 r
1 G M 2m 


2
r 
ETOT1  
ETOT 2

ETOT 2
ETOT1
2
23. ¿Cuánto tendría que durar un día terrestre para que los objetos situados en el Ecuador de la
Tierra pesasen aparentemente la mitad? ¿Y para que no pesasen nada aparentemente?
Si no hay peso
FA  FCF
Mm
4 2
G 2 m 2 R
R
T
T
4 2R 3

GM

4 2 6,37·106

3
6,67·10 11·5,98·10 24
Si el peso se reduce a la mitad FA  2FCF
T
 5055s  1h24m15s
2·4 2R 3
 1h59m8s
GM
24. Dos masas puntuales de 106 kg se encuentran en los puntos de coordenadas (0,0) (4,0). En el
punto (2,2) abandonamos una masa puntual de 10 kg. Calcular la velocidad de esa masa cuando
pasa por el punto (2,0). Calcular la aceleración media del recorrido.
6
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La energía total es la misma en los dos puntos:
G
0
1
F
m1 m
m m
mm
m m 1
 G 2  0  G 1  G 2  mv 2
d10
d20
d1F
d2F
2
 m
m
m m  1
G  1  2  1  2   v2
 d10 d20 d1F d2F  2
106
10 6
10 6 10 6  1 2
11 
6,67·10  



 v
2
2  2
 2 2 2 2
v  6,25·10 3 ms 1
2
Si la aceleración fuera constante, v F2  v 20  2a e  a 
(6,25·10 3 )2
 9,76·10 6 m·s2
2·2
25. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol con un periodo de 76
años. En el perihelio el cometa está a 8,75·107 km del Sol y en el afelio está a 5,2·109 km del
Sol. ¿En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad?. ¿Y mayor aceleración?. ¿En qué
punto tiene mayor energía potencial? ¿Y mayor energía mecánica?.
L AF
r mv AF
5,2·10 9 v AF
 1  AF

LPER
rPER mv PER 8,75·107 v PER

v AF
 0,0168
v PER
La relación entre aceleraciones centrípetas es
v 2AF
m
2
7
 v AF  rPER
a AF
rAF
2 8,75·10



0,0168
 4,75·10 4


2
9
aPER
v
r
v PER
5,2·10
 PER  AF
m
rPER
EP AF rPER 8,75·107
Mm
La energía potencial es EP  G
es mayor en el perihelio


 0,0168
r
EPPER rAF
5,2·109
La energía mecánica es la misma en todos los puntos.
26. La órbita de Plutón en torno al Sol es notablemente excéntrica. La relación de distancias
máxima y mínima entre su centro y el del Sol es 5/3. Razonando tus respuestas, calcula la
relación entre los valores en el afelio y en el perihelio de las siguientes magnitudes de Plutón:
momento angular respecto al Sol, energía cinética y energía potencial gravitatoria.
L AF
1
LPER
v AF
3


v PER 5
El momento angular vale lo mismo en todos los puntos de la trayectoria
L AF
r mv AF
5 v AF
 1  AF

LPER
rPER mv PER 3 v PER
La relación entre las velocidades es
Las energías cinéticas serán
EC AF
EC PER

EP AF
EPPER
7
1
mv 2AF
2
1
2
mv PER
2

2
v 
9
  AF  
25
 v PER 
G M mrPER rPER 3


G M mrAF
rAF
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27. Un planeta esférico sin atmósfera tiene masa 1,2·1023 kg y radio 1,3·106 m. Desde su
superficie se lanza verticalmente un proyectil que llega a alcanzar una altura máxima igual a la
mitad de su radio antes de volver a caer hacia la superficie. ¿Con qué velocidad inicial se ha
lanzado el proyectil? ¿A qué altura está cuando la velocidad se reduce a la mitad?
La energía en la superficie del planeta y en el punto más alto es la misma:
EA  EB
G
Mm 1
Mm
 mv 2  G
0
R
R
2

R  2 


1 2 1 M
v  G
2
3 R

v

G
M 1 2
2M
 v  G
R 2
3R
2 M
G  2025ms1
3 R
Cuando la velocidad se reduce a la mitad, también lo hacemos por energías:
Mm 1
Mm 1
 mv 20  G
 mv F2
R
2
R h 2
12
8,0·10
6,16·10 6  2,05·10 6  
 5,13·10 5
6
1,3·10  h
v F  1013ms1
E A  ED

G
8,0·1012
4,62·10 
1,3·10 6  h
6
h  4,32·105 m
28. El Imperio del Mal pretende utilizar como almacén de munición un objeto estelar esférico de
10 km de radio y una masa de 2·1031kg. Calcular:
a) el valor de g en su superficie.
b) la velocidad de escape en dicho objeto estelar. Se puede utilizar el valor de g=9,8 ms-2.
c) Interpretar los resultados anteriores, en relación con los objetivos del Imperio del Mal.
G M X 6,67·10 11 2·1031
a) g X 

 1,334·1013 m·s2
2
4 2
RX
(10 )
b) v ESC 
2G M X

RX
2·6,67·10 11 2·1031
 5,17·108 m·s1
4
1·10
c) Los del Imperio del Mal tendrían “problemas” a la hora de sacar la munición puesto
que la velocidad de escape es superior a la velocidad de la luz.
8
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