Download Presentación sobre la energía en el campo

LA ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO
FUERZAS CONSERVATIVAS
 
 
1) WP  P · h   m g j · h j   m g h
Si vuelve a la posición inicial :
 


WP  P · h   mg j · ( h j )  mgh
Wneto   m g h  m g h  0

N
l

h

P

P
 
2) W   mg sen i · l i   m g l sen   m g h


W   mg sen i · (l i ) m g l sen  m g h
Wneto   m g h  m g h  0
LA ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO
Fuerza conservativa
Una fuerza es conservativa, si actuando sobre un cuerpo que describe una
trayectoria cerrada volviendo a su posición inicial, el trabajo realizado es nulo.
Un criterio alternativo para la definición de fuerza conservativa es: “el
trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente del camino
seguido y sólo depende de las posiciones inicial y final”.
2
W12    EP
1
LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
WT WC  WNC
 EM  WNC
 EC   EP  WNC
Si no hay rozamiento:
 EC  EP  WNC
 EM  0
LA ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
W12  
 
F dr 

2
1
 GMm
dr
2
r
W    EP
2
1
LA ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
W 
2
1
2
1
  2  GMm
F dr  
dr
1
r2
W12  
2
1
 GMm
dr   GMm
2
r
1
2
1
 1
( 2 )   GMm  
r
 r 1
 GMm
GMm 
W12   (
)  (
)   E p 2  EP1
r2
r1 


W12    EP
GMm
EP  
r
EP
r1
r
EP  
E1
EP  

2
GM T m
RT
GMT m
r

LA ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
EP  
GMm
r
ENERGÍA CINÉTICA
1
1  GM
2
Ec  m v  m 
2
2 
r
2

1 GMm
 

2
r

1
Ec  E P
2
ENERGÍA MECÁNICA
EM  EP  EC  
GMm 1
 m v2
r
2
SI LA ÓRBITA ES CIRCULAR
2
GMm 1  GM 
GMm 1 GMm
 
EM  EP  EC  
 m 

r
2  r 
r
2 r
EM  
1 GMm
2 r
EM 
1
EP
2
LA ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO
VELOCIDAD DE ESCAPE
E2
EC
r1
E1
EC
EP  
GM T m
RT
E1  0
E2  0
EM  0 ;
EP1 
EC1   ( EP 2  EC 2 )
GM T m 1

 m ve2  0  0
RT
2
GM T  g 0 RT2
ve 
2 GM T
RT
ve  2 g0 RT
APLICACIONES
A partir de las deducciones anteriores, determine la velocidad de escape en el campo gravitatorio terrestre, en los
casos siguientes:
1. Desde la superficie terrestre;
2. Desde un punto situado a una distancia del centro de la tierra igual a 3 radios terrestres.
1.-
ve 
2 g 0 RT
ve  2 g0 RT  2 · 9,8
m
m
km
6
·
6
,
370
·
10
m

11173

11
,
2
s2
s
s
2.-
ve 
2 GM T
R
ve´ 
2 GM T
v
3
km
 E 
v e  6,5
3 RT
3
s
3
Determinar la energía potencial del sistema Sol-Tierra- Luna en un eclipse de Luna
EP  
EP   6.67 ·10
11
G M S MT G MT M L G M S M L


rST
rTL
rSL
2 ·1030 kg 5,98 ·1024 kg 5,98 ·1024 kg 7,34·1022 kg 2 ·1030 kg 7,34·1022 kg
m kg s (


)
1,5·1011 m
3,84 ·108 m
1,50384 ·1011 m
3
1  2
EP   5,39·1033 J
Un planeta recorre una órbita elíptica en torno al Sol situándose a una distancia R 1 = 4,4×1012 m en el punto más
próximo y R2 = 7,4×1012 m en el punto más alejado. Haga un dibujo de la situación, señale los puntos
mencionados y diga como se llaman las susodichas posiciones 1 y 2 del planeta.
a) Determine el valor de la energía potencial gravitatoria del sistema planeta-Sol en la posición de mayor
proximidad.
b) Deduzca y calcule cuál debería ser la velocidad del planeta cuando está en la posición de máximo alejamiento,
para escapar del campo gravitatorio del Sol.
G= 6,67×10-11 N m2kg2 Masa del Sol: M0 = 1,98×1030 kg; Masa del planeta MP = 1,27×1022 kg
Ep  
GM 0 m P

r
(6.67 ·10
11
N m2
kg
2
)(1.98 ·10 30 kg) (1,27 10 22 kg)
4,4 ·10 12 m
E p   3,5 10 29 J

GM 0 m P
1
 m P v E2  0
R2
2
2 6,67 10
vE 
2 G M0
R2
vE 
11
N m2
kg
2
7,4 10
12
1,98 10 30 kg
m
 5.974 m s
Desde la superficie de la Luna se dispara en dirección vertical hacia arriba con un rifle. La bala tiene una
velocidad de salida de 600 m/s; a) Determine si la bala escapará del campo gravitatorio de la Luna; b) En el caso
de que no escape, calcule la máxima distancia que la bala se separaría de la Luna, medida la distancia desde el
centro de ésta.
Datos: G= 6.67 10-11 m3 kg-1 s-2 ; Masa de la Luna: 7,35·1022 kg ; Radio de la Luna: RL = 1738 km.
a)

vE 
GM L m 1
 m ve2  0  0
RL
2
ve 
2 GM L
RL
2 (6,67 x10 11 m 3 kg 1 s 2 )·(7,35 x10 22 kg)
1,738 x10 6 m
vE  2.370,3
;
m
s
b)
2
EM  0
( Ep  Ec)1  ( Ep  Ec) 2
1


G ML m 1 2
GM L m
 mv1  
rL
2
r
(6.67  10 11 m3 kg1 s 2 ) ( 7,35  10 22 kg) 1
m 2
(6.67  10 11 m3 kg1 s 2 ) ( 7,35  10 22 kg)

(
600
)


1,738 10 6 m
2
s
r
r = 1856,5 km
h 1856,5 1738 118,5 km
Energía de satelización.-
EM  0
( Ep  Ec)1  ( Ep  Ec) 2
2
1
1 1
1 GMm GMm
W 

 G M m   
2 r
rT
 rT 2r 
GMm  2 r  r T

W
2 rT  r



grT  GM T
2
 2 r  rT
W  G M m 
 2 r rT
g 0 rT2 m  2 r  r T
 W 
W
2 rT  r



g 0 rT m  2 r  r T


 2
r




CAMBIO DE ÓRBITAS CIRCULARES
2
EM 1  
GM m
R1
1
1
EM 1  
GM m
R1
1 GM m
EM 1  
2
R1
EM 2  
GM m
R2
1
 m v22
2
EM1  EP1  EC1
1 GM m
EM 2  
2 R2
1
 m v12
2
1 GM
1 GM m
 m

2
R1
2 R1
W12  EM 2  EM 1
CAMBIO DE ÓRBITAS CIRCULARES
1 GM m
EM 1  
2
R1
2
1
1
1 GM m
EM 2  
2
R2
W12  EM 2  EM 1
 1 GM m
W12   
 2 R2
  1 GM m
  
  2 R1
GM m

 W12 

2
 1
1 



 R1 R2 
CAMBIO DE ÓRBITAS CIRCULARES
Ejemplo: Queremos pasar un satélite de 1000 kg desde una órbita de radio R1 = 2RT hasta
otra órbita de radio 3RT. Calcule el trabajo necesario.
Datos: RT= 6,37·106 m; g0 = 9,8 m s-2
W12  EM 2  EM 1
2
 1 GM m
W12   
 2 R2
1
1
  1 GM m
  
  2 R1
GM m  1 1 
  
W12 
2  R1 R2 
GM T m  1
1

W12 

2
 2 RT 3RT






CAMBIO DE ÓRBITAS CIRCULARES
Ejemplo: Queremos pasar un satélite de 1000 kg desde una órbita de radio R1 = 2RT hasta
otra órbita de radio 3RT. Calcule el trabajo necesario.
Datos: RT= 6,37·106 m; g0 = 9,8 m s-2
GM T m  1
1

W12 

2
 2 RT 3RT
2
g 0 R 2T  G M T
1
g0 R m  1 1 
  
W12 
2 RT  2 3 
g 0 RT m
W12 
12
2
T
1
(9,8 m 2 ) (6,37 ·106 m) (103 kg)
s
W12 
 5,20 GJ
12



Potencial gravitatorio.
Ep  
GM m
r
V
m
M
r
EP
m
V
GM
V 
r

GMm
r   GM
m
r
Unidades en el S I
V ()
Igual que la energía, el potencial gravitatorio es una magnitud escalar.
Y al igual que el campo gravitatorio, su valor sólo
depende de la masa del cuerpo que lo produce y de la
distancia del punto considerado a dicho cuerpo

GM 
g   2 r
r
Julio
kg
Potencial gravitatorio. Superficies equipotenciales.
GM
V1  
r1
V3  
GM
r3
Superficies equipotenciales son aquellas superficies en las que el
potencial es constante. Para una masa puntual tales superficies
equipotenciales serían superficies esféricas.
V1
r1
r2
r3
GM
V2  
r2
W12    EP
V2
W1 2   [
V3
W1 2   m [
GMm
GM m
 (
)]
r2
r1
GM
GM
 (
)]
r2
r1
W12   m [V2  V1 ]
El trabajo realizado por el campo gravitatorio para transportar una masa entre dos puntos de la misma superficie
equipotencial es nulo, puesto que V2 es igual a V1
V5
h5
V4
h4
V3
h3
V2
V1
h2
h1
Relaciones campo – potencial
V3

GM 
g   2 r
r
V 
GM
r
Las líneas de campo son perpendiculares a las
superficies equipotenciales en los puntos de
intersección”.
V2
V1
 
W  F r
 
2
W1  m g r
2
1
W12   m [V2  V1 ]
 
m g r   m [V2  V1 ]

V
g  
r


dV
g      grad V
dr
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
ENERGÍA Y ÓRBITAS
E  EP  EC  
GM m
R
1
 m v2 
2
e=0
0 < e < 1
ENERGÍA Y ÓRBITAS
E  E P  EC  
e=1
GM m
R
1
 m v2
2
ENERGÍA Y ÓRBITAS
E  E P  EC  
e>1
GM m
R
1
 m v2
2
2
1

GMm 1
 m v 2e  0
3R
2
2
v 2e 
4GM
3R
v e  2865 m s ; v e  2,9 k m s
ve 
4GM
3R
Se quiere colocar un satélite artificial de 1500 kg de masa en una órbita circular de 1000 km de altura sobre la
superficie terrestre. A) Calcule las energías potencial, cinética y total del satélite en dicha órbita B) Calcule la
energía de satelización necesaria para poner el satélite en la órbita.
EP  
GMm
r
1
1  GM
Ec  m v 2  m 
2
2 
r
Ec 
2
2

1 GMm
 

2 r

1
EP
2
GMm 1  GM 
GMm 1 GMm
 
EM  EP  EC  
 m 

r
2  r 
r
2 r
1 GMm
EM  
2 r
EM 
1
EP
2
En la distribución de masas de la figura determinar: a) La intensidad de campo y el potencial gravitatorio en el
punto P de coordenadas (5,5); b) El trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar una masa m = 2 kg
desde el punto P al punto Q de coordenadas (1,1). Datos: M1 = 2,5 x 106 kg; M2 = 7,5 x 107 kg; G = 6,67 10 -11 N
m2 kg-2
5
M2

gP
r2Q
1


Gm
Gm
g P   g 2 i  g1 j   2 2 i  2 1 j
r2
r1
P

gP  
2
N m2
7
11 N m
7
,
5
·
10
kg
6
,
67
10
2,5·106 kg
2
2
kg
kg
i
j
2
(5 m )
(5 m ) 2
Q

g P   2,00·104 i  6,67·106 j N
r1Q
1
VP  
5
GM1 GM 2

r1P
r2 P
M1
6,67 10 11
VP  
VP   1,034·103 J / kg
6,67 10
b)
6,67 1011
VQ  
GM1 GM 2

r1Q
r2Q
3
VQ   1,26·10 J / kg
VQ  
11
kg
2
N m2
6
11 N m
2
,
5
·
10
kg
6
,
67
10
7,5·107 kg
2
2
kg
kg

5m
5m
2
N m2
6
11 N m
2,5·10 kg 6,67 10
7,5·107 kg
2
2
kg
kg

17 m
17 m
WPQ   m [VQ  VP ]
WPQ   2 kg [1,26·10 3  (1,034·103 )]
WPQ  4,5·104 J
J
kg
Los NOAA son una familia de satélites meteorológicos norteamericanos que orbitan la tierra pasando por los
polos, con un periodo aproximado de 105 min. Calcular: a) la altura a la que orbitan sobre la superficie de la
Tierra; b) la velocidad con que lo hacen; c) las energías potencial, cinética y total de un satélite en la órbita si su
masa es de unos 1500 kg. Datos : Radio Tierra = 6370 km, MT = 5’98·10 24 kg
GMm
v2
m
r2
r
r
3
G M T2
6,67 1011 m3 kg 1s 2 5,9781024 kg (105 60s) 2
3
2
4
4 2
r  7,4 106 m  7,4 103 km
v
v
GM
r3
 2
4 2
T
r  RT  h;
h  r  RT  1003 km
GM
r
6,67 1011 m3 kg 1s 2 5,9781024 kg
 7340,5 m / s; v  7,3 km / s
6
7,4 10 m
c) las energías potencial, cinética y total de un satélite en la órbita si su masa es de unos 1500 kg.
GMm
1
1  GM
EP  
; Ec  m v 2  m 
r
2
2 
r
EM  
2

1 GMm 1
 

EP

2 r
2

GMm 1
GMm 1 GMm
1 GMm 1
 m v2  


 EP
r
2
r
2 r
2 r
2
GMm
6,67 1011 m3 kg 1s 2 5,9781024 kg  1500 kg
EP  

r
7,4 106 m
Ec  
1
82,84 GJ  41,42 GJ
2
EM  
EP   80,82 G J
1
(  82,84 GJ )   41,42 GJ
2
Un satélite fotográfico en órbita polar (cuyo plano pasa por la línea que une los polos de la tierra) el cual debe barrer
toda la superficie terrestre en un día mediante 8 revoluciones exactamente. A) ¿Qué longitud tiene el semieje mayor
de la órbita? Interesa que la altura sobre el polo norte sea sólo de 1000 km en el punto más bajo de su trayectoria y
que tenga el punto más alejado sobre el polo sur. B) Determine el cociente de las velocidades del satélite en el
perigeo y en el apogeo. C) A partir del principio de conservación de la energía aplicado entre el apogeo y el perigeo,
determine la velocidad en el apogeo. (Sol: (10.563 km; vp = 2 va; 4,26 km/s)
A)
T = 3h
GM T a 3
 2;
2
4
T
ra
rp
2a
GMT2
6,67 ·1011 m3 kg 1 s 2 x 5,98·10 24 kg (3x 3600 s) 2
7
3
a 3


1
,
0563
·
10
m
2
2
4
4
a 10.563 k m
rp  ra  2 a
rp  7.370 km
ra  2 a  rp  13756 km
   

L  r  p  r  mv
B)
vp
vp
r
 a
va rp
rp m v p  ra m va
vp
va

13756
 1,87
7370
rp
ra
C)
va
EM  0
( Ep  Ec) p  ( Ep  Ec) a

G M T mS
G M T mS
1
1
 mS v 2p   
 mS va2
rp
2
ra
2
v p  1,87 va
va 
2 G M T ( ra  rp )
(1,87 2  1 ) ra rp
m
va  4,3 · 10
s
3

2 x 6,67 x 10 11 m3 kg 1 s 2 x 5,98 10 24 kg ( 13,756  7,370 )·106 m
(1,87 2  1 ) x( 13,756 ·106 m x 7,370·106 m