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CAMPO GRAVITATORIO
Yr 13
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Nos indica la fuerza a la que está sometida una masa m cuando entra en un
campo gravitatorio debido a la presencia de otra masa M.
G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2 (constante de gravitación universal)
F=G
M ·m
r2
M, m : masas (kg) ; r: distancia entre las masas (m)
Esta fuerza lleva la dirección de la recta que une los centros de ambas masas y
su sentido es de atracción.
CONCEPTO DE PESO Y DE INTENSIDAD DE UN CAMPO GRAVITATORIO
Cuando un cuerpo se encuentra bajo la influencia de un campo gravitatorio de
un planeta, su peso será la fuerza con la que es atraido por dicho planeta.
Sabemos que:
P = m·g
F=G
M ·m
r2
Luego:
F=P ;G
M ·m
= m·g ;
r2
g=G
M
r2
donde:
g: intensidad del campo gravitatorio (o campo gravitatorio) (m·s-2)
M: masa que crea el campo gravitatorio (kg)
r: distancia de la masa que crea el campo hasta el punto donde
queremos calcular la intensidad (las distancias se miden desde el centro
del planeta) (m)
G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2
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ÓRBITAS ALREDEDOR DE UN PLANETA
La única fuerza que actúa sobre un cuerpo cuando describe una órbita (ya sea
circular, parabólica o elíptica) alrededor de un planeta es la de atracción del
planeta. Aplicando F = m·a y teniendo en cuenta que la aceleración en esa
dirección es la aceleración normal (sólo en órbitas circulares):
F = m · an
an =
v2
r
F=G
G
M ·m
v2
=
m
·
r
r2
; v=
G·M
r
M ·m
r2
También sabemos que el momento de dicha fuerza de atracción respecto del
centro del planeta es cero,ya que la dirección de la fuerza pasa por el centro
del planeta, por lo tanto (válido para todo tipo de órbitas):
M=0
M=
dL
dt
L = m·v·r
L = constante ;
m·v1·r1 = m·v2·r2
L = m·v·r (sólo si r y v son perpendiculares)
ENERGÍA CINÉTICA, ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Y PRINCIPIO
DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Energía potencial gravitatoria
Ep = - G
M ·m
r
r: distancia del centro del planeta a la masa
En el caso de la Tierra, r = RT + h (h = altura respecto de la superficie)
Se puede demostrar que en las inmediaciones de la superficie terrestre el valor
de Ep = m·g·h
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Se considera también que el potencial es cero en los puntos del infinito (r = ∞).
Energía cinética
1
m·v2
2
Ec =
Principio de conservación de la energía
La fuerza de atracción debida al campo gravitatorio es una fuerza conservativa,
por tanto, puede aplicarse el principio de conservación de la energía.
Ec + Ep = constante
VELOCIDAD DE ESCAPE
Es la velocidad con la que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie
terrestre para que escape de la atracción de la tierra. Para calcularla,
aplicamos conservación de la energía entre la superficie terrestre y el infinito:
Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
En la superficie terrestre:
Ec1 =
1
2
m · ve
2
; Ep1 = - G
MT ·m
RT
En el infinito:
Ec2 = 0 (ya que buscamos que llegue al infinito justo con v = 0)
Ep2 = 0 (por definición de energía potencial en el infinito)
Luego:
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MT ·m
1
2
m · ve - G
=0
2
RT
;
ve =
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2 ·G · M T
RT
LEYES DE KEPLER
Primera ley de Kepler (órbitas planas)
Los planetas, en su movimiento alrededor del Sol, describen trayectorias
planas, cerradas, de forma elíptica, en uno de cuyos focos se encuentra el sol.
Segunda ley de Kepler (ley de las áreas)
El radio vector, que une al planeta con el sol, barre áreas iguales en tiempos
iguales, es decir, la velocidad areolar se mantiene constante.
Tercera ley de Kepler (ley de los períodos)
El cuadrado de los períodos de los planetas es directamente proporcional al
cubo de los semiejes mayores de la elipse que describen.
T2 = K·r3
En particular, para órbitas circulares se cumple:
2
2
1
3
2
3
1
2
T =T
R R
, donde:
T1: período del planeta 1.
T2 : período del planeta 2.
R1 : radio de la órbita que describe el planeta 1.
R2 : radio de la órbita que describe el planeta 2.
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