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Física 2º Bachillerato
Campo Gravitatorio
FUERZAS CAMPOS Y POTENCIALES
1L(J-94).- (a) Enuncia y demuestra el teorema del momento angular para un punto material. (b) Describe algún ejemplo
de movimiento en el que se cumpla el teorema de conservación del momento angular.
Solución
a) El momento angular, ℓ, de una partícula de masa m, que se mueve respecto del punto O con una velocidad
v, está definido como el momento de su cantidad de movimiento respecto de ese punto
ℓ = r x p = r x (m·v)
en donde r es el vector posición de la partícula referido a O.
Teorema: "El momento, respecto de un punto O, de las fuerzas que actúan sobre una partícula, es igual a la
variación, respecto del tiempo, del momento angular de la partícula respecto a dicho punto"

d 
M
l
dt
siendo M el momento de las fuerzas que actúan sobre la partícula respecto al punto O
M=rxF
Demostración: Imaginemos una partícula de masa m que se mueve
respecto de O bajo la acción de una fuerza resultante F, con una velocidad v
cualquiera. Su momento angular respecto de O será
ℓ = r x (m·v)
calculemos su variación respecto del tiempo, utilizando el desarrollo de la
derivada de un producto y considerando la masa de la partícula constante
d
d
d
d
ℓ=
r x m·v =
r x m·v + r x m ·
v
dt
dt
dt
dt
en el primer sumando, la derivada de r respecto del tiempo es la velocidad
de la partícula y en el segundo, la derivada de la velocidad respecto del tiempo es la aceleración a de la
partícula
d
ℓ = v x m·v + r x m a
dt
el primero de los sumandos es siempre nulo ya que los vectores v y m·v son paralelos y por tanto su
producto vectorial es cero. De este modo y utilizando el segundo principio de la dinámica
F = m·a
d
ℓ=rxF
dt
como r x F es el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula respecto del punto O, obtenemos
d
M=
ℓ
dt
como queríamos demostrar
Una consecuencia inmediata de este teorema es la siguiente:
Teorema: Si sobre una partícula, el momento de las fuerzas que actúan sobre ella respecto de un punto es
cero, el momento angular de la partícula, respecto de ese punto, se conserva en el tiempo.
Demostración: Como la derivada de una constante es cero, es evidente
que en el caso M = 0
d
0=
ℓ  ℓ = Cte
dt
lo que quiere decir que el momento angular de la partícula es constante en
módulo, dirección y sentido.
(b) Existen muchos ejemplos en los que se verifica este teorema de conservación. En general el momento
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de una fuerza respecto de un punto es cero
M=rxF=0
si se cumple al menos una cualquiera de estas condiciones
r = 0 ; F = 0 ; r es paralelo a F
Un caso particularmente importante en Física es el de los sistemas gobernados por fuerzas centrales, como
por ejemplo el sistema planetario, en el que supondremos al Sol como centro de fuerzas del sistema.
En estos sistemas la dirección de la fuerza de atracción gravitatoria ejercida por el Sol sobre los planetas,
coincide con la dirección del vector posición del planeta respecto del Sol en todo instante, por tanto esta
fuerza no ejerce ningún momento sobre el planeta y en consecuencia el momento angular de este se
conserva en el tiempo. La consecuencia inmediata de la conservación del momento angular de los planetas
respecto al Sol son las leyes de Kepler
2L(J-94).- La masa de la Luna es aproximadamente 7,36·10 22 kg y su radio 1,74·106 m. Calcular: (a) El valor de la
distancia que recorrería una partícula, en un segundo de caída libre hacia la Luna, si se abandona en un punto próximo
a su superficie. (b) En la superficie terrestre, al colocar un cuerpo en un platillo de una balanza y en el otro pesas por
valor de 23,25 g se consigue el equilibrio ¿Qué pesas tendríamos que utilizar para equilibrar la balanza, con el mismo
cuerpo, en la superficie de la Luna?
Sol.: (a) s = 0,81 m; (b) m= 23,25 g
Solución
La Luna, al igual que cualquier otra masa, crea en los puntos del espacio que le rodea un campo gravitatorio,
gL, cuya dirección es la de la recta que une el centro de la Luna con el punto, el sentido hacia el centro del
satélite y de valor
M
gL = G 2L
r
en donde G es la constante de gravitación, ML es la masa de la Luna y r es la distancia desde el centro de la
Luna hasta el punto.
Es importante darse cuenta que el valor del campo gravitatorio no es constante, disminuye con el cuadrado
de la distancia que separa el centro del satélite con el punto.
En particular sobre un punto de la superficie de la Luna, supuesta esférica, el campo gravitatorio tiene un
valor
M
gL = G 2L
RL
en donde RL es el radio de la Luna en ese punto.
En consecuencia, cualquier cuerpo que se abandone cerca de su superficie (con el fin de poder considerar el
valor del campo constante) sigue un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado con aceleración gL.
En relación con la segunda pregunta hay que tener claro que la masa de un cuerpo, dentro del marco de la
Física clásica, es una propiedad intrínseca de la materia y por tanto, independiente del planeta o satélite en
que se mida.
RESOLUCIÓN Y CÁLCULOS:
a) El valor de la gravedad en la Luna en las proximidades de su superficie será
7,36  10 22
ML
11
gL = G 2 = 6,67·10
= 1,62 N/kg
1,74  10 6
RL
Por tanto cualquier cuerpo que se abandone (v0 = 0) cerca de la superficie de este satélite, se mueve con
movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado con aceleración gL = 1,62 m/s2 y en consecuencia en 1
segundo recorrerá un espacio
s = ½gLt2  s = ½·1,62·12 = 0,81 m
b) En la balanza de dos platillos, se está midiendo el valor de la masa m de un cuerpo cuyo peso en la Tierra
se equilibra con pesas por valor de 23,25 g. En consecuencia el cuerpo tiene una masa de
m = 23,25 g
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este valor es independiente del lugar en donde se realice la medida con la balanza, en consecuencia la
balanza en la Luna se equilibra con las mismas pesas que en la Tierra.
ANÁLISIS DEL RESULTADO:
Conviene hacer ver que la balanza mide la masa de un cuerpo a partir de lograr un equilibrio entre los pesos
de los dos platillos. Por el hecho de medir masas, la medida es independiente del lugar en que se realice ya
sea en la Tierra, en la Luna o en cualquier otra parte.
Otra cosa sería la medida del peso de la masa m (con un dinamómetro, por ejemplo) que sí depende de
donde se realice.
En la Luna, el cuerpo de masa m = 23,25·10-3 kg es atraído por ésta con una fuerza que llamaremos peso en
la Luna de la masa m que tendrá el valor, sobre la superficie
pL = m·gL = 23,25·10-3·1,62 = 37,66·10-3 N
siendo la dirección y el sentido los mismos que los del campo gravitatorio creado por la Luna en el punto en
que se encuentre la masa m.
El valor del peso de la masa m en la Tierra será diferente que en la Luna ya que el valor del campo
gravitatorio en las proximidades de la superficie terrestre tiene un valor de gT = 9,81 N/kg. El valor del peso en
la Tierra vendrá dado por la expresión
pT = m·gT = 23,25·10-3·9,81 = 228,08·10-3 N
3L(S-94).- Determina el valor de la gravedad en un punto situado a una altura de 130 km sobre la superficie terrestre.
Datos: RT = 6.370 km.
Sol.: g = 9,41 m/s2
Solución
La Tierra, al igual que cualquier otra masa, crea en los puntos del espacio que le rodea un campo gravitatorio
cuya dirección es la de la recta que une el centro de la Tierra con el punto, el sentido hacia el centro del
planeta y de valor
M
g = G 2T
r
en donde G es la constante de gravitación, MT es la masa de la Tierra y r es la distancia desde el centro
de la Tierra hasta el punto.
En particular sobre un punto de la superficie de la Tierra, supuesta esférica, el campo gravitatorio tiene un
valor
M
g0 = G T2
RT
en donde RT es el radio de la Tierra.
Si queremos calcular el campo gravitatorio a una altura h sobre la superficie terrestre su valor será
MT
g=G
(RT  h )2
en donde RT+h es la distancia desde el centro de la Tierra al punto.
Dividiendo este valor entre g0 obtenemos:
g

g0
G
MT
(RT  h )2
M
G T2
RT
1
(RT  h)2
RT2
g
simplificando y realizando la operación:


1
g0
(RT  h)2
2
RT
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despejando el valor de g0 obtenemos: g  g 0
Campo Gravitatorio
RT2
(RT  h)2
sustituyendo los valores en el sistema internacional de unidades, el valor de la gravedad en ese punto
será
g = 9,41 m/s2
Como ves, el valor del campo gravitatorio no es constante, disminuye con el cuadrado de la distancia que
separa el centro de la Tierra con el punto.
4L(S-95).- (a) Define intensidad de campo y potencial en un campo de fuerzas conservativo, ¿Qué relación existe entre
ambas magnitudes? (b) Si el potencial de un campo de fuerzas conservativo es constante en una cierta región del
espacio, ¿qué se puede afirmar del vector intensidad de campo en ella?
Solución
a) En un campo vectorial, como lo son el campo de fuerzas gravitatorias Fg, creado por una masa puntual M
o el campo eléctrico de fuerzas eléctricas Fe, creado por una carga eléctrica puntual Q se define intensidad
de campo en un punto, a la fuerza sobre unidad de magnitud característica del campo, colocada en dicho
punto, llamando magnitud característica aquella magnitud utilizada para detectar, si existe o no, un
determinado campo en una región del espacio.
Así, la magnitud característica del campo gravitatorio creado por una masa puntual M, es la masa, por tanto,
la intensidad de campo gravitatorio o simplemente campo gravitatorio en un punto, se define como la fuerza
gravitatoria ejercida por la masa M sobre la unidad de masa colocada en dicho punto.
g = Fg/m
La magnitud característica del campo eléctrico creado por una carga eléctrica puntual Q, es la carga eléctrica,
por tanto, la intensidad de campo eléctrico o simplemente campo eléctrico en un punto, se define como la
fuerza eléctrica ejercida por la carga Q sobre la unidad de carga colocada en dicho punto.
E = Fe/q
En los campos vectoriales conservativos y estacionarios se puede definir una función escalar que únicamente
depende las coordenadas V = V(x,y,z) denominada potencial del campo cuya diferencia entre dos puntos, de
posiciones r1 y r2, representa el trabajo que realizan las fuerzas del campo para mover la unidad de magnitud
característica desde el primero, r1, hasta el segundo, r2.
En el campo gravitatorio, la diferencia de potencial gravitatorio, representa el trabajo realizado por las fuerzas
gravitatorias para mover 1 kg masa desde la posición 1 hasta la 2
 
V1 – V2 = 12 g·dr
En el campo eléctrico, la diferencia de potencial eléctrico, representa el trabajo realizado por las fuerzas
eléctricas para mover 1 C de carga eléctrica desde la posición 1 hasta la 2.
 
V1 – V2 = 12 E ·dr
Como ves, se define la diferencia de potencial entre dos puntos y no el potencial en un punto. Para definir el
potencial en el punto de posición 1, se escoge otro punto O, en el cual, al potencial se le da el valor de cero
VO = 0, de modo que al calcular la diferencia de potencial entre 1 y O, se obtiene el potencial en el punto 1.
V1 - VO = V1 - 0 = V1
como el origen de potenciales se escoge, conviene definirlo antes de realizar cualquier desarrollo en el que
intervengan estas funciones.
Es habitual, en el campo gravitatorio y en el campo eléctrico tomar como origen de potenciales el infinito, de
modo que el potencial gravitatorio en el punto 1 se define como el trabajo que deben realizar las fuerzas
gravitatorias para mover la unidad de masa desde el infinito hasta el punto 1
 
 
V1 = 1 g·dr = - 1 g ·dr
Análogamente en el campo eléctrico se define potencial eléctrico en el punto 1 como el trabajo que realizan
las fuerzas eléctricas para mover la unidad de carga eléctrica desde el infinito hasta el punto 1.
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 
 
V1 = 1 E·dr = - 1 E·dr
b) Las regiones del espacio en donde el potencial de un campo de fuerzas conservativo es constante se
llaman equipotenciales. En estas regiones se puede mover la unidad de magnitud característica sin realizar
trabajo, ya que la diferencia de potencial entre dos puntos de esta región será cero.
Para que el trabajo realizado por las fuerzas del campo sea cero se tiene que dar, al menos, una de estas
condiciones



El campo en esa región es cero.
La unidad de magnitud característica no se desplaza.
El campo y el desplazamiento tienen direcciones perpendiculares.
Por tanto, se puede afirmar que o bien en esa región el valor del campo es cero o bien el vector campo es
perpendicular, en cada punto a la superficie equipotencial.
5L(S-96).- Define los conceptos de: intensidad de campo, potencial, línea de fuerza y superficie equipotencial en un
campo de fuerzas gravitatorio. ¿Bajo qué ángulo cortan las líneas de fuerza a las superficies equipotenciales? ¿Por
qué?
Solución
Podemos definir la intensidad de campo gravitatorio, g, en un punto cualquiera como la fuerza gravitatoria, Fg,
por unidad de masa, m, en ese punto.

 Fg
g
m
Podemos definir el potencial gravitatorio, V, en un punto cualquiera como la energía potencial gravitatoria, Ep,
por unidad de masa, m, en ese punto.
Ep
V=
m
Las líneas de fuerzas de un campo vectorial, como el campo gravitatorio, son líneas imaginarias tangentes en
cada punto al vector campo gravitatorio en dicho punto.
Superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos del espacio que están al mismo potencial
gravitatorio.
V(x,y,z) = Cte
La energía potencial gravitatoria de un cuerpo es la misma en todos los puntos de una superficie
equipotencial, en consecuencia, el campo no realiza trabajo sobre un cuerpo que se mueve sobre tal
superficie. Por tanto, la superficie equipotencial que pasa por un punto cualquiera ha de ser perpendicular a la
dirección del campo en dicho punto. Si no fuera así, el campo tendría una componente sobre la superficie
que realizaría trabajo al desplazar el cuerpo sobre la superficie equipotencial. En consecuencia el campo es
perpendicular en cada punto a la superficie equipotencial que pasa por dicho punto y por tanto las líneas de
fuerza, tangentes al vector campo, serán también perpendiculares a estas superficies.
6L(J-97).- (a) Compara las fuerzas de atracción gravitatoria que ejercen la Luna y la Tierra sobre un cuerpo de masa m
que se halla situado en la superficie de la Tierra. ¿A qué conclusión llegas? (b) Si el peso de un cuerpo en la superficie
de la Tierra es de 100 kp. ¿Cuál sería el peso de ese mismo cuerpo en la superficie de la Luna?
Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna. La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es de
60 radios terrestres. El radio de la Luna es 0,27 veces el radio de la Tierra.
Sol.: (a)
F T = 281.961
FL
; (b) pL = 17 kp
Solución
a) La fuerza de atracción gravitatoria que se ejercen dos cuerpos cualesquiera de masas M y m, separados
sus centros una distancia r, tiene un valor que viene dado por
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F=G
M·m
r2
siendo G la constante de gravitación universal.
La dirección de la fuerza es la línea que une los dos centros de los cuerpos y el sentido es de atracción.
Si uno de los cuerpos es la Tierra, de masa MT y el otro, de masa m, está colocado sobre su superficie, es
decir, a una distancia RT de su centro, el valor de la fuerza que la Tierra ejerce sobre este cuerpo será
M ·m
FT = G T 2
RT
La fuerza de atracción gravitatoria ejercida por la Luna sobre el mismo cuerpo, colocado sobre la superficie
terrestre sería
M ·m
FL = G L2
r
donde r es la distancia desde el centro de la Luna hasta el cuerpo, es decir
r = d − RT
siendo d la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna que según el enunciado tiene un valor de
d = 60·RT
 r = 60·RT - RT = 59·RT
en definitiva la fuerza que la Luna ejerce sobre este cuerpo se puede escribir como
M L ·m
FL = G
(59 RT )2
Con el fin de comparar estas dos fuerzas dividimos, miembro a miembro estos dos valores
M ·m
G T2
FT
RT

ML ·m
FL
G
3481 RT2
simplificando esta relación
FT
M 3481 RT2
M
 T·
 3481 T
2
FL ML
ML
RT
Como la masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna (MT = 81·ML)
FT
81·ML
 3481
 281961
FL
ML
de modo que la fuerza ejercida por la Tierra sobre el cuerpo es 281.961 veces mayor que la que ejerce la
Luna sobre el mismo cuerpo colocado sobre la superficie terrestre. A la vista de este resultado, se puede
concluir que la fuerza ejercida por la Luna tiene efectos despreciables sobre el cuerpo de modo que se puede
prescindir de ella al analizar la dinámica de dicho cuerpo en la superficie del planeta.
b) El peso de un cuerpo de masa m, colocado sobre la superficie de un determinado planeta o satélite de
masa M y radio R, es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce éste sobre dicho cuerpo
M·m
P=G
R2
Si el cuerpo se encuentra en la superficie de la Tierra tendrá el valor
M ·m
PT = G T 2
RT
y si se encuentra en la superficie de la Luna será
M ·m
PL = G L 2
RL
si dividimos ambas expresiones y simplificamos, obtendremos la relación entre ambos pesos
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G
ML ·m
RL2
M ·R 2
 L T2
M ·m MT ·RL
G T2
RT
sustituyendo las relaciones que nos dan entre las masas y los radios de la Tierra y la Luna
PL
ML ·RT2

 0,17
PT
81ML ·(0,27RT )2
PL

PT
de modo que el peso en la Luna es
pL = 0,17·pT
 pL = 17 kp
7L(S-97).- (a) ¿Cómo se define la gravedad en un punto de la superficie terrestre? ¿Dónde será mayor la gravedad, en
los Polos o en un punto del Ecuador?. (b) ¿Cómo varía la gravedad con la altura? ¿Qué relación existe entre la
gravedad a una altura h y la gravedad en la superficie terrestre?
Solución
(a) La gravedad en un punto de la superficie terrestre es la fuerza gravitatoria que ejerce la masa de la Tierra,
MT, sobre la unidad de masa colocada sobre la superficie de ésta
M ·m 

 G T 2 u RT
Fg
RT
g0 =
=
m
m
en donde uRT es un vector unitario en la dirección del radio terrestre y de sentido desde el centro de la Tierra
a la superficie de esta.
La gravedad en un punto de la superficie terrestre es, en consecuencia un vector de módulo
M
g0 = G T2
RT
cuya dirección coincide con la línea que une el centro de la Tierra con el punto y el sentido hacia el centro del
planeta.
En consecuencia, el valor de la gravedad sobre la superficie terrestre, depende de la distancia desde el
centro de la Tierra al lugar sobre la superficie en donde se coloque la unidad de masa.
La Tierra no tiene forma esférica, está ligeramente achatada por los Polos, de
modo que las distancias del centro al Ecuador, RE, son algo mayores que a los
Polos, RP
R E > RP
por tanto el valor de la gravedad en el Ecuador será menor que en los Polos
M
M
G T2 < G T2
RE
RP
gE < gP
(b) El valor de la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, de modo que debe
disminuir al aumentar ésta.
La gravedad a una altura h sobre la superficie terrestre será
MT
gh = G
(RT  h )2
la relación que existe entre éste valor y el de la gravedad en la superficie terrestre
será
MT
gh
(R  h ) 2
 T
MT
g0
2
RT
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simplificando y operando esta ecuación obtenemos
2
gh
RT

g 0 (RT  h )2
en consecuencia
RT
gh  g0
2
(RT  h )2
Como el factor por el que se multiplica a g0 es siempre menor que la unidad
RT
2
<1
(RT  h )2
el valor de la gravedad a una altura, gh, siempre será menor que sobre la superficie g0
gh < g0
como habíamos comentado anteriormente.
8L(S-98).- Si se considera que la Tierra tiene forma esférica, con un radio aproximado de 6.400 km, determine: (a) La
relación existente entre las intensidades del campo gravitatorio sobre la superficie de la Tierra y a una altura de 144 km
por encima de la misma. (b) La variación de la energía cinética de un cuerpo de 100 kg de masa al caer libremente
desde la altura de 144 km hasta 72 km por encima de la superficie terrestre.
Datos: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; MT = 5,98·1024 kg
Sol.: (a) g0/g = 1,05 ; (b) ΔEc = 67.807.497,3 J
Solución
a) El campo gravitatorio creado por una masa puntual m en un punto situado a una distancia r de ella tiene
un valor
m
g=G 2
r
en donde G es la constante de gravitación universal. La dirección es radial y el sentido hacia la masa.
Si se considera que la Tierra tiene forma esférica, el campo gravitatorio que crea es el mismo que el de una
masa puntual de masa la de la Tierra, MT situada en el centro de la esfera. El campo gravitatorio que crea la
Tierra sobre su superficie será por tanto
M
g0 = G T2
RT
b) En un campo conservativo como el gravitatorio, el trabajo realizado por las fuerzas del campo para
desplazar un objeto entre dos puntos se puede escribir como la diferencia de energías potenciales del campo
entre esos dos puntos
W = Ep(i) - Ep(f)
la energía potencial gravitatoria terrestre de un objeto de masa m a una distancia r del centro de la Tierra es
M m
Ep =  G T
r
por tanto el trabajo será
 1 1
M m 
M m
 = G·MT·m   
W=G T
   G T
ri
rf 
 rf ri 

Este trabajo debe ser igual al incremento de energía cinética entre esos dos puntos
W = Ec
RESOLUCIÓN Y CÁLCULOS:
a) El campo gravitatorio que crea la Tierra a una altura h de su superficie será
MT
g=G
RT  h 2
La relación entre las intensidades será
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g0
=
g
G
G
MT
RT2
MT
RT
=
RT
 h
2
 h
2
RT2
sustituyendo los datos
g0
6400  144 2 = 1,05
=
g
6400 2
b) El trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio terrestre para llevar libremente un objeto de
masa m = 100 kg desde una altura hi
hi = 144 km  ri = 6.400 + 144 = 6.544 km = 6.544.000 m
hasta la altura hf
hf = 72 km  rf = 6.400 + 72 = 6.472 km = 6.472.000 m
será
 1 1
G  MT  m  (ri  rf )
W = G·MT·m    =
rf  ri
r
r
i 
 f
sustituyendo los datos se obtiene
W = 67.807.497,3 J
y por tanto el incremento de energía cinética será
Ec = 67.807.497,3 J
9L(S-98).-(a) ¿Cuál es la velocidad de escape de un objeto situado en la superficie de la Tierra? (b) ¿Cómo influye la
dirección con que se lanza un objeto desde la superficie de la Tierra en su velocidad de escape?
Solución
(a) La velocidad de escape ve de un objeto de masa m, situado en la superficie terrestre es la velocidad
mínima que hay que dar al objeto, situado sobre la superficie terrestre, para que salga del campo de
atracción gravitatorio creado por la masa de la Tierra MT. En definitiva es la velocidad que hay que dar al
objeto para colocarlo en el infinito (energía cinética del objeto cero), donde el potencial gravitatorio creado
por la Tierra es cero (energía potencial gravitatoria del objeto cero).
Como la energía del objeto se conserva
Esuperficie terrestre = Einfinito
M m
1
mv e2  G T
0
2
RT
siendo RT el radio de la Tierra. Despejando la velocidad de escape se obtiene
2  G  MT
ve 
RT
Teniendo en cuenta que el valor del campo gravitatorio creado por la masa de la Tierra en su superficie
es
M
g 0  G T2
RT
se puede escribir
v e  2  g 0  RT
Aunque en el enunciado no se aporten datos numéricos para calcular la velocidad de escape, con el fin
de hacerse una idea de su valor vamos a tomar g0 = 9,8 N/kg y RT = 6.400 km. En este caso
obtendríamos un valor para la velocidad de escape desde la superficie terrestre
ve = 11,2 km/s
unas 33 veces la velocidad del sonido en el aire
(b) El campo gravitatorio es conservativo de manera que el trabajo que hay que realizar para llevar el
objeto desde la superficie de la Tierra hasta el infinito es independiente del camino seguido. Por tanto la
dirección con que se lanza el objeto desde la superficie de la Tierra no influye en el valor de la velocidad
de escape.
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10L(S-99).- (a) ¿Qué condición debe cumplir un campo de fuerzas para ser conservativo? (b) Ponga un ejemplo de
campo de fuerzas conservativo y demuestre que se cumple la citada condición.
Solución
(a) Si el trabajo realizado por las fuerzas del campo entre dos puntos, es independiente del camino que
los une el campo es conservativo.
El trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria, se puede medir por la
diferencia de los valores que toma una cierta función U=U(x,y,z) llamada energía potencial, en los puntos
inicial y final
W = U i - Uf
(b) El campo gravitatorio es conservativo, las fuerzas del campo son del tipo
en donde G es la constante de gravitación, r es la distancia entre las masas m1 y m2 y ur es un vector
unitario en la dirección de la línea que une las dos masas.

m m 
F   G 1 2 2 ur
r
El trabajo realizado por esta fuerza para llevar la masa m 2 desde el punto i hasta el f será
f 

W =  F  dr
i
sustituyendo y realizando la integral
W 
f
i
G
m1  m2
r2
f
 1
dr   G  m1  m2  
 r i
operando
m m 
m1  m2 
   G 1 2 
ri
rf


Si definimos como energía potencial del campo gravitatorio como
m m
U = G 1 2
r
obtenemos que
W = U i - Uf
W = G
11LA(J-00).- Se conoce como “primera velocidad cósmica” la que lleva un satélite que gira muy próximo a la
superficie de la Tierra. La “segunda velocidad cósmica” es con la que debe salir un móvil para que pueda escapar
justamente del campo gravitatorio. Teniendo en cuenta que el radio de la Tierra es de 6378 km, g = 9,8 m/s 2 y la
densidad media de la Tierra es 5,5 g/cm3 estimar las dos velocidades cósmicas.
Sol.: v = 7906 m/s; ve = 11181 m/s
Solución
La primera velocidad cósmica se corresponde con la de un satélite en una órbita del radio terrestre. Al
estar en la órbita la aceleración de la gravedad es la aceleración centrípeta del movimiento circular:
M ·m
M
v2
v2
G T2 = m
como g = G T2  g =
 v = g  RT
RT
RT
RT
RT
v = 9,8  6378  103 = 7906 m/s
La segunda velocidad cósmica es la llamada velocidad de escape, y es la necesaria para que la energía
mecánica total de un cuerpo sea nula:
M m
2  G  MT
1
mv e2  G T
 0  ve 
= 2g  RT
2
RT
RT
ve = 11181 m/s
12CA(S-00).- ¿En qué punto de la línea que une la Tierra y la Luna el campo gravitatorio debido a ambas masas es
nulo?
Datos. distancia Tierra - Luna = 384 000 km; (MT/ML) = 81
d-x
d
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Campo Gravitatorio
Sol.: x = 345600 km
Solución
Los sentidos de los campos gravitatorios de la Tierra y de la Luna, se oponen según para las condiciones
del enunciado. Por tanto el campo será nulo cuando:
MT
ML
x2
x2
M
G T2 = G

=
 81 =
2
2
M L d  x 
x
d  x 
d  x 2
9·(d  x) = x  9d = 10x  x = 345600 km
13LA(S-00).- Un astronauta hace experimentos con un péndulo simple de 1 m de longitud en la superficie de un
planeta que tiene un radio que es la séptima parte del radio terrestre. Si el periodo de oscilación del péndulo es 2,5
s:
a) ¿Cuál es la masa del planeta?
b) ¿Cuál será la velocidad de escape en dicho planeta?
Datos: RT = 6370 km; G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2.
Sol.: a) M = 7,85·1022 kg; b) ve = 3392,3 m/s
Solución
a) El periodo de un péndulo simple es:
T = 2
L
g
 g=
4 2  L
T2
4 2  1
= 6,32 m/s2
2,5 2
El valor de la gravedad en función de la masa y el radio del planeta es:
M
g  R2
g=G 2  M=
G
R
g=
2
6


6,32   6,37  10

7

 = 7,85·1022 kg
M=
11
6,67  10
b) La velocidad de escape es aquella que haga que la energía mecánica total del cuerpo sea nula, por
tanto:
1
M m
2 G  M
mv e2  G
 0  ve 
2
R
R
ve 
2  6,67  10 11  7,85  10 22
6,37  10 6
= 3392,3 m/s
7
14LA(J-01).- Supongamos que la Tierra, manteniendo su masa, aumentara su radio medio. ¿Cómo variaría la
velocidad de escape?
Solución
La velocidad de escape es aquella que proporciona la energía cinética suficiente para compensar la
energía potencial gravitatoria:
1
M m
mv e2  G
0
2
R
Por tanto:
2 G  M
ve 
R
Si el radio aumenta la velocidad de escape será menor.
15LA(J-01).- En cuál de los tres puntos es mayor la gravedad terrestre: a) en una sima a 4 km de profundidad; b)
en el ecuador; c) en lo alto del monte Everest.
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Campo Gravitatorio
Solución
La fuerza de la gravedad generada por una esfera es máxima sobre la superficie de la misma. En su
interior disminuye linealmente y en su exterior disminuye inversamente a la distancia al cuadrado. La
respuesta correcta es la b).
16LA(J-01).- Un meteorito, de 100 kg de masa, se encuentra inicialmente en reposo a una distancia sobre la
superficie terrestre igual a 6 veces el radio de la Tierra.
a) ¿Cuánto pesa en ese punto?
b) ¿Cuánta energía mecánica posee?
c) Si cae a la Tierra, ¿con qué velocidad llegará a la superficie?
Datos: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; MT = 5,98·1024 kg; RT = 6,37·106 m
Sol.: a) F = 20 N; b) E = 8,92·108 J; c) v = 10361 m/s
Solución
a) El peso es la fuerza con que la Tierra lo atrae. El módulo de la fuerza de la gravedad es:
M m
F=G T2
r
La distancia desde el centro de la Tierra al meteorito es 7·RT. Sustituyendo se tiene el valor de la fuerza
en el punto indicado.
5,98  10 24  100
F = 6,67·10-11
= 20 N
2
7  6,37  10 6


b) La energía mecánica total de un cuerpo en reposo es sólo su energía potencial, cuyo valor es:
M m
5,98  10 24  100
Em = Ep = G T
= 6,67·10-11
= 8,92·108 J
r
7  6,37  10 6
c) Al caer sobre la Tierra se transforma la energía potencial en energía cinética. Por tanto al llegar al
suelo de la Tierra:
M m
M m
1  12 MT
M 
1
G T
= mv2  G T
 v2 = 2G T  1   =
G
7
2
7
RT 
RT
7  RT
RT
v=
12  G  MT
=
7  RT
12  6,67  10 11  5,98  10 24
7  6,37  10 6
= 10361 m/s
17L(J-02).- Un planeta esférico tiene un radio de 3000 km, y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6 m/s 2.:
(a) ¿Cuál es su densidad media?. (b) ¿Cuál es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie de este
planeta?
Datos: Constante de gravitación universal G = 6,67·10 -11 N·m2·kg-2.
Sol.: a) d = 7168 kg/m3; b) ve = 6 km/s
Solución
a) La densidad se calcula mediante el cociente de la masa del planeta y el volumen. Como conocemos el
radio el volumen se puede calcular directamente mediante la expresión:
4
4
V = R3 =  (3·106)3 = 1,13·1020 m3.
3
3
El campo gravitatorio creado en las proximidades del planeta coincide con el valor de la gravedad en la
superficie del planeta:
g0 = G
M
R2
 M=


2
3  10 6  6
R 2  g0
=
= 8,1·1023 kg
G
6,67  10 11
La densidad será:
M
8,1 10 23
=
= 7168 kg/m3.
V
1,13  10 20
b) La velocidad de escape se calcula como la mínima velocidad que hay que dar a un objeto situado en la
superficie del planeta para colocarlo en el infinito:
d=
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1
M m
m v e2  G
= 0  ve =
2
R
Campo Gravitatorio
2  6,67  10 11  8,1 10 23
2G  M
=
= 6001,5 m/s
R
3  10 6
ve = 6 km/s
18LA(S-03).- La Luna tiene una masa que es 0,0123 veces la de la Tierra y su radio es cuatro veces menor. Calcular:
a) La longitud del péndulo que bate segundos en la Luna (péndulo de periodo 1 segundo)
b) El ahorro de energía, respecto de la necesaria en la Tierra, al levantar un cuerpo de masa 1000 kg a una altura
de 10 metros sobre el nivel del suelo.
Datos: g = 9,8 m/s2.
Sol.: a) L = 05 m; b) 78700 J
Solución
a) El periodo de un péndulo depende del valor del campo gravitatorio, g. Como conocemos
el valor del campo en la Tierra, intentaremos escribir el de la Luna en función de este.
M
M
M
0,0123  MT
g = G T2
; gL = G 2L = G
= 0,197·G T2 = 0,197·9,8 = 1,93 m/s2
2
RT
RT
RL
 RT 


 4 
Conocido el valor del campo, despejamos de la expresión del periodo del péndulo el valor
de la longitud.
12  1,93
T 2  gL
L
T = 2
 L=
=
= 0,05 m
gL
4 2
4 2
b) El trabajo realizado por las fuerzas del campo en las proximidades de la superficie se puede expresar
en la Tierra como:
W = −ΔEp = Ep0 − Epf = mg(h0 − hf ) = −1000·9,8·10 = −98000 J
Que el trabajo sea negativo quiere decir que se realiza en contra de las fuerzas del campo ya que lo que
se ha hecho es aumentar la energía del cuerpo. Es decir vamos a considerar que hemos ejercido98000
J.
En la Luna será:
W = −m·g·Δh = 1000·1,93·10 = −19300 J
La diferencia entre ambas energías es: 98000 – 19300 = 78700 J
Es decir que tenemos que nos ahorramos78700 J si estamos en la Luna.
19LA(S-03).- ¿A qué distancia h por encima de la superficie de la tierra la aceleración de la gravedad es la mitad de
su valor a nivel del mar? (radio de la Tierra: 6370 km)
Sol.: h = 2639 km
Solución
La variación de la gravedad con la altura viene dada por la expresión
g = g0
RT2
r2
donde r = RT + h.
Si el valor de la gravedad es la mitad de g0
1 RT2
= 2  r = 2 RT = 9009 km
2
r
por tanto
h = r  RT = 9009  6370 = 2639 km
20LA(S-03).- Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad
inicial de 8 km/s. Determinar la altura máxima que alcanza, despreciando la resistencia del aire. (Radio de la Tierra:
6370 km)
Sol.: h = 6700 km
Solución
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Campo Gravitatorio
Utilizando el principio de conservación de la energía
M m
M m
1
m v 2 G T
= G T
2
r
RT
donde r = RT + h
M
M
1 2
v =G T G T
2
r
RT
como no conocemos la masa de la Tierra debemos manipular la ecuación
1 2
R2
v = g0·RT  g0 T
2
r
 g0
1
RT2
= g0·RT  v2 
2
r
r=
2g 0RT  v 2
RT2
=
r
2g 0
2g 0  RT2
2g 0  RT  v 2
por tanto
h=
2g 0  RT2
2g 0  RT  v 2
h=
 RT =
2g 0  RT2  2g 0  RT2  v 2  RT
2g 0  RT  v 2
8000 2  6,37  10 6
2  9,8  6,37  10 6  8000 2
=
v 2  RT
2g 0  RT  v 2
= 6699533 m = 6700 km
21LA(S-04).- Un meteorito de 60 kg. cae desde un punto situado a una altura igual al radio de la Tierra con una
velocidad de 40 m/s.
a) ¿Cuál será la velocidad del meteorito al caer en la superficie terrestre si despreciamos la fricción con la
atmósfera?
b) ¿Cuál será la energía del meteorito en el momento del impacto?
c) Si la masa del meteorito fuera el doble con cuanta velocidad y energía impactaría.
Datos: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; MT = 5,98·1024 kg; RT = 6370 km
Sol.: a) v = 7913 m/s; b) E = 1,88·109 J; c) E’ = 3,76·109 J
Solución
a) Calculamos la velocidad por conservación de la energía.
M m
M m
1
M 
M
1
1
m v 02 G T
= mv2  G T
 v2 = 2G T  1   + v 02 = G T + v 02
2
2
2
R
RT
2  RT
RT

T 
G  MT
 v 02 =
RT
6,67  10 11  5,98  10 24
 40 2 = 7913 m/s
6,37  10 6
b) Sustituimos los datos en la expresión de la energía.
M m
1
1
5,98  10 24  60
E = mv2  G T
= 60·79132  6,67·1011
2
2
RT
6,37  10 6
v=
E = 1,88·109  3,76·109 = 1,88·109 J
c) Como hemos visto en el apartado a), la velocidad no depende de la masa del meteorito luego el valor
también será 7913 m/s.
El valor de la energía si varía:
M  2m
1
E’ = 2mv2  G T
= 2E = 2(1,88·109) = 3,76·109 J
2
RT
22LA(S-04).- El gráfico adjunto muestra cómo varía la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa 2 kg, en
un planeta de radio R = 5000 km, con la distancia h a la superficie
del planeta (suponiendo que h es mucho menor que R). Calcule:
a) La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta
mencionado.
b) La masa del planeta.
c) La velocidad de escape en el planeta.
Datos: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2.
Sol.: a) g = 2 m/s2; b) M = 7,5·1023 kg;
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Campo Gravitatorio
Solución
a) En las proximidades de la superficie del planeta la energía potencial se puede calcular mediante al
expresión Ep = m·g·h que se ajusta a la recta dada en la gráfica. Tomando los datos de cualquier punto
de la recta (10 m , 40 J):
Ep
40
Ep = m·g·h  g =
=
= 2 m/s2
m  h 2  10
b) Para calcular la masa del planeta recurrimos a la expresión del campo gravitatorio que crea en la
superficie.


2
2  5  10 6
g  R2
=
= 7,5·1023 kg
G
R2
6,67  10 11
c) Igualamos la energía total a cero para calcular la expresión de la velocidad de escape.
1
M m
2 G  M
mv e2  G
 0  ve 
2
R
R
g=G
M
ve 
 M=
2  6,67  10 11  7,5  10 23
5  10 6
= 4473 m/s
23LA(S-04).- La masa de la Luna con respecto a la de la Tierra es 0,0112MT y su radio es RT/4. Dado un cuerpo
cuyo peso en la Tierra es 980 N (g0 = 9,80 m/s2), calcula:
a) La masa y el peso del cuerpo en la luna.
b) La velocidad con la que el cuerpo llega a la superficie lunar si cae desde una altura de 100 metros.
Sol.: a) m = 100 kg; PL = 175,6 N; b)
Solución
a) La masa del cuerpo no depende del lugar en el que se encuentre de modo que será igual que en la
Tierra.
P
980
PT = m·g0  m = T =
= 100 kg
g0
9,80
El peso en la Luna será
M m
0,0112  MT  m
PL = G L 2 = G
= 16·0,0112·PT = 175,6 N
2
RL
 RT 


 4 
b) Consideramos que en 100 m de desnivel no hay variaciones importantes como para ser consideradas
en el valor de gL. Transformamos la energía potencial del cuerpo a esa altura en energía cinética para
poder calcular la velocidad.
1
m·v2 = m·gL·h  v = 2  g L  h
2
el valor de la gravedad en la Luna será
M
0,0112  MT
gL = G 2L = G
= 16·0,0112·g0 = 1,76 m/s2
2
RL
 RT 


 4 
por tanto
v = 2  1,76  100 = 18,8 m/s
24L(S-05).- Dos masas iguales, M = 20 kg, ocupan posiciones fijas, separadas una distancia de 2 m, según indica la
m’ A
figura. Una tercera masa, m’ = 0,2 kg, se suelta desde el reposo en un punto A
equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de 1 m de la línea que las
une (AB = 1 m). Si no actúan más que las acciones gravitatorias entre estas masas,
determine: (a) La fuerza ejercida (módulo, dirección y sentido) sobre la masa m’ en la
posición A. (b) Las aceleraciones de la masa m’ en las posiciones A y B.
Dato: G = 6,67·1011 N·m2·kg2.
M
B
M
Sol.: a) FT = 1,89·1010 N; b) aA = 9,45·1010 m/s2; aB = 0
Solución
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Campo Gravitatorio
a) Calculamos el valor de la fuerza gravitatoria en el punto A. Vamos a obtener dos vectores de módulo
igual y cuyas componentes en el eje horizontal (eje X) se van a anular entre si. Solamente sumaremos
las componentes verticales.
Como se trata de un triángulo rectángulo con los dos catetos iguales, el ángulo que forman cada una de
las fuerzas con la horizontal es 45º.
M  m'
FT = 2 G
cos 45º
r2
donde
r2 = 12 + 12 = 2
20  0,2
FT = 2 6,67·1011
cos 45º = 1,89·1010 N
2
La dirección es la de la vertical y el sentido hacia abajo.
b) La aceleración en el punto A la calculamos dividiendo el
valor de la fuerza aplicada
entre la masa m’:
1,89  10 10
F
aA = T =
= 9,45·1010 m/s2
0,2
m'
En el punto B como está equidistante a las dos masas el valor del campo gravitatorio
es nulo, por lo tanto también lo es la fuerza y la aceleración.
25L(J-07).- Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie de la Luna es
un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y que el radio de la Luna es aproximadamente
0,27 RT (siendo RT el radio terrestre), calcule: a) La relación entre las densidades medias dLuna/dTierra; b) la relación entre
las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies (v e)Luna/(ve)Tierra.
Sol.: (a) dL/dT = 0,62; (b) vL/vT = 0,21
Solución
a) La relación entre las densidades, suponiendo la Tierra y la Luna esferas, será
ML
4
  R L3
dL
M  R3
3
=
= L T3
MT
dT
MT  RL
4
  RT3
3
Para obtener un resultado numérico hay que saber la relación entre las masas, que la calcularemos a partir
de la relación entre las aceleraciones de la gravedad
M
G 2L
RL
gL 1
M R2
ML
M L  RT2
= =
= L T2 =
=
MT MT  RL MT  0,27 2 RT2 0,073  MT
gT 6
G 2
RT
M L 0,073
=
= 0,012
6
MT
Ahora introducimos este resultado en la relación de las densidades
d L 0,012  RT3
=
= 0,62
dT 0,27 3  RT3
b) La velocidad de escape desde la superficie es
ve 
2 G  M
R
La relación será
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Campo Gravitatorio
vL
=
vT
2  G  ML
RL
=
M L  RT
M L  RL
2  G  MT
RT
sustituyendo las relaciones entre las masas y los radios
vL
0,012  RT
=
= 0,21
vT
0,27  RT
26LE(S-11).- a) Exprese la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta en función de la masa del planeta,
de su radio y de la constante de gravitación universal G.
b) Si la aceleración de la gravedad sobre la superficie terrestre vale 9,8 m s 2, calcule la aceleración de la gravedad a
una altura sobre la superficie terrestre igual al radio de la Tierra.
Solución
a) El peso de un cuerpo de masa m en la superficie de la Tierra es la fuerza de atracción gravitatoria que el
planeta ejerce sobre el cuerpo
M m
P=G T 2
RT
donde MT y RT son la masa y el radio de la Tierra que junto con la constante de gravitación forman una
constante de valor 9,8 m·s2, que denominamos aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.
M
g = G T2
RT
de forma que el peso del cuerpo se puede escribir como P = m·g
b) El valor de la aceleración de la gravedad varía con la altura
MT
gh = G
RT  h 2
Por tanto
MT
G
RT  h 2  g h = RT2
gh
=
M
g
g
RT  h 2
G T2
RT
Si la altura es la del radio terrestre tenemos
RT2
RT2
g
gh
gh
=

=
 gh =
4
g
g
4RT2
RT  RT 2
sustituimos el valor de g = 9,8 m·s2
gh =
9,8
= 2,45 m·s2
4
27.- Un cierto planeta esférico tiene una masa M = 1,25×1023 kg y un radio R = 1,5×106 m. Desde su superficie se lanza
verticalmente hacia arriba un objeto, el cual alcanza una altura máxima h = R/2. Despreciando rozamientos, determine:
a) La velocidad con que fue lanzado el objeto.
b) La aceleración de la gravedad en el punto más alto alcanzado por el objeto.
Datos: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67×1011 N m2 kg2
Solución
a) Utilizando el principio de conservación de la energía
M m
M m
1
m v 2 G
= G
2
R
r
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donde r = R +
Campo Gravitatorio
R
3R
=
2
2
M
M
M
1 2
v =G
G
=G
3
R
2
R
3R
2
2G M
3R
v=

v=
2  6,67  10 11  1,25  10 23
3  1,5  10 6
= 1925 m/s
b) El valor de la aceleración de la gravedad varía con la altura
M
gh = G
R  h 2
Por tanto
M
G
R  h 2  g h = R 2 = R 2 = 4
gh
=
M
g
g
R  h 2  3 R  2 9
G 2


R
 2 
4
4
gh = g
= 9,81
= 4,36 m/s2
9
9
28.- La masa del Sol es 333183 veces mayor que la de la Tierra y la distancia que separa sus centros es de 1,5×10 8 km.
Determine si existe algún punto a lo largo de la línea que los une en el que se anule:
a) El potencial gravitatorio. En caso afirmativo, calcule su distancia a la Tierra.
b) El campo gravitatorio. En caso afirmativo, calcule su distancia a la Tierra.
Solución
a) Si llamamos d, a la distancia entre el Sol y la Tierra, y r a la distancia del Sol al punto, el potencial
gravitatorio en ese punto será la suma de los potenciales, es decir

M
MT 

V(r) = G S +   G
d  r 
r

Se trata de ver en punto r, el potencial es cero
MS d
M
MS
MT
M
G S  G
=0 
=  T
 r=
MS  MT
r
r
d r
d r
333183 MT  1,5  1011
333183  1,5  1011
=
> 1,5×1011 m
(333183  1) MT
(333183  1)
No hay ningún punto en la línea Sol-Tierra en la que se cancele el potencial gravitatorio.
r=
b) Para que se anule el campo gravitatorio los valores del campo deben ser iguales y los vectores campo
deben tener sentidos contrarios
M
MT
MT
333183 MT
1
333183
G 2S = G

=

=
2
2
2
2
r
r
(d  r ) 2
(d  r )
(d  r )
r
Resolvemos la ecuación de segundo grado
333183 (1,5×1011  r)2  r2 = 0

r1 = 1,4974×1011 m
La distancia a la Tierra será
D = d  r1 = 2,6×108 m
29LE(J-14).- El planeta A tiene tres veces más masa que el planeta B y cuatro veces su radio. Obtenga:
a) La relación entre las velocidades de escape desde las superficies de ambos planetas.
b) La relación entre las aceleraciones gravitatorias en las superficies de ambos planetas.
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Física 2º Bachillerato
Campo Gravitatorio
Solución
Las relaciones dadas en el enunciado son:
MA = 3 MB
; R A = 4 RB
a) La velocidad de escape de un planeta determinado es la velocidad mínima que ha de tener un cuerpo para
que pueda escaparse del campo gravitatorio a que está sometido en el planeta, es decir, la velocidad
necesaria para llevar el cuerpo desde la superficie del planeta hasta el infinito con velocidad nula.
1
M m
1
M m
E=0 
m·v2  G
=0 
m·v2 = G
2
R
2
R
la velocidad necesaria para que su energía cinética contrarreste la energía potencial del campo de modo que
v=
2 G  M
R
Por tanto
vA =
2 G  MA
RA
;
vB =
2  G  MB
RB
La relación será:
2 G MA
RA
vA
=
vB
Utilizamos ahora las relaciones dadas
vA
=
vB
=
2 G MB
RB
3 M B RB
=
M B 4 RB
M A RB
MB RA
3
3
=
4
2
vA = 0,87 vB
b) El campo gravitatorio en la superficie de un planeta de masa M y radio R es:
M
g0 = G 2
R
Por tanto:
gA = G
MA
R A2
;
gB = G
MB
R B2
La relación será:
G
gA
=
gB
MA
R A2
M R2
= A B2
M
MB RA
G B2
RB
Utilizamos las relaciones dadas
M R2
gA
3 M B RB2
3
= A B2 =
=
2
16
gB
M B 16 RB
MB RA
gA = 0,19 gB
30LE(J-14).- Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal manera que alcanza
una altura máxima, con respecto a la superficie terrestre, de 500 km. Despreciando el rozamiento con el aire, calcule:
a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárela con la velocidad de escape desde la
superficie terrestre.
b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra, cuando su velocidad se ha
reducido en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento.
Datos: Radio Tierra, RT = 6,37×106 m ; Masa Tierra, MT = 5,97×1024 kg; Constante Gravitación Universal, G = 6,67×10-11 N m2 kg-2
Solución
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Física 2º Bachillerato
Campo Gravitatorio
a) Como el campo gravitatorio es conservativo podemos plantear el principio de conservación de la energía
mecánica entre la superficie terrestre y el punto donde se alcanza la altura máxima.
M m
M m
M
MT
1
1 2
m·v2  G T
=–G T

v G T =–G
2
2
R

h
R
RT
RT
T
T  h
 1
h
1 
 = 2 G MT
v2 = 2 G MT 


R
R
R
R

h
T
T  h
T
 T

2 G MT h
RT RT  h 
v=
Sustituimos
v=
2  6,67  10 11  5,97  10 24  5  10 5
6,37  10 6  6,87  10 6
= 3016,5 m/s
La velocidad de escape de la Tierra es la velocidad mínima que ha de tener un cuerpo para que pueda
escaparse del campo gravitatorio a que está sometido, es decir, la velocidad necesaria para llevar el cuerpo
desde la superficie de la Tierra hasta el infinito con velocidad nula.
M m
M m
1
1
E=0 
m· v e2  G T
=0 
m· v e2 = G T
2
2
RT
RT
ve =
2  G  MT
RT
Sustituimos los datos
ve =
2  6,67  10 11  5,97  10 24
6,37  10 6
= 11 181,4 m/s
Comparando ambas velocidades
ve
11181,4
=
= 3,7 
ve = 3,7 v
v
3016 ,5
La velocidad de escape es 3,7 veces mayor que la velocidad calculada.
También podríamos haber buscado la relación directamente, sin realizar el cálculo de la velocidad de
escape, a partir de las relaciones literales de las dos velocidades.
2 G MT
RT
RT  h
ve
=

h
v
2 G MT h
RT RT  h 
Sustituimos
ve
=
v
6,87  10 6
5  10 5
= 3,7
b) A la distancia, r, respecto al centro de la Tierra la velocidad se ha reducido en un 10 % del valor v anterior,
es decir, su valor será
v – 0,1 v = 0,9 v
Es lo mismo que afirmar que el valor de la velocidad es ahora un 90 % del valor anterior.
Volvemos a plantear el principio de conservación de la energía mecánica en este caso
M m
M
M m
M
1
1
1 2
1
m·v2  G T
= m (0,9 v)2 – G T

v G T =
0,81 v2 – G T
2
2
2
2
r
r
RT
RT
G
MT
M
= G T – 0,095 v2
r
RT

1
1
G MT  0,095 RT v 2
0,095 v 2
=
–
=
r
RT
G MT
G MT RT
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Campo Gravitatorio
r=
G MT RT
G MT  0,095 RT v 2
Sustituimos
r=
6,67  10 11  5,97  10 24  6,37  10 6
6,67  10 11  5,97  10 24  0,095  6,37  10 6 3016 ,5
2
= 6459322 m = 6459,3 km
31.- Dos planetas A y B, tienen el mismo radio. La aceleración gravitatoria en la superficie del planeta A es tres veces
superior a la aceleración gravitatoria en la superficie del planeta B. Calcule:
a) La relación entre las densidades de los dos planetas.
b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta B si se sabe que la velocidad de escape desde la superficie
del planeta A es de 2 km/s.
Solución
a) La relación entre las densidades teniendo el mismo radio sería:
MA
4
 R3
A
M
3
=
= A
M
B
MB
B
4
3
R
3
La relación entre las densidades es la relación entre sus masas.
b) La velocidad de escape de un planeta de radio R y aceleración gravitatoria g es:
ve = 2 g R
Por tanto
v e (B )
=
v e ( A)
2 gB R
=
2 gA R
ve(B) = ve(A)
gB
=
gA
gB
=
3 gB
1
3
1
2
=
= 1,15 km/s
3
3
32LE(S-15).- El radio de uno de los asteroides, de forma esférica, perteneciente a los anillos de Saturno es de 5 km.
Suponiendo que la densidad de dicho asteroide es uniforme y de valor 5,5 g cm-3, calcule:
a) La aceleración de la gravedad en su superficie.
b) La velocidad de escape desde la superficie del asteroide.
Datos: Constante Gravitación Universal, G = 6,67×10-11 N m2 kg-2
Solución
a) La aceleración de la gravedad en la superficie del asteroide es
M
g0 = G 2
R
Como nos dan la densidad, d = 5,5 g cm−3 = 5500 kg m−3
4
d R 3
4 d R
dV
3
g0 = G 2 = G
=G
2
3
R
R
g0 = 6,67×10−11
4  5500  5000 
= 7,68×10−3 m/s2
3
b) La velocidad de escape del asteroide es la velocidad mínima que ha de tener un cuerpo para que pueda
escaparse del campo gravitatorio a que está sometido, es decir, la velocidad necesaria para llevar el cuerpo
desde la superficie del asteroide hasta el infinito con velocidad nula.
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Física 2º Bachillerato
Campo Gravitatorio
M m
M m
1
1
m· v e2  G
=0 
m· v e2 = G
2
2
R
R
2 G  M  R
2 G  M
ve =
=
= 2 g0 R
R
R2
E=0 
Sustituimos los datos
ve = 2  7,68  103  5000 = 8,76 m/s
33.- Un cierto planeta esférico tiene de masa el doble de la masa de la Tierra, y la longitud de su circunferencia
ecuatorial mide la mitad de la de la Tierra. Calcule:
a) La relación que existe entre la velocidad de escape en la superficie de dicho planeta con respecto a la velocidad de
escape en la superficie de la Tierra.
b) La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta.
Dato: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g T = 9,81 m s-2.
Solución
a) La masa del planeta es el doble de la masa de la Tierra, MP = 2 MT. La longitud de la circunferencia del
planeta es la mitad de la de la Tierra, y como L = 2 R, el radio del planeta es también la mitad de la de la
Tierra, RP = RT/2.
Por otro lado, como se conserva la energía mecánica del movimiento, y asignando 0 a la energía mecánica
fuera del alcance gravitatorio con velocidad nula.
M m
2 G  M
1
m· v e2  G
= 0  ve =
2
R
R
Por tanto
v eP
=
v eT
M P RT
=
4 =2
MT RP
b) la aceleración de la gravedad en la superficie viene dada por g = G
gP
M R2
= P T2 = 8
gT
MT RP

M
R2
, por lo que
gP = 8 gT = 8×9,81 = 78,48 m/s2
34LE(J-16).- Un astronauta utiliza un muelle de constante elástica k = 327 N m −1 para determinar la aceleración de la
gravedad en la Tierra y en Marte. El astronauta coloca en posición vertical el muelle y cuelga de uno de sus extremos
una masa de 1 kg hasta alcanzar el equilibrio. Observa que en la superficie de la Tierra el muelle se alarga 3 cm y en la
de Marte solo 1,13 cm.
a) Si el astronauta tiene una masa de 90 kg, determine la masa adicional que debe añadirse para que su peso en Marte
sea igual que en la Tierra.
b) Calcule la masa de la Tierra suponiendo que es esférica.
Datos: Radio Tierra, RT = 6,37×106 m ; Constante Gravitación Universal, G = 6,67×10-11 N m2 kg-2
Solución
a) Para poder calcular el peso del astronauta en Marte debemos conocer el valor de la aceleración de la
gravedad en Marte.
Como en Marte el muelle se alarga l = 1,13 cm al colgar m = 1 kg
k l M
327  1,13  10 2
F = k l  m gM = k l  gM =
=
= 3,70 N/kg
m
1
En La Tierra
k l T
327  3  10 2
F = k l  m gT = k l  gT =
=
= 9,81 N/kg
m
1
El peso del astronauta de masa m = 90 kg, en la Tierra será
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Física 2º Bachillerato
Campo Gravitatorio
PT = m gT = 90×9,81 = 882,9 N
En Marte, con el fin de que los pesos sean iguales, la masa del astronauta debería de ser m’, por tanto
PM = m’ gM
Si los pesos son iguales
882,9 = m’ 3,70

m’ =
882,9
= 238,6 kg
3,70
Habría que añadir
m = 238,6 – 90 = 148,6 kg
b) La masa de la Tierra, conocida su gravedad en su superficie se obtiene de la propia definición de la
gravedad
M
g R2
gT = G T2
 MT = T T
G
RT
MT =

9,81 6,37  10 6
6,67  10 11

2
= 5,96×1024 kg
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