Download Ecuaciones, bicuadrada - Matemáticas para todos

Siempre se sostuvo que los
babilonios (400 a.C.) fueron los primeros
en resolver ecuaciones cuadráticas, lo
cual es una simplificación de la realidad,
ya que los babilonios no tenían el
concepto de ecuación.
En el 300 a.C., Euclides desarrolló una aproximación geométrica que le sirvió
para encontrar una de las raíces de las ecuaciones cuadráticas.
Matemáticos hindúes tomaron los métodos de los babilonios, pero fueron más
allá, tanto que Brahmagupta (598-665 d.C.) dio un nuevo método que admitía números
negativos. También usó abreviaturas para las incógnitas, usualmente la inicial de un
color y, a veces, había más de una incógnita en un problema.
A la incógnita de una ecuación se la denominaba a menudo «cosa». El así
llamado «arte cósico» se desarrolló con rapidez en Alemania a principios del siglo XVI.
Solución a la ecuación cúbica tal como se la dio Tartaglia a Cardano en 1546:
«[…] cuando el cubo está junto con las cosas y se iguala a un número
discreto, debes encontrar otros dos números que difieran en éste. Después
haz lo siguiente como una norma: su producto debe ser siempre igual al tercio
del cubo de la cosa exactamente. Entonces el resultado de sus raíces cúbicas
restadas te dará la cosa principal. En el segundo de estos casos, cuando el
cubo está aislado, debes seguir los siguientes pasos: harás dos partes del
número, de modo que una en la otra produzca el tercio del cubo de la cosa
exactamente. Después de estas dos partes, como una regla general suma sus
raíces cúbicas y esta suma será lo que buscas. El tercero de nuestros casos
se resuelve con el segundo si te esmeras, ya que por naturaleza son casi
iguales. Esto encontré, y no con pasos lentos en el mil quinientos treinta y
cuatro con fundamentos bien claros y robustos en la ciudad rodeada por el
mar […]»
Extraído de:
Mankiewicz, R. (2000). Historia de las matemáticas.
Barcelona, Paidós.
La transición total desde el álgebra retórica hasta un álgebra simbólica
estandarizada y no ambigua tardó más de cien años.
Por ejemplo: una de las mayores preocupaciones fueron las potencias mayores
de tres. Como los métodos algebraicos se basaban en pruebas geométricas y no
existían dimensiones físicas más allá de tres, no parecía razonable que tuviera sentido
una cuarta potencia o potencias aún mayores.
En la actualidad, el uso de la fórmula para
resolver ecuaciones de segundo grado pasó a la
historia. Muchos modelos de calculadoras
científicas de bajo costo (24 dólares), traen
implementada la fórmula como una función más.
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GUSTAVO A. DUFFOUR
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ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
BICUADRADA, BICÚBICA,
SIMÉTRICA, HEMISIMÉTRICA
1 – ECUACIONES
1.1. ¿QUÉ ENTENDEMOS
POR ECUACIÓN?
Sean A(x) y B(x) dos expresiones
algebraicas dependientes de una incógnita x,
x e \ . La forma tipo de una ecuación es:
A(x) = B(x)
Y se define como una igualdad que se
satisface para algunos valores de la incógnita.
Esos valores reciben la denominación de
raíces o soluciones de la ecuación. Resolver la
ecuación es hallar estas raíces.
En este capítulo, una ecuación
presentará como un polinomio igual a cero.
se
En matemática es básico
sustituir los números por letras,
para que las conclusiones a que
se lleguen sean generales.
Dentro de las letras del
abecedario es posible encontrar
una gran diferencia entre:
– los denominados parámetros,
(generalmente las primeras letras
del abecedario: a, b, c… ), que
representan a algún número en
particular.
– las variables (las últimas letras
del abecedario, x, y, z, …) que
representan a cualquiera de los
números
de
un
conjunto
determinado.
A(x) = B(x)
A( x ) − B( x ) = 0
= P( x )
P(x) = 0
En todo el capítulo se trabaja con
números reales.
En todos los casos:
ae\
be\
ce\
xe\
ze\
MATEMÁTICA DE QUINTO
Es común usar la x
para
representar a los números reales,
y la n para representar a los
números naturales.
En algunos temas también es
común usar otras letra del
abecedario. Por ejemplo, con el
signo de sumatoria es habitual
usar la i.
i =n
∑
(3i - 2)
i =1
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1.2. EQUIVALENCIA DE ECUACIONES, DEFINICIÓN
Dos o más ecuaciones son equivalentes
cuando se satisfacen para los mismos valores
de la incógnita. Para probar la equivalencia de
dos ecuaciones es necesario demostrar que
toda solución de la primera ecuación es
solución de la segunda, y recíprocamente.
O sea que dos ecuaciones son
equivalentes cuando tienen exactamente las
mismas soluciones. Cuando se consideran las
soluciones con su orden de multiplicidad, este
también debe coincidir.
Si
Se multiplica por x
x2 – 1 = x – 1
Se resta 1
Se factorea
Los teoremas siguientes tienen la
finalidad de demostrar si al aplicar la
transposición de términos o de factores y
divisores, o sea, al efectuar cualquier clase de
operaciones racionales a los miembros de una
igualdad, se obtiene o no una ecuación
equivalente a la primera.
x=1
2
x =x
(x – 1)(x + 1) = (x – 1)
Se simplifica (x – 1)
x+ 1= 1
Pero si x = 1 resulta que
2=1
Véase el resultado en la página 483.
1.3. TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES, TEOREMAS
TEOREMA
Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o
una expresión entera en la incógnita, se obtiene una ecuación
equivalente a la primera.
Sea A(x) = B(x).
Si α es una solución de la ecuación, se cumple que A(α) = B(α).
Si se suma a ambos miembros la expresión entera E(x), la cual tiene un valor
numérico para cualquier valor de la x por ser una expresión entera en x, resulta que:
A(x) + E(x) = B(x) + E(x), y para el valor de x = α se tiene que: A(α) + E(α) = B(α) + E(α),
lo que demuestra que α es solución de la nueva ecuación, ya que la transforma en una
igualdad numérica.
Sea β la solución de A(x) + E(x) = B(x) + E(x) ⇒ A(β) + E(β) = B(β) + E(β)
Al restar en ambos miembros el número E(β), se obtiene la igualdad: A(β) = B(β),
con lo cual es cierto también el recíproco. O sea que toda solución de la ecuación
transformada es solución de la original.
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GUSTAVO A. DUFFOUR
TEOREMA
Si se multiplican o dividen ambos
miembros de una ecuación por una
expresión
dependiente
de
la
incógnita, se obtiene una ecuación
NO equivalente a la original.
Sea A(x) = B(x) una ecuación en x.
Multiplicando a ambos miembros de esta
ecuación por
E(x),
se
tendrá que:
A(x) E(x) = B(x) E(x). Transponiendo términos y
sacando a E(x) como factor común se obtiene:
(A(x) – B(x)) E(x) = 0.
Responder «verdadero» o
«falso», y justificar la
respuesta.
¿Las siguientes ecuaciones son
equivalentes?
1)
Sea α solución de la ecuación original.
Se cumple que: (A(α) – B(α)) E(α) = 0. Ya que
uno de los factores vale cero A(α) – B(α) = 0,
por lo cual α es también solución de la
transformada.
Pero el recíproco no siempre se cumple,
pues pueden existir valores de x, sea β, que
anulen a E(x), o sea que: E(β) = 0 y que son,
por lo tanto, soluciones de la ecuación
transformada, pero no tienen por qué ser
soluciones de la ecuación original, A(x) = B(x).
2)
a) (x + 1)2 = (2x – 3)2
b)
x + 1 = 2x – 3
a)
x – 3 = 2x + 4
b)
3x(x – 3) = 3x(2x + 4)
Véanse los resultados en la página 483.
El caso particular numérico de este teorema conserva la equivalencia: Si se
multiplican o dividen ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero, se
obtiene una ecuación equivalente.
EJEMPLO:
Solución de
A(x) = x2– 3x + 2
(A(x) = B(x)) = {1}
B(x) = x2– 2x + 1
Solución de
E(x) = x – 4
(A(x) E(x) = B(x) E(x))
= {1, 4}
NOTA
Con estos teoremas no se cubren todas las posibilidades
de equivalencia de ecuaciones, sino que se da una idea
sobre las situaciones más comunes, como la suma/resta y
la multiplicación/división.
En el ejemplo siguiente, la elevación al cuadrado, puede
verse como un caso particular del teorema anterior,
porque al elevar al cuadrado estamos multiplicando por una
expresión que depende de x.
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