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LECCIÓN 24
Lección 24: Lenguaje
algebraico y sustituciones
En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones.
Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones
numéricas en las que se desconoce uno o más valores
llamados incógnitas, y resolver una ecuación es encontrar
esos valores. Las ecuaciones son importantes porque nos
permiten resolver distintos tipos de problemas de un modo
relativamente fácil, es decir, responder a alguna o algunas
preguntas a partir de cierta información que se conoce o
puede averiguarse.
No todos los problemas con los que nos enfrentamos en
el ámbito de las matemáticas se pueden resolver con
ecuaciones, pero algunos sí. Para resolver un problema a
través de una ecuación lo primero que hay que hacer, es
encontrar la ecuación apropiada. En esta lección veremos
cómo construir ecuaciones para algunas situaciones.
Antes de trabajar con problemas veremos cómo expresar
con números y letras algunas relaciones numéricas sencillas.
Recuerde que usamos letras cuando queremos referirnos a
un número que desconocemos o a un número cualquiera y
recuerde además que en un mismo problema o ecuación
se debe usar la misma letra cada vez que nos referimos al
mismo número.
Veamos cómo traducir a lenguaje matemático las siguientes
expresiones:
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GUÍA DE MATEMÁTICAS II
A un número le sumo 3
Aquí se habla de la suma de dos números, uno que no
conocemos y otro que es 3; para escribir esta expresión
de modo matemático le asignamos una letra, por ejemplo a,
al número desconocido y escribimos a + 3.
Un número menos 5 da 8
Nuevamente tenemos una operación entre dos números, uno
que no conocemos y otro que es 5, pero ahora se trata de
una resta y sabemos que el resultado es 8, entonces,si
llamamos b al número desconocido, podemos escribir b - 5 = 8.
El doble de un número
Nosotros sabemos que el doble de un número se obtiene
sumando dos veces ese número o multiplicándolo por 2, como
no conocemos el número, usaremos una letra para referirnos
a él. Podemos escribir entonces c + c ó 2 × c. Para evitar
confundir el signo de multiplicación con la letra x que podría
representar algún número, se ha decidido que cuando se
trabaja con letras no se usa ese signo, sino que se escribe
directamente 2c, que significa dos veces c, es decir 2 × c.
El triple de un número, más 7
En este caso podemos pensar en escribir 3 × d + 7 pero
recordando lo que dijimos en el punto anterior, escribimos 3d + 7.
El doble de un número más ese número es igual a 21
Aquí tenemos dos operaciones con el número desconocido,
una multiplicación por 2 y una suma. Si g es el nombre de la
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incógnita, escribimos 2g + g = 27. Observe que si tenemos dos
veces un número y le agregamos otra vez ese número, ahora,
lo tendremos tres veces, es decir 2g + g =3g. Por lo tanto la
expresión 2g + g = 27 se puede escribir como 3g = 27.
La cuarta parte de un número
Llamaremos s al número desconocido, entonces, podemos
pensar la expresión anterior de dos formas:
• El número s está dividido entre cuatro, esto es: s ÷ 4 ó s
4
• Tenemos s del número s, esto es s × s, que por lo que
4
4
dijimos antes escribimos directamente como 1 s.
4
La tercera parte de un número más su mitad
es igual a ese mismo número menos 4
Aquí el número desconocido, que llamaremos k, aparece tres
veces, en los dos sumandos y en el resultado. Un sumando
es la tercera parte de k, es decir 1 k; el otro es la mitad
3
de k, es decir 1 k, y el resultado de la suma es k - 4. Ahora
2
podemos escribir 1 k + 1 k = k - 4, o bien k + k = k - 4.
3
2
3
2
El producto de dos números es 156
Observe que en este caso tenemos dos incógnitas y la expresión
no dice cómo es una con respecto a la otra y tampoco nos
dice que sean iguales, así que debemos considerar que
tenemos dos cantidades distintas y usar letras distintas para
referirnos a cada una. Por ejemplo, podemos decir que una
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GUÍA DE MATEMÁTICAS II
de ellas es w y la otra es p. Ahora sólo debemos indicar que
la multiplicación de esas dos cantidades es 156, en lenguaje
algebraico esto es: wp = 156.
La suma del doble de un número más 6
Si llamamos m al número desconocido, la expresión nos dice
que al doble de m le debemos sumar 6, entonces tenemos:
2m + 6.
El doble de la suma de un número más 6
Fíjese que esta expresión es distinta de la anterior, aquí
nos dice que hay que multiplicar por 2 la suma del número
desconocido más 6, es decir debemos expresar claramente
que el 2 multiplica a esa suma y no sólo al número, que
llamaremos t. Entonces escribimos 2 × (t + 4). Aquí también
se acostumbra quitar el signo de multiplicación y se pone
sólo 2(t + 4).
La mitad de la suma de tres números es 121
Tenemos tres cantidades que debemos considerar que son
distintas porque en ningún momento nos dicen que sean
iguales. Vamos a llamar n, q y r a las tres incógnitas y
escribiremos lo que nos dice el enunciado que hay que
hacer con ellas.
• Sumar las tres cantidades: n + q + r
• Dividir la suma entre 2
• Igualar el resultado de las operaciones a 121.
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Aquí debe quedar claro que 2 divide a la suma así que
usaremos paréntesis para indicar que primero se debe hacer
la suma y después la división. Considerando esto, podemos
plantear nuestra ecuación en cualquiera de las formas posibles:
(n +q +r) ÷ 2 =121 o bien k + q + r = 121
2
La suma de tres números naturales consecutivos
Usted recordará que el consecutivo de un número naturales
el que le sigue en la serie numérica y encontramos el
consecutivo de cualquier número natural, sumándole uno
a ese número. Entonces, si llamamos h al menor de los tres
números que menciona el enunciado, los otros quedan
expresados como h + 1 y h + 2 y la suma de esos números es:
h + h + 1 + h + 2. Como lo que tenemos es una suma,
podemos cambiar el orden de los sumandos y nos queda
h + h + 1 + h + 2 = h + h + h + 1 + 2 = 3h + 3. Es decir que
la suma de tres números consecutivos es 3h + 3.
En las traducciones que hemos hecho de expresiones en
español a expresiones en lenguaje algebraico, podemos
observar que este lenguaje, permite escribir de forma más
breve y clara distintas relaciones numéricas. Sin embargo,
las expresiones que hemos traducido son relativamente
sencillas. Para tener una idea de las ventajas de contar con
un lenguaje como el algebraico, imagínese que tuviéramos
que expresar en español, la siguiente ecuación con tres
incógnitas, x, w y z:
4x ÷ 1 w - (x - z)
2
xz + w
5
= 3.45
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GUÍA DE MATEMÁTICAS II
Usted ya ha usado lenguaje algebraico en las fórmulas, que
permiten calcular perímetros, áreas, volúmenes, transformar
mediciones de una escala a otra, etc. o para resolver algunas
ecuaciones. Para resolver ecuaciones debemos despejar
la incógnita y encontrar así, su valor; mientras que al usar
fórmulas generalmente debemos reemplazar las letras por
los valores que les corresponden y encontrar el resultado
de las operaciones indicadas.
Por ejemplo, si se quiere encontrar el perímetro y el área de
un rectángulo que mide 5.5 cm de base y 8.5 cm de altura,
usamos las fórmulas que conocemos:
P = 2 (b + h)
A = bh
En donde b es la base, h la altura, P el perímetro y A el
área del rectángulo. Sustituimos los valores de b y h en
las fórmulas y obtenemos
P = 2 (5.5 + 8.5) = 28 cm
A = 5.5 x 8.5 = 46.75 cm2
Si ahora, queremos calcular el volumen de un paralelepípedo
rectangular cuyas medidas son 7 cm de largo, 4 cm de ancho
y 10 cm de altura, usamos la fórmula para encontrar este
volumen:
V = bah
Como b = 7, a = 4 y h = 10, se tiene:
V = 7 × 4 × 10 = 280 cm3
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Ejercicio 1
Escriba con lenguaje matemático cada una de las expresiones
siguientes. Para facilitar la comparación de sus respuestas
con la solución que trae el libro, le sugerimos usar en
el primer inciso la letra a para representar el número
desconocido, en el segundo la letra b, en el tercero la c
y así sucesivamente.
a) A un número se le suma 4 y se le resta 2.
b) La suma del doble de un número más la mitad del
mismo es 5.
c) La mitad de la diferencia de un número menos 8, es 12.
d) La suma de tres números tales que cada uno es el doble
del anterior.
Ejercicio 2
Relacione cada expresión algebraica de la derecha con su
correspondiente expresión en español.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
EXPRESIÓN EN ESPAÑOL
a) (r + q)2
1. Doce menos el triple de la
suma de un número más otro
número.
b) 12 - 3x + y
2. La suma de la octava parte de
un número, más la sexta parte
de ese número, más la cuarta
parte del mismo.
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GUÍA DE MATEMÁTICAS II
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
EXPRESIÓN EN ESPAÑOL
c) z + z + z
8
6
4
3. El cuadrado de la suma de dos
números.
d) 8t - t - 3
2
4. La suma de los cuadrados de
dos números
e) 12 - 3 (x + y)
5. Ocho veces un número menos
la mitad de la diferencia de
ese número menos tres.
f) r2 + q2
6. Doce menos el triple de un
número, más otro número
Ejercicio 3
Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones
algebraicas considerando los valores asignados para
cada letra.
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EXPRESIÓN ALGEBRAICA
VALORES DE LAS VARIABLES
a) 3(x + y) ÷ 2
x= 1
2
y= 3
4
b) 480 - 3m - 5q
m = 15
q = 20
c) 5 + 4 s
s=3
d) (7 - r) + r - 4
r =1
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Ejercicio 4
Si m = 3, q = -1, r = 1 y s = 2, encuentre el valor numérico
2
de cada una de las siguientes expresiones algebraicas:
a) 12m - 3s
b) 6r + 5
s
c) 2(m + q) - 4r
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