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Variable aleatoria: definiciones
básicas
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Variable Aleatoria
•
Hasta ahora hemos discutido eventos elementales y sus
probabilidades asociadas [eventos discretos]
•
Considere ahora la idea de asignarle un valor al resultado
de un evento
Ejemplo: Considere una vez más el evento de tirar dos dados.
Entonces la suma de los resultados de ambos dados, el cual
es un valor k tal que k Є [2, 12] puede definirse como una
variable aleatoria S. Utilizaremos la siguiente notación:
Pr{S=k}
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Variable Aleatoria
•
Se entiende que S es una variable aleatoria que puede
tomar valores entre 2 y 12 con diversas probabilidades.
•
Más técnicamente S es visto como una función sobre los
subconjuntos del espacio de muestreo y Pr{S=k}
representa la suma de las probabilidades de todos los
resultados a los que les corresponde la suma k.
Nota: No se preocupe si la idea es un poco difusa al principio,
quedara más clara con los ejemplos.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Variable Aleatoria
•
Normalmente, estaremos interesados en conocer la
distribución que la variable aleatoria S, la cual toma
valores enteros k = 0, 1, …, n con probabilidades
P(k) = Pr(K = k)
•
Generalmente, necesitaremos definir un conjunto de
atributos
que
sumaricen
las
descripciones
de
la
distribución de la variable aleatoria.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Valor esperado
•
El primer valor que sumariza el comportamiento de una
variable aleatoria es el valor esperado, definido como:
n
 kpk   0 p(0)  1 p(1)  2 p(2)    np(n)  
k 0
•
Intuitivamente, el promedio mide la posición del “centro
de la distribución”
•
También se conoce al promedio como el valor esperado de
la variable aleatoria, o de la distribución de ésta.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Valor esperado
Ejemplo: Promedio de tirar un dado.
•
Tirar un dado puede resultar en obtener cualquiera de los 6
valores 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6.
•
Entonces el promedio está dado por:
1
1
  1  2  3  4  5  6  6  7 / 2  3.5
6
6
•
Note que el promedio no es ninguno de los resultados
legales de un dado
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Valor esperado
Ejemplo: Promedio de un volado.
•
Si se le asigna los valores, águila = 0, sol = 1, entonces el
valor esperado de tirar un dado (con probabilidad p=1/2)
es:
1
1
  1  0 
2
2
Sin embargo si asignamos águila = -1, sol = 1, el valor
esperado sería

Introducción a la Probabilidad
1
 1  1  0
2
Francisco Rodríguez Henríquez
Valor esperado: definición formal
Dada una variable X, cuyos resultados tienen probabilidades
p(i) para los valores xi (i=1, 2,…, n), entonces el valor
esperado de la variable aleatorio X se define como:
n
EX    xi p i 
i 1
El valor esperado toma cada posible valor xi y lo pesa por su
probabilidad p(i).
El valor esperado es un operador lineal
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Valor esperado: definición formal
Muchas veces conviene ordenar los pares (xi, f(xi)) en forma
tabular,
x
x1
x2
x3
….
xn
f(x)
f(x1)
f(x2)
f(x3)
…
f(xn)
n
EX    xi p i 
i 1
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Promedio: producto de dos variables
•
Valor esperado del producto de dos variables aleatorias
independientes X, Y.
EXY    kp XY  k    xi y j p X (i ) pY ( j ) 
k
i
j
 x p i  y p  j   EX EY 
i
i
X
j
Y
j
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Promedio: suma de dos variables
•
Valor esperado de la suma de dos variables aleatorias
independientes X, Y.
EX  Y    xi  yi pi, j    xi  pi, j    y j  pi, j  
i
j
j
i
 x p i    y p  j   EX  EY 
i
i
X
j
Y
j
EX  Y   EX  EY 
•
Lo cual implica que:
•
En general, el valor esperado es un operador lineal, esto
es,
Introducción a la Probabilidad
EaX  bY  aEX  bEY 
Francisco Rodríguez Henríquez
Promedio
•
Suma de variables aleatorias Xi.
E ci X i   ci EX i 
•
Producto de variables aleatorias independientes


E  X i    EX i 
i
 i

Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Varianza
•
Si el promedio nos indica dónde está el centro de nuestra
distribución, la varianza explica cuál es la dispersión de
una determinada distribución probabilística.
VarianzaX   V X     xi    p i    2
2
i
•
Es fácil demostrar que:
V c  0;V cX   c 2V X 
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Varianza de un dado
•
Recuerde que el valor esperado de un dado es E{X}=7/2.
Para los 6 valores del dado, las diferencias de Xi con  son:
-5/2, -3/2, -1/2, ½, 3/2, 5/2
•
Debemos elevar al cuadrado las diferencias, multiplicarlas
por las probabilidades pi y sumarlas:
V{dado} = (1/6)[25+9+1+1+9+25]/4=70/24=35/12
•
Note que un método alternativo es:
2
1 6 2 7
V dado   i     91/ 6  49 / 4  35 / 12
6 i 1
2
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Ejemplo de valor esperado y varianza
Ejemplo: Sean X, Y dos variables aleatorias del espacio de
muestreo formado por los posibles resultados de tirar dos
dados, de tal manera que siendo a, b tales resultados
entonces: X(a, b) = max(a, b) y Y(a, b) = a + b.
Note que si f es la distribución de probabilidad de X, entonces,
f(1) = 1/36 (La unica posibilidad que el máximo sea 1 es que
los dados hayan caído en (1,1). Similarmente, los tres
resultados (1,2), (2,1), (2,2) hacen que f(2) = 3/36.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Ejemplo de valor esperado y varianza
En general, se tiene que
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
1/36
3/36
5/36
7/36
9/36
11/36
E ( X )   xf x   4.47
i
 
E X 2   x 2 f x   21.97
i
 
Var x    X2  E X 2   X2  1.99
 X  1.4
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Ejemplo de valor esperado y varianza
La distribución g de la variable aleatoria Y sería como sigue:
y
g(y)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36
11
12
2/36 1/36
E (Y )   yg y   7
i
 
E Y 2   y 2 g  yi   54.83
i
 
Var  y    Y2  E Y 2  Y2  5.83
 Y  2.4
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Variable aleatoria en el dominio
continuo
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Variable Aleatoria continua
Definición: La función de distribución acumulativa (cdf) de X
se define como:
FX x   P X  x ,    x  
Con las siguientes propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
0  FX x   1
FX x1   FX x2  if x1  x2
lim FX x   FX   1
x 
lim FX x   FX    0
x 
 
lim FX x   FX a   FX a 
x a
Introducción a la Probabilidad
a   lim a  
0 0
Francisco Rodríguez Henríquez
Variable Aleatoria continua
equivalentemente, podemos determinar la probabilidad de
ciertos eventos en función de la cdf.
1.
P X  a   1  FX a 
2.
Pa  X  b  FX b  FX a 
3.
PX  b   FX b -
 
Introducción a la Probabilidad
b   lim b  
0   0
Francisco Rodríguez Henríquez
Variable Aleatoria
Definición: Sea X una variable aleatoria con cdf FX(x). Si FX(x)
es continua y si tiene existe su derivada dFX(x)/dx como
una función continua para toda x, excepto quizás por un
número finito de puntos, entonces se dice que X es una
variable aleatoria continua.
De esta manera, si X es una variable aleatoria continua,
entonces,
P(X = x) = 0
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Variable Aleatoria: función de densidad
de probabilidad
Definición: Sea f  x   dFX x 
X
dx
La función fX(x) es conocida como la función de densidad de
probabilidad de la variable aleatoria continua X.
Con las siguientes propiedades:
1.
2.
3.
f X x   0



f X  x dx  1
fX(x) es una función continua bien comportada
Pa  X  b    f X  x dx
b
4.
5.
a
FX  x   P X  x   
x

f X  d
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Variable Aleatoria: Promedio y variancia
Definición: El valor esperado (promedio) de una variable aleatoria
está dado como:
 xk p X xK  X : discreta

 X  E  X    k
xf x dx X : continua

  X
Definición: La varianza de una variable aleatoria se define como:
 xk   X 2 p X xK  X : discreta

 X2   k
2
 x   X  f X x dx X : continua
 
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Varianza
•
Note también que:
 
 
V X   E X 2  2EX   2  E X 2  E 2 X 
•
Es fácil probar que en el caso de la suma de variables
aleatorias independientes Xi, la varianza es lineal:
V  X i  V X i 
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribuciones de Probabilidad
famosas
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Uniforme
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria uniforme sobre
el rango (a, b), si su pdf está dado por:
 1
f X x    b  a
 0
a xb
de otra manera
 X  EX  
2
X
Introducción a la Probabilidad
ab
2
2

b  a

12
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Uniforme
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria uniforme sobre
el rango (a, b), si su pdf está dado por:
 1
f X x    b  a
 0
a xb
de otra manera
 X  EX  
2
X
Introducción a la Probabilidad
ab
2
2

b  a

12
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Distribución Uniforme
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria uniforme sobre
el rango (a, b), si su pdf está dado por:
 1
f X x    b  a
 0
a xb
de otra manera
 X  EX  
2
X
Introducción a la Probabilidad
ab
2
2

b  a

12
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Bernoulli
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria Bernoulli con
parámetro p si,
k
1k
p X k   P X  k   p (1  p)
,
k  0,1
La distribución Bernoulli modela experimentos en que el resultado
sólo puede ser éxito o fracaso. El ejemplo tradicional es tirar
volados.
 X  E X   p
 2  p1  p 
X
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Binomial
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria binomial
con parámetros (n, p) si,
n
nk
p X k   P X  k     p k 1  p 
k 
k  0,1, , n
La distribución binomial modela el número total de exitos tras
varios intentos hechos sobre una población infinita bajo los
siguientes supuestos:
•
Únicamente dos resultados puede ocurrir en cada intento.
•
La probabilidad de éxito en cada intento es constante e
independiente de otros intentos.
James Bernoulli derivó la distribución binomial en 1713 (Ars
Conjectandi).
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Binomial
 X  E X   np
 2  np1  p 
X
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución binomial Bernoulli
b ( k ; n, p )  C ( n , k ) p q
k
nk
 n  k nk
   p q
k 
N = 10;
P= 2/3.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución binomial Bernoulli
b ( k ; n, p )  C ( n , k ) p q
k
Introducción a la Probabilidad
nk
 n  k nk
   p q
k 
Francisco Rodríguez Henríquez
Comportamiento asintótico de la
ley binomial
Suponga que en la función binomial b(k;n, p), n >>1, p << 1, pero de
tal manera que np permanece constante, digamos, np = a. Dado
nk


n


1
a
nk
que q = 1-p, se tiene que:
p k 1 p  a k 1 
 
k 
k! 
n 
Donde nn 1 n  k 1  n k si n es suficientemente grande y si k está
 cuando n , p 0,k  n
fijo. De aquí que en el límite
se tiene,


nk
1 k  a 
a k a
bk;n, p  a 1   e
k!  n 
k!
Introducción a
la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Binomial asintótica = Poisson
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Poisson
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad
discreta. Expresa la probabilidad que un número de eventos
ocurra en un tiempo fijo suponiendo que:
a. Los eventos ocurren a una razón [velocidad]
conocida.
b. La ocurrencia de eventos es independiente de cuándo
ocurrió el último evento.
Poissonfrancés = pescado
Poisoninglés = Veneno
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Poisson  = 1,3, 5, 10
P[x  k] 
k 
e
k!
 X  E X   

Introducción a la Probabilidad
 
2
X
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Poisson  = 1,3, 5, 10
P[x  k] 
k 
e
k!
 X  E X   

Introducción a la Probabilidad
 
2
X
Francisco Rodríguez Henríquez
Poisson asintótica = Gaussiana
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Exponencial
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria exponencial
e  x x  0
con parámetro >0 si,
•
•
•
f X x   
 0
x0
La distribución exponencial es especial porque modela eventos
que ocurren aleatoriamente en el tiempo.
La principal aplicación es en el estudio de tiempos de vida útil de
componentes
Quizás la propiedad más interesante de la distribución
exponencial es su característica de “amnesia”. Por ejemplo, si un
componente tiene un tiempo de vida útil distribuido
exponencialmente, entonces un item que ha funcionado por horas
es tan bueno como un item nuevo
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Exponencial
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria exponencial
con parámetro >0 si,
e  x
f X x   
 0
 X  EX  
 
2
X
Introducción a la Probabilidad
x0
x0
1

1
2
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Distribución Exponencial
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria exponencial
con parámetro >0 si,
e  x
f X x   
 0
 X  EX  
 
2
X
Introducción a la Probabilidad
x0
x0
1

1
2
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Exponencial
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria exponencial
con parámetro >0 si,
e  x
f X x   
 0
 X  EX  
 
2
X
Introducción a la Probabilidad
x0
x0
1

1
2
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Distribución Normal o Gaussiana
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal
(guassiana) si su pdf está dado por,
1
 x   2 / 2 2 
f X x  
e
2
• La distribución gaussiana es la reina de las distribuciones. En
este universo, la naturaleza se comporta gaussianamente.
• El teorema del límite central garantiza que cualquier otra
distribución se comporta como una gaussiana cuando se hacen
un número suficiente de experimentos: “la suma de muestras
independientes para cualquier distribución con valor esperado y
varianzas finitos converge a la distribución normal conforme el
tamaño de muestras tiende a infinito”.
•
El primer uso de la distribución normal fue la de hacer una
aproximación continua a la distribución binomial.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez
Distribución Normal o Gaussiana
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal
(guassiana) si su pdf está dado por,
1
f x  
e  x    / 2 
2
2
X
 X  E X   
 2  2
X
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2
Distribución Normal o Gaussiana
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal
(guassiana) si su pdf está dado por,
1
f x  
e  x    / 2 
2
2
X
 X  E X   
 2  2
X
Introducción a la Probabilidad
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2
Distribución Normal o Gaussiana
•
Se usa la notación N(; 2) para denotar que la variable aleatoria
X es normal con promedio  y varianza 2.
•
A una variable aleatoria normal Z con promedio cero y varianza
1 se le llama variable aleatoria normal estándar:
•
1  x 2 / 2
f X x  
e
 N (0;1)
2
Como se ha mencionado, la distribución normal es la más
utilizada en el estudio de fenómenos aleatorios, pues ocurre con
harta frecuencia en una amplísima variedad de fenómenos de la
naturaleza
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Ruido Gaussiano
 X  E X   
 2  2
X
1
 x   2 / 2 2 
f X x  
e
2
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