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Variable aleatoria: definiciones básicas Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Variable Aleatoria • Hasta ahora hemos discutido eventos elementales y sus probabilidades asociadas [eventos discretos] • Considere ahora la idea de asignarle un valor al resultado de un evento Ejemplo: Considere una vez más el evento de tirar dos dados. Entonces la suma de los resultados de ambos dados, el cual es un valor k tal que k Є [2, 12] puede definirse como una variable aleatoria S. Utilizaremos la siguiente notación: Pr{S=k} Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Variable Aleatoria • Se entiende que S es una variable aleatoria que puede tomar valores entre 2 y 12 con diversas probabilidades. • Más técnicamente S es visto como una función sobre los subconjuntos del espacio de muestreo y Pr{S=k} representa la suma de las probabilidades de todos los resultados a los que les corresponde la suma k. Nota: No se preocupe si la idea es un poco difusa al principio, quedara más clara con los ejemplos. Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Variable Aleatoria • Normalmente, estaremos interesados en conocer la distribución que la variable aleatoria S, la cual toma valores enteros k = 0, 1, …, n con probabilidades P(k) = Pr(K = k) • Generalmente, necesitaremos definir un conjunto de atributos que sumaricen las descripciones de la distribución de la variable aleatoria. Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Valor esperado • El primer valor que sumariza el comportamiento de una variable aleatoria es el valor esperado, definido como: n kpk 0 p(0) 1 p(1) 2 p(2) np(n) k 0 • Intuitivamente, el promedio mide la posición del “centro de la distribución” • También se conoce al promedio como el valor esperado de la variable aleatoria, o de la distribución de ésta. Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Valor esperado Ejemplo: Promedio de tirar un dado. • Tirar un dado puede resultar en obtener cualquiera de los 6 valores 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6. • Entonces el promedio está dado por: 1 1 1 2 3 4 5 6 6 7 / 2 3.5 6 6 • Note que el promedio no es ninguno de los resultados legales de un dado Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Valor esperado Ejemplo: Promedio de un volado. • Si se le asigna los valores, águila = 0, sol = 1, entonces el valor esperado de tirar un dado (con probabilidad p=1/2) es: 1 1 1 0 2 2 Sin embargo si asignamos águila = -1, sol = 1, el valor esperado sería Introducción a la Probabilidad 1 1 1 0 2 Francisco Rodríguez Henríquez Valor esperado: definición formal Dada una variable X, cuyos resultados tienen probabilidades p(i) para los valores xi (i=1, 2,…, n), entonces el valor esperado de la variable aleatorio X se define como: n EX xi p i i 1 El valor esperado toma cada posible valor xi y lo pesa por su probabilidad p(i). El valor esperado es un operador lineal Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Valor esperado: definición formal Muchas veces conviene ordenar los pares (xi, f(xi)) en forma tabular, x x1 x2 x3 …. xn f(x) f(x1) f(x2) f(x3) … f(xn) n EX xi p i i 1 Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Promedio: producto de dos variables • Valor esperado del producto de dos variables aleatorias independientes X, Y. EXY kp XY k xi y j p X (i ) pY ( j ) k i j x p i y p j EX EY i i X j Y j Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Promedio: suma de dos variables • Valor esperado de la suma de dos variables aleatorias independientes X, Y. EX Y xi yi pi, j xi pi, j y j pi, j i j j i x p i y p j EX EY i i X j Y j EX Y EX EY • Lo cual implica que: • En general, el valor esperado es un operador lineal, esto es, Introducción a la Probabilidad EaX bY aEX bEY Francisco Rodríguez Henríquez Promedio • Suma de variables aleatorias Xi. E ci X i ci EX i • Producto de variables aleatorias independientes E X i EX i i i Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Varianza • Si el promedio nos indica dónde está el centro de nuestra distribución, la varianza explica cuál es la dispersión de una determinada distribución probabilística. VarianzaX V X xi p i 2 2 i • Es fácil demostrar que: V c 0;V cX c 2V X Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Varianza de un dado • Recuerde que el valor esperado de un dado es E{X}=7/2. Para los 6 valores del dado, las diferencias de Xi con son: -5/2, -3/2, -1/2, ½, 3/2, 5/2 • Debemos elevar al cuadrado las diferencias, multiplicarlas por las probabilidades pi y sumarlas: V{dado} = (1/6)[25+9+1+1+9+25]/4=70/24=35/12 • Note que un método alternativo es: 2 1 6 2 7 V dado i 91/ 6 49 / 4 35 / 12 6 i 1 2 Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Ejemplo de valor esperado y varianza Ejemplo: Sean X, Y dos variables aleatorias del espacio de muestreo formado por los posibles resultados de tirar dos dados, de tal manera que siendo a, b tales resultados entonces: X(a, b) = max(a, b) y Y(a, b) = a + b. Note que si f es la distribución de probabilidad de X, entonces, f(1) = 1/36 (La unica posibilidad que el máximo sea 1 es que los dados hayan caído en (1,1). Similarmente, los tres resultados (1,2), (2,1), (2,2) hacen que f(2) = 3/36. Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Ejemplo de valor esperado y varianza En general, se tiene que x 1 2 3 4 5 6 f(x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 E ( X ) xf x 4.47 i E X 2 x 2 f x 21.97 i Var x X2 E X 2 X2 1.99 X 1.4 Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Ejemplo de valor esperado y varianza La distribución g de la variable aleatoria Y sería como sigue: y g(y) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 11 12 2/36 1/36 E (Y ) yg y 7 i E Y 2 y 2 g yi 54.83 i Var y Y2 E Y 2 Y2 5.83 Y 2.4 Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Variable aleatoria en el dominio continuo Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Variable Aleatoria continua Definición: La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define como: FX x P X x , x Con las siguientes propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 0 FX x 1 FX x1 FX x2 if x1 x2 lim FX x FX 1 x lim FX x FX 0 x lim FX x FX a FX a x a Introducción a la Probabilidad a lim a 0 0 Francisco Rodríguez Henríquez Variable Aleatoria continua equivalentemente, podemos determinar la probabilidad de ciertos eventos en función de la cdf. 1. P X a 1 FX a 2. Pa X b FX b FX a 3. PX b FX b - Introducción a la Probabilidad b lim b 0 0 Francisco Rodríguez Henríquez Variable Aleatoria Definición: Sea X una variable aleatoria con cdf FX(x). Si FX(x) es continua y si tiene existe su derivada dFX(x)/dx como una función continua para toda x, excepto quizás por un número finito de puntos, entonces se dice que X es una variable aleatoria continua. De esta manera, si X es una variable aleatoria continua, entonces, P(X = x) = 0 Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Variable Aleatoria: función de densidad de probabilidad Definición: Sea f x dFX x X dx La función fX(x) es conocida como la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X. Con las siguientes propiedades: 1. 2. 3. f X x 0 f X x dx 1 fX(x) es una función continua bien comportada Pa X b f X x dx b 4. 5. a FX x P X x x f X d Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Variable Aleatoria: Promedio y variancia Definición: El valor esperado (promedio) de una variable aleatoria está dado como: xk p X xK X : discreta X E X k xf x dx X : continua X Definición: La varianza de una variable aleatoria se define como: xk X 2 p X xK X : discreta X2 k 2 x X f X x dx X : continua Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Varianza • Note también que: V X E X 2 2EX 2 E X 2 E 2 X • Es fácil probar que en el caso de la suma de variables aleatorias independientes Xi, la varianza es lineal: V X i V X i Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Distribuciones de Probabilidad famosas Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Uniforme Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria uniforme sobre el rango (a, b), si su pdf está dado por: 1 f X x b a 0 a xb de otra manera X EX 2 X Introducción a la Probabilidad ab 2 2 b a 12 Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Uniforme Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria uniforme sobre el rango (a, b), si su pdf está dado por: 1 f X x b a 0 a xb de otra manera X EX 2 X Introducción a la Probabilidad ab 2 2 b a 12 Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Uniforme Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria uniforme sobre el rango (a, b), si su pdf está dado por: 1 f X x b a 0 a xb de otra manera X EX 2 X Introducción a la Probabilidad ab 2 2 b a 12 Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Bernoulli Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria Bernoulli con parámetro p si, k 1k p X k P X k p (1 p) , k 0,1 La distribución Bernoulli modela experimentos en que el resultado sólo puede ser éxito o fracaso. El ejemplo tradicional es tirar volados. X E X p 2 p1 p X Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Binomial Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria binomial con parámetros (n, p) si, n nk p X k P X k p k 1 p k k 0,1, , n La distribución binomial modela el número total de exitos tras varios intentos hechos sobre una población infinita bajo los siguientes supuestos: • Únicamente dos resultados puede ocurrir en cada intento. • La probabilidad de éxito en cada intento es constante e independiente de otros intentos. James Bernoulli derivó la distribución binomial en 1713 (Ars Conjectandi). Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Binomial X E X np 2 np1 p X Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Distribución binomial Bernoulli b ( k ; n, p ) C ( n , k ) p q k nk n k nk p q k N = 10; P= 2/3. Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Distribución binomial Bernoulli b ( k ; n, p ) C ( n , k ) p q k Introducción a la Probabilidad nk n k nk p q k Francisco Rodríguez Henríquez Comportamiento asintótico de la ley binomial Suponga que en la función binomial b(k;n, p), n >>1, p << 1, pero de tal manera que np permanece constante, digamos, np = a. Dado nk n 1 a nk que q = 1-p, se tiene que: p k 1 p a k 1 k k! n Donde nn 1 n k 1 n k si n es suficientemente grande y si k está cuando n , p 0,k n fijo. De aquí que en el límite se tiene, nk 1 k a a k a bk;n, p a 1 e k! n k! Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Binomial asintótica = Poisson Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Poisson La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad que un número de eventos ocurra en un tiempo fijo suponiendo que: a. Los eventos ocurren a una razón [velocidad] conocida. b. La ocurrencia de eventos es independiente de cuándo ocurrió el último evento. Poissonfrancés = pescado Poisoninglés = Veneno Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Poisson = 1,3, 5, 10 P[x k] k e k! X E X Introducción a la Probabilidad 2 X Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Poisson = 1,3, 5, 10 P[x k] k e k! X E X Introducción a la Probabilidad 2 X Francisco Rodríguez Henríquez Poisson asintótica = Gaussiana Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Exponencial Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria exponencial e x x 0 con parámetro >0 si, • • • f X x 0 x0 La distribución exponencial es especial porque modela eventos que ocurren aleatoriamente en el tiempo. La principal aplicación es en el estudio de tiempos de vida útil de componentes Quizás la propiedad más interesante de la distribución exponencial es su característica de “amnesia”. Por ejemplo, si un componente tiene un tiempo de vida útil distribuido exponencialmente, entonces un item que ha funcionado por horas es tan bueno como un item nuevo Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Exponencial Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria exponencial con parámetro >0 si, e x f X x 0 X EX 2 X Introducción a la Probabilidad x0 x0 1 1 2 Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Exponencial Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria exponencial con parámetro >0 si, e x f X x 0 X EX 2 X Introducción a la Probabilidad x0 x0 1 1 2 Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Exponencial Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria exponencial con parámetro >0 si, e x f X x 0 X EX 2 X Introducción a la Probabilidad x0 x0 1 1 2 Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Normal o Gaussiana Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal (guassiana) si su pdf está dado por, 1 x 2 / 2 2 f X x e 2 • La distribución gaussiana es la reina de las distribuciones. En este universo, la naturaleza se comporta gaussianamente. • El teorema del límite central garantiza que cualquier otra distribución se comporta como una gaussiana cuando se hacen un número suficiente de experimentos: “la suma de muestras independientes para cualquier distribución con valor esperado y varianzas finitos converge a la distribución normal conforme el tamaño de muestras tiende a infinito”. • El primer uso de la distribución normal fue la de hacer una aproximación continua a la distribución binomial. Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Distribución Normal o Gaussiana Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal (guassiana) si su pdf está dado por, 1 f x e x / 2 2 2 X X E X 2 2 X Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez 2 Distribución Normal o Gaussiana Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal (guassiana) si su pdf está dado por, 1 f x e x / 2 2 2 X X E X 2 2 X Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez 2 Distribución Normal o Gaussiana • Se usa la notación N(; 2) para denotar que la variable aleatoria X es normal con promedio y varianza 2. • A una variable aleatoria normal Z con promedio cero y varianza 1 se le llama variable aleatoria normal estándar: • 1 x 2 / 2 f X x e N (0;1) 2 Como se ha mencionado, la distribución normal es la más utilizada en el estudio de fenómenos aleatorios, pues ocurre con harta frecuencia en una amplísima variedad de fenómenos de la naturaleza Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez Ruido Gaussiano X E X 2 2 X 1 x 2 / 2 2 f X x e 2 Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez