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Ejercicios de álgebra
Vol. III
Ejercicios de álgebra. Vol. III
© Enrique Izquierdo Guallar
ISBN: 978-84-9948-356-6
Depósito legal: A-789-2011
Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33
C/ Decano, 4 – 03690 San Vicente (Alicante)
www.ecu.fm
[email protected]
Printed in Spain
Imprime: Imprenta Gamma. Telf.: 96 567 19 87
C/ Cottolengo, 25 – 03690 San Vicente (Alicante)
www.gamma.fm
[email protected]
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación
magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso
previo y por escrito de los titulares del Copyright.
Prólogo
Analizados todos estos temas, en forma de preguntas de test, en el Volumen I:
Álgebra, expongo estos conocimientos (ampliados en el tema de Diagonalización de
endomorfismos), en este nuevo Volumen III, constituido por una extensa colección
de ejercicios.
He intentado, en este nuevo volumen, volver a repasar los conceptos más importantes de estos temas, con una Colección de Ejercicios Resueltos y Propuestos con soluciones, indicando los métodos más eficaces para resolver las preguntas planteadas.
Son conceptos fundamentales, parecidos a los propuestos en exámenes en distintas carreras técnicas y de ingenierías y he querido resolver, con los procedimientos
mas adecuados en cada caso (a veces más de un método), los problemas que normalmente se plantean.
El volumen consta de una extensa colección de ejercicios con las preguntas más
frecuentes, ampliado con una serie de ejercicios propuestos con soluciones, para que
el alumnado trabaje por su cuenta, y pueda ver si ha asimilado los conceptos necesarios en los distintos temas expuestos.
Espero que esta Colección de Ejercicios facilite al alumnado la completa asimilación y comprensión de estos conceptos y le permita resolver cualquier ejercicio
correspondiente a los temas aquí analizados.
He evitado, en algunas ocasiones, los procedimientos formales, explicando de
una forma más sencilla y comprensible, según mi opinión, el concepto correspondiente.
El autor
3
ÍNDICE
Tema 1.- Matrices - Determinantes - Cambios de base..............................................7
Tema 2.- Subespacios vectoriales.............................................................................53
Tema 3.- Aplicaciones lineales.................................................................................77
Tema 4.- Sistemas de ecuaciones lineales...............................................................121
Tema 5.- Diagonalización de endomorfismos.........................................................159
Tema 1.- Matrices-Determinantes-Cambios de base
-Matrices
-Determinantes
-Cambios de base
MATRICES
2 1 3
3 1 2
1.- Dadas las matrices: A =
B = 0 -1 3 , hallar, si es posible, A · B y B · A
0 1 4
2 1 5
Solución:
Para que se puedan multiplicar dos matrices Amxn y Bpxq, debe verificarse que n = p,
y el resultado es una matriz Cmxq
En este ejercicio: A2x3 · B3x3 sí es posible, pero B3x3 · A2x3 no se puede realizar.
2 1 3
A · B =
0 1 4
3 1 2
0 -1 3
2 1 5
=
12 4 22
8 3 23
------------------------------------------- 2 1
-1 3
3 1
2.- Dadas las matrices: A =
B=
yC=
, hallar A+(B-C)t
0 3
0 4
2 5
Solución:
-1 3
3 1
-4 2
B–C=
–
=
0 4
2 5
-2 -1
-4 -2
(B – C)t =
2 -1
A+(B – C)t =
2 1
0 3
+
-4 2
-2 -1
=
-2 3
-2 2
-------------------------------------------7
Matrices - Determinantes - Cambios de base
1 0 -3
2 1 4
3.- Dadas las matrices: A = 2 1 5 y B =
, hallar At · 2Bt
-1 2 4
0 3 2
Solución:
1 2 -1
At = 0 1 2
-3 5 4
2 0
Bt = -1 3
4 2
4 0
1 2 -1 4 0
-8 8
2Bt = -2 6 → At · 2Bt = 0 1 2 -2 6 = 14 14
8 4
-3 5 4 8 4 10 46
-------------------------------------------
2 1 3
4.- Dada la matriz A = 0 -1 4 , hallar la forma de las matrices que conmutan
1 0 1
con A, es decir, que se cumple que A · B = B · A
Solución:
Dada una matriz, no cualquier matriz conmuta con ella; pero existen matrices que sí
cumplen la propiedad conmutativa del producto
Impongamos que A · B=B · A.
2 1 3
0 -1 4
1 0 1
a b c
a b c
d e f = d e f
g h i
g h i
2 1 3
0 -1 4 →
1 0 1
2 a+d+3g 2b+e+3h
-d+4g
-e+4h
a+g
b+h
2c+f+3i
2a + c
-f+4i = 2d+ f
c+i
2g+ i
a - b
d - e
g - h
3a+4b+c
3d+4e+f
3g+4h+i
2a+d+3g = 2a+c
-d+4g =2d+f →
a+g = 2g+I
d+3g = c
-3d+4g=f
a-g=i
2b+e+3h = a - b
-e+4h = d - e →
b+h = g - h
3b+e+3h =a → e = a - 3d/4 - 3g+3d/2 = a - 3g+3d/4
d=4h→h=d/4
b=g - 2h=g - 2d/4 =g - d/2
2c+f+3i = 3a+4b+c
-f+4i =3d+4c+f → con los valores anteriores, se cumplen las tres.
c+i= 3g+4h+i
8
→
Ejercicios de álgebra. Vol. III
Por lo tanto, las matrices B que conmutan con A, tienen la forma:
a
g - d/2
3g + d
B = d a - 3g+3d/4 4g - 3d
g
d/4
a-g
a,d,g ∈ R
-------------------------------------------5.- Descomponer una matriz cuadrada A, en una suma de una matriz B1 simétrica y otra matriz B2 antisimétrica
4 3 0
Como caso particular, descomponer de esa forma la matriz A = -1 2 5
1 3 4
Solución:
-Si a una matriz cuadrada, se le suma su traspuesta, resulta siempre una matriz simétrica.
Ejemplo:
2 1 3
2 0 1
4 1 4
t
t
Sea A = 0 1 4 → A = 1 1 -2 →A+A = 1 2 2
1 -2 4
3 4 4
4 2 8
Simétrica
-Si a una matriz cuadrada se le resta su traspuesta, resulta una matriz antisimétrica.
Ejemplo:
3 5
3 1
0 4
A=
At =
A - At =
1 7
5 7
-4 0
Antisimétrica
Entonces, cualquier matriz cuadarada A admite la descomposición:
A = 1/2(A+At)+1/2 (A - At), donde el primer sumando es una matriz simétrica y el
segundo es una matriz antisimétrica
En particular:
4 3 0
A = -1 2 5
1 3 4
4 -1 1
→A = 3 2 3
0 5 4
t
→
9
Matrices - Determinantes - Cambios de base
1/2(A+At) = 1/2
4 3 0
4 -1 1
8 2 1
4 1 1/2
-1 2 5 + 3 2 3 = 1/2 2 4 8 = 1 2 4
1 3 4
0 5 4
1 -2 0
1/2 4 4
4 3 0
4 -1 1
1/2(A - At) = 1/2 -1 2 5 - 3 2 3
1 3 4
0 5 4
0 4 -1
0
2 -1/2
= 1/2 -4 0 2 = -2
0 1
1 -2 0
1/2 -1 0
Entonces:
4 3 0
4 1 1/2
0 2 -1/2
-1 2 5 = 1 2 4 + -2 0 1
1 3 4
1/2 4 4
1/2 -1 0
-------------------------------------------
6.- Hallar el rango de la matriz A =
1 -1 2 3
2 1 4 5
4 -1 8 11
5 1 6 9
Solución
rg A = rg
1
2
4
5
rg
1-1
0 3
0 3
0 6
rg
1
0
0
0
-1
3
0
0
-1
1
-1
1
2 3
4 5
8 11 = (2.ª f - 1.ª · 2, 3.ª f - 1.ª · 4, 4.ª f - 1.ª · 5) =
6 9
2
0
0
-4
2 3
0 -1
0 0
-4 -4
3
-1
-1 = (3.ª f - 2.ª, 4.ª f - 2.ª · 2) =
-6
= 3
--------------------------------------------
10
Ejercicios de álgebra. Vol. III
2 1 3
7.- Calcular, según los valores de a, el rango de la matriz M = 0 1 4
1 2 a
Solución:
2 1 3
rg M = rg 0 1 4 = (3.ª f - 1.ª · 2) = rg
1 2 a
2 1 3 2 1 3
0 1 4 = (3.ª f - 2.ª · 3) = 0 1 4
0 3 2a-3 0 0 2a - 15
2a - 15 = 0 → a = 15/2
Si a = 15/2 →rg A =2
Si a ≠ 15/2 →rg A = 3
--------------------------------------------
2 1
8.- Dada la matriz A =
, hallar su inversa por definición
0 3
Solución:
Por definición, se denomina inversa de una matriz A, y se representa por A-1, a una matriz que cumple: A · A-1 = A-1 · A = I , siendo I la matriz Identidad de igual orden que A.
Para que A-1 exista, debe ser cuadrada y su determinante distinto de cero.
Sea A-1 =
a b
c d
2
A · A-1 =
0
1
a
b
3
c
d
=
1
0
0 1
2a+c
→ 3c
2b+d
3d
=
1 0
0 1
Igualando los elementos:
2a + c = 1
3c = 0
c = 0, a = 1/2
2b + d = 0
3d = 1
d = 1/3, b = -1/6
→ A-1 =
1/2 1/3
0 -1/6
-------------------------------------------11
Matrices - Determinantes - Cambios de base
1 0 -3
9.- Dada la matriz M = 0 1 1 , hallar M-1 por definición
1 2 0
Solución:
1 0 -3
0 1 1
1 2 0
a-3g = 1
d+g=0
a+2d=0
a b c
1 0 0
d e f = 0 1 0
g h i
0 0 1
a-3g b-3h
d+g e+h
a+2d b+2e
→
c-3i
1 0 0
f+i = 0 1 0
c+2f
0 0 1
→
→ g = -d, a = -2d→ -2d+3d = 1→d = 1, g = -1, a = -2
b-3h=0
-2 - 6 3
e+h=1 →b=3h, e= -b/2= -3h/2→3h/2+h=1…-h/2=1→h= -2, b= -6, e = 3 → A-1 = 1 3 -1
b+2e=0
-1 -2 1
c-3i=0
f+i=0 →i= -f, c=1-2f→1-2f+3f=0→f= -1, i=1, c=3
c+2f=1
-------------------------------------------
1 3
2 -1
10.- Resolver la ecuación matricial AX = B, siendo A = y B=
0 1
0 3
Solución:
1.ª forma:
a b
A2x2 · Xmxn=B2x2 → m=n=2→X es una matriz 2 x 2→ X =
c d
1 3 a b
0 1 c d
12
=
2 -1
0 3
→
a+3c b+3d
c
d
=
2 -1
0
a+3c = 2
a=2
2 -10
→
c=0 →
X=
3
b+3d = -1 b = -10
0 3
d= 3
Ejercicios de álgebra. Vol. III
2.ª forma:
AX=B→A-1AX=A-1B→I · X = A-1 · B→X=A-1 · B
Calculemos A-1:
1 3
0
=
→
0 1 c d
0 1 a
b
1
a+3c=1
1 -3
-1
c=0
→a = 1,b = -3,c = 0,d = 1→A =
b+3d=0
0 1
d=1
1 -3 2 -1
X = A-1 · B =
=
0 1 0 3
2 -10
0
3
-------------------------------------------
1 3
0 1
11.- Dadas las matrices A =
y B=
, resolver la ecuación matricial:
AX+XB = B
0 -1
2 4
Solución:
Como la matriz X no ocupa la misma posición en ambos sumandos, no se puede
despejar para hallarla por medio de la matriz inversa.
a b
Sea X =
c d
→
a+3c
b+3d
-c
-d
1 3
a
b
0 -1
c
d
=
+
2b
a+4b
2d
c+4d
a
b 0
1
c
d 2
4
+
=
0
1
2
4
a+3c+2b
5b+a+3d
2d-c
c+3d
=
0
1
2
4
→
a+3c+2b=0
5b+a+3d=1
2c-d=2
→Resolviendo el sistema: a= -143/49, b=19/21, c=10/7, d=6/7→
c+3d=4
-143/49 19/21
X=
10/7
6/7
-------------------------------------------13
Matrices - Determinantes - Cambios de base
2 1 3
3 1
12.-Dadas las matrices A =
y B = 2 4 , hallar: rg A, rg B, rg A·B
0 1 2
-1 5
Solución:
2 1 3
rg A = rg
0 1 2
=2
2 1 3
rg A·B = rg
0 1 2
3 1
3
rg B = rg 2 4 = rg 0
-1 5
0
3 1
2 4 = rg
-1 5
5 21
1
3
10 = rg 0
16
0
1
10
0
= 2
= 2
0 14
-------------------------------------------
13.- Calcular las matrices inversas de: A =
del método de Gauss
2 1
1 0 3
y B = -1 2 4 por medio
3 -1
1 3 5
Solución:
La inversa por el método de Gauss (2º método para calcular la inversa de una matríz)
consiste en colocar la matriz y a su derecha, la matriz identidad del mismo orden.
Con operaciones elementales, en filas, se pasa la matriz identidad a la izquierda y la
matriz que queda a la derecha es la inversa.
A-1
2 1
1 0
3 -1
0 1
= (2.ª f ·3-1.ª f ·2) =
= (1.ª : 10, 2.ª : 5) =
2 1
1 0
= (1.ª f ·5+2.ª f) =
0 -5 -3 2
1 0 2/10 2/10
0 1
3/5 -2/5
→ A-1=
1/5
10 0
2
2
0 -5 -3
2
=
1/5
3/5 -2/5
B-1
1 0 3 1 0 0
1 0 3 1 0 0
1 0 3 1 0 0
-1 2 4 0 1 0 = (2.ª+1.ª, 3.ª-1ª) = 0 2 7 1 1 1 = (3.ª·2-2.ª·3) = 0 2 7 1 1 1
1 3 5 0 0 1
0 3 2 -1 0 1
0 0 -17 -5 -3 -1
14
Ejercicios de álgebra. Vol. III
1 0 0
2 -9 -3
= (1.ª·17+3.ª·3, 2.ª·17+3.ª·7) = 0 54 0 -68 -34 -10 = [2.ª:54, 3.ª: (-17)] =
0 0 -17 -5 -3 -1
1
= 0
0
0 0
1 0
0 1
2
-9
-3
-68/54 -34/54 -10/54
5/17
3/17
1/17
2
-34/27
5/17
B-1 =
-9
-17/27
3/17
-3
-5/27
1/17
-------------------------------------------
2 1 3
2 0
14.-Dadas las matrices A =
y B = 3 1 , comprobar que (AB)t = Bt · At
-1 4 5
1 2
Solución:
3 1 2
A·B =
-1 4 5
At =
3 -1
1 4
2 5
2 0
-3 1
1 2
Bt =
=
2 -3 1
5 5
(A·B)t =
-9 14
2 -3 1
→Bt ·At =
0 1 2
0 1 2
5 -9
5 14
→(A·B)t = Bt ·A
3 -1
5 -9
1 4 =
2 5
5 14
-------------------------------------------
1 1 2
15.- Calcular la inversa de la matriz A = 0 1 3 . Por definición y por Gauss
1 -1 0
Solución:
Por definición:
1 1 2
0 1 3
1-1 0
a b c 1 0 0
a+d+2g b+e+2h c+f+2i 1 0 0
d e f = 0 1 0 → d+3g
e+3h f+3i = 0 1 0 →
g h i
0 0 1
a-d
b-e
c-f
0 0 1
15
Matrices - Determinantes - Cambios de base
a+d+2g = 1
d+3g=0
a-d= 0
b+e+2h=0
e+3h = 1
b-e=0
c+f+2i=0
a= 3/4 b= -1/2 c=1/4
f+3i=0 → Resolviendo → d= 3/4 e= -1/2 f= -3/4 →
c-f=1
g= -1/4 h= 1/2 i= 1/4
3/4 -1/2 1/4
A-1 = 3/4 -1/2 -3/4
-1/4 1/2 1/4
Por Gauss:
1 1 2 1 0 0
1 1 2 1 0 0
112 100
0 1 3 0 1 0 = (3.ª f-1.ª f) = 0 1 3 0 1 0 = (3.ª+2.ª ·2) = 0 1 3 0 1 0 =
1 -1 0 0 0 1
0 -2 -2 -1 0 1
0 0 4 -1 2 1
2 2 0 3 -2 -1 4 0 0 3 -2 1
= (1.ª ·2-3.ª, 2.ª · 4-3.ª ·3) = 0 4 0 3 -2 -3 = (1.ª ·2-2.ª) = 0 4 0 3 -2 -3 = (1.ª ·4, 2.ª : 4, 3.ª : 4)
0 0 4 -1 2 1 0 0 4 -1 2 1
1 0 0 3/4 -1/2 1/4 = 0 1 0 3/4 -1/2 -3/4
0 0 1 -1/4 1/2 1/4 3/4 -1/2 1/4
→ B-1 = 3/4 -1/2 -3/4
-1/4 1/2 1/4
-------------------------------------------
A–B=
16.- Dado el sistema de matrices:
A+B=
2 1
0 3 , hallar A2-B2
-1 0
4 3
Solución:
Debido a que las matrices no tienen, en general, la propiedad conmutativa, A2-B2 ≠
(A+B)(A-B).
Hallemos primero las matrices A y B:
Sumando ambas ecuaciones, 2A =
Restando ambas ecuaciones, 2B =
16
2 1
0 3
-1 0
4 3
+
-
-1 0
1
=
4 3
4
2 1
-3
=
0 3
4
1
1/2 1/2
→A=
6
2
3
-1
-3/2 -1/2
→B=
0
2
0
Ejercicios de álgebra. Vol. III
1/2 1/2
A2 =
2
3
1/2 1/2
5/4
A2-B2 =
7
7/4
2
=
3
-
10
5/4 7/4
7
5/4
3/4
-3
-1
B2 =
-3/2 -1/2
10
2
0
=
-3/2
-1/2
2
0
0
=
5/4
3/4
-3
-1
1
4 11
-------------------------------------------
17.- Dadas las matrices A =
ecuación matricial
2 1
-1 0
,
0 3
B=
3 2
y C=
, resolver la
2 4
1 2
AX+Bt = 2C
Solución:
AX+Bt=2C →AX= 2C-Bt→X = A-1(2C-Bt)
0 3 0 6
-1 0 t -1 2
t
2C = 2 ·
=
B=
=
1 2 2 4
2 4
0 4
0 6 -1 2
1
2C-Bt = -
=
2 4 0 4
2
4
0
2 1 a b 2a + c 2b+d 1 0
2a+c =1 3a+2c=0 a=2,c= -3
A·A-1= I →
=
→
→
→
3 2 c d 3a + 2c 3b+2d 0 1
2b+d =0 3b+2d=1 b = -1, d= 2
A =
2 -1
→ X= A (2C-B ) =
-1
-1
2 -1
1 4
-3 2
2 0
-3 2
0
=
t
8
1 -12
Otra forma,
AX+Bt=2C→A2x2 · Xmxp = M2x2 →m=2,p=2→ X2x2
2
1
a
b
3
2
c
d
+
-1
0
2
4
t
=
0
3
1
2
→
2a+c
2b+d
3a+2c
3b+2d
+
-1
2
0
4
=
0
6
2
4
→
17
Matrices - Determinantes - Cambios de base
2a+c 2b+d
3a+2c 3b+2d
→X=
=
0
0 6
2 4
-
-1 2
0 -4
=
1 4
2 4
→
2a+c = 1, 3a+2c=2
2b+d = 4, 3b+2d=0
→
a=0, c=1
b=8, d= -12
8
1 -12
--------------------------------------------
2 1 0
18.- Dada la matriz A = -1 2 3 , hallar las matrices B que conmutan con
la matriz dada
0 0 -2
Solución:
a b c
Sean las matrices que conmutan con A de la forma B = d e f
g h i
2 1 0
Entonces, -1 2 3
0 0 2
a b c
a b c 2 1 0
d e f = d e f -1 2 3
g h i
g h i 0 0 2
2a+d
2b+d
-a+2d+3g -b+2e+3h
-2g
-2h
2c+f
-c+2f+3i
-2i
2a-b
= 2e-d
2g-h
a+2b 3b-2c
d+2e 3e-2f
g+2h 3h-2i
→
2a-d = 2a-b
2b+e = a+2b
2c+f = 3b-2c
-a+2d+3g=2d-e
-b+2e+3h=d+2e
-c+2f+3i=3e-2f
-2g=2g-h
-2h=g+2h
-2i=3h-2i
Resolviendo los sistemas:
e=a
a 0
c
f= -4c
→ B = 0 a
-4c
b=d=g=h=0
0 0 (3a+17c)/3
i=(3a+17c)/3
---------------------------------------------
18
Ejercicios de álgebra. Vol. III
103
112
13
19.- Hallar la matriz X, que verifique: AX+C=BX, siendo A=
B=
C=
2 -1 0
-1 3 4
2 -1
Solución:
AX+C=BX → AX-BX =C →(A-B) X = C
Como (A-B) es una matriz 2x3, no se puede pasar como inversa al otro miembro y
despejar así la matriz X, de la forma X= (A-B)-1 · C
a b
Sea X3x2 = c d
e f
1 0 3
1 1 2
0 -1 1
A-B = -
=
2 -1 0 -1 3 4
3 -4 -4
0 -1 1
(A-B)X =
3 -4 -4
a b
a=(8c-d)/3
c d
d= (3b-13)/8
=
c-e
d-f
3a-4c-4d
3b-4d-4f
e=c-1
X=
=
1 3
2 -1
c-e = 1
d-f = 3
→
3a-4c-4e = 2
3b-4d-4f = -1
→
f=(3b-37)/8
(8c-2)/3
c
c-1
b
(3b-13)/8
(3b-37)/8
∇ b,c ∈ R
-------------------------------------------
1 0
1 1
1 -2
20.- Resolver la ecuación matricial XA+BX = C, siendo A=
B=
yC=
2 3
-1 2
0 3
Solución:
Como la matriz X no ocupa la misma posición en ambos sumandos, no se puede
despejar.
Sea X=
a
b
c
d
→
a
b
1
0
c
d
2
3
+
1
1
a
b
-1
2
c
d
=
1
-2
0
3
→
19
Matrices - Determinantes - Cambios de base
a+2b
c+2d
3b + a+c
b+d = 1 -2 a+2b+a+c =1
3d
-a+2c -b+2d
0 3 3b+b+d = -2 Resolviendo, a=23/21, b = -13/21
3c+2d-a=0
c=1/21 d= 10/21
5d-b = 3
X=
23/21
-13/21
1/21
10/21
---------------------------------------------
0 1 3
21.- Hallar el rango de la matriz A = 1 2 -5 , según los valores de m
m 1 2
Solución:
0 1 3
1 2 -5
1 2
-5
rg 1 2 -5 = rg 0 1 3 = (3.ªf-1.ªf · 2) = rg 0 1
3
= [3.ª-2.ª(1-2m)] =
m 1 2
m 1 2
0 1-2m 2+5m
1
= rg 0
0
2
-5
1
3
0 1-11m
→ Si m = 1/11, rg A = 2
Si m ≠ 1/11, rg A = 3
---------------------------------------------
1 1 -1
22.- Hallar la inversa de la matriz A = 0 1 3 , por definición de inversa y
por Gauss
1 0 2
Solución:
Por definición de inversa:
1 1 -1
0 1 3
1 0 2
20
a b c
1 0 0
a+d-g
d e f = 0 1 0 → d+3h
g h I
0 0 1
a+2g
a+d-g=1
d+3g=0
a+2g=0
b+e-h
e+3h
b+2h
c+f-i
1 0 0
f+3i = 0 1 0
c+2i
0 0 1
→