Download Algebra y Geometría Analítica - Facultad Regional Avellaneda

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA
DEPARTAMENTO DE MATERIAS BASICAS
UNIDAD DOCENTE BASICA MATEMATICA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
PROGRAMA ANALITICO
INGENIERO CIVIL MARCELO L. PEYREGNE
PROFESOR TITULAR
LICENCIADA ANA MARÍA KOZAK
PROFESORA ASOCIADA
AÑO 2012
Unidad I: Álgebra vectorial
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Amplíe y profundice conocimientos adquiridos sobre los vectores físicos y geométricos,
extendiéndolos a Rn.

Utilice a los vectores como herramienta básica en el cálculo algebraico.

Identifique aplicaciones concretas en el campo de la física, geometría e ingeniería.
Contenidos
Sistemas coordenados en R2, R3 y Rn para definir a los vectores como segmentos orientados.
Forma canónica y cartesiana de un vector en R2, R3 y Rn . Extensión a Rn: definición del vector
como n – upla ordenada de números reales. Operaciones: adición, producto de un escalar por un
vector. Enunciar las propiedades de cada operación para una introducción al concepto de espacio
vectorial real.
Concepto de módulo o norma. Propiedades del módulo (enunciado). Aplicación geométrica de la
norma de un vector: Distancia entre dos puntos en R2, R3 y Rn. Extensión a Rn.
Ángulos y Cosenos Directores. Definiciones. Versor asociado. Obtención del versor asociado a
partir de los cosenos directores. Condiciones de paralelismo entre vectores.
Producto escalar: definición. Propiedades del producto escalar, su enunciado. Ángulo entre
vectores y condición de ortogonalidad (demostración). Enunciar la expresión del producto
escalar en función de las componentes en R3 (extensión a Rn). Interpretación geométrica:
proyección de un vector sobre otro y componente ortogonal de un vector respecto de otro.
Producto vectorial: definición. Propiedades. Producto vectorial de los versores canónicos
aplicando la definición. Expresión del producto vectorial para los vectores dados en forma
canónica. Enunciar la expresión de cálculo aplicando determinantes por Regla de Laplace (dar
una breve introducción a los determinantes, explicitando que el tema será desarrollado en la
unidad pertinente). Interpretación geométrica de la norma del producto vectorial (demostración).
Producto mixto: definición. Propiedades. Expresión de cálculo del producto mixto aplicando
determinantes. Interpretación geométrica del valor absoluto del producto mixto (demostración).
Vectores coplanares.
Combinación lineal de vectores, independencia y dependencia lineal de un conjunto de
vectores. Aplicar en la resolución de los sistemas lineales asociados homogéneos y no
homogéneos el método de triangulación de Gauss. Mostrar interpretaciones geométricas
(vectores paralelos, vectores coplanares).
Propiedades de los conjuntos linealmente
independientes y dependientes.
Introducción al concepto de coordenadas de un vector cuando se trabaje con el tema de
combinaciones lineales.
Duración: 3,5 clases
Unidad II: Recta en R2, Plano y Recta en R3
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Aplique los conceptos del álgebra vectorial en la resolución de temas geométricos concretos.

Identifique dichos elementos geométricos y los relaciones con sus expresiones algebraicas.

Adquiera destreza en el manejo de problemas geométricos relativos al plano y al espacio.
Contenidos
1. Recta en R2
Recuperar el concepto de recta en el plano visto en el Seminario Universitario: forma implícita,
forma explícita.
Ecuación general o implícita de la recta (punto – vector normal), su deducción. Inferir de ella la
forma segmentaria y la forma explícita
Ecuación paramétrica vectorial de la recta (punto – vector director), su deducción. A partir de
ella, obtención de las formas: paramétrica cartesiana y simétrica. Recta que pasa por dos puntos.
Ejemplos de representación gráfica usando los elementos distintivos que aparecen en cada forma
de la ecuación de la recta.
Posiciones relativas de dos rectas en R2. Su estudio mediante sistemas de ecuaciones lineales.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Geometría métrica: ángulo; distancia.
(demostraciones) Aplicaciones.
Haz de rectas. Deducción. Aplicaciones.
2. Plano
Deducción de la ecuación general del plano utilizando vectores. Distintos casos: un punto y un
vector normal (demostración), dos vectores no paralelos y un punto (utilizando el caso anterior),
tres puntos no alineados (ídem) Ecuación paramétrica vectorial de un plano como consecuencia
del concepto de producto mixto y de la combinación lineal de vectores. Forma segmentaria.
Descripción de situaciones particulares de la ecuación del plano: paralelo a los ejes
coordenados y a los planos coordenados. Trazas de un plano.
Posición relativa de dos planos en el espacio. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad ,
ángulo entre rectas. Estos temas quedan para el espacio de la práctica a través de los ejercicios
de la Guía de Trabajos Prácticos.
Geometría métrica: distancias de punto a plano y entre planos paralelos. Demostraciones.
Aplicaciones.
Haz de planos. Deducción. Aplicaciones.
3. Recta en R3
Deducción de las ecuaciones de la recta (punto – vector director): vectorial, cartesiana
paramétrica y simétricas. Recta como intersección de dos planos, generalización del cálculo
resolviendo el sistema de ecuaciones planteado y también por consideraciones geométricas,
obteniendo el vector director como producto vectorial de los normales de cada plano y
calculando un punto). Análisis de casos especiales: recta con uno y dos componentes de su
vector director nulas (mostrar situaciones gráficas).
Planos proyectantes. Posición relativa entre dos rectas en el espacio. Posición relativa entre
una recta y un plano. Proyecciones de un punto sobre un plano, de un punto sobre una recta, de
una recta sobre un plano. Ángulo entre rectas y entre recta y plano. Estos temas quedan para el
espacio de la práctica a través de los ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos.
Geometría métrica: Distancias: entre rectas alabeadas (demostración), de punto a recta
(demostración), entre rectas paralelas (aplicación de la expresión de cálculo a partir del concepto
anterior de distancia de punto a recta), entre recta y plano paralelos (utilizar ejemplos de la Guía
de Trabajos Prácticos). Aplicaciones.
Duración: 5 clases
Unidad III: Álgebra Matricial
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Adquiera la noción de matriz como una colección ordenada de datos y reconozca a las
matrices como un operador básico en el Álgebra Superior.

Aprenda a trabajar con matrices y adquiera habilidad en su manejo como herramienta de
cálculo.
Contenidos
Definición. Clasificación. Propiedades. Operaciones: adición de matrices y producto de una
matriz por un escalar. Partición de matrices en vectores fila y columna. Introducción a las
matrices como conjuntos ordenados de vectores. Notación sintética como conjunto de vectores
fila o columna.
Producto de matrices. Definición. Multiplicación de matrices por bloques de vectores.
Propiedades. Matriz Identidad como neutro para el producto (ejemplos).
Matriz traspuesta. Enunciado de las propiedades de la trasposición. Breve mención a los
procedimientos de demostración de estas propiedades.
Concepto de rango de una matriz. Comprobación con un ejemplo sencillo de la igualdad entre el
rango fila y el rango columna y su extensión como rango de una matriz. Aplicación de los
conceptos de independencia lineal en el cálculo del rango. Operaciones elementales sobre una
matriz. Enunciado y verificaciones con ejemplos de cada una de ellas. Método de Gauss –
Jordan.
Matriz inversa. Propiedades. Concepto de matrices regulares y singulares. Aplicando la
ejercitación de la Guía de Trabajos Prácticos, deducir que ocurre con la inversa del producto de
dos matrices cuadradas.
Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss – Jordan. Deducción de la aplicación de
dicho método a partir de la resolución del sistema de ecuaciones lineales resultante (Utilizar un
sistema de 2x2)
Definición de matrices particulares (ejemplificar con matrices en R3 x 3):
 Matriz diagonal. (Verificación utilizando un ejemplo numérico de la propiedad que
expresa que el producto de matrices diagonales es conmutativo), Matriz escalar (incluir
la Matriz Identidad), Matriz triangular inferior y superior.
 Matrices simétricas y antisimétricas. Propiedades
 Matriz ortogonal. Propiedades. Demostración mediante un ejemplo o con una matriz de
2x2: la matriz asociada a una rotación es ortogonal.
 Matriz idempotente. Matriz involutiva
Duración: 1,5 clases
Unidad IV: Determinantes
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Reconozca a los determinantes como una aplicación de las matrices cuadradas en los
números reales.

Conozca sus propiedades y las aplique en el cálculo.

Vincule las aplicaciones de los determinantes utilizadas en la Unidad Temática: Álgebra
vectorial de manera elemental (producto vectorial, producto mixto)
Contenidos
Definición de determinante como aplicación de las matrices cuadradas en los números reales.
Obtención del determinante a partir del concepto de permutación (ejemplificar con la obtención
del determinante de matrices de R2x2 y de R3x3, luego extender a Rnxn). Definición de menor
complementario y adjunto o cofactor de un elemento de una matriz. Matriz adjunta o cofactor.
Ejemplos
Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. Deducción del método de
Laplace a partir de la expresión del determinante de una matriz de R3x3 calculada mediante la
definición convencional. Utilidad del método de Laplace para reducir el orden de los
determinantes.
Propiedades de los determinantes, su enunciado. Ejemplificar utilizando matrices de R3x3.
Aplicación de las propiedades para el cálculo de un determinante. Procedimiento de cálculo
aplicando las propiedades. Aplicación de Gauss y de Laplace para el cálculo de los
determinantes (Regla de Chío).
Enunciado y deducción de las propiedades vinculadas con las matrices especiales y con las
operaciones con matrices (de una matriz diagonal, de una matriz triangular, determinante de un
producto de matrices, determinante de la inversa de una matriz no singular, determinante de una
matriz ortogonal, de una idempotente, de una involutiva): para ser desarrollado en las
aplicaciones de las clases prácticas.
Cálculo de la inversa de una matriz usando determinantes (enunciado) Relación del valor del
determinante con el concepto de regularidad o singularidad de una matriz. Relación del valor del
determinante con el concepto de regularidad o singularidad de una matriz y con su rango.
Aplicaciones.
Duración: 1,5 clases
Unidad V: Sistemas de ecuaciones lineales
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Resuelva eligiendo el método analítico adecuado sistemas de ecuaciones lineales.

Utilice sistemas de ecuaciones lineales para modelar la solución de problemas
asociados a la física, geometría e ingeniería.

Aplique en su resolución los conocimientos adquiridos en el estudio de vectores, matrices
y determinantes.

Interprete geométricamente sistemas asociados a problemas derivados de los temas de
Geometría Analítica tratados en la Unidad Temática n° 2: Rectas en R2 y planos y
rectas en R3.

Relacione, en lo que corresponda, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones
lineales con los conceptos de espacios vectoriales que se han tratado en las unidades
temáticas previas.
Contenidos
Definición de un sistema de ecuaciones lineales. Clasificación (por la cantidad de incógnitas y
ecuaciones, por el valor de los términos independientes) Forma matricial. Sistemas equivalentes:
propiedades. Deducción a partir del concepto de sistemas equivalente del cálculo de un sistema
de ecuaciones por el método de Gauss. Concepto de solución. Concepto y determinación del
conjunto solución. Clasificación de un sistema según su conjunto solución.
Métodos de resolución: Teorema de Cramer (sin demostración) y Método de Cramer, Método de
la matriz inversa. Campos de aplicación de cada uno de ellos. Sistemas de ecuaciones lineales
homogéneos cuadrados. Interpretación geométrica de sistemas homogéneos y no homogéneos.
Análisis de sistemas de ecuaciones lineales cuadrados paramétricos homogéneos y no
homogéneos. Aplicaciones a problemas de ingeniería.
Enunciado de los métodos de triangulación de Gauss, procedimiento de Gauss – Jordan. Análisis
de la compatibilidad de un sistema. Teorema de Roché – Frobenius: enunciado, demostración y
aplicaciones. Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos: descripción. Propiedades.
Análisis de su compatibilidad aplicando el Teorema de Roché – Frobenius y el de Cramer.
Análisis de sistemas de ecuaciones lineales no cuadrados paramétricos homogéneos y no
homogéneos.
Duración: 2 clases
Unidad VI: Números Complejos
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Comprenda la necesidad de ampliar los conjuntos numéricos con los que habitualmente
trabaja, a fin de resolver problemas concretos que se presentan

Resuelva operaciones en el conjunto de números complejos y diferencie las condiciones de
existencia de las mismas respecto del conjunto de números reales.

Analice su aplicación para las diferentes especialidades de las carreras de ingeniería que
se dictan en la Facultad Regional Avellaneda.
Contenidos
Conjuntos numéricos: Revisión de conjuntos numéricos (N, Z, Q y R)
El conjunto de números complejos:
Su origen como resolución de ecuaciones cuadráticas. La unidad imaginaria: 1  i
Forma binómica de los números complejos. Parte Real e Imaginaria. Concepto de igualdad en C
Operaciones y propiedades: suma, diferencia, producto, cociente (conjugado – sin propiedades).
Interpretación gráfica como vector: el número complejo como par ordenado de números reales.
En esta escritura operaciones de suma y diferencia, analítica y gráficamente.
Módulo de un número complejo (sin propiedades).
Argumento de un número complejo (sin propiedades). Obtención del argumento en los cuatro
cuadrantes.
Forma trigonométrica. Operaciones: producto (sin demostración), cociente (sin demostración),
potenciación (fórmula de De Moivre: extensión de su aplicación a exponentes enteros),
radicación (con demostración). Con un ejemplo numérico mostrar que la raíz enésima tiene n
resultados diferentes. Diferencias de fase (angulares) entre complejos sucesivos en una raíz:
visualizar a través de ejemplos.
Forma exponencial: indicar como se llega a la misma a partir del desarrollo en serie de potencias
de la expresión trigonométrica (sin demostración) Su aplicación en las operaciones básicas:
producto, cociente, potenciación, empleando propiedades de las funciones exponenciales
vinculando estas con las mismas operaciones definidas en la forma trigonométrica.
Duración: 1,5 clases
Unidad VII: Espacios Vectoriales
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Conozca y domine la estructura de espacio vectorial.

Compruebe que a través de la misma existen elementos comunes entre diferentes conjuntos
algebraicos.

Relacione los temas vistos de Geometría Analítica con el concepto de subespacios.

Relacione conceptos físicos o geométricos conocidos con sus equivalentes algebraicos
abstractos (por ejemplo, la definición de sistemas de referencia con las bases de un espacio
vectorial)
Contenidos
Definición de espacio vectorial real. Axiomas. Espacio vectorial de: vectores, matrices,
polinomios, números complejos, funciones continuas. Definición de subespacio vectorial.
Condición necesaria y suficiente para la existencia de un subespacio. Aplicaciones. Subespacios
triviales.
Sistema de generadores de un espacio vectorial. Explicación del concepto. Ejemplos.
Vincularlos al concepto físico de sistemas de referencia o de coordenadas. Concepto de Base y
de Dimensión de un Espacio Vectorial. Aplicaciones. Relaciones con la dependencia e
independencia lineal. Bases ortonormales.
Subespacio generado. Definición. Aplicaciones.
Operaciones con subespacios (intersección, suma, suma directa. Referir a las demostraciones en
la página web de que dichas operaciones son subespacios vectoriales) Complemento ortogonal
de un subespacio, propiedades. Enunciado de los teoremas de la dimensión en la suma y en el
complemento ortogonal de un subespacio. Aplicaciones a la geometría. Aplicaciones con
polinomios, vectores y matrices.
Duración: 3 clases
Unidad VIII: Transformaciones lineales
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Identifique las transformaciones lineales como aplicaciones de los espacios vectoriales y las
asocie con el álgebra de matrices y con los conocimientos previamente aprendidos.

Reconozca su utilización en aplicaciones relacionadas con la física y la geometría y
adquiera habilidad en el planteo y la resolución de problemas vinculados con estos temas.
Contenidos
Concepto de transformación lineal. Operadores lineales. Propiedades generales: enunciado y
demostración.
Matriz asociada a una transformación lineal. Deducción que la transformación matricial es una
transformación lineal y con un ejemplo calcular la matriz asociada a una transformación lineal en
las bases canónicas. Aplicaciones.
Teorema fundamental de las transformaciones lineales. Demostración. Su aplicación a los
problemas de la ingeniería.
Núcleo e imagen de una transformación lineal. Concepto. Deducción de los mismos como
subespacios (referir que estas demostraciones están incorporadas a la página web, y demostrar
una de ellas). Enunciar el teorema de la dimensión del núcleo y la imagen.
Clasificación de las transformaciones lineales: monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo,
endomorfismo y automorfismo. Mención de los espacios vectoriales isomorfos. Propiedades.
Mención de las condiciones para que una transformación lineal sea un monomorfismo,
epimorfismo e isomorfismo. Aplicaciones. Inversa de una transformación lineal.
Geometría de las transformaciones lineales en R2: identidad, reflexión o simetría, dilatación y
contracción, cizallamiento, rotación (vincular la rotación con el concepto de matriz ortogonal).
Deducción de la matriz asociada en todos los casos. Aplicaciones. Composición de
transformaciones geométricas como caso de aplicación de la composición de transformaciones
lineales. Obtención de la matriz asociada para un conjunto de transformaciones geométricas.
Enunciar la traslación como transformación afín. Estos temas quedan para el espacio de la
práctica a través de los ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos.
Cambio de base. Coordenadas. Matriz de cambio de base: deducción. Aplicaciones.
Matrices asociadas a una transformación lineal en bases distintas. Relación con las matrices de
cambio de base.
Concepto de matrices semejantes. Enunciado de las relaciones existentes entre matrices
semejantes. Introducción al concepto de diagonalización.
Duración: 4 clases
Unidad IX: Autovalores y Autovectores
Diagonalización
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Expresar las coordenadas de un punto y elementos geométricos en distintos sistemas de
referencia.

Identifique en el proceso de cambio de sistemas de referencias los distintos conocimientos
adquiridos y los aplique.

Comprenda la conveniencia del proceso de diagonalización de matrices en la solución de
problemas concretos.
Contenidos
Autovalores y Autovectores. Concepto. Aplicación en las transformaciones lineales.
Interpretación geométrica. Deducción del cálculo de los autovalores y de los autovectores.
Definición de polinomio característico de una matriz. Mención al Teorema de Cayley Hamilton. Ejemplos.
Diagonalización de matrices. Definición. Diagonalización ortogonal de matrices simétricas.
Enunciado de las propiedades que vinculan la diagonalización con los valores y vectores
propios.
Breve introducción a la aplicación de los autovalores y autovectores en algunos problemas de
ingeniería.
Duración: 1,5 clases
Unidad X: Cónicas y Superficies
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Describa analíticamente los conjuntos de puntos del plano y del espacio que se denominan
cónicas y superficies, respectivamente.

Reconozca y realice representaciones gráficas de cónicas y superficies.

Aplique en su estudio y resolución conocimientos y técnicas adquiridas previamente.

Resuelva situaciones problemáticas referidas a la física e ingeniería que involucran estudio
de cónicas o superficies.

Aplique los conceptos relativos a la diagonalización de matrices para efectuar la rotación de
una cónica.
Contenidos
1. Cónicas
Introducción geométrica: definición de la superficie cónica indefinida a partir de la rotación de
una recta. Obtención de las cónicas (verdaderas y reducibles) como intersección de aquélla con
distintos planos. Representaciones gráficas de cada caso.
Clasificación de las cónicas: verdaderas y reducibles. Ecuación general de segundo grado con
dos variables. Expresión matricial de una cónica (aquella que identifica la forma cuadrática y la
lineal, que luego se va a diagonalizar) Análisis y aplicación.
Definición de cónica como lugar geométrico. Definición del concepto de excentricidad.
Estudio detallado de las cónicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Ecuación canónica.
Deducción (demostrar al menos para la circunferencia y para la parábola, las restantes
deducciones se encuentran disponibles para el alumno en la página web). Propiedades.
Elementos.
Intersección entre rectas y cónicas, rectas tangentes a una cónica e intersecciones entre cónicas.
Este tema queda para la aplicación en el espacio de la práctica.
Traslación de ejes: aplicación a las curvas estudiadas con centro o vértice en un punto de
coordenadas (h, k) pero que mantienen sus ejes de simetría paralelos a los coordenados.
Deducción. Utilización del concepto de traslación y del procedimiento de completar cuadrados.
Aplicación de los autovalores y autovectores para la rotación de una cónica. Diagonalización de
la forma cuadrática. Ejemplos para cónicas verdaderas y cónicas reducibles.
2. Superficies
Definición. Clasificación: verdaderas y reducibles.
Ecuación general de segundo grado con tres variables. Expresión matricial.
Definición de superficies regladas. Tipos. Definición de superficies de revolución. Fórmula para
la obtención de una superficie de revolución (sin demostración)
Cuádricas. Ecuación canónica y general de las cuádricas. Representación gráfica. Estudio
comparativo de las cuádricas con centro y sin centro de acuerdo a los valores que tomen los
coeficientes y el término independiente. Representación gráfica.
Análisis de las superficies: intersección con los ejes coordenados, con los planos coordenados,
con planos paralelos a los coordenados, simetría. Aplicaciones.
Duración: 5 clases