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1. ESQUEMA - RESUMEN
Página 2
2. EJERCICIOS DE INICIACIÓN
Página 6
3. EJERCICIOS DE DESARROLLO
Página 17
5. EJERCICIOS DE REFUERZO
Página 25
1
1.
ESQUEMA - RESUMEN
1.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
1.2. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
3
1.3. IGUALDADES Y ECUACIONES.
3
1.4. REGLA DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO.
4
1.5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.
4
1.6. REOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES.
5
1.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
RECUERDA
Una expresión algebraica es una combinación de números y
letras, o sólo de letras, unidos por los signos de las operaciones
aritméticas.
El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de
operaciones.
2
Página
2
1.2. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICA.
El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene al
sustituir las letras por los números determinados y efectuar las
operaciones indicadas.
1.3. IGUALDADES Y ECUACIONES.
CONCEPTO DE IGUALDAD NUMÉRICA
Una igualdad numérica es la relación entre dos expresiones
numéricas que dan el mismo resultado.
CONCEPTO DE ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad con letras y números que expresa
una condición que deben cumplir las letras.
Una ecuación es de primer grado cuando el exponente de la
incógnita es uno.
La solución de una ecuación es el valor que ha de tomar la
incógnita para que se cumpla la igualdad numérica.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
3
1.4. REGLA DE LA SUMA Y DE PRODUCTO.
REGLA DE LA SUMA
Si se suma o resta el mismo número o letra a los dos miembros
de una ecuación, resulta otra ecuación equivalente.
REGLA DEL PRODUCTO
Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación
por un número distinto de cero, resulta otra ecuación
equivalente.
1.5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.
RECUERDA
Resolver una ecuación es hallar su solución.
ECUACIONES SIN PARÉNTESIS
Para resolver ecuaciones sin paréntesis se aplican las reglas de
la suma y del producto.
4
ECUACIONES CON PARÉNTESIS
Para resolver ecuaciones con paréntesis, el primer paso es quitar
los paréntesis aplicando cuando sea necesaria la propiedad
distributiva.
ECUACIONES CON DENOMINADORES
Para resolver ecuaciones con denominadores se siguen estos pasos:
1. Suprimimos los denominadores multiplicando la ecuación por
el común denominador.
2. Se aplican las reglas de la suma y del producto.
1.6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON
ECUACIONES.
RECUERDA
Para resolver un problema con ecuaciones se siguen estos pasos:
1. Se identifican los datos.
2. Se elige la incógnita más adecuada.
3. Se plantea la ecuación.
4. Se resuelve la ecuación.
5. Se interpretan los resultados.
6. Se comprueban los resultados.
5
2.
EJERCICIOS DE INICIACIÓN
2.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. VALOR NUMÉRICO.
2.2. IGUALDADES Y ECUACIONES.
9
2.3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.
12
2.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES.
15
2.1
Ej.1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. VALOR NUMÉRICO.
Expresa estas condiciones en lenguaje algebraico.
a) Dos números consecutivos.
b) Un número impar.
c) La suma de los cuadrados de dos números.
d) El triple de un número.
e) El doble de un número.
f) La diferencia de dos números.
Ej.2
Página
6
Expresa algebraicamente.
a) La diferencia de los cuadrados de dos números.
b) El cuadrado de la diferencia de dos números.
c) La quinta parte del cubo de un número.
d) Dos números pares consecutivos.
6
e) La suma de un número y su cubo.
f) La mitad de un número.
Ej.3
Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para x = -1
a) 3 x + 7
b) 4x 3
c) 2 x − 6
d) −
x2
2
e) 2 x 2 − x + 1
Ej.4
Escribe en lenguaje ordinario las siguientes expresiones algebraicas.
a) 2 x − 3 y
x2
2
b) x +
c) x 2 + y 2 + z 2
d)
( x + y )2
3
e) x + x 3
Ej.5
Si a − b = 3 , escribe el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas.
a) a − b + 2
b)
(a − b )2
c)
a−b+5
2
7
Ej.6
Halla el valor numérico de la expresión algebraica 5 y 3 − 4 y 2 +
y
− 3 para los valores de y
2
a) y = 1
b) y = −2
c) y = 0
Ej.7
Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas:
a) 4 x 2 + 2 x 2
b) 7 a + 3b
c) 8 x − 5 x + x
d) x 3 + 3x 2
e) 9 x 2 − 2 x 2 + 5 x 2
Ej.8
Halla el valor numérico de 5 x 2 + 2 x − 7 para:
a)
x=3
b) x = 0
c) x = −2
Ej.9
Expresa en lenguaje algebraico el significado de las siguientes frases:
a) El doble de un número.
b) La tercera parte de un número.
c) El cubo de un número menos el mismo número.
d) Dos números consecutivos.
e) El cuadrado de un número aumentado en 4.
8
Ej.10 Si un bolígrafo cuesta p euros y un lapicero, q euros, expresa en función de p y q:
a)
El precio de 4 lapiceros.
b)
El precio de 5 bolígrafos.
c)
El precio de 3 bolígrafos y 2 lapiceros.
d)
El precio de 10 bolígrafos y 1 lapicero.
2.2.
Ej.1
Ej.2
IGUALDADES Y ECUACIONES.
Indica si las siguientes expresiones son igualdades numéricas.
a)
(7 + 3) − 4 = 12 − 2 × 3
b)
18 : 3 − 1 = 18 : (3 − 1)
c)
6 + 4 × 2 = (6 + 4) × 2
d)
3 × (2 + 4) − 16 = 16 : 8
e)
(5 + 15) : 5 = 10 − 3 × 2
f)
3 × (4 − 4) = (5 − 5) × 2
¿Cuáles de las siguientes igualdades son ecuaciones?
a) 3 x + 1 = 7
b) 20 : (7 − 2) = 4
c) 2 z + 3 = 5 z
d) (7 + 3) : 2 = 10 − 2 × 2
9
Ej.3
Determina cuáles de las siguientes ecuaciones son de primer grado.
a) 2 ⋅ (3 − x ) = 1 + x
b) − ( x − 6 ) − 3 x 2 = 4
c) a +
a
+ a =1
2
d) 2 3 ⋅ ( x + 1) = x
Ej.4
Averigua si alguno de los siguientes valores es solución de la ecuación 6 x + 1 = 2 x + 3
a) x = 1
b) x = 2
c) x = −1
d) x = 0
e) x = −3
f) x =
Ej.5
1
2
¿Qué valor debe tomar x en las siguientes ecuaciones para que se cumplan las igualdades
numéricas?
a) x − 5 = 1
b) 2 x − 5 = 1
c) x + 3 = 3
d) 6 − x = x + 4
e) 4 x = −12
f) x + 2 = 1
g) 5 x = 10
10
Ej.6
Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes.
a) 3 + x = 1
b) 3 x = −6
c) x − 4 = 0
d) − 2 x = 8
e) x + 1 = 3
f)
Ej.7
x
=2
2
Comprueba si los siguientes valores de x son soluciones de la ecuación correspondiente:
a) 2( x + 2) = x − 1 para x = 4
b) 2 x − 7 = 5 para x = 6
c) 5 − x = 7 para x = −2
d) 2( x + 5) = 30 x para x = −1
Ej.8
Estudia si alguno de los siguientes valores es la solución de la ecuación: 3 x + 4 − 2 x = x − 1 + 5 x
a) x = 3
b) x = −2
c) x = −1
d) x = 0
e) x = 1
Ej.9
Indica si estas igualdades son ecuaciones.
a) 5 − 6 ⋅ 3 = −13
b) 0 = 1 − t + 2t
11
c) x − 3 = 2( x + 1)
d)
(7 − 7 ) ⋅ 4 = (9 + 9) ⋅ 0
Ej.10 Halla en cada caso el número que al sustituir la letra por él cumple la igualdad.
a) 3 + x = 0
b) − x + 3 = 0
c) − 4 x = −12
d) 15 = −5 x
2.3.
Ej.1
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.
Halla la solución de las siguientes ecuaciones aplicando la regla de la suma.
a) 6 x − 2 = 5 x + 1
b) 7 x + 1 = 6 x − 2
c) x − 1 = 2 x − 6
d) 2 x − 9 = 3 x − 9
Ej.2
Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto.
a) 3 x = −6
b) 5 x = 45
c)
x
=1
4
d)
2x
=2
7
12
Ej.3
Despeja la incógnita en estas ecuaciones e indica qué regla utilizas en cada caso.
a)
x
=8
4
b) 16 x − 7 = 15 x + 1
c) x + 3 = 2 x
d)
Ej.4
3x
− 6 = 4x
2
Halla la solución de las siguientes ecuaciones sin paréntesis.
a) 7 x + 6 = 6 x
b) 2 + 2 x = 3 x − 1
c) 4 x + 1 = x − 8
d) − 3 x + 6 = 2 x + 1
Ej.5
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 3 x − 8 x = −5
b) x + 2 x − 1 = 3 − x
c) 5( x − 5) = x − 10
d) 4(2 − 3x ) = −3(3 − x )
Ej.6
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
x
−4=2
3
b)
x
+2=3
2
13
Ej.7
c)
3x
+ 1 = −5
4
d)
x −3
=1
2
Halla la solución de estas ecuaciones.
a) 5 − 4 x + 2 + x = 4 x + 3 − 5 x
b) − 4 + 3 x + 14 − 5 x = 9 x − 8 − 2 x
c) 7 x + 15 − 5 x + 3 = −1 − x + 10
d) 4 x − 13 + 2 x + 7 = −4 x − 2 + 6 x + 12
Ej.8
Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis.
a) 3( x − 1) − (2 − x ) = 4 − (1 − 3x )
b) 4(3 − 2 x ) + 4 x + 6 = 1 − 5(1 + 3x )
c) 3x − 2(1 − x ) − 3(x − 4) = 0
d) 11( x + 1) − 5( x − 2) + 3( x − 3) = 0
e) 4 x − 5( x − 2) + 6 = 3x + 2( x − 4)
Ej.9
Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores.
a)
− ( x − 3)
= 2(3 − x )
3
b)
2 x + 1 3 x − 2 3 x + 10
+
=
4
3
12
c)
7
1
− ( x − 4 ) = 2( x + 3) −
4
4
d)
3( x − 2 ) 4( x + 3)
=
2
3
14
Ej.10 Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores.
a)
4 x − 8 3x − 3 x − 1
=
−
12
4
2
b) − 2 x +
x+3 − x+5
=
−6
8
10

c) 3 2 x +

2  9 − 3 x 5 x + 13
−
=
3
3
2
d)
x −1 x +1 x −1
=
−
3
6
2
2.4.
Ej.1
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES.
Resuelve los siguientes problemas planteando una ecuación.
En una asociación cultural se han recogido 2067 libros para crear una biblioteca en Brasil. El
domingo se recogen 345 libros y el resto de la semana el mismo número de libros cada día.
¿cuántos libros se recogen al día?
La entrada del cine me ha costado el doble que la merienda, y ésta, el triple que el billete del
autobús. Si en total me he gastado 10 euros, ¿Cuánto me ha costado cada cosa?
Dentro de 6 años, Javier tendrá el doble de la edad que tenía hace 3 años. ¿Qué edad tiene
Javier ahora?
Alejandra tiene dos hijos que se llevan 4 años de edad. La edad de Alejandra es el triple de la
edad de su hijo mayor. Si entre los tres suman 71 años, ¿cuál es la edad de cada uno?
En clase de Plástica los alumnos van a realizar un mural. El número de rotuladores rojos que
tienen es el triple que el de rotuladores azules y el número de rotuladores verdes es el doble
que el de rojos y azules juntos. Si en total hay 24 rotuladores, ¿cuántos hay de cada color?
15
La edad de Arturo es la tercera parte de la edad de su padre. Si entre los dos suman 56 años,
¿qué edades tienen cada uno?
Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 20 grados más que el otro.
¿Cuánto mide cada ángulo?
Cuatro equipos de voluntarios han plantado 1200 árboles para reforestar una zona quemada.
El primer equipo ha plantado 70 árboles más que el segundo; éste, 65 árboles más que el
tercero y éste 120 árboles más que el cuarto. ¿Cuántos árboles ha plantado cada equipo de
voluntarios?
Unos amigos hacen una excursión en bicicleta. El primer día recorren la mitad del trayecto; e
segundo, la tercera parte de lo que resta y el tercer día los 30 kilómetros que faltan. ¿Cuántos
kilómetros han recorrido en total?
En un triángulo isósceles, el lado desigual mide la mitad que cada uno de los lados iguales.
Halla la longitud de cada lado si el perímetro del triángulo mide 45 metros.
16
3.
EJERCICIOS DE DESARRROLLO
3.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. VALOR NUMÉRICO.
3.2. IGUALDADES Y ECUACIONES.
20
3.3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.
22
3.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES.
24
3.1
Ej.1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. VALOR NUMÉRICO.
Escribe en lenguaje ordinario frases que correspondan a las siguientes expresiones
algebraicas:
a) 3 x − 2
b)
x
4
c)
( x + 2 )2
d) x − y
e) 10 − x
f) x − 2
g) 4 x
h)
Ej.2
Página
17
x3
3
Expresa en lenguaje algebraico el significado de las siguientes frases.
a)
b)
c)
d)
e)
Un número par.
Tres números pares consecutivos.
Un número aumentado en 7, al cuadrado.
Un número al cuadrado aumentado en 7.
Área de un rectángulo de dimensiones x, y.
17
Ej.3
Escribe la expresión algebraica correspondiente a las siguientes frases.
a)
b)
c)
Ej.4
Ej.5
Calcula el valor numérico de la expresión algebraica 'Diferencia de la quinta parte de a y del
triple de b', tomando a = 75 y b = 4.
Escribe, empleando el lenguaje algebraico, las siguientes frases.
a)
b)
c)
d)
Ej.6
Ej.7
Diferencia del doble de a y del doble de b.
El doble de la suma de a y b.
La suma del doble de a y b.
Dos números pares consecutivos
La edad de Carmen dentro de 6 años que ahora tiene x años
la edad de Alberto hace 5 años, que ahora tiene x años
El doble de un número más el cuadrado de dicho número
Expresa en lenguaje algebraico el área de un cuadrado de lado x. ¿Qué valor toma el área en
el caso en que el lado mide 7 cm? ¿Y si mide 2,5 cm?
Completa la tabla calculando los valores de las expresiones algebraicas dadas para los
distintos valores de a y b.
a
b
1
4
2
2
3
3
− 5 −1
Ej.8
Ej.9
(a + b )2
9
a2 + b2
5
(a − b )2
1
a2 − b2
22 - 12 = 3
Calcula la expresión algebraica del perímetro de un rectángulo que cumple que la medida de
la base es el doble que la altura. Si la altura mide 4 cm, ¿cuánto mide el perímetro?
Calcula los valores numéricos de las expresiones algebraicas dadas para los siguientes valores
de x =1, -2, 3 y 5.
a)
b)
c)
d)
4( x + 2)
7 x 2 − 10
x 2 − 2x
3x 2 + 4 x + 5
Ej.10 Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de un rectángulo de dimensiones a y b. ¿Cuál es
el valor numérico para el caso de tener a = 3 cm y b = 5 cm?
Ej.11 Expresa en lenguaje algebraico el área de un triángulo de base a y altura b. Hallar el valor
numérico del área para el caso de tener a = 5 cm y b = 7 cm.
18
Ej.12 Reduce cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas.
a 2 + 3a 2
4a 3 − 2a 2
4 x − 3x
5x + x
4a − a
6a + b
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Ej.13 Calcula los valores numéricos de las expresiones algebraicas dadas para los siguientes
valores x = 2 ; y = −1 .
a) 7 x + 5 y − (2 x − 3 y )
b) x 2 − y 2 + 5 x 2 + y 2
x2
c)
+ 2y2
2
d)
x3 + 1 4 y3
−
3
2
Ej.14 Lee correctamente las siguientes expresiones algebraicas.
a) x 2 + ( x + 1) + ( x + 2 )
2
2
b) x 3 − y 3
c) 3 x − y 2
d)
(x − y )3
e)
(3x )2
Ej.15 Calcula la expresión algebraica del área de un rectángulo cuyas dimensiones suman 8 cm.
3
Ej.16 Calcula la expresión algebraica del área de un triángulo cuya base es 2 de la altura. Hallar
el valor numérico para el caso en que la altura mida 4 cm.
19
Ej.17 Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases.
a)
b)
c)
d)
El cubo de un número menos el doble de su cuadrado.
El cuadrado de la diferencia de dos números.
La suma de los cuadrados de dos números.
La mitad del producto de la diferencia de dos números por su suma.
Ej.18 Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas.
a)
b)
c)
d)
7x2y + 4x2y + 5yx2
8xy + 9x2y + 2xy2
14xy + 7x2y2 + 6xy
9x3 + 7x2y - 5yx2
Ej.19 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican.
a)
x 3 + 3x 2 −
b)
(1 − x )2
5
−
x
4
x
3
para x = −1 , x = −4 y x = 6
para x = −2 , x = 3 y x = 5
Ej.20 Lee correctamente las siguientes expresiones algebraicas.
3.2.
Ej.1
a)
x− y
b)
3( x + y )
c)
x 2 + ( x + 1)
d)
(x + y )3
2
IGUALDADES Y ECUACIONES.
Averigua si son igualdades numéricas las siguientes expresiones:
a)
7 + 5 = 14 − 2
b)
18 − 2 · (3 + 4) = 10 − 6
c)
4 · 5 + 3 = 22 + 2
d)
5 · 0 = 6 · (7 − 7)
20
Ej.2
Ej.3
Ej.4
Ej.5
Averigua si son ciertas las siguientes igualdades:
a)
13 + 20 = 3 · 20
b)
7 + 19 + 14 = 80 : 2
c)
120 − 20 = 4 · 25
d)
(7 + 9 −7) : 2 = (5 + 4) · 4
Plantea las ecuaciones correspondientes a las siguientes condiciones y estudia si son o no
equivalentes.
a)
El doble de x es 4
b)
El triple de x es 3
c)
Si a x se le suma 2 se obtiene 4
d)
x menos 5 es igual a 6
Comprueba si los siguientes valores de x son soluciones de la ecuación correspondiente.
a)
10 x = 3 x + 35
b)
4x + x =
c)
5 x − x = 10 + 2 x
¿Qué número
10 x
2
para x = −2 y x = 3
para x = 5 y x = 0
hay que poner en lugar de x para que se verifiquen las ecuaciones?
a)
x+5=9
b)
5 x = 35
c)
2 x + 6 = 16
d)
x 2 = 25
e)
x
= −5
8
21
para x = 5 y x = −1
Ej.6
Ej.7
Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes.
a)
2x = 6
b)
4−x=1
c)
x+4=7
d)
3x = 6
Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son de primer grado.
a)
t 2 −1 = t
b)
2(a + 1) = a − 1 + a
c)
v − 2 = 32 + v
d)
y + y2 = 8
Ej.8
Escribe dos ecuaciones equivalentes a: x + 3 = -1.
Ej.9
Plantea las ecuaciones correspondientes a las siguientes condiciones y estudia si las ecuaciones
son o no equivalentes.
a)
El inverso de x es 0,25
b)
El triple de y es 12
c)
El número siguiente a z es 5
d)
El opuesto de t es 3
Ej.10 Calcula un número que cumple que si a su doble se le resta 17 da lo mismo que si al número
se le suma 5.
3.3.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.
Ej.1
Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla de la suma.
a)
3x − 3 = 2 x − 5
b)
x − 8 = 2x + 7
c)
4 x + 1 = 3x + 7
d)
6x + 1 = 5x + 3
22
Ej.2
Ej.3
Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto.
a)
2x = 4
b)
7x
=1
9
c)
8 x = −2
d)
3 x = 0'6
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
3( x − 2) + 5(2 x + 7 ) = 2(6 x − 9) + 3
b)
− x + 5(3x − 1) = −2 x + 4( x − 2)
c)
2(7 x − 1) + 5(3 − x ) = 22
Ej.4
Escribe la ecuación para cada uno de los siguientes dibujos, después resuélvelas para hallar el
valor de x.
Ej.5
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 2 x = 10 − 8 x
b) 2 x + 1 = 3
c)
x
=9
3
d) 3 x − 1 = 2 x
23
Ej.6
Ej.7
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
x+2
= −1
4
b)
2x − 3
+ 1 = 7x
2
c)
x x
+ −2= x
2 3
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 3x + 2(5 − 4 x ) = 6 x − 9 − (3x + 1)
b)
Ej.8
2x + 1 x 1
+ =
3
5 15
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
4 x − 8 3x − 3 x − 1
=
−
12
4
2
b) − 2 x +
x+3 − x+5
=
−6
8
10

c) 3 2 x +

2  9 − 3 x 5 x + 13
−
=
3
3
2
3.4
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES.
Ej.1
Se reparten 128 Euros entre 2 chicos y 5 chicas de manera que cada chica recibe las dos
terceras partes de lo que recibe un chico. ¿Cuánto recibe cada chico y cada chica?
Plantea la ecuación que verifica la siguiente frase: 'La edad del padre es 30 años mayor que la
del hijo y entre las dos suman 50'. Resuelve la ecuación.
Tres hermanos se reparten 1800 euros que les tocó en la lotería. El mayor recibe el doble que
el menor y éste dos tercios de la cantidad que recibe el mediano. ¿Cuánto recibe cada uno?
Marta, Isabel y Carmen se gastan en compras 1609 Euros. Marta se gasta 250 Euros más que
Carmen y ésta 300 Euros más que Isabel. ¿Cuánto se gasta cada una?
Entre Pablo y Mar cobran al mes 3600 euros. Si Pablo se gasta 100 euros entonces tendrá 500
euros más que Mar. ¿Cuánto cobra cada uno mensualmente?
Un solar tiene forma rectangular y su perímetro mide 102 m. Calcula el área del solar
sabiendo que un lado mide 23 m más que el otro.
Ej.2
Ej.3
Ej.4
Ej.5
Ej.6
24
Ej.7
2
4
del recorrido en bici, los
del resto en moto y
7
5
andando realiza 23 Km. Calcula los Km recorridos.
En una excursión, una persona hace
Ej.8
El perímetro de un rectángulo mide 27 cm. Explica los pasos a dar para calcular el área de
dicha figura sabiendo que la altura mide la mitad de la base.
Ej.9 Plantea la ecuación que da respuesta al siguiente enunciado: 'Un hijo tiene 30 años menos que
su padre y dentro de 5 años el padre tendrá el triple que el hijo'. Calcula la edad actual de
cada uno.
Ej.10 La suma de dos números es 577. Si se divide el mayor entre el menor se obtiene 24 de
cociente y 2 de resto. ¿Cuáles son esos números?
Ej.11 A un número se le suma el 25%. Al resultado obtenido se le disminuye un 10%. El número
obtenido es 5 unidades mayor que el número inicial. Calcula dicho número.
Ej.12 Halla un número de 2 cifras sabiendo que la suma de las mismas es 17 y que si se invierte el
orden de sus cifras el número disminuye 9 unidades.
4.
EJERCICIOS DE REFUERZO
4.1. Nivel dificultad I
Página
25
4.2. Nivel dificultad II
27
4.3. Nivel dificultad III
29
4.1
NIVEL DIFICULTAD I
1. Indica el número que falta en esta expresiones:
a) 24 + __ = 36
b) 15 – __ = 9
c) 12: ___ = 4
d) __ · 4 = 35
2. Calcula la siguiente expresión operando en el orden que tú ya sabes:
a) 2 · (6 – 4) · 3 =
b) 10 + ( 3 + 4) · 2 =
c) 9 – 2 · 3 + 12 =
3. Observa estas dos expresiones:
a) 9 – 4 = 5
b) 2 · 5 – 5 = 5
a) ¿Dan el mismo resultado las dos expresiones?
b) ¿Podemos poner entonces esta otra igualdad 9 – 4 = 2 · 5 – 5?
25
4. ¿Qué observas en estas otras igualdades?
16 + x = 25
x – 3 = 12
1+x=4
¿Cómo se llama a esta igualdad?
5. Indica cual de las siguientes igualdades son ecuaciones:
a) 3 · (2 + 3) =18
b) 2 · 3 + 2 · 5 – 6 = 10
c) 12 – x = 8
6. Encuentra mentalmente un número que al sustituir la letra se verifique la igualdad:
a) x + 2 = 6
b) a – 2 = 8
c) 5 + x = 7
d) 4 + x = 10 – 2
7. Subraya la igualdades que sean ecuaciones:
a) 2 + 3 = 8 – 3
b) a + 5 = 9
c) 2 · 3 = 8 – 2
d) x – 5 = 12
8. Halla el valor de las letras de las siguientes ecuaciones:
a) x – 5 = 4
b) 2 – x = – 4
c) x + 10 = 0
d) t – 3 = 1
9. Comprueba cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes:
a) x + 4 = 8
b) x + 4 = 5
c) x + 4 + 2 = 8 + 2
d) 3a + 6 = 12
e) a + 2 = 4
f) 12 – a = a
10. En una ecuación, ¿cómo se llama todo lo que hay antes del signo igual? ¿Y lo que hay después
del signo igual?
26
4.2.
NIVEL DIFICULTAD II
1. Los miembros de una ecuación, ¿de qué están formados?
2. Si sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un
mismo número, ¿qué le ocurre a la ecuación?
3. Vamos a resolver la siguiente ecuación. Para ello sigue los pasos que te indico:
2x + 8 = x + 25 + 8
1º Resta 8 a los dos miembros: ¿Qué te queda?
2º.- Resta x a los dos miembros: ¿Te queda esta solución: x = 25?
4. Haz lo mismo del ejercicio anterior con estos otros ejercicios:
a) 3x + 23 = 2x + 59
b) x + 12 = 17
c) 2x – 4 = x + 9
d) 5x – 10 = 4x – 12
5. Vamos a resolver la siguiente ecuación aplicando la regla del producto para eso vamos a seguir
los siguientes pasos:
4x + 3 = 2x + 9
1º.- Resta 3 a los dos miembros.
2º.- Resta 2x a los dos miembros.
3º.- Divide por 2 los dos miembros.
¿Te queda esta ecuación? x = 3
6. Haz lo mismo del ejercicio anterior con estos otros ejercicios:
a)
2x
= 10
3
b) 3 x − 4 = 24 − x
c)
27
5x
+ 2 = 20 + 2
2
7. Plantea ecuaciones correspondientes a las siguientes condiciones.
a) El doble de x es cuatro
b) El triple de x es 3
c) Si a x se le suma 2 se obtiene 4
d) Si a x le restamos 5 se obtiene 6
8. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5x + 2 = x + 10
b) 1 + 3x = 2x + 7
c) 2 + 7x = 4 – 3x
d) x – 18 = 2x – 3
e) – 5 – 2x = 3 – 8x – 2
9. Resuelve las siguientes ecuaciones quitando para ello el paréntesis antes:
a) 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4
b) 5(2 – x) + 3(x + 6) = 10 – 4(6 + 2x)
c) 3x + 8 – 5x – 5 = 2(x + 6) – 7x
d) 10(x – 2) = 1
10. Si x es un número expresa simbólicamente:
a) Su doble.
b) Su mitad mas su doble.
c) Su cuádruplo.
d) El siguiente a x.
e) El número anterior a x.
f) Los dos números que le siguen a x.
g) El doble del siguiente de x.
28
4.3
NIVEL DIFICULTAD III
1. Resuelve estas otras ecuaciones:
a) 2(x – 5) –10 = x – 5
b) 3(x – 6) – 10 = 2(x – 5) – 4
c) 5(x – 2) – 6 (x – 1) = 3(2x – 4)
2. Resuelve estas ecuaciones con denominadores:
a)
2x
x
+ 4 = +1
4
2
b)
x
− 5 = −3
4
3. El doble de la edad de Lucía más 25 años es igual a la edad de su abuelo que es de 51 años. ¿Qué
edad tiene Lucía?
4. Los tres lados del triángulo vienen expresados en metros. Si su perímetro es 27 metros, halla la
longitud de cada lado.
5. Javier tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces los años de Javier. Averigua la edad
de cada uno.
6. En una caja hay doble número de caramelos de menta que de limón y triple número de caramelos
de naranja que de menta y limón juntos. En total hay 312 caramelos. Hallar cuántos caramelos
hay de cada sabor.
7. La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble que el primero; el
tercero es el doble del segundo, y el cuarto es el doble del tercero. Halla el valor de los cuatro
números.
29
8. En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de
niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en
la fiesta sabiendo que en total son 156 las personas que hay en ella.
9. El doble de un número menos cinco es nueve. ¿De qué número se trata?
10. La suma de dos números consecutivos es 55. ¿De qué números se trata?
30