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MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN
PROSPECCIÓN ELÉCTRICA
POR CORRIENTE CONTINUA
PROSPECCIÓN ELÉCTRICA POR CORRIENTE CONTINUA
CAMPO ELÉCTRICO EN UN MEDIO CONTINUO
En Prospección Geoeléctrica se trabaja con campos que actúan en medios continuos
tridimensionales. Para simplificar matemáticamente los problemas que se dan en la realidad,
se suponen a los medios compuestos por zonas isótropas y homogéneas separadas por
superficies planas.
En primera instancia se planteará el problema para el caso más simple de un subsuelo
constituido por un semiespacio de resistividad ρ por el que se hace circular una corriente
eléctrica (continua) entre dos electrodos de corriente A y B (fig. 20), designando a la corriente
que penetra en el terreno por A como IA y a la que sale del terreno por B como IB.
Como el régimen es estacionario:
A
IA
A
ρ=∞
IA + IB = 0
IB
B
ρ
y el campo eléctrico E generado será conservativo y
por consiguiente, irrotacional:
∇×E = 0
por lo que existirá un potencial escalar U tal que:
E = −∇U
(27)
Fig. 20: Medio homogéneo e isótropo
Además, deben cumplirse tanto la Ley de Ohm ( J = σE ) como la ecuación de
continuidad para la corriente (salvo en los puntos ocupados por los electrodos):
∇⋅J = 0
Reemplazando en esta última las dos ecuaciones anteriores:
∇ ⋅ (σE ) = σ∇ ⋅ E + ∇σ ⋅ E = −σ∇ ⋅ ∇U = 0
de modo que:
∇2U = 0
(28)
Ecuación que muestra que el potencial U debe cumplir con la ecuación de Laplace en
todo el semiespacio conductor, salvo en los puntos de energización (donde están los
electrodos). Y si el medio está constituido por zonas homogéneas e isótropas de diferente
resistividad, tampoco en las superficies de discontinuidad
Resolver la ecuación (28) conduce a obtener la distribución del potencial en superficie,
Aunque el problema se estudiará sólo para modelos muy simplificados respecto de los que
puedan encontrase en la realidad.
En el caso del medio único de resistividad ρ, conviene considerar un entorno del
electrodo A suficientemente pequeño o imaginar que B está infinitamente alejado, en tales
condiciones las líneas de corriente en las proximidades de A, serán radiales y divergentes y las
superficies equipotenciales serán semiesféricas.
Por simetría, la densidad de corriente J tendrá el mismo valor en cualquier punto de
una semiesfera de radio r con centro en A, por donde se introduce en el terreno una corriente I
(fig. 21).
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MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN
B ⇒ ∞
PROSPECCIÓN ELÉCTRICA
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De modo que:
I
2 πr 2 J = I
I
r
J = σE =
2 πr 2
I
Iρ
E =
=
(29)
J
2
2 πr 2
σ 2 πr
J
J
Es decir, a una distancia r del electrodo puntual
ρ
por donde ingresa en el terreno la corriente I, el campo
eléctrico es inversamente proporcional al cuadrado de
Fig. 21: Electrodo puntual
la distancia r.
A partir de la Ec. (29) se puede calcular la diferencia de potencial entre dos puntos M y
N del medio conductor (fig. 22) ubicados a distancias r1 y r2 , respectivamente, de A.
A
B ⇒ ∞
M
UM
N = − ∫ E.dl
I
N
A
r2
M N
y remplazando en esta el valor de E dado por la ec. 29:
r1
UM
N =
ρ
Iρ r2 dr Iρ  1 1 
∫ =  − 
2π r1 r 2 2π  r1 r2 
(30)
que si N se traslada a una distancia infinitamente
grande:
Fig. 22: Superficies equipotenciales
UM =
Iρ 1 e
=
2π r1 r1
(31)
Expresión del potencial absoluto en M y donde e se conoce como emisividad. En
general, si hay más de una fuente:
U=
ρ Ii
∑
2π ri
(32)
La Ec. (32) es solución de la ecuación de Laplace considerando un medio
homogéneo e isótropo de resistividad ρ.
CONDICIONES DE CONTORNO
El siguiente paso es considerar un subsuelo compuesto por varias zonas, igualmente
homogéneas e isótropas, pero de distinta resistividad. En cuyo caso, para resolver la ecuación
de Laplace, habrá que encontrar primero las ecuaciones de borde o condiciones de contorno.
En primer lugar: si M y N son puntos situados en
diferentes medios (fig. 23), al tender MN a cero, UMN
también lo hace ya que:

M

M
lim U N = lim  − ∫ E.dl  = 0
MN⇒ 0
MN⇒ 0

N

(33)
Puesto que E está acotado. Esta ecuación implica que al
pasar de un medio a otro el potencial mantiene su
continuidad.
ρ
1
ρ
2
M
N
Fig. 23: Continuidad del potencial
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Por otra parte, ¿qué pasa con las líneas de corriente y las equipotenciales? Para
averiguarlo conviene comenzar por ver que es lo que ocurre con las componentes
transversales y longitudinales de la densidad de corriente y del campo en tales circunstancias:
1. Si se considera un cilindro corto con bases paralelas a la superficie de separación entre los
dos medios y ubicadas una en cada medio (fig. 24) al tender su altura a cero y siendo nulo
el flujo de corriente a través de él resultará:
ρ
J ⊥1
J1⊥ = J 2⊥
1
ρ
∴ σ1E1⊥ = σ 2 E 2⊥
2
J ⊥2
Las componentes normales de la densidad de
corriente son continuas, no así las componentes
Fig. 24: Continuidad de J⊥ en el límite entre normales del campo eléctrico
dos capas.
2. Por otra parte, tomando un rectángulo de pequeña altura y bases paralelas a la superficie de
separación y ubicadas a un lado y otro de ella (fig 25), de acuerdo con el teorema de Stokes
tendremos:
∫ E.dl = ∫∫ ∇ × Eds = 0
EII1
ρ
∴ E1II = E 2II
1
ρ
2
J1II J 2II
=
σ1 σ 2
E
2
II
Las componentes tangenciales del campo eléctrico
son continuas, no así las componentes tangenciales
Fig. 25: Continuidad deEII en el límite entre
de la densidad de corriente.
dos capas.
Atendiendo a estas condiciones ocurrirá lo de la fig. 26, donde se observa que tanto las
líneas de corriente, como las equipotenciales, sufren refracción al pasar de un medio a otro:
J
J ⊥1
1
II
ρ
ϕ1
1
∴ ρ1 tg ϕ1 = ρ 2 tg ϕ 2
ϕ2
ρ
2
tg ϕ 1 J II1 J ⊥2 J 1II σ 1 ρ 2
=
= 2 =
=
tg ϕ 2 J ⊥1 J II2
J II σ 2 ρ1
J ⊥2
J II2
(34)
Para las líneas de corriente.
ρ1c tg ϕ1 = ρ 2 c tg ϕ 2
(35)
Para las equipotenciales
Fig. 26: Refracción de las líneas de corriente
Si el primer medio (el de resistividad ρ1) es la primera capa del terreno, entonces, en
0
1
su techo será: J ⊥ = J ⊥ = 0 , lo que implica que en la superficie del terreno las únicas
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componentes, tanto de la densidad de corriente como del campo eléctrico, son las paralelas a
ella y en consecuencia las superficies equipotenciales son perpendiculares a dicha superficie.
DISPOSITIVOS O CONFIGURACIONES ELECTRÓDICAS
Se denominan así a las agrupaciones de electrodos, en general cuatro, que se designan:
A y B a los de corriente y M y N a los de potencial, que se emplean para las mediciones de la
resistividad. En principio pueden adoptar cualquier conformación (fig. 27), mediante la que es
posible calcular ρ mediante una fórmula del tipo
∆V
ρ=K
I
(36)
donde K (en metros) es la constante
geométrica del dispositivo
B
M
A
N
Fig. 27: Dispositivo tetraelectródico
En el caso más general y teniendo en cuenta la Ec. 30 se tendrá que:
∆V =
ρI  1
1
1
1 
−
−
+


2π  AM BM AN BN 
(37)
y por tanto:
1
1
1 
 1
ρ = 2 π
−
−
+

 AM BM AN BN 
−1
∆V
I
(38)
PRINCIPIO DE RECIPROCIDAD
Si en el circuito anterior se truecan los electrodos de corriente por los de potencial (fig
28), se obtiene para la resistividad aparente la misma ecuación anterior.
N
A
M
B
No obstante, este dispositivo
teóricamente útil, puede no ser factible de
llevar a la práctica si la distancia que separa
a los electrodos M y N es grande. Lo que
ocurriría si se aplicara este principio a los
dispositivos usuales.
Fig. 28: Tetrapolo equivalente
RESISTIVIDAD APARENTE
Tratándose de un medio homogéneo e isótropo, la Ec (38) permite calcular ρ en
función de variables que pueden ser medidas. No obstante, por lo general, el medio sobre el
que se trabaja no es homogéneo ni es isótropo, por lo que a la resistividad calculada en estos
casos se conviene en denominarla resistividad aparente ( ρa ):
1
1
1 
 1
ρ a = 2π
−
−
+

 AM BM AN BN 
−1
∆V
I
(39)
La resistividad aparente es una variable experimental que expresa los resultados de las
mediciones en la mayoría de los métodos eléctricos.
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DISPOSITIVOS ELECTRÓDICOS LINEALES
En la práctica habitual, los electrodos AMNB se acomodan de modo que los
dispositivos de medición sean fáciles de manejar. Entre éstos, los más usados son los
dispositivos electródicos lineales, en los que los cuatro electrodos se encuentran sobre una
misma recta, si además se disponen simétricamente respecto del centro O del dispositivo se
tendrá un dispositivo lineal y simétrico como el de la fig. 29. En cuyo caso resulta que:
∆V = U M
N =
ρI  1
1  ρI
a
 −
=
π  r r + a  π r(r + a )
(40)
y a partir de ella y considerando que obtendremos una resistividad aparente tendremos:
A
M
N
B
ρa = π
O
r(r + a) ∆V
a
I
(41)
a
r
Fig. 29: Dispositivo lineal y simétrico
Si las distancias entre electrodos contiguos son iguales (Fig. 30), de modo tal que
AM = MN = NB = a se tiene el llamado dispositivo de Wenner
A
M
N
B
ρ a = 2 πa
O
a
a
∆V
I
(42)
a
Fig. 30: Dispositivo de Wenner
Por otra parte, si L = AO = OB y a → 0 (Fig. 31) se tiene el dispositivo de
Schlumberger. Dispositivo límite, irrealizable en la práctica pero con grandes ventajas
teóricas
A
M
N
B

a 2  ∆V
ρa = π L2 − 
4  Ia

O
L
(43)
a
Fig. 31: Dispositivo de Schlumberger

a 2  ∆V
L2
∆V
E
ρ a = lim π L2 − 
= π lim
= πL2
4  aI
I a ⇒0 a
I
a ⇒0 
(44)
Si bien en teoría se supone que lo que realmente se mide es E, en la práctica se usa la
Ec. (43) o la siguiente:
ρ a = πL2
∆V
aI
(45)
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Con un valor de a suficientemente pequeño como para que la Ec. (45) sea válida, por
lo que en las mediciones de campo se impone que MN ≤ AB/5.
Al utilizar tales expresiones se comete un error que proviene de despreciar a2/4. en
cuyo caso el error relativo será:
a2 

L2 −  L2 − 
2
4  a 

η≤
=   = 4%
L2
 2L 
(46)
DISPOSITIVOS TRIELECTRÓDICOS
Cuando el electrodo B se lleva a gran distancia (B en infinito) de modo que no influya
sobre el valor de ∆V observado, se tiene un dispositivo trielectródico cuya constante
geométrica K es doble a la del dispositivo base
A
M
B ⇒ ∞
N
ρ a = 2πL2
medio
Schlumberger
∆V
Ia
(47)
Fig. 32 DispositivoMedio Schlumberger
DISPOSITIVOS DIPOLARES
En estos dispositivos AB y MN son pequeños en comparación con la distancia que los
separan, en consecuencia pueden ser considerados como dos dipolos cuya posición mutua
puede ser cualquiera. En la práctica se emplean las siguientes configuraciones:
M
N
N
M
p a r a le lo
A
x
N
N
a z im u ta l
ϕ B
x
M
M
A
x
ϕ
x
B
p e r p e n d ic u la r
A
x
ϕ B
x
ϕ
x
A
x
B
r a d ia l
Fig. 33: Dispositivos dipolares básicos
Las ecuaciones para el cálculo de la resistividad aparente con cada uno de estos
dispositivos, se obtendrán en el capítulo correspondiente.
Dos casos particulares, combinaciones de los anteriores, denominados ecuatorial y
axil, son los más empleados en la práctica.
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N
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M
A
x
B
x
M
N
axil
x
A
x
B
ecuatorial
Fig. 34: Dispositivo dipolares especiales
DISPOSITIVOS COMPUESTOS
Derivan de los dispositivos ordinarios por la adición de algún electrodo y se utilizan
generalmente en calicatas eléctricas. Si tienen más de un electrodo de potencial se conocen
como dispositivos de agrupación y si el o los electrodos adicionales son electrodos de
corriente dispositivos apantallados.
Dispositivos de Agrupación
A
M P N
B
Para un dispositivo como el de la
fig. 35, y siendo el medio homogéneo:
(∆V )
M
= (∆V )N
P
(48)
que no se cumplirá en presencia se
heterogeneidades del subsuelo.
P
medio homogéneo
Fig. 35: Dispositivo de agrupación
Cuando el dispositivo base es el de Wenner, el dispositivo anterior es conocido como
dispositivo de Lee (Orellana y Mooney, 1966)
A
M P N
B ⇒∞
Cuando el dispositivo base es
trielectródico, P no debe colocarse en el
centro de MN puesto que debe cumplirse
que:
MP AM
=
PN AN
Fig. 36: Dispositivo de agrupación trielectródico
La idea básica para el uso de estos dispositivos es la de comprobar la homogeneidad
lateral del terreno o detectar sus heterogeneidades.
Dispositivos Apantallados
Una modalidad de este tipo se tiene
Q
cuando A y B se conectan al mismo polo
del generador y el otro polo a un electrodo
Q de infinito, a tal dispositivo suele
denominarse como homopolar o unipolar.
Cuando el medio es homogéneo deberá ser:
(∆V )
M
N
=0
M
N
A
B
medio homogéneo
Fig. 37: Dispositivo homopolar
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Una variante de este dispositivo es aquel en el que por el electrodo adicional Q circula
una fracción nI de la corriente total
-I
+ nI
A
M
N
Q
+ (1-n)I
B
medio homogéneo
Fig. 38 Dispositivo apantallado
∆V = −
Iρ  1
1− n
n
1
1− n
n 
−
−
−
+
+


2π  AM BM QM AN BN QN 
(49)
Hay un valor de n que anula a ∆V, se tiene entonces un dispositivo de cero.
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