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MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN PROSPECCIÓN ELÉCTRICA POR CORRIENTE CONTINUA PROSPECCIÓN ELÉCTRICA POR CORRIENTE CONTINUA CAMPO ELÉCTRICO EN UN MEDIO CONTINUO En Prospección Geoeléctrica se trabaja con campos que actúan en medios continuos tridimensionales. Para simplificar matemáticamente los problemas que se dan en la realidad, se suponen a los medios compuestos por zonas isótropas y homogéneas separadas por superficies planas. En primera instancia se planteará el problema para el caso más simple de un subsuelo constituido por un semiespacio de resistividad ρ por el que se hace circular una corriente eléctrica (continua) entre dos electrodos de corriente A y B (fig. 20), designando a la corriente que penetra en el terreno por A como IA y a la que sale del terreno por B como IB. Como el régimen es estacionario: A IA A ρ=∞ IA + IB = 0 IB B ρ y el campo eléctrico E generado será conservativo y por consiguiente, irrotacional: ∇×E = 0 por lo que existirá un potencial escalar U tal que: E = −∇U (27) Fig. 20: Medio homogéneo e isótropo Además, deben cumplirse tanto la Ley de Ohm ( J = σE ) como la ecuación de continuidad para la corriente (salvo en los puntos ocupados por los electrodos): ∇⋅J = 0 Reemplazando en esta última las dos ecuaciones anteriores: ∇ ⋅ (σE ) = σ∇ ⋅ E + ∇σ ⋅ E = −σ∇ ⋅ ∇U = 0 de modo que: ∇2U = 0 (28) Ecuación que muestra que el potencial U debe cumplir con la ecuación de Laplace en todo el semiespacio conductor, salvo en los puntos de energización (donde están los electrodos). Y si el medio está constituido por zonas homogéneas e isótropas de diferente resistividad, tampoco en las superficies de discontinuidad Resolver la ecuación (28) conduce a obtener la distribución del potencial en superficie, Aunque el problema se estudiará sólo para modelos muy simplificados respecto de los que puedan encontrase en la realidad. En el caso del medio único de resistividad ρ, conviene considerar un entorno del electrodo A suficientemente pequeño o imaginar que B está infinitamente alejado, en tales condiciones las líneas de corriente en las proximidades de A, serán radiales y divergentes y las superficies equipotenciales serán semiesféricas. Por simetría, la densidad de corriente J tendrá el mismo valor en cualquier punto de una semiesfera de radio r con centro en A, por donde se introduce en el terreno una corriente I (fig. 21). 23 MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN B ⇒ ∞ PROSPECCIÓN ELÉCTRICA POR CORRIENTE CONTINUA De modo que: I 2 πr 2 J = I I r J = σE = 2 πr 2 I Iρ E = = (29) J 2 2 πr 2 σ 2 πr J J Es decir, a una distancia r del electrodo puntual ρ por donde ingresa en el terreno la corriente I, el campo eléctrico es inversamente proporcional al cuadrado de Fig. 21: Electrodo puntual la distancia r. A partir de la Ec. (29) se puede calcular la diferencia de potencial entre dos puntos M y N del medio conductor (fig. 22) ubicados a distancias r1 y r2 , respectivamente, de A. A B ⇒ ∞ M UM N = − ∫ E.dl I N A r2 M N y remplazando en esta el valor de E dado por la ec. 29: r1 UM N = ρ Iρ r2 dr Iρ 1 1 ∫ = − 2π r1 r 2 2π r1 r2 (30) que si N se traslada a una distancia infinitamente grande: Fig. 22: Superficies equipotenciales UM = Iρ 1 e = 2π r1 r1 (31) Expresión del potencial absoluto en M y donde e se conoce como emisividad. En general, si hay más de una fuente: U= ρ Ii ∑ 2π ri (32) La Ec. (32) es solución de la ecuación de Laplace considerando un medio homogéneo e isótropo de resistividad ρ. CONDICIONES DE CONTORNO El siguiente paso es considerar un subsuelo compuesto por varias zonas, igualmente homogéneas e isótropas, pero de distinta resistividad. En cuyo caso, para resolver la ecuación de Laplace, habrá que encontrar primero las ecuaciones de borde o condiciones de contorno. En primer lugar: si M y N son puntos situados en diferentes medios (fig. 23), al tender MN a cero, UMN también lo hace ya que: M M lim U N = lim − ∫ E.dl = 0 MN⇒ 0 MN⇒ 0 N (33) Puesto que E está acotado. Esta ecuación implica que al pasar de un medio a otro el potencial mantiene su continuidad. ρ 1 ρ 2 M N Fig. 23: Continuidad del potencial 24 MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN PROSPECCIÓN ELÉCTRICA POR CORRIENTE CONTINUA Por otra parte, ¿qué pasa con las líneas de corriente y las equipotenciales? Para averiguarlo conviene comenzar por ver que es lo que ocurre con las componentes transversales y longitudinales de la densidad de corriente y del campo en tales circunstancias: 1. Si se considera un cilindro corto con bases paralelas a la superficie de separación entre los dos medios y ubicadas una en cada medio (fig. 24) al tender su altura a cero y siendo nulo el flujo de corriente a través de él resultará: ρ J ⊥1 J1⊥ = J 2⊥ 1 ρ ∴ σ1E1⊥ = σ 2 E 2⊥ 2 J ⊥2 Las componentes normales de la densidad de corriente son continuas, no así las componentes Fig. 24: Continuidad de J⊥ en el límite entre normales del campo eléctrico dos capas. 2. Por otra parte, tomando un rectángulo de pequeña altura y bases paralelas a la superficie de separación y ubicadas a un lado y otro de ella (fig 25), de acuerdo con el teorema de Stokes tendremos: ∫ E.dl = ∫∫ ∇ × Eds = 0 EII1 ρ ∴ E1II = E 2II 1 ρ 2 J1II J 2II = σ1 σ 2 E 2 II Las componentes tangenciales del campo eléctrico son continuas, no así las componentes tangenciales Fig. 25: Continuidad deEII en el límite entre de la densidad de corriente. dos capas. Atendiendo a estas condiciones ocurrirá lo de la fig. 26, donde se observa que tanto las líneas de corriente, como las equipotenciales, sufren refracción al pasar de un medio a otro: J J ⊥1 1 II ρ ϕ1 1 ∴ ρ1 tg ϕ1 = ρ 2 tg ϕ 2 ϕ2 ρ 2 tg ϕ 1 J II1 J ⊥2 J 1II σ 1 ρ 2 = = 2 = = tg ϕ 2 J ⊥1 J II2 J II σ 2 ρ1 J ⊥2 J II2 (34) Para las líneas de corriente. ρ1c tg ϕ1 = ρ 2 c tg ϕ 2 (35) Para las equipotenciales Fig. 26: Refracción de las líneas de corriente Si el primer medio (el de resistividad ρ1) es la primera capa del terreno, entonces, en 0 1 su techo será: J ⊥ = J ⊥ = 0 , lo que implica que en la superficie del terreno las únicas 25 MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN PROSPECCIÓN ELÉCTRICA POR CORRIENTE CONTINUA componentes, tanto de la densidad de corriente como del campo eléctrico, son las paralelas a ella y en consecuencia las superficies equipotenciales son perpendiculares a dicha superficie. DISPOSITIVOS O CONFIGURACIONES ELECTRÓDICAS Se denominan así a las agrupaciones de electrodos, en general cuatro, que se designan: A y B a los de corriente y M y N a los de potencial, que se emplean para las mediciones de la resistividad. En principio pueden adoptar cualquier conformación (fig. 27), mediante la que es posible calcular ρ mediante una fórmula del tipo ∆V ρ=K I (36) donde K (en metros) es la constante geométrica del dispositivo B M A N Fig. 27: Dispositivo tetraelectródico En el caso más general y teniendo en cuenta la Ec. 30 se tendrá que: ∆V = ρI 1 1 1 1 − − + 2π AM BM AN BN (37) y por tanto: 1 1 1 1 ρ = 2 π − − + AM BM AN BN −1 ∆V I (38) PRINCIPIO DE RECIPROCIDAD Si en el circuito anterior se truecan los electrodos de corriente por los de potencial (fig 28), se obtiene para la resistividad aparente la misma ecuación anterior. N A M B No obstante, este dispositivo teóricamente útil, puede no ser factible de llevar a la práctica si la distancia que separa a los electrodos M y N es grande. Lo que ocurriría si se aplicara este principio a los dispositivos usuales. Fig. 28: Tetrapolo equivalente RESISTIVIDAD APARENTE Tratándose de un medio homogéneo e isótropo, la Ec (38) permite calcular ρ en función de variables que pueden ser medidas. No obstante, por lo general, el medio sobre el que se trabaja no es homogéneo ni es isótropo, por lo que a la resistividad calculada en estos casos se conviene en denominarla resistividad aparente ( ρa ): 1 1 1 1 ρ a = 2π − − + AM BM AN BN −1 ∆V I (39) La resistividad aparente es una variable experimental que expresa los resultados de las mediciones en la mayoría de los métodos eléctricos. 26 MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN PROSPECCIÓN ELÉCTRICA POR CORRIENTE CONTINUA DISPOSITIVOS ELECTRÓDICOS LINEALES En la práctica habitual, los electrodos AMNB se acomodan de modo que los dispositivos de medición sean fáciles de manejar. Entre éstos, los más usados son los dispositivos electródicos lineales, en los que los cuatro electrodos se encuentran sobre una misma recta, si además se disponen simétricamente respecto del centro O del dispositivo se tendrá un dispositivo lineal y simétrico como el de la fig. 29. En cuyo caso resulta que: ∆V = U M N = ρI 1 1 ρI a − = π r r + a π r(r + a ) (40) y a partir de ella y considerando que obtendremos una resistividad aparente tendremos: A M N B ρa = π O r(r + a) ∆V a I (41) a r Fig. 29: Dispositivo lineal y simétrico Si las distancias entre electrodos contiguos son iguales (Fig. 30), de modo tal que AM = MN = NB = a se tiene el llamado dispositivo de Wenner A M N B ρ a = 2 πa O a a ∆V I (42) a Fig. 30: Dispositivo de Wenner Por otra parte, si L = AO = OB y a → 0 (Fig. 31) se tiene el dispositivo de Schlumberger. Dispositivo límite, irrealizable en la práctica pero con grandes ventajas teóricas A M N B a 2 ∆V ρa = π L2 − 4 Ia O L (43) a Fig. 31: Dispositivo de Schlumberger a 2 ∆V L2 ∆V E ρ a = lim π L2 − = π lim = πL2 4 aI I a ⇒0 a I a ⇒0 (44) Si bien en teoría se supone que lo que realmente se mide es E, en la práctica se usa la Ec. (43) o la siguiente: ρ a = πL2 ∆V aI (45) 27 MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN PROSPECCIÓN ELÉCTRICA POR CORRIENTE CONTINUA Con un valor de a suficientemente pequeño como para que la Ec. (45) sea válida, por lo que en las mediciones de campo se impone que MN ≤ AB/5. Al utilizar tales expresiones se comete un error que proviene de despreciar a2/4. en cuyo caso el error relativo será: a2 L2 − L2 − 2 4 a η≤ = = 4% L2 2L (46) DISPOSITIVOS TRIELECTRÓDICOS Cuando el electrodo B se lleva a gran distancia (B en infinito) de modo que no influya sobre el valor de ∆V observado, se tiene un dispositivo trielectródico cuya constante geométrica K es doble a la del dispositivo base A M B ⇒ ∞ N ρ a = 2πL2 medio Schlumberger ∆V Ia (47) Fig. 32 DispositivoMedio Schlumberger DISPOSITIVOS DIPOLARES En estos dispositivos AB y MN son pequeños en comparación con la distancia que los separan, en consecuencia pueden ser considerados como dos dipolos cuya posición mutua puede ser cualquiera. En la práctica se emplean las siguientes configuraciones: M N N M p a r a le lo A x N N a z im u ta l ϕ B x M M A x ϕ x B p e r p e n d ic u la r A x ϕ B x ϕ x A x B r a d ia l Fig. 33: Dispositivos dipolares básicos Las ecuaciones para el cálculo de la resistividad aparente con cada uno de estos dispositivos, se obtendrán en el capítulo correspondiente. Dos casos particulares, combinaciones de los anteriores, denominados ecuatorial y axil, son los más empleados en la práctica. 28 MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN N PROSPECCIÓN ELÉCTRICA POR CORRIENTE CONTINUA M A x B x M N axil x A x B ecuatorial Fig. 34: Dispositivo dipolares especiales DISPOSITIVOS COMPUESTOS Derivan de los dispositivos ordinarios por la adición de algún electrodo y se utilizan generalmente en calicatas eléctricas. Si tienen más de un electrodo de potencial se conocen como dispositivos de agrupación y si el o los electrodos adicionales son electrodos de corriente dispositivos apantallados. Dispositivos de Agrupación A M P N B Para un dispositivo como el de la fig. 35, y siendo el medio homogéneo: (∆V ) M = (∆V )N P (48) que no se cumplirá en presencia se heterogeneidades del subsuelo. P medio homogéneo Fig. 35: Dispositivo de agrupación Cuando el dispositivo base es el de Wenner, el dispositivo anterior es conocido como dispositivo de Lee (Orellana y Mooney, 1966) A M P N B ⇒∞ Cuando el dispositivo base es trielectródico, P no debe colocarse en el centro de MN puesto que debe cumplirse que: MP AM = PN AN Fig. 36: Dispositivo de agrupación trielectródico La idea básica para el uso de estos dispositivos es la de comprobar la homogeneidad lateral del terreno o detectar sus heterogeneidades. Dispositivos Apantallados Una modalidad de este tipo se tiene Q cuando A y B se conectan al mismo polo del generador y el otro polo a un electrodo Q de infinito, a tal dispositivo suele denominarse como homopolar o unipolar. Cuando el medio es homogéneo deberá ser: (∆V ) M N =0 M N A B medio homogéneo Fig. 37: Dispositivo homopolar 29 MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN PROSPECCIÓN ELÉCTRICA POR CORRIENTE CONTINUA Una variante de este dispositivo es aquel en el que por el electrodo adicional Q circula una fracción nI de la corriente total -I + nI A M N Q + (1-n)I B medio homogéneo Fig. 38 Dispositivo apantallado ∆V = − Iρ 1 1− n n 1 1− n n − − − + + 2π AM BM QM AN BN QN (49) Hay un valor de n que anula a ∆V, se tiene entonces un dispositivo de cero. 30