Download Trigonometría del triángulo rectángulo

LECCIÓN
Trigonometría del triángulo
rectángulo
CONDENSADA
12.1
En esta lección
●
●
●
aprenderás sobre razones trigonométricas asociadas a un triángulo rectángulo
usarás razones trigonométricas para hallar las longitudes laterales
desconocidas de un triángulo rectángulo
usarás inversos trigonométricos para hallar medidas de ángulos
desconocidas en un triángulo rectángulo
Supón que elevas una cometa. Hay un viento fuerte, por lo tanto la cuerda está
tensa. Has marcado la cuerda, por lo tanto sabes cuánta cuerda has soltado y puedes
medir el ángulo que forma la cuerda con la horizontal. Puedes usar una razón
trigonométrica para hallar la altura de la cometa. En esta lección aprenderás cómo.
La trigonometría relaciona las medidas angulares de los triángulos rectángulos
con las longitudes de sus lados. Primero, recuerda que los triángulos que tienen
las mismas medidas angulares son semejantes, y por lo tanto las razones de sus
lados correspondientes son iguales. Los triángulos rectángulos tienen nombres
especiales para las razones.
Para cualquier ángulo agudo A de un triángulo rectángulo,
el seno (sin) de ⬔A es la razón entre la longitud del cateto
opuesto a ⬔A y la longitud de la hipotenusa.
cateto opuesto
a
sin A c
hipotenusa
El coseno (cos) de ⬔A es la razón entre la longitud del
cateto adyacente a ⬔A y la longitud de la hipotenusa.
cateto adyacente
b
cos A hipotenusa c
Hipotenusa
B
c
a
A
Este cateto es
opuesto a A.
b
Este cateto es
adyacente a A.
C
La tangente (tan) de ⬔A es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la
longitud del cateto adyacente.
cateto opuesto
a
tan A cateto adyacente b
Lee el Ejemplo A en tu libro y después lee el siguiente ejemplo.
EJEMPLO
Halla la longitud desconocida, c.
B
14
c
25
C
䊳
Solución
A
Conoces la longitud del lado opuesto al ángulo de 25° y deseas hallar la longitud
de la hipotenusa. Por consiguiente, puedes usar la razón seno.
14
sin 25° c
14 33.13
c
sin 25°
(continúa)
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CHAPTER 12
177
Lección 12.1 • Trigonometría del triángulo rectángulo (continuación)
El inverso de una función trigonométrica da la medida del ángulo que tiene una
razón dada. Por ejemplo, sin 30° _12 , por lo tanto sin1 _12 30°. El Ejemplo B
en tu libro usa el inverso de la función tangente. Lee el ejemplo atentamente.
Investigación: Escalones empinados
Lee el párrafo de apertura de la investigación en tu libro. Completa los Pasos 1–4
de la investigación y después compara tus resultados con los siguientes.
Primero dibuja un escalón con la máxima distancia vertical y la mínima
distancia horizontal.
Paso 1
Sea x el ángulo de inclinación. Dado que tanto el piso como la distancia
horizontal son horizontales (y, de este modo, paralelos), el ángulo
entre la distancia horizontal y la hipotenusa también es x. Conoces la
longitud de los lados opuestos y adyacentes, por lo tanto usa la
tangente para resolver para x.
7.75
tan x ____
10
7.75 37.8°
x tan1 ____
10
El ángulo de inclinación es de aproximadamente 38°.
10 in.
x
7.75 in.
x
Dos tramos de escalera que siguen tanto el código como la regla general son una
serie con una unidad de distancia horizontal de 11 in y una unidad de distancia vertical de
6.5 in, y un tramo de una unidad de distancia vertical de 11.5 in y una unidad de distancia
vertical de 6 in. Los ángulos de inclinación respectivos para estos tramos de escalera se
6.5
6
1 ___
obtienen por tan1 __
11 30.6° y tan 11.5 27.6°.
Paso 2
Un ejemplo de un tramo de escalera que sigue la regla común pero no el código es un tramo
con una unidad de distancia vertical de 8.75 in y una unidad de distancia vertical de 8.75 in.
8.75
El ángulo de inclinación para este tramo se obtiene por tan1 ___
8.75 45.0°.
Consulta la foto y el diagrama de la página 682 en tu libro.
a. Existe una infinidad de diseños posibles, pero no todos los diseños siguen
los códigos dados en el Paso 1. Por ejemplo, una escalera con una unidad
de distancia vertical de aproximadamente 15.6 in y una unidad de distancia
vertical de 41 in se ajustaría al ángulo de inclinación de 20.8° pero no seguiría
el código, porque la distancia vertical es muy alta.
Paso 3
b. Para hallar la solución, sea r la unidad de distancia horizontal. Entonces la unidad de
distancia vertical será representada por 17.5 r. Para hallar r, usa la razón tangente.
r
________
tan 20.8° 17.5
r
r
________
0.3799 17.5
r
0.3799r 17.5 r
1.3799r 17.5
17.5
r ______
1.3799
r 12.68 in
Por lo tanto la distancia horizontal es 12.68 in y la distancia vertical es
17.5 – 12.68 4.82 in.
Paso 4 Usa la función tangente y que sea x el ángulo de inclinación. Usando
1
1
1
1
__
1 __
1 __
tan x __
16 , x tan 16 3.58° y usando tan x 20 , x tan 20 2.86°.
Por lo tanto el ángulo debe estar entre 2.86° y 3.58°.
178
CHAPTER 12
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LECCIÓN
CONDENSADA
12.2
La Ley de los senos
En esta lección
●
descubrirás y aplicarás la Ley de los senos, que describe una relación entre
los lados y los ángulos de un triángulo oblicuángulo
Has investigado las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos
rectángulos. Ahora investigarás las relaciones entre los lados y los ángulos de
los triángulos no rectángulos, o triángulos oblicuángulos (oblique).
Investigación: Triángulos oblicuángulos
A
Dibuja un triángulo acutángulo ABC. Rotula el lado opuesto a
⬔A como a, el lado opuesto a ⬔B como b, y el lado
opuesto a ⬔C
___
como c. Después, dibuja la altitud que va de ⬔A a BC . Rotula la altitud
como h. A la derecha está el ejemplo.
Paso 1
c
b
h
Del diagrama, puedes escribir las siguientes ecuaciones:
B
h
sin B c ó h c sin B
h
sin C b ó h b sin C
Como ambos c sin B y b sin C son iguales a h, también son iguales entre sí. Es decir,
Paso 2
C
a
c sin B b sin C
Al dividir ambos lados de la ecuación anterior entre bc, se obtiene:
sin B
sin C
b
c
___
Paso 3 Ahora, dibuja la altitud que va desde ⬔B a AC y rotúlala como j. Usando
un método parecido al del Paso 2, debes hallar que:
sin A
sin C
a
c
(¡Asegúrate de que puedes derivar esta ecuación por tu cuenta!)
Puedes combinar las proporciones de los Pasos 2 y 3 para escribir
una proporción extendida:
Pasos 4 y 5
sin A
sin B
sin C
a
b
c
El triángulo que dibujaste en el Paso 1 es acutángulo. ¿Crees que la misma
proporción será válida para los triángulos obtusángulos?
Dibuja un triángulo obtusángulo ABC y mide cada ángulo y
lado. Éste es un ejemplo.
Paso 6
sin A sin B
, ,
a
b
sin C
c
y
para tu triángulo. Para el triángulo a la derecha:
Halla
sin A sin 31°
sin B sin 23°
sin C
sin 126° 0.13
_______
a
4 0.13
b
3 0.13
c
6.3
sin A
sin B
sin C
es válido para triángulos
Por lo tanto, parece que a
b
c
obtusángulos también.
A
3 cm
31
6.3 cm
126 23
C
4 cm
B
(continúa)
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CHAPTER 12
179
Lección 12.2 • La Ley de los senos (continuación)
El Ejemplo A en tu libro aplica lo que has aprendido en la investigación a un
problema real. Lee el ejemplo atentamente. La relación que descubriste en la
investigación se llama Ley de los senos. Se resume en el recuadro “Law of Sines”
(Ley de los senos) en tu libro.
El Ejemplo B muestra cómo aplicar la Ley de los senos para hallar la longitud
desconocida de un lado de un triángulo, cuando conoces las medidas de dos ángulos
y la longitud de un lado. Lee el
___ejemplo atentamente. Prueba tu entendimiento,
hallando la longitud del lado AC . (Sugerencia:
___ Primero necesitarás hallar la medida
de ⬔B.) Debes hallar que la longitud de AC es aproximadamente 15.4 cm.
También puedes usar la Ley de los senos para hallar la medida desconocida de un
ángulo, cuando conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a
uno de los lados. Sin embargo, en este caso puedes hallar más de una solución. Como
ayuda para entender por qué puede haber más de una solución, observa los diagramas
en la página 693 de tu libro y lee el Ejemplo C. Éste es otro ejemplo.
䊳
___
EJEMPLO
En el 䉭ABC, la medida
de ⬔A es 30°, la longitud del lado AB es 8 cm y la
___
longitud del lado BC es 5 cm. Dibuja y rotula dos triángulos que se ajusten a
esta descripción.
Para cada triángulo, halla las medidas de ⬔B y ⬔C y la longitud
___
del lado AC .
Solución
A continuación están las dos posibilidades.
B
B
8 cm
A
8 cm
5 cm
30
C
b
A
30
C
b
5 cm
Para hallar una medida posible de ⬔C, usa la Ley de los senos.
sin 30°
sin C
5
8
8 sin 30°
sin C 5
8 sin 30°
53.1°
C sin1 5
La medida de ⬔C es 53.1°, por lo ___
tanto la medida de ⬔B es 180° (30° 53.1°),
ó 96.9°. Para hallar la longitud de AC , usa la Ley de los senos otra vez.
sin 30°
sin 96.9°
5
b
5 sin 96.9°
b
sin 30° 9.9 cm
___
La longitud de AC es 9.9 cm.
La otra posible medida para ⬔C es el suplemento de 53.1°, ó 126.9°. Entonces,
la medida de ⬔B es 180°
___ (30° 126.9°), ó 23.1°. Usa la Ley de los senos para
hallar la longitud de AC .
sin 30°
sin 23.1°
5
b
5 sin 23.1°
b
sin 30° 3.9 cm
___
La longitud de AC es 3.9 cm.
180
CHAPTER 12
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LECCIÓN
CONDENSADA
12.3
La Ley de los cosenos
En esta lección
●
●
usarás la Ley de los cosenos para hallar las medidas desconocidas de un
triángulo, cuando conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo
formado por éstos
usarás la Ley de los cosenos para hallar las medidas desconocidas de un
triángulo cuando conoces las longitudes de sus tres lados
Puedes usar la Ley de los senos para hallar las longitudes de los lados o las
medidas de los ángulos de un triángulo, si conoces las medidas de dos ángulos
y la longitud de un lado; o alternativamente si conoces las longitudes de dos lados
y la medida del ángulo opuesto a uno de esos lados.
El Ejemplo A en tu libro da las longitudes de dos lados y la medida del ángulo
comprendido entre los lados, y debes hallar la longitud del tercer lado. La Ley de
los senos no se puede aplicar en esta situación. Analiza la solución para ver cómo
hallar la longitud desconocida.
Si utilizas el procedimiento del Ejemplo A en un caso general donde dan las
longitudes de dos lados, a y b, de un triángulo ABC y la medida del ángulo
comprendido entre ellos, C, obtienes la Ley de los cosenos:
c 2 a2 b 2 2ab cos C
donde c es opuesto a ⬔C. Observa que esto se parece al Teorema de Pitágoras
con un término extra, 2ab cos C. (De hecho, si C es un ángulo recto, entonces
cos C es 0, y la ecuación se convierte en el Teorema de Pitágoras.) Lee el texto del
recuadro “Law of Cosines” (Ley de los cosenos) en la página 699 de tu libro y
estudia los diagramas que siguen al recuadro.
Investigación: A la vuelta de la esquina
Lee la investigación en tu libro. Si tienes los materiales y algunas personas
que te ayuden, haz la investigación. Si no, puedes usar el diagrama de la
derecha. Completa la investigación por tu cuenta y después compara tus
resultados con los siguientes.
Conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido,
por lo tanto puedes usar la Ley de los cosenos para hallar la longitud del
tercer lado.
c 2 a2 b 2 2ab cos C
Ley de los cosenos.
c 2 2.52 22 2(2.5)(2) cos 43°
Sustituye los valores conocidos.
c 2 6.25 4 10 cos 43°
Multiplica.
c 10.25 10 cos 43°
Resuelve para c.
c 1.71
Evalúa.
A
2m
C
c
43
2.5 m
B
La distancia entre las dos “ciudades” es aproximadamente 1.71 metros.
(continúa)
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CHAPTER 12
181
Lección 12.3 • La Ley de los cosenos (continuación)
Para hallar las medidas desconocidas en el Ejemplo B, la Ley de los cosenos se
aplica dos veces. Intenta hallar las medidas desconocidas por tu cuenta, y luego lee
la solución. Tanto la investigación como el Ejemplo B dan las longitudes de dos
lados y la medida del ángulo incluido. También puedes usar la Ley de los cosenos
si conoces las longitudes de los tres lados. El siguiente ejemplo te muestra cómo.
EJEMPLO
Halla la medida de los ángulos.
B
5.1 cm
3.5 cm
C
䊳
Solución
2.0 cm A
Empieza usando la Ley de los cosenos para hallar la medida de ⬔C.
c 2 a2 b 2 2ab cos C
Ley de los cosenos.
3.52 5.12 2.02 2(5.1)(2.0) cos C
12.25 30.01 20.4 cos C
Sustituye los valores conocidos.
Multiplica.
17.76 20.4 cos C
Resta 30.01 de ambos lados.
17.76
cos C 20.4
Resuelve para cos C.
17.76
C cos1 20.4
Toma el inverso del coseno en ambos lados.
C 29.5°
Evalúa.
Ahora, usa la Ley de los senos para hallar la medida de ⬔B.
sin C
sin B
c
b
Ley de los senos.
sin 29.5
sin B
3.5
2.0
Sustituye los valores conocidos.
2.0 sin 29.5°
sin B 3.5
2.0 sin 29.5°
B sin1 3.5
B 16.3°
Resuelve para sin B.
Toma el inverso del seno en ambos lados.
Evalúa.
Para hallar la medida de ⬔A, usa el dato de que la suma de las medidas de los
ángulos de un triángulo es 180°.
A 180° (29.5° 16.3°) 134.2°
Lee el resto de la lección en tu libro, que resume lo que has aprendido en esta
lección y en la anterior.
182
CHAPTER 12
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LECCIÓN
CONDENSADA
12.4
Ampliar la trigonometría
En esta lección
●
●
●
ampliarás las definiciones de seno, coseno y tangente para incluir ángulos
de cualquier medida
hallarás el seno, el coseno y la tangente de los ángulos de rotación
usarás los ángulos de referencia para hallar el seno, el coseno y la tangente
de los ángulos relacionados
y
II
En la Lección 12.1, aplicaste las definiciones dadas para seno, coseno y tangente
a los ángulos agudos en los triángulos rectángulos. En esta lección, ampliarás
las definiciones para aplicarlas a ángulos de cualquier tamaño. Recuerda que
los ángulos en los planos de coordenadas se miden comenzando desde el eje
positivo x y se mueven en el sentido opuesto a las manecillas del reloj por los
Cuadrantes I, II, III y IV.
I
x
III
IV
Investigación: Ampliar las funciones trigonométricas
Lee el Procedure Note (Nota del procedimiento) y estudia el ejemplo del Paso 1.
Después analiza la investigación en tu libro. Cuando termines, compara tus
respuestas con los siguientes resultados. Asegúrate de que tu calculadora esté
configurada en grados.
Las respuestas de muestra usan el punto (4, 0) como punto de partida
para cada ángulo. Tus respuestas para las coordenadas y la longitud de los
segmentos variarán dependiendo del punto de partida que escogiste, pero los
resultados de seno, coseno y tangente deben ser iguales a los siguientes.
a.
y
Paso 1
4
135
–4
4
x
–4
sin 135° 0.707, cos 135° 0.707 y tan 135° 1. Las coordenadas
del punto rotado son aproximadamente
(2.8, 2.8). La longitud del
_____________
segmento es aproximadamente (2.8)2 2.82 3.96 unidades.
b.
y
4
210
–4
4
x
–4
sin 210° 0.5, cos 210° 0.866 y tan 210° 0.577. Las coordenadas
del punto rotado son aproximadamente
(3.5, 2). La longitud del
_______________
segmento es aproximadamente (3.5)2 (2)2 4.03 unidades.
(continúa)
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CHAPTER 12
183
Lección 12.4 • Ampliar la trigonometría (continuación)
c.
y
4
270
–4
4
x
–4
sin 270° 1, cos 270° 0 y tan 270° es indefinida. Las __________
coordenadas del
punto rotado son (0, 4). La longitud del segmento es 02 (4)2 4
unidades.
d.
y
4
320
–4
4
x
–4
sin 320° 0.643, cos 320° 0.766 y tan 320° 0.839. Las
coordenadas del punto rotado son aproximadamente
(3.1, 2.6). La
_____________
2
longitud del segmento es aproximadamente 3.1 (2.6)2 4.05
unidades.
e.
y
4
–4
–100 4
x
sin 100° 0.985, cos 100° 0.174 y tan 100° 5.671. Las
coordenadas del punto rotado son aproximadamente (0.7, 3.9). La
longitud
del segmento es aproximadamente
________________
2 (3.9)2 3.96 unidades.
(
0.7)
Los resultados se resumen a continuación. Según estos resultados
coordenada y
puedes deducir esta hipótesis, el seno es _______________
, el coseno es
longitud del segmento
Paso 2
coordenada y
coordenada x
_______________
y la tangente es __________
.
longtitud del segmento
coordenada x
Ángulo
Seno
Coseno
Tangente
135°
2.8
____
3.96
0.71
2.8
_____
3.96
0.71
2.8 1
_____
210°
2
____
0.50
3.5
_____
0.87
2
_____
270°
4 1
___
00
__
4 es indefinida
___
320°
2.6
_____
4.05
0.64
3.1
____
2.6
_____
0.84
3.9
_____
0.98
0.7
_____
3.9
_____
5.6
100°
4.03
4
3.96
4.03
4
4.05
3.96
0.77
0.18
2.8
3.5
0.57
0
3.1
0.7
(continúa)
184
CHAPTER 12
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Lección 12.4 • Ampliar la trigonometría (continuación)
Paso 3
y
4
(–3, 1)
–4
x
4
–4
__________
___
La longitud del segmento es (3)2 12 10 . Usando el método del Paso 2,
1___
3
1___
1
1 ____
___ y tan A ___
sin A ____
, cos A ____
3 . La calculadora da que sin 10 18.43°
10
10
1
y tan1 ___
3 18.43°. Este ángulo está en el Cuadrante I;
por lo tanto no se corresponde con el diagrama. Sin embargo, usando la calculadora,
3
___ 161.57°. Este ángulo parece corresponder con el diagrama.
cos1 ____
10 Las definiciones están en la caja de definiciones en la página 707 de tu
libro. Lee estas definiciones atentamente.
Paso 4
Lee el párrafo anterior al Ejemplo A y después analiza los Ejemplos A y B en tu
libro. Si necesitas repasar los triángulos rectángulos, lee “Refreshing Your Skills”
(Repasar tus habilidades) del Capítulo 12 en tu libro. A continuación, hay otro
ejemplo similar al Ejemplo A.
䊳
EJEMPLO
Halla el seno, el coseno y la tangente de 150° sin la calculadora.
Solución
Rota un punto 150° desde el eje positivo x en el sentido opuesto a las manecillas
del reloj. La imagen del punto está en el Cuadrante II, 30° sobre el eje x. El ángulo
de referencia__es 30°. El seno, el coseno y la tangente de un ángulo de referencia de
1__
___
3
30° son _12 , ___
2 y 3 , respectivamente.
y
4
150
30
4
–4
x
–4
Dado que la coordenada x es negativa y la coordenada
y es positiva en el
__
1__
3
Cuadrante II, sin 150° _12 , cos 150° ___
,
y
tan
150°
= ___
.
2
3
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CHAPTER 12
185
LECCIÓN
CONDENSADA
12.5
Introducción a los vectores
En esta lección
●
●
●
●
entenderás vectores como distancias directas
representarás la suma, resta y multiplicación escalar de vectores
usarás vectores para resolver problemas
convertirás vectores de una forma a otra
Algunas cantidades, como la distancia, la velocidad y la aceleración, pueden tener
direcciones asociadas con ellas. Estas cantidades dirigidas se pueden representar
con vectores, los cuales se pueden considerar como segmentos de rectas dirigidas.
El segmento de recta tiene una longitud, llamada magnitud, y una dirección.
Puedes representar los vectores como un segmento con punta de flecha en uno
de los extremos, llamado cabeza o punta. La cola es el otro extremo del vector.
Los vectores se pueden representar de muchos modos. La forma polar de un
vector da la magnitud y el ángulo que forma el vector con el eje positivo x.
Por ejemplo, 3⬔150°
representa un vector de 3 unidades de largo dirigido 150°
en el sentido opuesto a las manecillas del reloj desde el eje positivo x. La forma
rectangular de un vector da
__ el cambio horizontal y vertical desde la cola __hasta la
33 _
33
_____
3
cabeza. Por ejemplo, _____
2 , 2 representa un cambio horizontal de
2 , y un
3
_
cambio vertical de 2 .
Los vectores equivalentes tienen la misma magnitud y dirección, sin importar
__
33 _
3
donde están localizados en un plano de coordenadas. 3⬔150°
y _____
2 , 2 son
vectores equivalentes.
La investigación explora
algunas de las propiedades de la resta y la suma de
__›
vectores. Observa que a y a son dos modos de designar un vector. En la
ecuación a b c; las letras en engrita a, b y c representan vectores, y c es
el vector resultante del cálculo.
Investigación: Suma y resta de vectores
Analiza toda la investigación en tu libro y después compara tus resultados con
los siguientes.
y
Pasos 1 a 3
6
4
b
2 a
c
0
2
4
6
x
La forma rectangular de c es 6, 4
.
y
Paso 4 i.
y
ii.
6
e
4
d
c
2
0
2
b
a
4
c
–5
6
x
La forma rectangular de c es 6, 4
.
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
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3
x
–3
La forma rectangular de c es 0, 1
.
(continúa)
CHAPTER 12
187
Lección 12.5 • Introducción a los vectores (continuación)
y
iii.
6
3
b
–2
f
5
c
4
x
c
0
La forma rectangular de c es 3, 1
.
b1, b2
e
2 a
–3
Pasos 5
y
iv.
2
4
6
x
La forma rectangular de c es 5, 2
.
Si a a1, a2 y b b1, b2, entonces la suma a b es a1, a2 a1 b1, a2 b2.
Paso 6
i.
ii.
y
y
3 –b
3
a
a–b
–3
3
b
x
–2
–3
iii.
–e
d–e
b–a
–3
iv.
y
x
y
3
3
d
–5
–a 5
e–f
2
x
–2
e
–f
x
–3
–3
Si a a1, a2 y b b1, b2, entonces la diferencia a b es
a1, a2 b1, b2 a1 b1, a2 b2.
Paso 8 Si a a1, a2 y k es un escalar, entonces el producto k · a es
k · a1, a2 k · a1, k · a2.
Paso 7
_______
___
Las
magnitudes de
a y b son ⏐a⏐ 22 32 13 y
_______
___
2
2
1 17 . Si a a1, a2, entonces la magnitud de a, indicada
⏐b⏐ 4________
2
⏐a⏐, es a1 a22 .
Paso 9
Los vectores son útiles para representar el movimiento. Lee el Ejemplo A para
explorar una aplicación de la suma de vectores.
En ocasiones, la forma polar de un vector es más apropiada. El Ejemplo B explica
cómo convertir de forma rectangular a forma polar. Lee el Ejemplo B y asegúrate
de que entiendes cómo convertir de una forma rectangular a una forma polar.
Lee el texto posterior al Ejemplo B. Asegúrate de que entiendes cómo convertir
un ángulo relativo a un ángulo que dé la dirección de un vector en forma
polar. En el Ejemplo C, los vectores se deben convertir de forma polar a forma
rectangular para sumarlos. Analiza en Ejemplo C atentamente.
188
CHAPTER 12
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
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LECCIÓN
CONDENSADA
12.6
Ecuaciones paramétricas
En esta lección
●
●
●
usarás un parámetro para escribir ecuaciones paramétricas que definen por
separado a x e y
representarás gráficamente ecuaciones paramétricas
usarás ecuaciones paramétricas para modelar problemas reales
Hasta ahora, has usado ecuaciones para relacionar x e y entre sí. En ocasiones,
quieres expresar x e y como funciones separadas de una tercera variable, t,
llamada parámetro. Estas ecuaciones paramétricas te ofrecen más información y
mejor control sobre los puntos que trazas. Puedes usar ecuaciones paramétricas
para expresar las coordenadas x e y como funciones de tiempo.
El Ejemplo A en tu libro muestra cómo usar ecuaciones paramétricas para
modelar un problema de movimiento. Lee atentamente el ejemplo A y su
solución. Después, lee el siguiente ejemplo.
EJEMPLO A
James está remando 30 pies en un bote por un río. Rema a una velocidad de 1 pie/s
directamente hacia la costa opuesta. La corriente se dirige perpendicularmente hacia
su dirección de remo a una velocidad de 3 pies/s. El poste al cual James quiere atar
el bote está río abajo a 100 pies del punto de partida. ¿Llegará James al otro lado
del río antes de pasar el poste?
䊳
Sea x la distancia en pies a la que se mueve el bote debido a la corriente, sea y la
distancia en pies que James ha remado para atravesar el río; y sea t el tiempo en
segundos. Entonces x 3t e y t. Representa gráficamente este par de ecuaciones
en tu calculadora. Consulta Calculator Note 12C para aprender cómo ingresar
y representar gráficamente ecuaciones paramétricas. Usa la ventana adecuada para
el contexto.
Solución
Puedes dibujar el poste en el punto (100, 30). Si recorres (trace) un punto en la
gráfica, verás que James tiene 10 pies de más antes de llegar al poste.
Las ecuaciones paramétricas pueden ayudarte a modelar situaciones complicadas
que impliquen movimiento. Muchos pares de ecuaciones paramétricas pueden
escribirse con una sola ecuación usando sólo x e y. Si vuelves a escribir un modelo
paramétrico como una sola ecuación, entonces tendrás dos modos diferentes de
estudiar una situación.
(continúa)
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CHAPTER 12
189
Lección 12.6 • Ecuaciones paramétricas (continuación)
Investigación: Paseo paramétrico
Lee los Pasos 1 y 2, y el Procedure
Note de la investigación en tu libro. Asegúrate
de que entiendes lo que sucede: Se marca un
segmento en una cuadrícula de coordenadas. A
medida que una persona camina a lo largo del
segmento, un sensor de movimiento (cargado por
la persona X) registra cómo cambia la coordenada
x de la trayectoria de la persona, y otro sensor
(cargado por la persona Y) registra cómo cambia
la coordenada y de la trayectoria de la persona.
Pasos 1 y 2
Datos registrados
por la persona X
Ingresa los datos de muestra en tu calculadora y
completa el resto de la investigación por tu cuenta.
Después compara tus resultados con los siguientes.
Usa tu calculadora para hallar cada recta
mediana-mediana. La recta mediana-mediana
para los datos (t, x) es x̂ 0.18t 1.8.
Paso 3
Paso 4
Datos registrados
por la persona Y
t
x
t
y
0.1
1.78
0.1
1.95
0.6
1.71
0.6
2.02
1.1
1.62
1.1
2.11
1.6
1.50
1.6
2.12
2.1
1.43
2.1
2.21
2.6
1.36
2.6
2.25
3.1
1.26
3.1
2.32
3.6
1.19
3.6
2.38
4.1
1.10
4.1
2.39
4.6
1.00
4.6
2.47
5.0
0.95
5.0
2.50
La recta mediana-mediana para los datos (t, y) es ŷ 0.10t 1.98.
A la derecha está la gráfica de los valores (x, y), junto
con las gráficas de las funciones paramétricas x 0.18t 1.8
e y 0.10t 1.98. Las funciones paramétricas parecen ajustarse
a los datos.
Paso 5
Paso 6
Al resolver x̂ 0.18t 1.8 para t, se obtiene
x 1.8 . Sustituye t por esta expresión en la ecuación
t _____
0.18
x 1.8 1.98.
para y: ŷ 0.1_____
0.18 Paso 7 La gráfica de la derecha muestra los datos (x, y) y la
x 1.8 1.98 del Paso 6.
función ŷ 0.1_____
0.18 Al eliminar el parámetro se obtiene la misma gráfica,
pero se pierde la información sobre el tiempo, y no puedes limitar
los valores de t para que muestren sólo el segmento de recta
realmente recorrido.
Paso 8
(continúa)
190
CHAPTER 12
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Lección 12.6 • Ecuaciones paramétricas (continuación)
Lee el texto que sigue a la investigación y el Ejemplo B. El Ejemplo B explica
cómo modelar el movimiento de un proyectil de forma paramétrica. El ejemplo
que sigue también se relaciona con el movimiento de proyectiles.
EJEMPLO B
Peter patea un balón a un ángulo de 55°, con una velocidad inicial de 75 pies/s.
Si su pie hace contacto con el balón a una altura de 3.5 pies por encima del nivel
del suelo, ¿qué distancia horizontal recorre el balón antes de pegar en el suelo?
䊳
Traza una figura y halla los componentes x y y de la velocidad inicial.
y
x
cos 55° 75
sin 55° 75
Solución
x 75 cos 55°
y 75 sin 55°
75 pies/s
El movimiento horizontal se ve afectado solamente por la velocidad
inicial y el ángulo inicial, de modo que la distancia horizontal se
modela por x 75t cos 55°.
y
55
x
El movimiento vertical se ve afectado por la fuerza de gravedad
y la altura inicial. Su ecuación es y 16t 2 75t sin 55° 3.5.
Para saber cuándo el balón toca el suelo, halla t cuando y es 0.
16t 2 75t sin 55° 3.5 0
75 sin 55° (75 sin 55°)2 4(16)(3.5)
t 2(16)
t 0.056 ó t 3.896
Únicamente la respuesta positiva tiene sentido en esta situación. El balón
toca el suelo aproximadamente 3.896 segundos después de ser pateado.
Para hallar la distancia que recorrió, sustituye este valor de t en la ecuación
de x: x 75(3.896) cos 55° 167.6. El balón se desplaza de manera horizontal
aproximadamente 167.6 pies, ó 56 yardas.
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CHAPTER 12
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