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Gráficas de las funciones trigonométricas
Introducción
En este módulo se grafican las cuatro principales funciones trigonométricas. Conocer las gráficas de estas funciones ayudará a recordar muchas de sus propiedades
importantes. A su vez, ayudará en la construcción de otras funciones trigonométricas
más complicadas.
Objetivo
1. Estudiar las gráficas de las funciones trigonométricas de números reales.
Preguntas básicas
1. ¿Cuál es el dominio y el rango de las funciones seno y coseno?
2. ¿Cuál es el dominio y el rango de las funciones tangente y cotangente?
3. ¿Por qué se dice que las funciones trigonométricas son funciones periódicas?
Apolonio de Perga (ss. III y II a. C.)
Apolonio fue conocido como «El gran geómetra». En su
famoso libro Secciones cónicas introdujo los términos
parábola, elipse e hipérbola espiral.
Apolonio de Perga estudió en Alejandría y luego visitó a
Perga, en donde fueron construidas una biblioteca y una
universidad semejantes a las de Alejandría.
Mientras Apolonio estuvo en Perga escribió la primera
edición de su libroSecciones cónicas que consta de ocho libros.
Los libros del 1 al 4 no contienen material original pero
introducen las propiedades básicas de cónicas que fueron
conocidas por Euclides, Aristóteles y otros. Los del 5 al 7 son
originales; en éstos discute y muestra cómo muchas de las
cónicas pueden ser dibujadas desde un punto. El 8 incluye
proposiciones para determinar el centro de curvatura, lo
cual conduce inmediatamente a la ecuación cartesiana del
desarrollo de la evolución.
Contenido
22.1 Gráficas de funciones circulares
22.2 Gráficas de las funciones seno y coseno
22.3 Gráficas de las funciones tangente y cotangente
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AlgebraTrigonometria/
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programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Álgebra y trigonometría 247
Capítulo 8: Trigonometría del círculo
22.1 Gráficas de funciones circulares
Vea la animación Funciones
seno y coseno en su multimedia
de Álgebra y trigonometría
Se sabe que los valores de las funciones circulares no dependen del radio del
círculo donde se encuentre el punto P(x, y) perteneciente al lado terminal de un
ángulo en su forma estándar. Se puede suponer, por consiguiente, que las funciones circulares han sido definidas usando el círculo x 2 ! y 2 " 1 como lo señala la
figura 22.1.
y
P % x, y &
x
1
Figura 22.1. Círculo unitario
En la figura 22.1 se tiene que:
sen
"
y
" y,
1
cos
"
x
" x.
1
22.2 Gráficas de las funciones seno y coseno
En la figura 22.1 sen
es el valor de la ordenada del punto P(x, y) del círculo
x 2 ! y 2 " 1. Esta afirmación permite construir, con relativa facilidad, la gráfica de
y " sen
de la forma siguiente:
Si está medido en radianes, esta medida está representada por un número real; el
ángulo elegido puede ser positivo, negativo o cero y por tanto el dominio de la
función es el conjunto de los números reales.
Como el valor de sen es la ordenada y de algún punto del círculo unitario, se tiene
que el valor máximo que toma sen es 1 y el valor mínimo es –1; es decir, el rango
de la función son los reales de y que cumplen que #1 $ y $ 1 .
La gráfica de la función y " sen
figura 22.2.
248
para valores de
medidos en radianes, es la
Módulo 22: Gráficas de las funciones trigonométricas
y
#'
# 2'
'
3'
2'
x
2'
Figura 22.2. Gráfica de la función y = sen
La función y " sen
es una función periódica, es decir, su gráfica se repite a
intervalos de 2' . Debido a lo anterior se dice que el periodo de la función es 2' ,
y para ver sus propiedades basta analizar, por ejemplo, el intervalo ( 0, 2' ).
De la figura 22.2 también se puede afirmar que sen
sen
" 1, si
"
(4k # 3)
' con
2
* Z ; sen
es cero si
" #1 si
"
" k' con k * Z ;
(4k # 1)
' con k * Z .
2
Ejemplo 16
Encuentre los valores de
que satisfacen la ecuación sen 2 " 0.
Solución
Puesto que sen 2 " 0, entonces 2 " k' con k * Z . Por tanto,
"
k
' con
2
k * Z.
Ejemplo 17
Exprese sen 780º en términos de un ángulo menor que 360º.
Solución
sen 780º " sen (720º ! 60º )
Un ángulo de 720º equivale a dos rotaciones completas, y como la función es
periódica de periodo 2' radianes o 360º, entonces sen 780º " sen 60º.
De la misma manera como se construye la gráfica de la función y " sen , la gráfica
de la función y " cos viene dada por la figura 22.3.
Como la función y " cos
también es periódica de periodo 2' , basta analizar, por
ejemplo, el intervalo ( 0, 2' ) .
Escuche Historia de Apolonio de
Perga en su multimedia de
Álgebra y trigonometría
Álgebra y trigonometría 249
Capítulo 8: Trigonometría del círculo
y
#'
Vea la animación Función
tangente en su multimedia de
Álgebra y trigonometría
#
'
'
2
2
'
3
'
2
2' 5 '
2
3'
x
2'
Figura 22.3. Gráfica de la función y = cos x
22.3 Gráficas de las funciones tangente y cotangente
En el círculo unitario de la figura 22.1 se puede observar que cuando el punto P(x, y)
y
tiende a ser cero porque la ordex
nada y se hace muy pequeña y la abscisa x crece. Similarmente, cuando P(x, y) se
"
está cerca del eje horizontal, el valor de tan
acerca al eje vertical, tan
"
y
tiende a crecer o a decrecer sin límite porque la
x
abscisa x se acerca a cero.
Esta situación se presenta de 0º a 360º, o sea en una rotación completa. Lo anterior se
vuelve a repetir de forma periódica en el intervalo que va de 360º a 720º, y así sucesivamente. La situación descrita hace plausible la gráfica de y " tan que se dibuja en
la figura 22.4. De esta figura se derivan las siguientes conclusiones para la función
y " tan
Periodo: '
Dominio: todos los reales, excepto
'
2
! k' con k * Z .
Rango: todos los reales.
y
#'
#
'
'
2
2
'
Figura 22.4. Gráfica de la función y = tan x
250
x
Módulo 22: Gráficas de las funciones trigonométricas
La gráfica de y " cot
es la siguiente (figura 22.5).
y
#
3'
2
#'
#
'
'
2
2
'
3'
2
x
Figura 22.5. Gráfica de la función y = cot x
Para y " cot se tiene que:
Periodo: '
Dominio: todos los reales, excepto k' , con k * Z .
Ejemplo 18
Encuentre los valores de
que satisfacen la ecuación:
cos 2 " 0.
a.
Solución
Como la función coseno se anula en los puntos
"
b.
'
4
!k
'
sen
2
2
'
2
! k' , entonces cos 2 " 0 si
para todo k entero. Es decir, en los puntos
' 3' 5'
4
,
4
,
4
,...
" 1.
Solución
Como la función seno es igual a 1 en los puntos
'
2
! 2 k' , entonces sen
2
" 1 si
" ' ! 4k ' " ( 4k ! 1) ' para todo k entero. Es decir, en los puntos # 7' ,
# 3' , ' , 5' , 9' ,...
Álgebra y trigonometría 251
Capítulo 8: Trigonometría del círculo
c.
" #1.
cos
2
Solución
Como la función coseno es igual a #1 en los puntos (2k ! 1) ' , entonces
cos " # 1 si
2
" 2 (2k ! 1) ' " (4k ! 2) ' para todo k entero. Es decir, en los pun-
tos #6' , # 2' , 2' , 6' , 10' ,...
tan 2 " 0.
d.
Solución
Como la función tangente se anula en los puntos k' , entonces tan 2 " 0 si
"
k'
'
'
para todo k entero. Es decir, en los puntos #' , # , 0, , ' ,...
2
2
2
Ejemplo 19
Exprese cos 780º en términos de un ángulo menor que 360º.
Solución
La función coseno es periódica con período 360º. Entonces,
1
cos 780º " cos (2 + 360º !60º ) " cos 60º " .
2
Ejemplo 20
Exprese sen
7'
2
en términos de un ángulo entre 0 y 2' .
Solución
La función seno es periódica con período 2' . Entonces,
sen
252
7'
3'
, 3'
" sen . ! 2' / " sen
" # 1.
2
2
0 2
1
Módulo 22: Gráficas de las funciones trigonométricas
Ejemplo 21
Exprese tan
7'
'
'
en términos de un ángulo entre #
y .
2
4
2
Solución
La función tangente es periódica con período ' . Entonces,
tan
7'
4
, '
, '! 2' / " tan . # / " # 1 .
0 4
1
0 41
" tan . #
Álgebra y trigonometría 253