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22 Gráficas de las funciones trigonométricas Introducción En este módulo se grafican las cuatro principales funciones trigonométricas. Conocer las gráficas de estas funciones ayudará a recordar muchas de sus propiedades importantes. A su vez, ayudará en la construcción de otras funciones trigonométricas más complicadas. Objetivo 1. Estudiar las gráficas de las funciones trigonométricas de números reales. Preguntas básicas 1. ¿Cuál es el dominio y el rango de las funciones seno y coseno? 2. ¿Cuál es el dominio y el rango de las funciones tangente y cotangente? 3. ¿Por qué se dice que las funciones trigonométricas son funciones periódicas? Apolonio de Perga (ss. III y II a. C.) Apolonio fue conocido como «El gran geómetra». En su famoso libro Secciones cónicas introdujo los términos parábola, elipse e hipérbola espiral. Apolonio de Perga estudió en Alejandría y luego visitó a Perga, en donde fueron construidas una biblioteca y una universidad semejantes a las de Alejandría. Mientras Apolonio estuvo en Perga escribió la primera edición de su libroSecciones cónicas que consta de ocho libros. Los libros del 1 al 4 no contienen material original pero introducen las propiedades básicas de cónicas que fueron conocidas por Euclides, Aristóteles y otros. Los del 5 al 7 son originales; en éstos discute y muestra cómo muchas de las cónicas pueden ser dibujadas desde un punto. El 8 incluye proposiciones para determinar el centro de curvatura, lo cual conduce inmediatamente a la ecuación cartesiana del desarrollo de la evolución. Contenido 22.1 Gráficas de funciones circulares 22.2 Gráficas de las funciones seno y coseno 22.3 Gráficas de las funciones tangente y cotangente Visite el sitio http://docencia.udea.edu.co/cen/ AlgebraTrigonometria/ Vea el módulo 22 del programa de televisión Álgebra y trigonometría Álgebra y trigonometría 247 Capítulo 8: Trigonometría del círculo 22.1 Gráficas de funciones circulares Vea la animación Funciones seno y coseno en su multimedia de Álgebra y trigonometría Se sabe que los valores de las funciones circulares no dependen del radio del círculo donde se encuentre el punto P(x, y) perteneciente al lado terminal de un ángulo en su forma estándar. Se puede suponer, por consiguiente, que las funciones circulares han sido definidas usando el círculo x 2 ! y 2 " 1 como lo señala la figura 22.1. y P % x, y & x 1 Figura 22.1. Círculo unitario En la figura 22.1 se tiene que: sen " y " y, 1 cos " x " x. 1 22.2 Gráficas de las funciones seno y coseno En la figura 22.1 sen es el valor de la ordenada del punto P(x, y) del círculo x 2 ! y 2 " 1. Esta afirmación permite construir, con relativa facilidad, la gráfica de y " sen de la forma siguiente: Si está medido en radianes, esta medida está representada por un número real; el ángulo elegido puede ser positivo, negativo o cero y por tanto el dominio de la función es el conjunto de los números reales. Como el valor de sen es la ordenada y de algún punto del círculo unitario, se tiene que el valor máximo que toma sen es 1 y el valor mínimo es –1; es decir, el rango de la función son los reales de y que cumplen que #1 $ y $ 1 . La gráfica de la función y " sen figura 22.2. 248 para valores de medidos en radianes, es la Módulo 22: Gráficas de las funciones trigonométricas y #' # 2' ' 3' 2' x 2' Figura 22.2. Gráfica de la función y = sen La función y " sen es una función periódica, es decir, su gráfica se repite a intervalos de 2' . Debido a lo anterior se dice que el periodo de la función es 2' , y para ver sus propiedades basta analizar, por ejemplo, el intervalo ( 0, 2' ). De la figura 22.2 también se puede afirmar que sen sen " 1, si " (4k # 3) ' con 2 * Z ; sen es cero si " #1 si " " k' con k * Z ; (4k # 1) ' con k * Z . 2 Ejemplo 16 Encuentre los valores de que satisfacen la ecuación sen 2 " 0. Solución Puesto que sen 2 " 0, entonces 2 " k' con k * Z . Por tanto, " k ' con 2 k * Z. Ejemplo 17 Exprese sen 780º en términos de un ángulo menor que 360º. Solución sen 780º " sen (720º ! 60º ) Un ángulo de 720º equivale a dos rotaciones completas, y como la función es periódica de periodo 2' radianes o 360º, entonces sen 780º " sen 60º. De la misma manera como se construye la gráfica de la función y " sen , la gráfica de la función y " cos viene dada por la figura 22.3. Como la función y " cos también es periódica de periodo 2' , basta analizar, por ejemplo, el intervalo ( 0, 2' ) . Escuche Historia de Apolonio de Perga en su multimedia de Álgebra y trigonometría Álgebra y trigonometría 249 Capítulo 8: Trigonometría del círculo y #' Vea la animación Función tangente en su multimedia de Álgebra y trigonometría # ' ' 2 2 ' 3 ' 2 2' 5 ' 2 3' x 2' Figura 22.3. Gráfica de la función y = cos x 22.3 Gráficas de las funciones tangente y cotangente En el círculo unitario de la figura 22.1 se puede observar que cuando el punto P(x, y) y tiende a ser cero porque la ordex nada y se hace muy pequeña y la abscisa x crece. Similarmente, cuando P(x, y) se " está cerca del eje horizontal, el valor de tan acerca al eje vertical, tan " y tiende a crecer o a decrecer sin límite porque la x abscisa x se acerca a cero. Esta situación se presenta de 0º a 360º, o sea en una rotación completa. Lo anterior se vuelve a repetir de forma periódica en el intervalo que va de 360º a 720º, y así sucesivamente. La situación descrita hace plausible la gráfica de y " tan que se dibuja en la figura 22.4. De esta figura se derivan las siguientes conclusiones para la función y " tan Periodo: ' Dominio: todos los reales, excepto ' 2 ! k' con k * Z . Rango: todos los reales. y #' # ' ' 2 2 ' Figura 22.4. Gráfica de la función y = tan x 250 x Módulo 22: Gráficas de las funciones trigonométricas La gráfica de y " cot es la siguiente (figura 22.5). y # 3' 2 #' # ' ' 2 2 ' 3' 2 x Figura 22.5. Gráfica de la función y = cot x Para y " cot se tiene que: Periodo: ' Dominio: todos los reales, excepto k' , con k * Z . Ejemplo 18 Encuentre los valores de que satisfacen la ecuación: cos 2 " 0. a. Solución Como la función coseno se anula en los puntos " b. ' 4 !k ' sen 2 2 ' 2 ! k' , entonces cos 2 " 0 si para todo k entero. Es decir, en los puntos ' 3' 5' 4 , 4 , 4 ,... " 1. Solución Como la función seno es igual a 1 en los puntos ' 2 ! 2 k' , entonces sen 2 " 1 si " ' ! 4k ' " ( 4k ! 1) ' para todo k entero. Es decir, en los puntos # 7' , # 3' , ' , 5' , 9' ,... Álgebra y trigonometría 251 Capítulo 8: Trigonometría del círculo c. " #1. cos 2 Solución Como la función coseno es igual a #1 en los puntos (2k ! 1) ' , entonces cos " # 1 si 2 " 2 (2k ! 1) ' " (4k ! 2) ' para todo k entero. Es decir, en los pun- tos #6' , # 2' , 2' , 6' , 10' ,... tan 2 " 0. d. Solución Como la función tangente se anula en los puntos k' , entonces tan 2 " 0 si " k' ' ' para todo k entero. Es decir, en los puntos #' , # , 0, , ' ,... 2 2 2 Ejemplo 19 Exprese cos 780º en términos de un ángulo menor que 360º. Solución La función coseno es periódica con período 360º. Entonces, 1 cos 780º " cos (2 + 360º !60º ) " cos 60º " . 2 Ejemplo 20 Exprese sen 7' 2 en términos de un ángulo entre 0 y 2' . Solución La función seno es periódica con período 2' . Entonces, sen 252 7' 3' , 3' " sen . ! 2' / " sen " # 1. 2 2 0 2 1 Módulo 22: Gráficas de las funciones trigonométricas Ejemplo 21 Exprese tan 7' ' ' en términos de un ángulo entre # y . 2 4 2 Solución La función tangente es periódica con período ' . Entonces, tan 7' 4 , ' , '! 2' / " tan . # / " # 1 . 0 4 1 0 41 " tan . # Álgebra y trigonometría 253