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NúmerosReales
Losnúmerosreales
LOSNUMEROSREALES
La
recta
numéri
ca
desigua
ldades
con
valor
absolut
o
Los
númer
os
reales
inecuac
ioneso
desigua
ldades
ysus
propie
dades
interval
os
Subconjuntosdelosnúmerosreales
natural
es
irracion
ales
enteros
racional
es
Lecturainicial
Analizareldocumento:http://
www.profesorenlinea.com.mx/matematica/
Numeros_reales.html
Siloconsideranecesario,verelvideo:
https://www.youtube.com/watch?v=ZhDcvReFAE
Númerosreales
•Númerosirracionales
•Númerosracionales
5
Losracionales
Sepuedenexpresarcomouncocientede
númerosenteros.
•Naturales
•Enteros
•Fracciones(propiaeimpropia)
6
Losnúmerosnaturales
N = {1,2, 3, 4,5,6, 7,…}
Algunaspropiedades:
paratodo
n ∈N
1≤ n
elsucesordekesk+1
elantecesordekesk-1(parak>1)
Losnúmerosnaturales
• Lasoperacionesdesumayproductoson
cerradas,conmutativasyasociativasyla
sumasedistribuyerespectodelproducto.
• Elnúmeronatural1eselneutro
multiplicativo.
Losnúmerosenteros
Z = {…, −2, −1, 0,1, 2,…}
Cumplenlaspropiedadesdelosnúmeros
naturales.
Seagregaelcerocomoelementoneutro
aditivo.
Seagreganlosnúmerosnegativoscomo
inversosaditivosdelosnúmerosnaturales.
Losnúmerosenteros
Larestaeslasumadeunnúmeroyelinverso
aditivodeotro
x − y = x + (−y)
Losnúmerosfraccionarios
⎧a
⎫
Q = ⎨ | a,b ∈Z, b ≠ 0 ⎬
⎩b
⎭
númerosquepertenecenaQ
cualquiernúmeroentero
1/5,-2/3,cocientedenúmerosenteros
0.25,-7.31(expansióndecimal)
5.123
expansióndecimalinfinitaperiódica
Observarque N ∈Z ∈Q
Losnúmerosracionales
Considerarlasexpansionesdecimales
x = 0.14
x = 0.2124
100x = 14
10 000x = 2124
x=
14
100
x=
2124
531
=
10 000 2 500
Losnúmerosracionales
Ejercicios:
x = 1.14
x = 10.14
13
Losnúmerosracionales
Considerarlaexpansióndecimalinfinita
osea,
x = 0.543
x = 0.543543543543…
multiplicarpor1000
1 000x = 543.543543543543543…
restarecuaciones
999x = 543
despejar
x=
543 181
=
999 333
Losnúmerosracionales
Considerarlaexpansióndecimalinfinita
osea,
x = 0.341
x = 0.3414141414141…
multiplicarpor10ypor1000
y
10x
= 3.414141…
10 3 x = 341.414141…
restarestasdoscantidades
990x = 338
despejar
x=
338 169
=
990 495
Ejercicios
Desarrollesucompetencia:
2,3,5,7,8,9,10,11,13,15,19,20,21,24,28,
32,33,35,38,39,40
Losnúmerosirracionales
Sonaquellosquenosepuedenexpresarcomo
elcocientededosnúmerosenteros.
Sedividenenalgebraicosytrascendentes.
⎧ x | x es una expansión digital infinita ⎫
I=⎨
⎬
⎩ no periódica
⎭
Ejemplos:
e, π , 2, p, donde p es un número primo
Losnúmerosreales
Eslaunióndisjuntadelosnúmerosracionales
eirracionales
R =Q∪I
Losconjuntosdenúmerosracionalese
irracionalessonconjuntosdisjuntos.
Losrealesylarectanumérica
Losrealessepuedenrepresentarenunalínea
rectaconocidacomorectanumérica.
Elceroeselorigenyel1laescala.
Conestospuntosseconstruyenlospuntosque
representartodoslosdemásnúmeros.
Losrealesylarectanumérica
Unnúmeroserepresentaconunsegmento
x
x
delongitud,aladerechadelcerosies
x
positivoyalaizquierdasiesnegativo.
x
Losnúmerosaladerechadelceroformael
conjuntoR+.
Losnúmerosalaizquierdadelceroformael
conjuntoR-.
Losnúmerosrealesesunconjuntodenso
Entredosnúmerosrealesdiferentes
cualesquiera,noimportaquetancercanos
estén,siempreexisteotronúmeroreal.
Osea,entredosnúmerosrealesdiferentes,
existeunainfinidaddenúmerosreales.
Elconjuntodelosnúmerosrealesesun
conjuntodenso.