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Sistemas Numéricos
Los Números Naturales
Históricamente, los primeros números con que se disponía para contar cosas,
fueron los números naturales. Éste “conjunto” de números está constituído por 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, ....
Se identifica a éste conjunto numérico con la letra N, simbólicamente tenemos:
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Para indicar que, por ejemplo, 5 pertenece a los N, usamos 5 ∈ Ṅ , donde
∈ es el simbolo de pertenencia y se lee ”5 pertenece al conjunto de los números
naturales”.
Es fácil representar a los números naturales en la llamada recta numérica mediante puntos, fijando un origen (el cero), una unidad y una escala.
Cada número natural tiene la característica de ser par ó impar, pero no puede
ser ambas cosas a la a la vez.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... son los naturales pares
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... son los números impares
1) ¿Son los números naturales pares múltiplos de algún número?
.¿Cómo los puedes generar?
2) ¿Se te ocurre alguna fórmula que genere los naturales impares?
Operaciones en el conjunto de los números naturales.
En el conjunto de los números naturales solo se podía sumar y multiplicar,
y cada vez que sumamos o multiplicamos dos números naturales, el resultado
también es un número natural. Esto se conoce como la Ley de Cierre de la suma
y el producto de números naturales. Se dice entonces que el conjunto de los
números naturales es cerrado para las operaciones de suma y producto.
Antes de continuar, en matemática cada vez que uno habla de una ley o de una definición, estamos diciendo que esas son las ”reglas de juego” para tratar con la matemática
y, por lo tanto, no se cuestionan ni es necesario demostrarlas, sino que se las acepta
como verdaderas.
3) ¿Qué sucede con la resta o el cociente? ¿También al restar o
dividir dos naturales obtengo siempre otro natural? Supongo que sabes
que la respuesta es NO. Da algunos ejemplos.
Los Números Enteros
Según lo que vimos en la última actividad, al restar o dividir dos números
naturales el resultado no siempre es natural. Eso es lo mismo que decir que el
conjunto de los números naturales NO es cerrado con respecto a la resta y el
cociente.
Tomemos en primer lugar el ”problema” con la diferencia. Para solucionarlo es
que se crea un nuevo conjunto denominado el de los Números Enteros, que agrega
a los naturales, el cero y los números negativos y se expresa como:
Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
1
La representación de los números enteros en la recta numérica se realiza mediante puntos al igual que los números naturales, teniendo en cuenta que los enteros
positivos (o naturales), estan ubicados a la derecha del cero, y los enteros negativos
a la izquierda de éste.
Si te fijas con un poco de cuidado, podrás ver que a partir del cero, a derecha
e izquierda, existe una cierta simetría. Por ejemplo, −2 es el simétrico del 2, pues
ambos se encuentran a la misma distancia del cero. Se dice entonces que −2 es el
inverso aditivo de 2.
4) ¿Te animás a generalizar lo que acabamos de decir con letras?
En los enteros también existe un número que al sumarlo a cualquier otro, no
produce modificaciones en el resultado. Este número se denomina neutro aditivo.
5) ¿Quién crees que es ese número?
Operaciones en el conjunto de los números enteros
En este conjunto numérico se cumple la Ley de Cierre para las operaciones de
suma, producto y resta, no ocurre lo mismo con el cociente.
6) ¿Por qué?¿Cuándo se cumple que al dividir dos enteros el resultado también es entero?
En cuanto a la operación producto recordemos la Regla de los Signos realizando
la siguiente actividad:
Todos los habitantes de un pueblo están divididos en dos bandos enemigos. Así
los que viven ahí siempre siguen estas reglas:
-
El
El
El
El
amigo de mi amigo, será mi amigo
enemigo de mi enemigo, será mi amigo
amigo de mi enemigo, será mi enemigo
enemigo de mi amigo, será mi enemigo
Si al amigo lo reemplazamos por un + y al enemigo por un −, tendríamos:
- +por +, +
-− por −, +
- + por −, −
- − por +, −
7) Un poco de práctica siempre es buena, por lo que completa la
siguiente tabla:
Operación Frase correspondiente Resultado numérico Amigo o enemigo
(-2)(3)
El enemigo de mi amigo
-6
Enemigo
(5)(3)
(-2)(4)
(-6)(-3)
(5)(-4)
8) Pitágoras fue un filósofo y matemático griego.Aunque no se conoce
con exactitud su origen, la mayor parte de sus biógrafos, entre ellos
2
Porfirio, parecen coincidir en que nació y vivió sus primeros años en la
isla Jonia de Samos, hacia 582 a.C. a 507 a.C. (Wikipedia).
Ubica las fechas en las que el matemático griego nació y murió en
una línea de tiempo y contesta:
a) ¿Cuántos años vivió?
b) ¿Cuántos años han transcurrido desde que murió hasta la fecha?
Los Números Racionales
Con el conjunto de los Números Enteros habíamos solucionado el ”problema”
de la operación resta, pero no así el del cociente, pues vimos que no siempre al
dividir dos números enteros el resultado lo es. Entonces fue necesario crear otro
conjunto en el cual el cociente esté definido. Este conjunto es el de los números
racionales, llamados así por el término ”razón” que significa cociente.
Dentro de este conjunto entran todos aquellos números que los puedo expresar
como una fracción (la raya de fracción indica una división o cociente.
9) ¿Te parece que los números enteros pueden ser expresados de esta
forma?
El conjunto de los números racionales se denota con la letra Q, y se expresa
de la siguiente manera:
Q={
a
tal que a, b ∈ Z y b = 0}
b
Todas aquellas fracciones que son expresiones del mismo número racional se
8 10
llaman fracciones equivalentes. Por ejemplo 23 , 46 , 12
, 15 , ... son todas expresiones de
un mismo número racional y por lo tanto son fracciones equivalentes y podemos
encontrar infinitas fracciones que representen tal número, para ello basta con
que se multiplique numerador y denominador por un mismo número k ∈ N. En
particular, de todas ellas, la fracción 23 es llamada “forma reducida”, puesto que se
trata de la fracción obtenida luego de realizar todas las simplificaciones posibles.
Dentro de los números racionales existe un orden, es decir, dados dos números
racionales, puedo saber cuál es el mayor. Es decir, si ab y dc son dos números
racionales distintos, vamos a decir que ab < dc siempre que el producto de a por d
sea menor que el de b por c. En símbolos:
a
c
< ⇔ a.d < b.c
b
d
con b y d positivos
10) ¿Crees que es necesario la aclaración al final de que b y d son
positivos? .¿Qué pasaría si no lo son?. ¿Se seguiría cumpliendo la Ley
de orden en los racionales?.
Una propiedad importante del conjunto de los números racionales es el de
ser un conjunto denso, lo cual nos asegura de que dados dos números racionales
distintos siempre podemos encontrar otro racional entre ellos. Por ejemplo, entre
1 2
+
1
2
5 3
y
,
se
encuentra
el
número
racional
calculado
como
5
3
2
3
11) ¿Te animás a probar que el número así obtenido está entre los
otros dos? Dato: utilizá la Ley de Orden que viste antes para ordenar
los tres números.
12) ¿Ocurre lo mismo con los números naturales y los enteros?
Representación de los números racionales.
Representar un número racional sobre la recta numérica ya no es tan sencillo
como en el caso de los naturales y enteros. Veamos si eres capaz de representar 35
siguiendo las siguientes instrucciones que se basan en el Teorema de Thales, que
seguramente alguna vez viste:
13)
a) Traza la recta numérica, ubica el cero en ella y selecciona una
escala para determinar la unidad.
b) Traza por el cero una recta con cualquier inclinación hacia la
derecha.
c) Si analizas el número a representar, otra forma de verlo es pensar
que divido a la unidad en 5 partes, de las cuales tomo 3. Entonces
con un compás y cualquier abertura, realiza 5 marcas seguidas sobre la
recta inclinada.
d) Une la última marca con la unidad con un segmento de recta.
e) Traza segmentos paralelos a este último por cada una de las marcas hasta cortar la recta numérica. Las marcas sobre ella determinan
la división de la unidad en 5 partes.
f) De estas 5 partes toma 3. Entonces en la tercera marca sobre la
recta numérica a partir del cero, se encuentra el número 35 .
g) ¿Cómo harías con un número racional negativo?
Expresiones decimales
Un número racional puede ser expresado de una forma llamada ”expresiòn
decimal”. Esta puede ser una expresión decimal finita ó una expressión decimal
periódica infinita.
Analicemos en caso de los números racionales 65 , 59 y 113
. Para saber cual es la
90
expresión decimal de ambos números, se realiza la división entre el númerador y
el denominador. De acuerdo a ello tenemos:
a)
6
= 1, 2
5
b)
5
= 0, 55555555.....
9
c)
113
= 1, 25555555555......
90
En el caso a), tenemos una expresión decimal con parte entera 1 y parte
decimal 2. Vemos que la parte decimal tiene una cantidad finita de dígitos, en
este caso tal cantidad es 1. Por ello 65 tiene una expresón decimal finita.
En el caso b), tenemos una expresión decimal con parte entera 0 y como parte
decimal el número 5 que se repite indefinidamente y se lo llama período, por lo
tanto la cantidad de dígitos de la parte decimal se dice que es infinita y asi 59 tiene
una expresión decimal periódica pura y se puede expresar como 0, 5.
En el caso c), tenemos una expresión decimal con parte entera 1 y como parte
decimal el número 2 y un 5 que se repite indefinidamente, por lo tanto, al igual que
en el caso anterior estamos en presencia de un número racional con una expresión
4
decimal periódica mixta, con la única diferencia de que en la parte decimal existen
algunos dígitos precediendo al período y se puede encontrar escrito como 1, 2 5 .
Notemos que en el caso a), también podemos ver a 1, 2 como una expresión
decimal periódica infinita, donde el número que se repite indefinidamente es el
0, pues 1, 2 = 1, 20000000.... Pero en este caso puede omitirse la escritura de un
período cero y así obtenemos solamente la expresión decimal finita.
Ahora bien, qué pasa si sucede lo contrario, es decir, tenemos un número
decimal finito ó un número decimal periódico infinito, y queremos llevarlo a la
expresión ab que es la que define a los números racionales. Veamos los distintos
casos que se nos pueden presentar a través de ejemplos numéricos:
Caso a) x = 1, 34 .Tenemos una expresión decimal finita. Si multiplico ambos
miembros de ésta expresión por el número 100 (la unidad seguida de tantos ceros
como dígitos tenga en la parte decimal, que es finita), nos queda
100 × x = 100 × 1, 34
100 × x = 134
De esta forma conseguimos eliminar la coma.Luego despejando la x (x representa
, esto es otra exal número que queremos llevar a fracción), tenemos que x = 134
100
presión de x = 1, 34 pero ahora de la forma ab . Por lo tanto 1,34 = 134
.Compruebe
100
que si divide 134 sobre 100 obtiene nuevamente 1, 34
Caso b) x = 1, 2 . Esta es una expresión decimal periódica pura, para llevarla a la forma ab , el razonamiento es el siguiente:
Sabemos que x = 1, 2 = 1, 222222... Si a esta expresión la multiplicamos por 10
(la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el período), nos queda
10x = 10 × 1, 2222....
10x = 12, 2222...
Vemos que la parte decimal de x y de 10x es la misma e igual al período 2, por
lo tanto si hacemos la diferencia entre tales expresiones 10x − x, se eliminará tal
parte decimal (lo cual buscamos). Tendremos entonces lo siguiente:
10x − x = 12, 222... − 1, 222...
9x = 11
11
x =
9
Obtenemos de todo esto otra expresión de x = 1, 2 y es la expresión x =
11
9
,
5
o sea de la forma ab .
Caso c) x = 1, 56 2 es una expresión decimal periódica mixta. En este caso
procedemos como sigue:
Sabemos que x = 1, 56 2 = 1, 56222... si a esta expresión la multiplicamos por
100 (la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica),
nos queda
100x = 100 × 1, 56222...
100x = 156, 2222...
Si observas con cuidado, verás que al hacer esto estás en el caso b), es decir, conseguiste que la parte periódica quede a continuación de la coma. A partir de aquí
siguiendo el procedimiento del caso b), multiplicas a 100x por 10 (pues el período
tiene una sola cifra), de la siguiente forma:
10 × 100x = 10 × 156, 222...
1000x = 1562, 222...
Con esto conseguí que la parte decimal de 1000x y de 100x sea la misma , por lo
tanto si hacemos la diferencia entre tales expresiones 1000x − 100x, se eliminará
la parte periódica:
1000x − 100x = 1562, 222... − 156, 222...
900x = 1406
1406
x =
900
Obtenemos así otra expresión de x = 1, 56 2 y es la expresión x =
sea de la forma ab .
1406
900
, o
Los Números Irracionales
Ahora nos preguntamos, ¿qué pasa con un número con parte decimal
infinita no periódica como por ejemplo 1, 01001000100001000001....?. La
respuesta es que dicho número no podrá ser expresado como fracción. Por lo
tanto existen números , que no pertenece a los números racionales. y pasarán a
formar parte de un nuevo conjunto numérico, llamado números irracionales.
Como ejemplo de números irracionales tenemos a:
√ √ √
1) Las raíces de números que no son cuadrados perfectos, como√ser 3, 5, 7,
y en general las raíces no enteras de números enteros, como ser 3 −10, etc.
2) Las expresiones de la forma 2, 151551555155551555551... donde en la parte
decimal (infinta) no podemos identificar ningún período.
Algunos famosos como:
6
3) El llamado número de oro, que fué utilizado en la antigüedad por arquitectos, pintores y escultores para lograr armonía y belleza en sus obras , es simbolizado con la letra φ (fi) en honor al escultor griego Fidias. Se trata de
√
1+ 5
φ=
2
• 4) El conocido número que simboliza la razón o cociente entre la longitud de
una circunferencia y su diámetro, fué simbolizado por los griegos con la letra
π (pi), por ser la letra inicial de la palabra “periferia”. Una aproximación
de tal número es π ∼
= 3, 1416.
Representación de números irracionales
En esta ocasión estudiaremos la representación de algunos números irracionales,
en particular
√ las
√ raíces cuadradas de naturales que nos son cuadrados perfectos,
como ser 2, 3, etc.
Antes de ello, recordemos el teorema enunciado por Pitágoras de Samos, un
matemático griego del siglo VI. Pitágoras enunció que: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos.
a2 = b2 + c2
Veamos si guiándote √
por el enunciado de este teorema, eres capaz de representar
el número irracional 2 en la recta real.
14)
a) Traza la recta real, ubica el 0, elige una escala e indica la unidad
.
b) Dibuja un triángulo rectángulo con uno de sus catetos igual a 1
sobre la recta real y el otro también igual a 1 perpendicular a la recta
real que pase por la unidad.
c) Traza la hipotenusa. ¿Cuánto mide?¿Por qué?
d) Si pudiste responder a la pregunta de c), solo te falta hacer centro
con el compás en 0 y trasladar el segmento de la hipotenusa sobre la
recta real.
e) Una vez hayas entendido
el procedimiento descripto de a) a d),
√
intenta tú solo graficar 5
Los Números Reales
Ahora llegamos al mayor conjunto con el que vamos a trabajar por ahora. Este
contiene en si mismo a todos los conjuntos anteriores. Se representa como R.
15) ¿Te animás a esquematizar de alguna manera como se relacionan
estos conjuntos entre sí? ¿Qué conjunto está incluído en cuál?. Si te
parece más sencillo podés usar Diagramas de Venn.
Propiedades de los números reales
En el conjunto de los Números Reales tenemos los siguientes los siguientes
axiomas (son como las leyes de las que hablamos al principio):
7
Ley de Cierre ∀a, b ∈ R
Ley Conmutativa ∀a, b ∈ R
Ley Asociativa ∀a, b, c ∈ R
Existencia de elemento neutro
∃ e ∈ R tal que ∀a ∈ R
Existencia del elemento inverso
Con respecto a la suma
(a + b) ∈ R
a+b=b+a
(a + b) + c = b + (a + c)
a+e=e+a=a
en este caso
e=0
∀a ∈ R , ∃ − a ∈ R
a + (−a) = (−a) + a = 0
Con respecto al producto
(a.b) ∈ R
a.b = b.a
(a.b).c = b.(a.c)
a.e = e.a = a
en este caso
e=1
∀a ∈ R , a = 0, ∃ a−1 ∈ R
a.( a−1 ) = ( a−1 ).a = 1
En estas propiedades aparecen en su representación simbólica, una serie de símbolos
que vas a ver muy seguido de ahora en adelante. Sus significados son:
∈ → es el símbolo de pertenencia. El elemento que aparece a la izquierda del símbolo
”pertenece” al conjunto que está a la derecha del mismo.
∀ → se lee ”para todo”, e indica que ”todos” los elementos que aparece a continuación cumplen con alguna condición.
∃ → se lee ”existe algún”, e indica que alguno de los elementos descriptos a continuación cumple con algo.
Por ejemplo:
∀a ∈ R , ∃ − a ∈ R se lee: ”Para todo número a que pertenece a los reales, existe
un número −a que pertenece a los reales”.
Propiedades de los números reales
1) Una propiedad que vincula a estas dos operaciones es la llamada Propiedad
Distributiva del Producto
con respecto a la Suma
∀a, b, c ∈ R,
a . (b + c) = a.b + a.c
2) Potenciación de los números reales
Para todo a ∈ R y n un entero positivo se define an =a.a.a.a...a
n−veces
donde a se llama base, n se llama exponente y an se llama potencia.
Se cumplen las siguientes propiedades:
∀a, b ∈ R, m y n enteros positivos (presta atención a esta condición),
tenemos:
• an .am = an+m
(producto de potencias de igual base)
• (an )m = an.m
(potencia de potencia)
an
= an− m (a = 0) (cociente de potencias de igual base)
am
•
• (a.b)n = an .bn
a n
b
=
(prop. distributiva con respecto al producto)
an
(b = 0) (prop. distributiva con respecto al cociente)
bn
• Se define
a0 = 1, ∀a ∈ R, a = 0.
8
1
• Para el caso de exponente negativo, se define a− n = n cuando n es entero
a
positivo y ∀a ∈ R, a = 0
Algunos ejemplos de aplicación de las propiedades anteriores son:
1. 4x4 .2x2 = 8x6
2.
36a3 b4
6a2 b
=
22 32 a3 b4
2.3.a2 b
= 2.3.a.b3 = 6.a.b3
3. (2x3 )4 = 21.4 x3.4 = 24 x12 = 16x12
4. (6−2 )3 = 6(−2).3 = 6−6 = ( 16 )6 =
16
66
=
1
46656
3) Radicación de Números Reales.
Dado un número real a se define la raiz enésima de a al número real b si y sólo
si b elevado a la enésima potencia da por resultado a, en símbolos:
√
n
a = b ⇔ bn = a
donde a y b son números reales no negativos y n es un entero positivo, ó a y
b son reales negativos y n es un entero positivo impar (¿En este último
caso, qué pasa si n es par?)
.
√
La expresión n a se llama raíz enésima de a, el número n se llama índice, el
√
número a se llama radicando, y el símbolo se llama signo radical.
_ Si n es impar, para cualquier valor de a hay exactamente una raíz real
enésima de a. Por ejemplo:
√
3
125 = 5, pues 53 = 125
√
3
−27 = −3, pues (−3)3 = 27
_ Si n es par y a es positivo, existen dos raíces reales enésima de a. En general,
salvo que se pidan todas las raices reales, se considera sólo la raíz positiva. Por
ejemplo:
√
2
4
16 =
Observa que ambos valores cumplen con la definición que dimos al principio
-2
_ Si
√ n es par y a es negativo, no hay raíz enésima real de a.Por ejemplo: no
existe −4
Se cumplen las siguientes propiedades de la radicación:
Si n es un entero positivo y a, b son números reales tales que las raíces
existan (muy importante!!!), se tiene que:
√ n
• ( n a) = a
√
√ √
• n a. b = n a. n b (prop. distributiva con respecto al producto)
√
n
a
a
n
•
(prop. distributiva con respecto al cociente)
= √
n
b
b
9
√
√
m n
a = m.n a
√
√
n.k
• na=
ak con k entero positivo
√
• Si n es impar n an = a
√
a , si a 0
n
• Si n es par an =
−a , si a < 0
•
Por ejemplo:
√
√
3
1.
64 = 6 64
Exponentes racionales
Si b es un número real y n un entero positivo, se define
1
bn =
√
n
b
siempre que la raíz exista (atención!!!). Por ejemplo:
√
1
1. 32 5 = 5 32 = 2
16) Con esta nueva definición, observa la primera, cuarta y quinta
propiedad de la radicación, ¿ con qué propiedad de la potenciación las
puedes relacionar?
Siguiendo con esta definición, si m y n son enteros positivos sin divisores comunes excepto 1 y −1, se define
m
bn =
√
n
bm
siempre que esta expresión sea un número real, esto es, si b 0 cuando n es par
(observa!!!), o bien, si n es impar para cualquier valor de b.
Racionalización de denominadores.
Cuando quitamos las raíces del denominador de un número fraccionario, decimos que estamos racionalizando.
Veamos los siguientes casos que se pueden presentar a través de ejemplos:
• En el denominador figura una raíz cuadrada
√
√
√
5
2
2
√ = √ . √ = 2.
√ 5 = 2. 5 (observa que la idea es que estás multiplicando
5
5
5
( 5)2
5
1
por 1 que es el elemento neutro del producto por lo que no te altera el ejercicio)
• En el denominador figura una raíz que no es cuadrada
√
√
√
√
√
7
7
7
7
7
2
2
55
2. 55
2. 55
2. 55
2. 55
√
√
= √
. √
= √
= √
= √
=
(¿por
7
7
7
7
7
7 52 . 55
5
52
52 55
52 . 7 55
57
1
qué elige multiplicar y dividir por
radicación se pretende aplicar?)
√
7
55 ?, ¿qué propiedades de la potencia y de la
10
• En el denominador figura un binomio.
√
√
√ √
√ √
2− 3
5.( 2− 3)
5.( 2− 3)
5
5
√ √ = √ √ . √
√ √
√ √
√
=
=
√ 2 √ √ √ √
√ 2 =
2+ 3
2+ 3
( 2+ 3).( 2− 3)
( 2) − 2 3+ 2 3− ( 3)
2
−
3
√ √
5.( 2− 3)
2−3
1
√ √
√
√
= −5. 2 − 3 (¿por qué elige multiplicar y dividir por 2 − 3 ?
Notación Científica
Los exponentes enteros con frecuencia se utilizan para escribir números muy
grandes ó muy pequeños de una forma conveniente.
Cualquier número real positivo puede escribirse de la forma
a × 10n
donde 1 a < 10 (presta atención!!!), y n un número entero. Decimos que un
número escrito así esta en notación científica. Por ejemplo:
1000000 = 1 × 106 Compara el exponente con el número de ceros
0, 00000000432 = 4, 32 × 10−9 Compara el exponente con el número de lugares
que se corrió la coma
17) ¿Sería correcto expresar 0, 00000000432 = 43, 2 × 10−10 ?¿Por qué?
La notación científica es muy útil en química y física, donde ocurren con frecuencia números como
• La distancia promedio de la Tierra al Sol expresada en millas:
92900000 = 9, 29 × 107
• El promedio de vida de una partícula lambda en segundos:
0, 000000000251 = 2, 51 × 10−10
11