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Resolución de triángulos
Resolver triángulos rectángulos
Para resolver triángulos rectángulos utilizaremos tanto el Teorema de
Pitágoras como las definiciones de las fórmulas trigonométricas que vimos
en el tema anterior.
2
2
Teorema de Pitágoras : a =b + c
seno =
cateto opuesto
hipotenusa
coseno =
b
a
sen(C) =
c
a
cos(C ) =
b
c
tan(C ) =
sen(B) =
cos(B ) =
tan( B) =
c
a
b
a
c
b
cateto contiguo
hipotenusa
tangente =
cateto opuesto
cateto contiguo
2
Problemas de doble observación
En este tipo de problemas debemos resolver un sistema de ecuaciones para hallar el dato que nos piden (en este
caso la altura h). Estos problemas pueden venir dados de diferentes formas pero su resolución es siempre similar:
h
60º
30º
5
{
h
x+ 5
h
tg 60 º =
x
tg 30=
1,73 x
x +5
0,577 ( x +5)=1,73 x
0,577 x +2,885=1,73 x
x=2,502
x
0,577=
5+x
h=2,502⋅tg 60 º =4,33
h
h
60º
30º
5+x
x
h=x⋅tg 60 º=1,73 x
Teorema del seno y del coseno
Cuando los triángulos no son rectángulos hemos de aplicar los teoremas del seno y del coseno.
A
b
c
C
B
a
Teorema del seno
senA senB senC
=
=
a
b
c
Teorema del coseno
2
2
2
a =b +c −2 bc cosA
b2=a2 +c 2−2 ac cosB
c 2 =a2 +b2−2 ab cosC
Resolución de triángulos(i)
Vamos a ver algunos ejemplos de resolución de triángulos no rectángulos. En estos casos siempre nos darán 3
datos.
Si nos dan los 3 lados tenemos que empezar utilizando el teorema del coseno. Después podemos volver a utilizarlo
o bien usar el teorema del seno.
Nota: Para resolver triángulos siempre intentaremos
probar las herramientas de las que disponemos en el
siguiente orden:
●
Si tenemos dos ángulos sacaremos el tercer ángulo
sabiendo que la suma de todos es 180º.
●
Probamos con el teorema del seno.
●
Probamos con el teorema del coseno.
A
9
8
C
B
10
2
2
2
a =b +c −2 bc cosA
102 =92 +82−2⋅9⋅8 cosA
102−92−82
cosA=
=0,65
−2⋅9⋅8
A=arccos 0,65=71,79 º
senA senB
=
a
b
sen 71,79 º senB
=
10
9
9 sen71,79 º
senB=
=0,854
10
B= arcsen0,854=58,75 º
C=180− A−B=49,46 º
Resolución de triángulos(ii)
Vamos a resolver un triángulo donde nos dan 2 ángulos y un lado. En este caso lo más sencillo es obtener el
ángulo que falta y utilizar el teorema del seno para hallar los otros dos lados.
50º
9
c
60º
B
a
C=180−60−50=70 º
senA senB
=
a
b
sen 50 sen 70
=
a
9
9 sen 50 º
a=
=7,33
sen 70º
senC senB
=
c
b
sen 60 sen70
=
c
9
9 sen 60 º
c=
=8,29
sen 70 º
Resolución de triángulos(iii)
Vamos a resolver un triángulo donde nos dan 2 lados y el ángulo comprendido. Para resolverlo utilizaremos el
teorema del coseno para sacar el lado que falta y luego sacaremos los ángulos con la ayuda del teorema del seno.
50º
9
10
C
B
a
2
2
2
a =b +c −2bc cosA
a= √ 92 +102−2⋅9⋅10 cos 50
a=8,08
senA senB
=
a
b
sen50 º senB
=
8,08
9
9 sen50 º
senB=
=0,853
8,08
B=arcsen 0,854=58,56 º
C=180−58,56−50=71,44 º
Resolución de triángulos(iv)
Vamos a resolver un triángulo donde nos dan 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este es el caso más
complicado ya que puede haber dos soluciones, una solución o ninguna.
A
9
10
60º
B
a
senC senB
=
A=180−51,207−60=68,793 º
c
b
sen 60º senB
=
10
9
9 sen60 º
senB=
=0,779
10
B=arcsen 0,779=51,207 º ( y 180−51,207=128,79 º )
Esto lo vimos el tema anterior. Ahora como
128,79+60º(el ángulo que sabemos) suman más de
180º y eso es imposible este ángulo no es solución.
senA senC
=
a
c
sen 68,793 º sen 60 º
=
a
10
10 sen 68,793 º
a=
=10,765
sen 60º