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T3: TRIGONOMETRÍA
1
1º BCT
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo es hallar las longitudes de sus lados y las amplitudes de sus ángulos.
Las fórmulas que se aplican son:
C
a) Las razones trigonométricas:
a
b
ˆ = b ; cos B
ˆ = c ; tg B
ˆ =b
sen B
a
a
c
A
c
b
c
sen Cˆ = ; cos Cˆ = ; tg Cˆ =
a
a
b
B
c
b) El teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2
c) La suma de los ángulos agudos: B + C = 90º
Resolver un triángulo rectángulo, es calcular los cinco elementos, sus lados y sus ángulos agudos, a partir
de dos de ellos. Se pueden presentar cuatro casos:
NOTA: Hay distintas formas de calcular los datos, nosotros los vamos a determinar partiendo de los datos
iniciales.
1.1
CONOCIDO
LOS DOS CATETOS
DATOS: LOS DOS CATETOS b y c
C
a) Empleando el teorema de Pitágoras, calculamos la hipotenusa:
a 2 = b2 + c 2
a
b
b) Empleando las razones trigonométricas, calculamos los ángulos:
A
b
b
→ B̂ = arctg  
c
c
ˆ=
tg B
B
c
(También se puede emplear el seno y coseno para calcular B̂ )
tg C =
c
c
→ C = arctg  
b
b
(También se puede emplear: B̂ + C = 90º )
Ejemplo:
Sea b =
a=
48 , c = 4, calcular los restantes elementos del triángulo:
48 + 16 =
b2 + c 2 → a =
64 = 8
b
tg Bˆ =
→ tg Bˆ =
c
48 4 3
=
= 3 ⇒ B̂ = 60º
4
4
ˆ = c → tg C
ˆ =
tg C
b
4
Luisa Muñoz
48
=
1
3
=
3
⇒ Ĉ = 30
3
- 1-
T3: TRIGONOMETRÍA
1.2
CONOCIDO
1º BCT
LA HIPOTENUSA Y UN CATETO
DATOS: LA HIPOTENUSA a Y UN CATETO b
C
a) Empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el otro cateto:
c 2 = a 2 – b2
a
b
b) Empleando las razones trigonométricas, calculamos los ángulos:
ˆ=
sen B
A
b
b
→ B̂ = arcsen  
a
a
B
c
(También se puede emplear el coseno y tangente para calcular B̂ )
cos C =
b
b
→ C = arccos  
a
a
(También se puede emplear: B̂ + C = 90º )
Ejemplo:
Sea a =
18 , b = 3, calcular los restantes elementos del triángulo:
b=
18 − 9 =
a2 − c 2 → a =
9 =3
Si los dos catetos son iguales entonces los dos ángulos agudos miden igual, por tanto: B̂ = Ĉ = 45º
Comprobamos empleando los datos iniciales:
b
3
3
2
sen Bˆ = → sen Bˆ =
=
=
→ B̂ = 45º
2
a
18 3 2
ˆ =b
cos C
a
1.3
CONOCIDO
→ cos C =
3
18
=
3
3 2
=
2
→ Ĉ = 45º
2
LA HIPOTENUSA Y UN ÁNGULO AGUDO
DATOS: LA HIPOTENUSA a Y UN ÁNGULO AGUDO B̂
C
a) Empleando B̂ + C = 90º , calculamos el otro ángulo:
ˆ
C = 90º − B
b) Empleando las razones trigonométricas, calculamos los lados:
a
b
A
B
c
ˆ = b → b = a·sen B
ˆ
sen B
a
cos B =
c
ˆ
→ c = a·cos B
a
(También se puede emplear el teorema de Pitágoras)
Luisa Muñoz
- 2-
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
Ejemplo:
Sea B̂ = 60º , a = 6, calcular los restantes elementos del triángulo:
ˆ → Ĉ = 90º – 60º = 30º
C = 90º − B
3
b
b
sen Bˆ = → sen 60º = → b = 6 · sen 60º = 6
=3 3
2
a
6
cos C =
1.4
c
c
1
→ cos 60º = → c = 6 · cos 60º = 6 = 3
2
a
6
CONOCIDO
UN CATETO Y UN ÁNGULO AGUDO
DATOS: UN CATETO b Y UN ÁNGULO AGUDO B̂
C
a) Empleando B̂ + C = 90º , calculamos el otro ángulo:
a
b
ˆ
C = 90º − B
b) Empleando las razones trigonométricas, calculamos los lados:
A
B
c
ˆ =b → a= b
sen B
ˆ
a
sen B
tg B =
b
b
→ c=
c
tg B
(También se puede emplear el teorema de Pitágoras)
Ejemplo:
Sea
B̂ = 30º, b = 5, calcular los restantes elementos del triángulo:
ˆ → Ĉ = 90º – 30º = 60º
C = 90º − B
b
5
5
5
sen Bˆ = → s en 30º =
→ a=
=
= 10
a
a
sen 30º 1
2
b
5
5
5
tg Bˆ = → tg 30º = ⇒ c =
=
1
c
c
tg 30º
Luisa Muñoz
=5 3
3
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T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
Actividades resueltas
1.- Un punto del suelo horizontal dista 200 m de la puerta de la iglesia y desde él se observa el extremo del
campanario 12º por encima de la horizontal. ¿Cuál es la altura del campanario?
Realizamos un dibujo esquemático de la siguiente situación.
OPQ es un triángulo rectángulo.
Q
Los datos que tenemos son:
El ángulo de 12º y la distancia OP = 200 m (cateto
contiguo al ángulo de 12º)
La incógnita es PQ = h (cateto opuesto al ángulo de
12º).
h
12º
P
O
200 m
La razón trigonométrica que relaciona el cateto contiguo y el opuesto es la tangente:
h
h
tg 12º =
→ 0,21 =
→ h = 200 · 0,21 ≈ 42,5 m
200
200
2.- Queremos inscribir un rectángulo en una circunferencia de 20 cm de radio, de manera que la diagonal
del rectángulo forme un ángulo de 25° con su lado m ayor. Haz un dibujo y calcula las dimensiones que tiene
que tener ese rectángulo.
B
La diagonal del rectángulo tiene que ser un diámetro de la
circunferencia, pues ABC es un triángulo rectángulo.
40
Datos : 25° y la hipotenusa (BC = 40 cm).
Incógnitas: los catetos.
C
25º
A
Para calcular el lado mayor (AC, que es el cateto contiguo al ángulo de
25°) utilizamos la definición de cos a:
cos 25º =
AC
AC
→ 0,906 =
→ AC = 0,960·40 ≈ 36, 25 cm
40
40
Para hallar el lado menor AB, tenemos dos opciones:
1ª forma:
sen 25º =
AB
AB
→ 0, 42 ≈
→ AB ≈ 0, 42·40 ≈ 16,8 cm
40
40
2ª forma: Por el teorema de Pitágoras:
2
2
AB = BC − AC = 402 − 36, 252 ≈ 16,91
Luisa Muñoz
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T3: TRIGONOMETRÍA
2
1º BCT
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
Si se desea hallar la altura de una montaña, el ancho de un río, etc, y no se puede llegar hasta alguno de los
puntos para realizar directamente las mediciones, se utiliza “el método de la doble observación”, que
consiste en elegir dos puntos accesibles, medir la distancia entre ellos y los ángulos necesarios.
Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado.
Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando éste
está situado arriba del observador.
Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.
Horizontal
Horizontal
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
Actividades resueltas
1.- En la llanura, desde un punto cualquiera, se mide el ángulo de elevación, B = 40º. Acercándonos 300
m, se vuelve a medir el ángulo de elevación, C = 55º. Se desea hallar la altura de una montaña.
D
Dibujamos la situación, e indicamos los
datos, como en la figura de la derecha.
¿h?
40º
A
300 m
En el triángulo ACD se tiene: tg 40º =
h
⇒ h = (x + 300) · tg 40º
300 + x
En el triángulo BCD se tiene: tg 55º =
h
⇒ h = x · tg 55º
x
55º
B
x
C
Obtenemos el siguiente sistema, que se resuelve por igualación:
h = x · tg55º

 ⇒ (x + 300) · tg 40º = x · tg 55º ⇒ 0,839·(x + 300) = 1,428x ⇒ 0,839x + 251,7 =
h = (x + 300)· tg40º 
1,428x ⇒ 0,589 x = 251,7 ⇒ x = 427,33 m
Sustituyendo en la segunda ecuación: h = 1,428 · 427,33 = 610,22 m
Luisa Muñoz
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T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
2.- Calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación desde los puntos A y B.
Con los datos de la figura tenemos que:
tg 35º =
h
⇒ h = (10 + x) · 0,7
10 + x
tg 63º =
h
⇒ h = 1,96x
x
D
h
Igualando las dos expresiones, tenemos:
A
(10 + x) · 0,7 = 1,96x
35º
10 m
63º
x
B
C
7 + 0,7x = 1,96x ⇒ 1,26x = 7 ⇒ x = 5,55 m
Luego, la altura es:
h = 5,55 · 1,96 = 10,88 m
3.- Un avión vuela a cierta altura y en un determinado instante se encuentra sobrevolando la línea
imaginaria que une dos torres que están separadas 10 Km. Al no funcionar el altímetro, el piloto toma
los ángulos de depresión de ambas torres (20º y 15º). Determina la altura a la que se encuentra el avión
en ese momento.
Con los datos de la figura tenemos que:
tg 15º =
h
⇒ h = (10 – x) · 0,268
10 − x
tg 20º =
h
⇒ h = 0,364x
x
15º
20º
¿h?
Igualando las dos expresiones, tenemos:
(10 – x) · 0,268 = 0,364x ⇒ 2,68 – 0,268x = 0,364x
20º
15º
10 - x
0,632x = 2,68 ⇒ x = 4,24 Km
x
10 Km
Luego, la altura es:
h = 4,24 · 0,364 = 1,54 Km
4.- Un piloto observa dos vértices geodésicos desde una altura de 3500 m sobre la línea que los une,
bajo ángulos de 24º y 18º. Calcula la distancia entre ambos puntos.
Con los datos de la figura tenemos que:
tg 18º =
3500
3500
3500
⇒y=
⇒ y=
= 10.937 m
y
tg 18º
0,32
tg 24º =
3500
3500
3500
⇒x =
⇒x=
= 7778 m
x
tg 24º
0, 45
Luego, la distancia es:
18º
24º
3500
24º
18º
y
d = x + y = 10.937 + 7.778 = 18.715 m
Luisa Muñoz
x
¿d?
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T3: TRIGONOMETRÍA
2.2
1º BCT
TEOREMA DEL
SENO
ɵ y C y lados a, b y c, se cumple que:
En cualquier triángulo de ángulos A , B
a
b
c
=
=
ɵ
sen A senB senC
Demostración:
Para demostrarlo trazamos una de las alturas, hc.
C
En un triángulo ABC, obteniendo dos triángulos: AHC
y BHC.
a
b
h
A
B
c
H
Trabajando con el triángulo AHC:
sen A =
h
⇒ h = b · sen A
b
Trabajando con el triángulo HCB:
ɵ = h ⇒ h = a · sen B
ɵ
senB
a
Igualando, obtenemos:
a
ɵ ⇒
b · sen A = a · sen B
sen A
=
b
ɵ
senB
Repitiendo el mismo proceso con la altura hA, obtendríamos:
b
ɵ
senB
=
c
senC
Ejemplos:
1) De un triángulo sabemos que: A = 60º, C= 40° y b = 15cm. Calcula los restantes elementos.
B
a
15
15·sen 60º
=
⇒ a=
= 13,2 cm
sen 60º sen 80º
sen 80º
a
c
60º
A
ɵ = 180º - B
ɵ - C = 180º - 40º - 60º = 80º
B
40º
C
15 m
c
15
15·sen 40º
=
⇒ c=
= 9,8 cm
sen 40º sen 80º
sen 80º
2 ) Halla el ángulo C y el lado b en el triángulo ABC en el que: A = 60°, a = 20 m, c = 10 m.
10
B
sen C
=
20
10·sen 60º
⇒ sen C =
= 0,43 ⇒
sen 60º
20
20 m
10 m
C = 25° 39' 32''
60º
A
b
C
ɵ = 180º - 25° 39' 32'' - 60º = 94° 20' 28''
B
b
ɵ
sen B
Luisa Muñoz
=
20
20·sen B
⇒ b=
= 23,03 m
sen 60º
sen 60º
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T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
TEOREMA DEL COSENO
2.3
ɵ y C y lados a, b y c, se cumple que:
En cualquier triángulo de ángulos A , B
2
2
2
ɵ
b = a + c – 2ac cos B
2
2
2
2
2
2
a = b + c – 2bc cos A
c = a + b – 2ab cos C
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el
doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.
Demostración:
Para demostrarlo trazamos una de las alturas, hc.
C
En un triángulo ABC, obteniendo dos triángulos: AHC
y BHC.
a
b
h
x
A
c-x
B
c
H
Trabajando con el triángulo AHC:
sen A =
h
⇒ h = b · sen A
b
cos A =
x
⇒ x = b · cos A
b
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo BHC:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a = (c – x) + h ⇒ a = (c – b · cos A ) + (b·sen A ) = c – 2cb cos A + b cos A + b sen A
2
2
2
2
2
2
2
a = c – 2c·b· cos A + b (cos A + sen A ) = c – 2c·b· cos A + b
2
2
2
Luego: a = c + b – 2c·b· cos A
De forma análoga se demuestran las otras dos igualdades.
Ejemplo:
1) De un triángulo sabemos que: a = 5 cm, B = 30° y c = 3cm. Calcula los restantes elementos.
C
2
2
2
ɵ ⇒ b2 = 52 + 32 – 2 · 5 · 3 · cos 30º
b = a + c – 2ac cos B
2
b = 8,02 → b = 2,83 cm
5 cm
2
2
2
a = b + c – 2bc cos A → cos A =
A
30º
3 cm
B
b2 + c 2 - a2 2,832 + 3 2 - 52
=
2·2,83·3
2bc
cos A = – 0,47 ⇒ A = 118º 4´28”
C = 180º – 118º 4´28” – 30º = 31º55´32”
Luisa Muñoz
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