Download Xi = x 3 + x 4+ x 5+ x 6 + x 7+ x 8 ∑ i 2 ∑ c X i

Estudio del sumatorio.
El símbolo ∑ indica una suma indicada y aparecerá frecuentemente en las
fórmulas de estadística.
n
8
∑i =
1 + 2 +3+ ... + n ;
i=1
∑ Xi = x 3 + x 4+ x 5+ x 6 + x 7+ x 8
i=3
4
∑i =
0 + 1 + 2 +3+ 4
i=0
3
∑i
2
=
1+ 4 +9
i=1
(∑)
Reglas del sumatorio:
1. Si los valores de una variable se multiplican por una constante, su sumatorio queda multiplicado
por la misma constante:
n
n
∑ cXi =
cX
1
+cX
2
+cX
3
+cX
4
+ ......+ c X
n
=
i=1
∑
c
Xi
i=1
2. El sumatorio de una constante de 1 a n es igual a n veces el valor de la constante.
n
∑c =
c + c + c + c + ......+ c = n c
1
3. EL sumatorio de varios términos coincide con la suma de los sumatorios de dichos términos
3
4. El sumatorio doble:
2
∑
∑
j=1
i=1
3
a ij = ∑ ( a 1j + a 2j ) =
j=1
(a 11 + a 21 ) + (a 12 + a 22 ) + (a 13 + a 23 )
Ejercicios del sumatorio
1. Sabiendo que A= -3; B =2; X1 = 1; X2 = 5; X 3 = -2; X 4 = 4; X 5 = 6
Calcular:
5
5
a) Σ Xi; b) Σ (Xi)2 ;
i=1
i=1
7
e) Σ (n2 - n)
n=3
5
5
c) Σ ( A Xi + B) d) Σ ( A Xi - B)2
i=1
i=1
2. Escribir las siguientes expresiones con notación de Σ
a)
7a1 + 7 a2 + 7a3 + 7a4 .... + 7a14
b)
(b1 + b2 + b3 + b4 .... + b10)2
c)
(c12+ c22+ c32+ c42.... + c202 ) 2 + c1 + c2 + c3 + c4 .... + c20
d)
(d1 + d2 + d3 + d4 .... + d30)+ 30 M
3. A cinco personas se les han aplicado tres pruebas, cuyos resultados aparecen en la siguente tabla
puntuación
persona
1
2
3
1
3
4
4
2
8
9
6
3
2
3
5
4
2
2
3
5
4
6
3
Calcular el valor de las siguientes expresiones:
5 3
a) Σ Σ Xij
i=1 j=1
b)
5 3
Σ Σ X2ij
i=1 j=1
5 3
c) ( Σ Σ Xij )2
i=1 j=1
5 3
d) para K=3 calcular Σ Σ K
i=1 j=1
5 3
e) Σ Σ ( Xij + K)
i=1 j=1
5 3
f) Σ Σ ( Xij + K)2
i=1 j=1
SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CAMPO NUMÉRICO.
El orden en que los textos de matemáticas presentan los diversos tipos de
números no coincide con el orden en que estos fueron apareciendo a lo largo de
la historia. Los matemáticos suelen presentar los conjuntos de números de
menos a mas amplios, por ello siempre se presenta en primer lugar a los
números Naturales
N = { 1, 2, 3 ,4 ....} , estos son los números que se usan para contar objetos.
A continuación se presentan los Números Enteros Z = {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, ...}
(Z es la letra inicial de la palabra alemana ZAHL , Este conjunto contiene además
de los números naturales al cero y a los números negativos. Gracias a esta
ampliación ya es posible expresar con símbolos matemáticos la idea de las
deudas.
La siguiente ampliación son los números Racionales Q, son todos aquellos que
se pueden escribir de la forma a/b, siempre que b no sea el cero, a y b son
enteros cualesquiera. Naturalmente todos los números tanto Naturales como
Enteros estan incluidos en este conjunto. (Q es la primera letra de la palabra
quebrados)
Una ampliación más y tenemos los números reales formados por todos los
racionales y otros muchos que como el número π , o el número e o la raíz
cuadrada de ciertos números positivos como el 2 o el 3, etc , para los que por ser
imposible escribirles de la forma a/b, no son Racionales.
La última ampliación la representan los números Complejos y son los que tienen
la forma (a+bi) siendo a y b números reales cualesquiera e i es justamente la raíz
cuadrada del número -1.
Aunque el orden que se acaba de describir es el que se suele presentar en los
manuales de matemáticas, ese orden no coincide con el orden de aparición de
los números durante la Historia de la Humanidad. Voy a pasar a describir
cronológicamente como fueron apareciendo los distintos tipos de números.
No hay que perder de vista que los números son instrumentos que los hombres y
las mujeres han ido desarrollando según han ido siendo necesarios para sus
actividades. Una de las primeras actividades matemáticas que se aprendió es la
de contar, y para poder contar aparecieron los números Naturales. Existe certeza
de que ya dos mil quinientos años antes de Cristo los egipcios y los acadios que
vivían en lo que actualmente conocemos como Irak usaban los números
Naturales para contar sus rebaños, pero además también usaban los quebrados
positivos. Empleaban las expresiones mitad, tercio, cuarta parte etc, por lo que
ya usaban los números que ahora llamamos Racionales Positivos.
El cero era conocido 300 años antes de Cristo, lo usaban tanto los Alejandrinos
en Grecia como los hindúes en la India, pero no se le usaba del todo
correctamente. Hubo que esperar al año 1500, para que en Europa se aceptara
al cero como número y se le usara adecuadamente.
Brahmagupta hacia el año 628 utilizó los números negativos para representar las
deudas y fijó las reglas para realizar con ellos las cuatro operaciones (suma,
resta, producto y cociente). En ese tiempo todavía era una opinión generalizada
la de que los negativos eran números absurdos. Pero los hindúes aceptaron los
números negativos con reservas y sobretodo con el paso del tiempo. El
matemático hindú Baskara, que nació en 1114 trabajó con números negativos y
escribió que la raíz cuadrada de un número positivo era doble (positiva y
negativa) pero que la raíz cuadrada de un negativo no existía, porque un
cuadrado nunca puede ser negativo.
Cardano que nació en Pavía en 1501 ya empleaba en 1545 los complejos y
Bombelli en 1560. Estos matemáticos empezaron a considerar las raíces
cuadradas de números negativos, aunque también con estos números hubo
muchas dificultades para que la comunidad académica los aceptara como
números de pleno derecho. En principio se les dio el nombre de "sofísticos", y
después se les calificó de "envueltos"(Girad, siglo XVII), también se les llamó
“números imaginarios” (Descartes) y “complejos” (Gauss) porque muchos
matemáticos de la época insistían en que no eran números de verdad.
Por último recordar que los números reales no se han formalizado hasta finales
del siglo XIX.
Repaso de operaciones con números
Calcular:
1.
a) 2+5 x 7-3
b) (2+5 ) 7-3
c) (2+5 ) (7-3 )
d) 2+5 ( 7-3 )
2.
a)
b)
c)
½ - ¾ + 5
½ ( ¾ + 5)
( ½ - ¾ ) 5
3.
a)
b)
( 7/5 x 22 - 3 ) + 3/6 x 8/5
( 7/5 ) ( 22 - 3 ) + ( 3/6 x 8/5)
4.
a) 72
5.
a)
Calcular y expresar con raices:
(2 + 7) ½ ; b) 21/2 + 7 ½ ; c) (2/ 7) ½
;
b)
7 -2
c) 7 1/2
d) 7 -1/2
; d) 2 1/2 / 7
6. Calcular
a)
(2 + 7) 2
d) 22 - 72
;
b) 22 + 72
; e ) ( 2 - 7) 2
; c) (2 + 7 ) ( 2 – 7) ;
½