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COLEGIO NUESTRO SEÑOR DE LA BUENA ESPERANZA
Asignatura: ANÁLISIS MATEMÁTICO 11º
Profesor:
Lic. EDUARDO DUARTE SUESCÚN
TALLER CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Aunque la teoría de conjuntos es completamente general, en la matemática elemental se
encuentran ya conjuntos importantes que son conjuntos de números.
De particular interés, en especial en el análisis, es el conjunto de los números reales, que
se denota por R
En este capítulo se supone de hecho, al menos que se diga otra cosa, que el conjunto
universal es el conjunto de los números reales.
Se revisarán en primer lugar algunas propiedades elementales de los números reales antes
de aplicar los principios fundamentales de la teoría de conjuntos a conjuntos de números.
El conjunto de los números reales con sus propiedades se llama el sistema de los números
reales.
NÚMEROS REALES,
Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos representar
por puntos de una línea recta. En la Figura, se elige un punto llamado origen, para
representar el 0, y otro punto, por lo común a la derecha, para representar el 1. Resulta
así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números
reales, es decir, que cada punto representa un número real único y que cada número real
viene representado por un punto único. Llamando a esta recta la recta real, podrán
emplearse uno por otro los conceptos de punto y de número.
s= 2,781…
1
2
-
-5
-4
-3
-2
-1
0

2
1
2
3
4
5
Los números a la derecha del 0, o sea al mismo lado que el 1, son los llamados números
positivos, y los números a la izquierda del 0 son los llamados números negativos. El 0
mismo no es ni positivo ni negativo.
ENTEROS,
Los enteros son los números reales
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
Se denotan los enteros por
; así que se escribe
= {.... -2, -1, 0, 1, 2,...,} 30
Propiedad importante de los enteros es que son «cerrados» respecto de las operaciones de
adición, multiplicación y sustracción; es decir, que la suma, producto y diferencia de dos
enteros es a su vez un entero.
Nótese que el cociente de dos enteros, por ejemplo, 3 y 7, no es necesariamente un
entero; así que los enteros no son cerrados respecto de la operación división.
NÚMEROS RACIONALES,
Los números racionales son los reales que se pueden expresar como razón de dos enteros.
Se denota el conjunto de los números racionales por
, así que,
= {x | x = p/q
donde
p
,q
}
Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo, 5 = 5/1; por
tanto,
es un subconjunto de
.
Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición,
multiplicación y sustracción, sino también respecto de la división (excepto por 0).
Es decir, que suma, producto, diferencia y cociente (excepto por 0) de dos números
racionales es un número racional nueva
NÚMEROS NATURALES,
Los números naturales son los enteros positivos. Se denota el conjunto de los números
naturales por
; así que
= {1, 2, 3,...}
Los números naturales fueron el primer sistema de números que se formó y se les usaba
primordialmente antes para contar. Nótense las relaciones siguientes entre los anteriores
sistemas de números:



Los números naturales son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación
solamente.
La diferencia y el cociente de dos números naturales no es necesariamente un número
natural.
Los números primos son los naturales p, excluido el 1, que solo son divisibles por 1 y por p
mismo. He aquí los primeros números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...
NÚMEROS IRRACIONALES,
’
Los números irracionales son los reales que no son racionales, esto es, el conjunto de los
números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales
en los
números reales
; por eso se denotan los números irracionales por
’.
Ejemplos de números irracionales son
3 , ,
2 , etc.
DIAGRAMA LINEAL DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS
El siguiente diagrama muestra los distintos conjuntos de números vistos hasta ahora. (Para
que quede completo, se incluye en el diagrama el conjunto de los números complejos, que
son los de la forma a  bi , con a y b reales. Obsérvese que el conjunto de los números
complejos es un superconjunto del conjunto de los números reales.)
Números Complejos
Números Reales
Números Racionales
Números irracionales
Números Enteros
Enteros Negativos
Cero
Números Naturales
Números Primos
DESIGUALDADES
Se introduce el concepto de «orden» en el sistema de los números reales por la
Definición: El número real a, es menor que el número real b, lo que se escribe:
a<b
si b – a es un número positivo.
Se pueden demostrar las propiedades siguientes de la relación a < b. Sean los números
reales a, b y c; entonces:
P1: O bien a < b, o a = b, o b < a.
P2: Si a < b, y b < c, entonces a < c.
P3: Si a < b, entonces a + c < b + c.
P4: Si a < b y c es positivo, entonces ac < bc.
P5: Si a < b y c es negativo, entonces bc < ac.
Geométricamente, si a < b el punto a sobre la recta real está a la izquierda del punto b,
También se indica a < b por
b>a
lo que se lee «b es mayor que a». Asimismo, se escribe
ab o ba
si a < o a = b, es decir, si a no es mayor que b.
Ejemplo 1:
2 < 5; - 6  - 3 y 4  4; 5 > - 8.
Ejemplo 2:
La notación x < 5 significa que x es un número real menor
así que x está a la izquierda de 5 en la recta real.
que
5;
La notación 2 < x < 7 significa 2 < x y x < 7; con lo que x estará entre 2 y 7 en la recta
real.
Observación 3-1: Es de notar que el concepto de orden, o sea la relación a < b, se define
mediante el concepto de número positivo.
La propiedad fundamental de los números positivos que se utiliza para demostrar
propiedades de la relación a < b, es que tales números son cerrados
respecto de las operaciones de adición y multiplicación, hecho que,
además, está ligado íntimamente al de que los números naturales
también son cerrados respecto de las operaciones de adición y
multiplicación.
Observación 3-2: Son ciertas las afirmaciones siguientes para a, b y c números reales
cualesquiera:
(1) a  a
(2) Si, a  b y b a entonces a = b.
(3) Si a  b y b  c entonces a  c.
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real x, denotado por
Se define así:
|x|=
|x|
x si x  0
x si x < 0
Es decir que si x es positivo o cero, entonces |x| es igual a x, y si x es negativo, entonces
|x| es igual a – x. En consecuencia, el valor absoluto de cualquier número es siempre no
negativo, esto es |x|  que 0 para todo x  R.
Desde el punto de vista geométrico, el valor absoluto de es la distancia del punto x de la
recta real al origen, esto es, al punto 0. Asimismo, la distancia entre dos puntos
cualesquiera, o sea entre dos números reales a y b, es | a – b |= |b – a|.
Ejemplo 2-1: |-2| = 2,
| 7 | = 7, |- | = 
|3 - 8 = |-5| = 5, |8 - 3| = |5| = 5, |-3 -4| = |-7| = 7.
Ejemplo 2-2: La relación
Significa que la distancia entre x y el origen es menor que 5, esto es, que x debe estar
entre - 5 y 5 sobre la recta real. Dicho de otro modo:
|x| < 5 y
-5<x<5
tienen el mismo significado. De modo análogo
Significan lo mismo
|x|  5 y
-5  x  5
INTERVALOS
Examínense los siguientes conjuntos de números:
A1
A2
A3
A4
=
=
=
=
{x2 < x < 5}
{x2  x  5}
{x2 < x  5}
{x|2  x  5}
Nótese que los cuatro conjuntos contienen solamente los puntos que están entre 2 y 5 con
las excepciones posibles de 2 y/o 5. Estos conjuntos se llaman intervalos y los números 2 y
5 son los extremos de cada intervalo. Por otra parle, A1 es un intervalo abierto, pues no
contiene los extremos: A2 es un intervalo cerrado, ya que contiene ambos extremos, y A3
y A4 son abierto- cerrado y cerrado-abierto respectivamente.
Se representan gráficamente estos conjuntos sobre la recta real como sigue:
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
A1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
A2
A3
A4
Obsérvese que en cada diagrama se encierran con un círculo los extremos 2 y 5 y que se
repinta el segmento entre los puntos dichos. Cuando un intervalo incluye un extremo, esto
se hace ver llenando el círculo del extremo.
Como los intervalos aparecen con mucha frecuencia en las matemáticas, se emplea:
generalmente una notación abreviada para designar intervalos. Por ejemplo, los intervalos
anteriores se denotan, a veces, por
A1 =]2. 5[A2 = [2. 5]
A3 =]2. 5]
A4 =[2 - 5[
Nótese que se usa un corchete al revés para designar un extremo abierto, es decir, un
extremo que no pertenece al intervalo, y que se usa un corchete para designar un extremo
cerrado.
PROPIEDADES DE LOS INTERVALOS
Sea f la familia de lodos los intervalos de la recta real. Se incluyen en f el conjunto vacío
 y los puntos a = [a, a]. Tienen entonces los intervalos las propiedades siguientes:
(1) La intersección, de dos intervalos es un intervalo, es decir:
A  f , B  f implica A  B  f
(2) La unión de dos intervalos no disjuntos es un intervalo, es decir:
A  f , B  f , A  B   implica A  B  f
(3) La diferencia de dos intervalos no comparables es un intervalo, es decir:
A  f , B  f , A  B, B  A implica A - B  f .
Ejemplo 3-1:
Sean
A = |2, 4), B = (3, 8).
Entones
A  B = (3, 4),
A – B = [2, 3],
A  B= [2, 8[
B - A = [4, 8[
INTERVALOS INFINITOS
Los conjuntos de la forma
A = {x | x > 1},
B = {x | x  1}
C = {x | x < 3},
D = {x | x  4},
E = {x | x  R}
Se llama intervalos infinitos y se les denota también por
A = (1,  ),
B = [2, [,
C = (- , 3), D = ]- , 4],
E =(- , )
Se representan estos intervalos infinitos sobre la recta real como sigue:
-4
-3
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
3
4
A está repintado
B está repintado
-4
-3
-2
-4
-3
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
3
4
C está repintado
D está repintado
E está repintado
CONJUNTOS ACOTADOS Y NO ACOTADOS
Sea A un conjunto de números; se dice que A es un conjunto acotado si A es subconjunto
de un intervalo finito. Una definición equivalente de acotación es
Definición: El conjunto A es acotado si existe un número positivo M, tal que
|x| =  M
Para todo xA. Un conjunto se dice no acotado si no es acotado.
Nótese que, entonces, A es un subconjunto del intervalo finito [- M, M].
Ejemplo 1:
Sea A = {1, ½, 1/3,...}. A es acotado, pues es un,
subconjunto del intervalo cerrado [0. 1].
Ejemplo 2:
Sea A = {2, 4, 6,...}. A es un conjunto no acotado.
Ejemplo 3:
EI conjunto A = {7. 350, - 473. 2322, 42} es acotado.
Observación 3-3: Si un conjunto A es finito, entonces es necesariamente acotado. Si un
conjunto es infinito, puede ser acotado.
PROBLEMAS RESUELTOS
CONJUNTOS DE NÚMEROS
En los problemas siguientes, R, Q, Q', Z, N y P designan, respectivamente, los
números reales, racionales, irracionales, enteros, naturales y primos.
1. Entre lo que sigue, decir que es verdadero y que Falso.
(1) – 7  N
(6) -6  Q
(11)
(2)
(7) 11  P
(12)
2  Q’
1
Z
2
(3) 4  Z
(8)
(4) 9  P
(9)
(5) 3   Q
(10) 1  R
Solución:
(1) Falso.
(2)
5  Q’
3
8 N
9  Q'
4
(13) - 2  Z
2
(14)   R
(15)
4  R
N solo contiene los enteros positivos; - 7 es negativo
Cierto.
2 no se puede expresar como razón de dos enteros, así que
2 no es
racional.
(3)
Cierto. Z, el conjunto de los enteros, contiene todos los enteros, positivos y
negativos,
(4)
Falso. 3 divide a 9, así que 9 no es primo.
(5)
Falso. N no es racional ni tampoco 3.
(6)
Cierto. Los números racionales incluyen a los enteros. Así, - 6 = (- 6/1).
(7)
Cierto. 11 no tiene divisores excepto 11 y 1; así que 11 es primo.
(8)
Falso.
(9)
Falso.
1
no es entero.
2
 5 no es un número real; por tanto, en particular, no es un número
irracional.
(10) Cierto. 1 es un número real.
(11) Cierto.
3
8  2 que es un entero positivo.
9
(12) Falso.
4
= 3/2 que es racional.
(13) Cierto. Z consta de los enteros positivos y negativos.
(14) Cierto.  es real y también lo es 2.
 4 = 2i no es real.
(15) Falso.
2. Hacer un diagrama lineal de los conjuntos R, N y Q'.
Solución:
N y Q' son ambos subconjuntos de R. Pero N y Q' no son comparables. Según esto, el
diagrama lineal es
R
N
Q’
3. ¿A cuales de los conjuntos R, Q, Q', Z, N y P pertenece cada uno de los números
siguientes?
(1) - 3/4,
(2) 13,
(3)
7
Solución:
(1) -3/4  Q. de 1os números racionales, ya que es la razón de dos enteros -3 y 4.
Asimismo. -3/4  R, ya que Q  R.
(2)
3  P porque los únicos divisores de 13 son 13 y 1. 13 pertenece también a N,
Z, y Q y R, pues P es subconjunto de cada uno de éstos.
(3)
 7 no es un número real; así, pues, no pertenece a ninguno de los conjuntos
dados.
4. De los conjuntos R, Q, Q, Z, N y P, ¿cuáles no son cerrados respecto de las operaciones
de (1) adición, (2) substracción?
Solución:
(1) Q' y P. Por ejemplo,  2  Q' y
2  Q', pero  2  2  0  Q'; 3  P y 5  P,
pero 3 + 5 - 8  P.
(2)
Q', N y P. Por ejemplo,
2  Q' pero
2  2  0  Q'; 3  N y 7  N, pero 3 -
7 = - 4  N; 7  P y 3  P, pero 7 - 3 = 4  P.
DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS
5. Valiéndose de la notación, escribir las afirmaciones siguientes:
(1) a es menor que b.
(2) a no es mayor o igual que b.
(3) a es menor o igual que b.
(4) a no es menor que b.
(5) a es mayor o igual que b.
(6) a no es mayor que b.
Solución:
Recuérdese que un trazo vertical u oblicuo que atraviesa un signo indica el significado
opuesto del signo.
Se escribe:
(1) a < b,
(2) a  b,
(3) a < b.
(4) a < b.
(5) a  b,
(6) a > b.
6. Insertar entre los siguientes pares de números el signo adecuado: <, > o =.
(1) 3....-9
(3) 32....7
(5) 32....9
(2) - 4....- 8
(4) -5….3
(6) - …./2
Solución:
Se escribe a < b si b - a es positivo a > b si b - a es negativo y a = b si b - a = 0.
Entonces
(1) 3 > - 9, (2) – 4 > - 8,
(3) 32 > 7,
(4) -5 < 3, (5) 32 = 9, (6) -  < /2.
7. Escribir las siguientes relaciones geométricas entre números reales con la notación de
las desigualdades:
(1) y está a la derecha de 8.
(3) x está entre - 3 y 7. .
(2) z está a la izquierda de 0. (4) w está entre 5 y 1.
Solución:
Recuérdese que a < b significa que a está a la izquierda de b sobre la recta real. De
acuerdo con esto,
(1) y > 8 o también 8 < y.
(2) z < 0.
(3) - 3 < x y x < 7, o mas brevemente, -3 < x < 7.
(4) 5 > w y w >1, o bien w < 5 y 1 < w. O también 1 < w < 5. No es costumbre
escribir 5 > w >1.
8. Calcular:
(1) |3 - 5|
(2) |- 3 + 5|
(3) |- 3 - 6|
(4) |- 2| - |- 6|
(5) |3 - 7| - | -5|
(6) |- 8| + |3 - 1|
(7) |2 - 5| - |4 - 7|
(8) 13 + |- 1 - 4| - 3 - |- 8|
(9) ||- 2| - |- 6||
(10) | - |- 5||
Solución:
(1) |3 - 5| = |- 2| = 2
(2) |- 3 + 5| = |2| = 2
(3) |- 3 - 5| = |- 8| = 8
(4) |- 2| - |- 6| = 2 - 6 =-4.
(5) |3 - 7| - |- 5| =
|- 4| - |- 5| = 4 - 5
(6) |-8| + |3 - 1| = |- 8| + |2| = 8+2 =
= -1
10
(7) |2 - 5| - |4 - 7| = |- 3| - |- 3| = 3-3 = 0
(8) |- 1 - 4| - 3 - |- 8| = 13 + |- 5| - 3 - |- 8| =
13 + 5 - 3 - 8 = 7
(9) ||- 2| - |-6|| = |2 - 6| = |- 4| = 4
(10) |- |- 5|| =
|- 5| = 5
9. Escribir de manera que x quede sola entre los signos de desigualdad:
(1) 3<x-4<8
(2) – 1 < x + 3 < 2
(3) - 9 < 3x<12
(4) - 6 < - 2x < 4
(5) 3<2x-5<7
(6) -7 < - 2x + 3 < 5
Solución:
(1) Súmese 4 a cada lado de 3 < x - 4 < 8 para tener 7 < x < 12.
(2)
Sumar - 3 a cada lado de - 1 < x + 3 < 2 para tener -4 < x < -1.
(3)
Multiplicar cada lado de - 9 < 3x < 12 por
(4)
Por
(6)
Sumar - 3 a cada lado de - 7 < - 2x + 3 < 5 con lo que se obtiene - 10 < - 2x <
1
y se tiene - 3 < x < 4.
3
1
se tiene 4 < x < 6.
2
2. Ahora multiplicando por 
5.
1
se invierten las desigualdades y resulta - 1 < x <
2
10.Escribir sin el signo de valor absoluto:
(1) |x| < 3,
(2) |x - 2| < 5,
(3) |2x + 3| < 7.
Solución:
(1) - 3 < x < 3
(2) - 5 < x - 2 < 5 o - 3 < x < 7
(3) - 7< 2x + 3 < 7 o - 10 < 2x < 4
o
-5<x<2
11.Escribir con el signo de valor absoluto: (1) – 2 < x < 6, (2) 4 < x < 10.
Solución:
Nótese primero que se escribe la desigualdad de modo que un número y su negativo
aparecen en los extremos de la desigualdad.
(1)
Sumar - 2 a cada lado de - 2 < x < 6 y resulta
lo que equivale a
-4<x-2<4
|x - 2|<4
(2)
Sumar - 7 a cada lado de 4 < x < 10 y resulta
3<x-7<3
que equivale a
|x - 7| < 3
12.Insertar el símbolo adecuado,  o , entre los siguientes pares de números:
(1) 1...- 7, (2) -2...-9, (3) 23...8, (4) 3... 7, (5) 32... 9, (6) 32...-11
Solución:
Téngase en cuenta que a  e b es cierto si a < b o si a = b, y que a  b es cierto si a >
b o si a = b.
(1)
 -7, ya que 1 > -7.
(2)
-2  - 9, pues -2 > - 9.
(3)
Tanto 23  8 como 23  8 son ciertos, ya que 23 = 8
(4)
3  7, puesto que 3 < 7.
(5)
Tanto 32  9 como 32  9 son ciertos, porque 32 = 9.
(6)
3  -11, porque 32 > -11.
INTERVALOS
13.Escribir los intervalos siguientes en forma constructiva conjuntista:
(1) M = [-3, 5[, (2) S = ]3, 8[, (3) T - [0, 4], (4) W = ]-7, -2].
Solución:
Recuérdese que el corchete invertido significa que el extremo no pertenece al intervalo;
y que el corchete significa que el extremo pertenece al intervalo. Así, pues:
M = {x | -3  x < 5}
S = {x | 3 < x < 8}
T = {x | 0  x  4}
W = {x |-7 < x  -2}
14.Representar los intervalos R =]-1, 2], S = [-2, 2[, T =]0, 1[ y W = [1, 3] sobre la recta
real.
Solución:
Para representar R, señálese primero cada extremo suyo - 1 y 2 con un círculo:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Como el extremo 2 pertenece a R, repintar el círculo que rodea el 2:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Por ultimo, repíntese la recta entre los extremos:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Representación de R De la misma manera.
4
-4
-3
4
-2
-1
0
1
2
3
Representación de S
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
4
Representación de T
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Representación de W
15.Sean A = {x | x < 3|, B = {x | x  2}, C = {x | x  1} y D = {x |x > - 1}. Representar
los conjuntos sobre la recta real y escribir luego los conjuntos en notación de intervalos.
Solución:
Los conjuntos son todos intervalos infinitos. Enciérrese con un círculo el extremo y
dibújese una semirrecta dirigida hacia el lado del extremo en que está el conjunto,
como se muestra en seguida:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
4
3
4
A
-4
-3
-2
-1
0
1
2
B
-4
-3
-2
-1
0
1
2
C
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
D
Con la notación de intervalos, los conjuntos se definen así: A =]-, 3[, B = [2, [,
C = ] -, 1] y D =]-1, x [. Nótese que se usa corchete al revés del lado del símbolo de
infinito.
OPERACIONES CON INTERVALOS
16.Sean A = [-3, 1[ y B = [-1, 2].
(1) Representar A y B sobre la misma recta real.
(2) Mediante (1), representar A  B, A  B y A - B sobre rectas reales.
(3) Escribir A  , A  B y A - B en notación de intervalos.
Solución:
(1) Sobre la recta real, rayar A con trazos inclinados a la derecha (///) y rayar B con trazos
inclinados a la izquierda (\\\\):
-4
-3
-2
-1
0
1
A y B rayados
2
3
4
(2) A  B contiene los puntos de cada intervalo, esto es, los puntos rayados en la figura:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
A  B lo repintado.
3
4
A  B contiene solamente los puntos que están tanto en A como en B, o sea los
puntos cubiertos con doble rayado:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
A  B lo repintado.
A - B contiene los puntos de A que no están en B, o sea los puntos rayados con ////
pero fuera del doble rayado:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
(3) Los gráficos anteriores indican que A  B = [-3, 2],
= [-3, 1[.
A  B = [- 1, 1[ y A – B
17.Dibujar sobre la recta real y escribir el conjunto que resulta en notación de intervalos;
(a) {x | x  1}

{x | -3 < x<2 }
(b) {x | x< 2 } 
{x | x  0 }
(c) {x | x - 3 < x  1}  {x | x > 2}
(d) {x | - 2 < x  3 }  {x | x < 1}
(e) {x | - 3  x  0}  {x | -2 < x < 3}
Solución:
En cada caso, representar el conjunto de la izquierda con trazos //// y el de la derecha
con trazos \\\\.
(a)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
La intersección abarca los puntos doblemente rayados, o sea el conjunto [- 1, 2[.
(b)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
La unión consta de todos los puntos rayados; estos forman el conjunto]-,[, toda la
recta real.
(c)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
La intersección es el conjunto vacío, ya que no hay puntos con doble rayado, es decir,
no hay ningún punto que esté en ambos intervalos.
(d)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1
2
3
4
La unión es el intervalo infinito ] - , 3].
(e)
-4
-3
-2
-1
0
La intersección cs el conjunto de puntos con doble rayado, es decir, el conjunto ]- 2,
0].
Problemas propuestos
CONJUNTOS DE NUMEROS
18. Decir si es cierto o falso:
(1)Q
(3) - 3N
(5)7P
(2) 3  2
(4)
(7)-5Z
 1 Q’ (6)  3 R (8  3 R
(9)15P
(ll)2/3Z
(10) 2 Q’
(12)2Q
3
DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS
33. Escribir las afirmaciones siguientes con la notación de orden:
(1) x no es mayor que y.
(3) r no es menor que y.
(2) El valor absoluto de x es menor que 4. (4) r es mayor o igual que t.
34. Entre los siguientes pares de números insertar el símbolo correcto: <, > o =, siendo x un
numero real cualquiera.
(1)5....-8
(3)2 4 ....8
(5)23….19
(7) -7....4
(2) |x|….-3
(4) -  . . . .  / 3
(6) -|x|....1
(8) -2....-5
35. Escribir las relaciones geométricas entre los números utilizando la notación de las
desigualdades:
(1) a está a la derecha de b. (2) x está a la izquierda de y. (1) r está entre – 5 y — 8.
36. Calcular:
(1) |4 - 7|
(2) |- 4 - 7|
(3) |- 4 + 7|
(4) |3| - |- 5|
(5) |2 - 3| + |- 6|
(6)|- 2| + l1 - 5|
(7) |3 - 8| - |2 - 1|
(8) || - 3| - |- 9||
(9) ||2 - 6| - |1 - 9||
37. Escribir de modo que x quede sola entre los signos de desigualdad:
(1) - 2 < X - 3 < 4
(3) - 1 2 < 4 X < - 8
(5) - 1 < 2x - 3 < 5
(2) - 5 < x + 2 < 1
(4) 4 < - 2x < 10
(6) - 3 < 5 - 2x < 7
38. Escribir sin el signo de valor absoluto:
(1) |x|  8, (2) |x – 3| < 8, (3) |2x + 4| < 8.
39. Escribir con el signo de valor absoluto:
(1) - 3 < X < 9, (2) 2  x  8. (3) -7 < x < - 1.
40. Demostrar P5: Si a < b y c es negativo, entonces bc < ac. (Nota: Se da por sentado que el
producto de un número negativo y un número positivo es negativo.)
INTERVALOS
41. Escribir los siguientes intervalos en forma constructiva:
A = [-3,1[, B= [1, 2], C = ]- 1, 3], D = ]-4, 2[.
42. Entre los conjuntos del Problema 41, ¿cuál es (1) un intervalo abierto, (2) un intervalo cerrado?
43. Representar los conjuntos del Problema 41 sobre la recta real.
44. Escribir los siguientes intervalos infinitos con la notación de intervalos:
R = {x| = < 2),
S = {x | x > -1},
T = {x | x < - 3).
45. Representar los conjuntos del Problema 44 sobre la recta real.
46. Sean A = [- 4, 2[, B = ]- 1, 6[, C = ] - , 1]. Hallar y escribir con notación de intervalos
(1) A  B
(3) A – B
(5) A  C
(7)A -C
(9) B  C
(11) B – C
(2) A  B
(4) B - A
(6) A  C
(8) C - A
(10) B  C
(12) C – B
CONTENIDOS DEL TALLER TOMADOS DE:
 SEYMOUR y LIPSCHUTZ, ―Teoría de Conjuntos y Temas Afines‖. Ed. Carvajal,
Colección SCHAUM, Cali, 1970.

JUAN M. SILVA - ADRIANA LAZO, Matemáticas, Biblioteca Científica Tecnológica.
Primera Edición. Ed. Limusa. México 1989.
COMPILACIÓN:
Rolando René Elizalde Córdova