Download Análisis de Señales Guía de Trabajos Prácticos 1) Números

Análisis
de
Señales
Guía
de
Trabajos
Prácticos
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1) Números
complejos.
Demuestre
las
siguientes
relaciones:
1
a)
cos(θ ) = (e jθ + e− jθ ) 2
1
b)
sin(θ ) = (e jθ − e− jθ ) 2j
1
c)
cos2 (θ ) = (1+ cos(2θ ) 2
1
1
d)
sin(θ )sin(φ ) = cos(θ − φ ) − cos(θ + φ ) 2
2
e)
sin(θ + φ ) = sin(θ )cos(φ ) + cos(θ )sin(φ ) 2) Sea
z0
un
número
complejo
con
coordenadas
polares
r0
,
θ0
y
coordenadas
cartesianas
x0,
y0.
Determine
las
expresiones
para
las
coordenadas
cartesianas
de
los
siguientes
números
complejos
en
términos
de
x0
e
y0
.
Grafique
los
puntos
z0
a
z5
en
el
plano
complejo
con
r0=2,
θ0=π/2.
Indique
en
sus
gráficos
las
partes
reales
e
imaginarias
de
cada
punto.
a)
z1 = r0e− jθ 0 b)
z2 = r0 c)
z3 = r0e j(θ 0 + π ) d)
z4 = r0e j(−θ 0 + π )
e)
z5 = r0e j(θ 0 +2 π ) 3) Sea
z
una
variable
compleja
z = x + jy = re jθ El
complejo
conjugado
de
z
se
expresa
como
z*
y
está
dado
por:
€
z* = x − jy = re− jθ Derive
cada
una
de
las
siguientes
relaciones,
donde
z,
z1
y
z2
son
números
complejos
arbitrarios.
€
a)
zz* = r 2 b)
€
z
= e j 2θ *
z
c)
z + z* = 2Re{z} €
d)
z − z* = 2 j Im{z} €
e)
(z1 + z2 )* = z1* + z*2 €
€
f)
(az1z2 )* = az1* z*2 donde
a
es
un
número
real.
€
€
 z * z1*
g)
  = *  z  z2
 z1 * 1  z1z*2 + z1* z2 
h)
Re  = 

*
 z2  2  z2 z2 
€ 4) Exprese
cada
uno
de
los
siguientes
números
complejos
en
forma
cartesiana
y
grafíquelos
en
el
plano
complejo
indicando
la
parte
real
e
imaginaria
de
cada
número.
3+ 4 j
a)
1− 2 j
j(2 + j)
b)
(1+ j)(2 − j)
(1+ j) 2
€
c)
2 j
(3 − j)
d)
4e j(π / 6) €
e)
2e j(25π / 4 )
f)
je j(11π / 4 ) €
g)
3e j 4 π + 2e j 7π €
h)
El
número
complejo
z
cuya
magnitud
es
z = 2 y
cuyo
ángulo
es
€
∠z = −π /4 .
€
i)
(1− j) 9 €
6e− jπ / 3
€
j)
1− j
€
€ 5) Exprese
cada
uno
de
los
siguientes
números
complejos
en
forma
polar
y
grafíquelos
en
el
plano
complejo
indicando
la
magnitud
y
el
ángulo
de
cada
número.
€
a)
1+ j 3 b)
‐5
c)
−5 − 5 j d)
3 + 4 j €
e)
(1− j 3) 3 f)
(1+ j) 5 €
g)
( 3 + j 3 )(1− j) €
 6 
€
2 − j 
 3
€
h)
 6 
€
2 + j 
 3
€
1+ j 3
3+ j
j)
j(1+ j)e jπ / 6 k)
( 3 + j)2 2e− jπ / 4 e jπ / 3 −1
l)
1+ j 3
i)
€
€
€
€