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SISTEMAS LINEALES PARA AUTOMATIZACION: Números Complejos
Septiembre de 2011
Materia: Sistemas Lineales para Automatización
Mtro. Jorge Adalberto Barreras García
Objetivo general: Evaluar las ecuaciones matemáticas de sistemas eléctricos,
electrónicos y mecánicos mediante algebra lineal para simular su funcionamiento ante
diferentes condiciones de operación.
Unidad 1: Números complejos
Objetivo: Evaluara problemas utilizando el álgebra de números complejos para
representar sistemas mecatrónicos.
Tema: Concepto, representación y operaciones con números complejos.
Introducción:
El término número complejo describe la suma de un
número real y un número imaginario (que es un
múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con
la letra i). Los números complejos se utilizan en todos
los campos de las matemáticas, en muchos de la física
(y notoriamente en la mecánica cuántica) y en
ingeniería, especialmente en la electrónica y las
telecomunicaciones, por su utilidad para representar
las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y,
en general, se consideran como puntos del plano: el
plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos
es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica
de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
Los números complejos son una extensión de los
números reales, cumpliéndose que. Los números
complejos representan todas las raíces de los
polinomios, a diferencia de los reales.
Mtro. Jorge Adalberto Barreras García, UTSLRC, SONORA
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Septiembre de 2011
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada
álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y
aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de
gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las
construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del
cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable
compleja o análisis complejo.
Numero imaginario: En matemáticas, es un número complejo cuya parte real es igual
a cero, por ejemplo: es un número imaginario, así como o
son también números
imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:
en donde
Todo número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la
unidad imaginaria, con la propiedad:
Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
Del mismo modo, partiendo de:
La raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número
imaginario, así por ejemplo:
Potencias de la unidad imaginaria
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Representación de un número imaginario en el plano complejo (Argand)
El plano complejo es una forma de visualizar el espacio de los números complejos.
Puede entenderse como un plano cartesiano modificado, en el que la parte real está
representada en el eje x y la parte imaginaria en el eje y. El eje x también recibe el
nombre de eje real y el eje y el nombre de eje imaginario.
El plano complejo a veces recibe el nombre de plano de Argand a causa de su uso en
diagramas de Argand. Su creación se atribuye a Jean-Robert Argand.
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números
complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con
vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente
usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las
magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la
suma de los ángulos de los términos.
Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los
polos y los ceros de una función en el plano complejo.
El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas
de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áreas de la matemática
así como en física, electrónica y muchos otros campos.
Uso del plano complejo en teoría de control
En teoría de control, uno de los usos del plano complejo se conoce como el 'plano s'.
Se usa para visualizar la ubicación de las raíces y de los ceros de la función de
transferencia de un sistema LTI. La visualización gráfica de las raíces (es decir de
aquellos valores que anulan la ecuación característica) y de los ceros (aquellos valores
que anulan el numerador de la función de transferencia) permite inferir el
comportamiento del sistema (por ejemplo permite saber si el sistema es estable o
inestable). La función de transferencia se expresa normalmente como un cociente de
polinomios de la variable 's' de la transformada de Laplace, y de ahí el nombre de plano
's'.
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Además, otro uso del plano 's' es el criterio de estabilidad de Nyquist, que es un
principio geométrico que permite determinar la estabilidad de un sistema de control
mediante la inspección del diagrama de Nyquist de la respuesta de fase de la función
de transferencia en el plano complejo.
El plano z es una versión de tiempo discreto del plano s, donde se utiliza la
transformada Z en lugar de la de Laplace.
Formas de expresar un número complejo
a). Forma cartesiana, rectangular o binómica.
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚
b). Forma trigonométrica o polar de un numero complejo
La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo
amarillo de la Figura.
y
En este caso se tiene que r  z  ( x, y) y que   arg( z)  tan 1   .
x
Luego:

 sin  

cos  

y
 y  r sin 
r
x
 x  r cos 
r
Por lo tanto:
z  ( x, y)  x  yi  r cos   i r sin   r (cos   i sin )
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Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar del número complejo, la cual está en
términos del módulo y el argumento. Se denota comúnmente por z  r cis  o
Nota: En circuitos eléctricos es muy frecuente utilizar esta forma de representación.
𝑧 = (𝑟∟∅), el símbolo ∟ significa coseno y seno y se lee cys (cis).
c). Forma exponencial de un número complejo o la fórmula de Euler:
ei  cos   i sin 
Sea z  r (cos   i sin ) un número complejo donde r es su módulo y  su argumento.
Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:
z  r (cos   i sin )  r ei .
Módulo y argumento de un número complejo
Sea z  (a , b)  a  bi un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número
complejo z , al número real dado por
a2  b2 y lo denotaremos por
z . El módulo se
interpreta como la distancia al origen del número z .
Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z  a  bi , al ángulo
comprendido entre el eje x y el radio vector que determina a z . El argumento de z se
b
denota por arg( z) y se calcula mediante la expresión: arg( z)  arctan   .
a
Algebra de números complejos (operaciones básicas)
Para sumar o restar dos números complejos se suman sus partes reales y sus partes
imaginarias independientemente. En la práctica lo más cómodo es escribirlas en forma
rectangular (binómica).
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Ejemplo 1. Si z1  (3, 2) y z2  (4, 1) , halle z1  z2
z1  z2  (3, 2)  (4, 1)  3  2i    4  i   7  i
Ejemplo 2. Sean los complejos 𝑍1 = 5 − 𝑖2 , 𝑍2 = −3 − 𝑖8
a). 𝑍1 + 𝑍2
; 𝑏). 𝑍1 − 𝑍2
; 𝑐). 𝑍2 + 𝑍1
Ejemplo 3. Sean los complejos 𝑍1 = 5 + 𝑖3 , 𝑍2 = 5 − 𝑖4
a). 𝑍1 + 𝑍2
encontrar:
encontrar:
; 𝑏). 𝑍1 − 𝑍2
Ejemplo 4. Sean los complejos 𝑍0 = 15 − 𝑖12 , 𝑍1 = 10 + 𝑖15
a). 𝑍0 − 𝑍1
encontrar:
; 𝑏). 𝑍0 + 𝑍1
Multiplicación de números complejos
1. En la forma rectangular se multiplica como si fueran dos polinomios.
Ejemplo 1. Si z1  (3, 2) y z2  (4, 1) , halle z1z2
z1 z2  (3, 2) (4, 1)  (3  2i)(4  i)  12  3i  8i  2i 2  (12  2)  (3  8)i  14  5i
2. El producto de dos números complejos, escritos en forma exponencial, se deduce a
través de las propiedades de la potenciación.
𝑧1 𝑧2 = (𝑟1 𝑒 𝑖∅1 )(𝑟2 𝑒 𝑖∅2 ) = 𝑟1 𝑟2 𝑒 𝑖(∅1 +∅2 )
𝜋𝑖
Si: a). 𝑧1 = 5𝑒 3
𝜋𝑖
b). 𝑧1 = 6𝑒 4
, 𝑧2 = 2𝑒
𝜋𝑖
, 𝑧2 = 3𝑒 4
−𝜋𝑖
6
𝜋𝑖
→ 𝑧1 𝑧2 = 10𝑒 6
𝜋𝑖
→ 𝑧1 𝑧2 = 18𝑒 2
3. El producto en forma polar:
𝑧1 𝑧2 = (𝑟1 ∟∅1 ) = (𝑟2 ∟∅2 ) = 𝑟1 𝑟2 ∟∅1 +∅2
Si: a). 𝑧1 = (2∟30° ) ,
𝑧2 = (5∟−45° )
→ 𝑧1 𝑧2 = (2)(5)∟30° −45°
→ 10∟−15°
División de números complejos
1). El cociente de dos números complejos, escritos en forma exponencial, se deduce en
base a las propiedades de la potenciación.
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Sea,
𝑧1
𝑟1 𝑒 ∅1 𝑖 𝑟1 (∅ −∅ )𝑖
=
= 𝑒 1 2
𝑧2
𝑟2 𝑒 ∅2 𝑖 𝑟2
2). En forma polar, sea:
𝑧1 𝑟1 ∟∅1 𝑟1
=
= ∟∅1 − ∅2
𝑧2 𝑟2 ∟∅2 𝑟2
3). En forma rectangular se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del
denominador
Conjugado de un número complejo
Si z  x  yi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número
z  x  yi , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte
imaginaria de signo opuesto.
Ejemplo. Si z  3  2i , entonces z  3  2i y si z  3  2i , entonces z  3  2i .
𝑧1 𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒊𝒚𝟐
=
(
)
𝑧2 𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝒊𝒚𝟐
𝜋𝑖
Ejemplos: a). 6𝑒 4
𝜋𝑖
, 𝑧2 = 3𝑒 4
→
𝑧1
𝑧2
= 2𝑒 0𝑖 = 2
b).
𝑧1
8∟−30°
=
= 4∟30°
𝑧2 2∟ − 60°
c). 𝑧1 = 4 − 5𝑖 ,
𝑧2 = 1 + 2𝑖
→
𝑧1
𝑧2
=
4−5𝑖
1+2𝑖
1−2𝑖
(1−2𝑖) =
4−8𝑖−5𝑖+10𝑖 2
1−2𝑖+2𝑖−4𝑖 2
=
4−13𝑖−10
1+4
=
−6 − 13𝑖
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Conversión de números complejos
El voltaje, la intensidad de corriente y la impedancia son números complejos. Las
formas más frecuentes de estas magnitudes son la rectangular y la polar. Es necesario,
pues, convertir de una forma a otra, ya que lo más cómodo para multiplicar y dividir
complejos es escribirlas en forma polar y, en cambio, para sumarlas o restarlas lo mejor
es hacerlo en forma rectangular.
La relación entre las formas de rectangular y polar, se indica a continuación.
Dependiendo del cuadrante donde se tiene el fasor se debe de adoptar la siguiente
regla de signos:
 Para ángulos entre 0º y 90º, la parte real y la parte imaginaria son positivas.
 Para ángulos entre 90º y 180º, la parte real es negativa y la parte imaginaria (i, j)
es positiva.
 Para ángulos entre 180º y 270º, la parte real y la parte imaginaria son negativas.
 Para ángulos entre 270º y 360º, la parte real es positiva y la parte imaginaria es
negativa.
Conversión de forma polar-rectangular
Convertir las siguientes forma polares a formas rectangulares:
a). 𝑧 = 50∟53.1°
→ 𝑥 = 50𝑐𝑜𝑠53.1° = 30 ; 𝑦 = 50𝑠𝑒𝑛53.1° = 40 ∴ 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎
𝒛 = 𝟓𝟎∟𝟓𝟑. 𝟏° = 𝟑𝟎 + 𝟒𝟎𝒊
b). 𝑧 = 100∟ − 120° → 𝑥 = 100𝑐𝑜𝑠60° = 50 ; 𝑦 = 100𝑠𝑒𝑛60 = 86.6𝑖 ∴ 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎
𝒛 = 𝟏𝟎𝟎∟ − 𝟏𝟐𝟎° = −𝟓𝟎 − 𝟖𝟔. 𝟔𝒊
c). 𝑧 = 86∟ − 115° → 𝑥 = 86𝑐𝑜𝑠 − 115° = −36.34 ; 𝑦 = 86𝑠𝑒𝑛 − 115 = −78𝑖 ∴
𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒: 𝒛 = 𝟖𝟔∟ − 𝟏𝟏𝟓° = −𝟑𝟔. 𝟖𝟒 − 𝟕𝟖𝒊
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Conversión de forma rectangular a forma polar
Convertir las siguientes forma polares a formas rectangulares:
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a). 𝑧 = 4 + 3𝑖 → 𝜃 = arctan 4 = 0.75 = 𝑡𝑎𝑛−1 0.75 = 𝟑𝟔. 𝟗° ; 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑦 𝑥 =
𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 ∴ 𝑟 =
𝑦
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟=
𝑜 𝑟=
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝜃
, 𝑎𝑠𝑖 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜.
3
3
4
4
=
=𝟓 𝑜 𝑟=
= 0.800 =
=𝟓
𝑠𝑒𝑛36.9° 0.600
𝑐𝑜𝑠36.9°
0.800
𝒛 = 𝟒 + 𝟑𝒊 ≈ 𝟓∟𝟑𝟔. 𝟗°
20
b). 𝑧 = −10 + 20𝑖 → 𝜃 = arctan 10 = 2 = 𝑡𝑎𝑛−1 2 = 𝟔𝟑. 𝟒° → 180° − 63.2 = 116.6°
𝑟=
𝑦
𝑥
𝑜 𝑟=
,
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
→𝑟=
20
10
= 𝟐𝟐. 𝟒 𝑜 𝑟 =
= 𝟐𝟐. 𝟒
𝑠𝑒𝑛63.4°
𝑐𝑜𝑠63.4°
𝒛 = −𝟏𝟎 + 𝟐𝟎𝒊 ≈ 𝟐𝟐. 𝟒∟𝟏𝟏𝟔. 𝟔°
Realizar las siguientes conversiones:
a) De polar a rectangular:




12.3∟30°
53∟160°
25∟ − 45°
86∟ − 115°
b) De rectangular a polar:




𝑧 = 5 + 5𝑖
𝑧 = −2 − 2𝑖
𝑧 = 3 + 4𝑖
𝑧 = −1.7321 + 𝑖
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Ejercicio de aplicación 1: Calcular la corriente total del circuito R-L mostrado en la
figura.
Solución: a). Se calcula la reactancia inductiva para el valor de inductancia dado:
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 = (6.28)(400)(0.04) = 100𝛺
b). El valor de la impedancia se calcula a partir de la resistencia y la reactancia inductiva.
𝑧 = √𝑅 2 + 𝑋𝐿 2 = √(100)2 + (100)2 = 141𝛺
c). La corriente total es: 𝐼𝑇 =
𝑉
𝑍
=
12.6
141
= 𝟎. 𝟎𝟖𝟗𝑨𝒎𝒑𝒔.
Ejercicio de aplicación 2: Calcular la impedancia para el circuito mostrado en la figura si la
frecuencia del voltaje aplicado es de 10 kHz.
Solución:
a). La reactancia inductiva es:
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 = 6.28 𝑥 10 𝑥 103 𝑥 100 𝑥 10−3 = 𝟔𝟐𝟖𝜴
b). La impedancia es, entonces:
𝑧 = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐿 = 1500 + 𝑗628𝛺
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑟=
6280
= 𝟕𝟔. 𝟓𝟕°
1500
6280
= 𝟔𝟒𝟓𝟕𝜴 ∴ 𝒛 = 𝟔𝟒𝟓𝟕∟𝟕𝟔. 𝟓𝟕
𝑠𝑒𝑛76.57°
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