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Práctica 6
1.
Se tienen 15 números naturales consecutivos, el mayor de los cuales es
impar. La suma de los números pares que hay entre los 15 vale a. Entonces, el
menor de los 15 números es
A)
a
−7
7
B) a −15
C)
a
8
D)
a
− 15
15
E) imposible saberlo
Considere que el número del centro es x entonces los demás números son
x -7 , x- 6, x – 5, x – 4, x – 3, x – 2, x – 1, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5, x+ 6 y
x +7.
Si el mayor, x + 7, es impar entonces los pares son:
x+ 6, x+ 4, x+ 2, x, x-2, x – 4, x – 6 y su suma es 7x = a entonces x = a : 7
El menor de ellos es x – 7 = a:7 – 7
La respuesta es A.
2.
Un entero positivo n tiene 2 divisores, y n+1 tiene 3 divisores. ¿Cuántos
divisores tiene n+2?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) depende de n
Como n tiene dos divisores entonces es primo
Como n + 1 tiene tres divisores entonces es el cuadrado de un número primo.
Entonces se busca en un número primo cuyo sucesor sea el cuadrado de un
número primo, por lo que n = 3, n + 1 = 4 y n + 2 = 5.
Note que n debe ser impar porque de lo contrario, si n fuera par tendría que ser
2 y su sucesor sería 3 que también tiene dos divisores positivos.
La respuesta es D.
3.
El número de manzanas está comprendido entre 100 y 200 (ambos
inclusive). Si ponemos 10 manzanas en cada caja, queda 1 manzana. Si
ponemos 9 manzanas en cada caja, quedan 5 manzanas. ¿Cuántas manzanas
quedarán si ponemos 7 manzanas en cada caja?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 5
E) 6
Si la cantidad de manzanas es n entonces n es un número cuyo dígito de las unidades es
1 (porque al dividirlo por 10 el residuo es 1)
Además, n es de la forma 9k + 5 con k entero pues al dividirlo por 9 el residuo es 5.
El menor número de la forma 9k + 5 que está entre 100 y 200 es 104 y los demás se
obtienen sumando múltiplos de 9: 113, 122, 131, 140, etc.
El único cuyo dígito de las unidades es 1 es 131.
4.
El número natural 123456789123456789…. tiene 100 cifras. ¿Cuál es
la centésima cifra (la de las unidades)?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
El número está compuesto por repeticiones de una secuencia de 9 dígitos,
entonces para que sean 100 dígitos se necesitan 11 repeticiones y el dígito 100
sería 1.
123456789 123456789 … 123456789 123456789 1
5.
Uno de los siguientes enteros no puede escribirse como el producto de
un número primo por dos números compuestos?
A) 2 5
B) 2×3×4×5
25 = 32 = 2 ⋅ 4 ⋅ 4
C) 2× 3 2 ×5
D) 6×12
6 ⋅12 = 2 ⋅ 6 ⋅ 6
2i3i4i5=3i4i10
E) 1000
1000 = 5 ⋅ 25 ⋅ 8
La respuesta es C
6.
El máximo común divisor de dos enteros positivos m y n es 12, y el
mínimo común múltiplo de ellos es un cuadrado. Entre los cinco números m . n ,
n ÷ 3 , m ÷ 3 , n ÷ 4 y m ÷ 4 , ¿cuántos son cuadrados?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) imposible determinarlo
(1)
Como mcd(m,n)=12 entonces m es múltiplo de 12 y n es múltiplo de 12, es
decir, existen p y r enteros tales que n = 12 p y m = 12r .
(2)
Entonces n ÷ 3 = 12 p ÷ 3 = 4 p , n ÷ 4 = 12 p ÷ 4 = 3 p , m ÷ 3 = 12r ÷ 3 = 4r y
m ÷ 4 = 12r ÷ 4 = 3r
(3)
Además, como mcm(m,n) = k 2 para algún k entero, se debe cumplir que
mn = 12k 2 entonces mn no es cuadrado perfecto.
(4) También, como mn = 12k 2 ⇒ 12r12 p = 12k 2 ⇒ 12rp = k 2 ⇒ 3 ⋅ 22 rp = k 2 ⇒ 3rp = k12
Como 3rp = k12 y r y p no tienen divisores comunes entonces necesariamente uno de los
números r y p es el triple de un cuadrado perfecto y el otro debe ser cuadrado perfecto.
Es decir, uno es de la forma 3x 2 , y el otro y 2 , con x y y enteros, entonces solo uno de
los números n ÷ 4 = 3 p y m ÷ 4 = 3r es un cuadrado perfecto: 32 x 2 .
(5) Además, de los números m ÷ 3 = 4r y n ÷ 3 = 4 p , uno de los dos solamente es
cuadrado perfecto: 4 y 2
Entonces la respuesta es B.
¿Para cuántos valores enteros de n el cociente ( 2n + 15) ÷ ( n + 16 ) es un
número entero?
7.
A) 3
B) 1
C) 2
D) 4
E) 6
Observe que 2n + 15 =2n + 32 − 17 = 2 ( n + 16 ) − 17 entonces, al dividir 2n + 15 por
n + 16 el residuo es cero solamente si n + 16 es un divisor de 17 pues
( 2n + 15) ÷ ( n + 16 )
=  2 ( n + 16 ) − 17  ÷ ( n + 16 )
= 2 ( n + 16 ) ÷ ( n + 16 ) − 17 ÷ ( n + 16 )
= 2 − 17 ÷ ( n + 16 )
Entonces los posibles valores para n + 16 son 1, -1, 17 y -17. De ahí
concluimos que los posibles valores para n son -15, -17, 1 y -33.
(Puede sustituir estos valores en ( 2n + 15) ÷ ( n + 16 ) y verificar que el cociente es
entero)
Por lo tanto, la respuesta es D.
8.
Tres jueves de un mismo mes caen en días pares. ¿Qué día de la
semana era el 21º día de ese mes?
(A) miércoles
B) jueves
C) viernes
D) sábado
E) martes
Del enunciado se deduce que tres jueves tienen la forma 2k, 2k + 14, 2k + 28,
pues 2k + 7 y 2k + 21 son impares.
Para que 2k + 28 sea menor que 31,con k positivo, la única posibilidad es k = 1.
Por lo tanto los jueves fueron los días 2, 16 y 30. Entonces 23 también fue
jueves y 21 fue martes. La respuesta es E.
9.
¿Cuántos números enteros de tres cifras son tales que la cifra del medio
es la media aritmética de las otras dos?
A) 9
B) 16
C) 12
D) 45
E) 25
Considere las cifras del número: u (unidades), d(decenas) y c(centenas).
Si d = ( u + c ) ÷ 2 entonces necesariamente u y c tienen la misma paridad.
Considerando que c no puede ser 0 y analizando los posibles casos para d se obtiene la
siguiente tabla
c
2
1
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
9
8
7
6
5
9
8
7
9
d
1
2
3
4
5
6
7
8
9
u
0
1
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
7
8
9
9
Si d=1 c+u = 2
Solo se cumple con 2 + 0 ó 1+1
Si d=2 c+u = 4
Solo se cumple con 4 + 0, 3 +1 ó 2+2
Si d=3 c+u =6
Solo se cumple con 6 + 0, 5 +1, 4+2 ó
3+3
Si d=4 c+u =8
Solo se cumple con 8 + 0, 7 + 1, 6+ 2
5+3, ó 4+4
Si d=5 c+u =10
Solo se cumple con 9+1, 8 + 2, 7 + 3,
6+4 ó 5+5
Si d=6 c+u =12
Solo se cumple con 9+3, 8 +4, 7 +5, ó
6+6
Si d=7 c+u =14
Solo se cumple con 9+5, 8 +6,ó 7+7
Si d=8 c+u =16
Solo se cumple con 9+7, ó 8+8
Si d=9 c+u =18
Solo se cumple con 9+9
La respuesta es entonces D) 45
10.
A es el menor número con la siguiente propiedad: 10A es un cuadrado
perfecto y 6A es un cubo perfecto. ¿Cuántos divisores positivos tiene A?
A) 30
B) 40
C) 54
D) 72
E) 96
Como 10 A = 2 ⋅ 5 ⋅ A es un cuadrado perfecto entonces A debe ser múltiplo de 10, es
decir, debe ser de la forma A = 2 ⋅ 5 ⋅ k con k un cuadrado perfecto.
Como 6 A = 2 ⋅ 3 ⋅ A es un cubo perfecto, entonces A debe ser un múltiplo de 36, es
decir, debe ser de la forma A = 2 2 ⋅ 32 ⋅ r con r un cubo perfecto.
A = 2 ⋅ 5 ⋅ k = 22 ⋅ 32 ⋅ r ⇒ 5 ⋅ k = 2 ⋅ 32 ⋅ r de donde k debe ser múltiplo de 18 y de 25 y r
debe ser múltiplo de 5 y de 12, y los menores posibles. Por lo tanto r = 53 ⋅ 23 y
k = ( 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) = 24 ⋅ 32 ⋅ 52
2
Por lo tanto A = 2 ⋅ 5 ⋅ 24 ⋅ 32 ⋅ 52 = 25 ⋅ 32 ⋅ 53 y la cantidad de divisores de A sería
6 ⋅ 3 ⋅ 4 = 72 .
La respuesta es D.
11.
Una tabla contiene 21 columnas, numeradas 1, 2, … 21 y 33 filas,
numeradas 1, 2, … 33. Borramos las filas cuyo número no es múltiplo de 3 y
las columnas cuyo número es par. ¿Cuántas casillas de la tabla quedan,
después de eso?
A) 110
B) 121
C) 115,5
D) 119
E) 242
Al borrar las filas que no son múltiplo de 3 se obtienen solamente las que sí lo
son: 3, 6, 9, 12, 15, 18 y 21: 7 filas.
Al borrar las columnas pares quedan solo las impares: 1, 3, 5, 7, ..., 31, 33: 17
columnas,
En total quedan 7i17 = 119 casillas
La respuesta es la D.
12.
¿Cuántos números primos p tienen la propiedad de que p4 +1 es primo
también?
A) Ninguno B) 1
C) 2
D) 3
E) Infinitos
Si p4 +1 es impar entonces p4 sería par, entonces p sería par entonces p = 2.
Si p4 +1 es par entonces sería 2 entonces p4 sería 1 y p sería 1 pero no es
posible pues es primo.
La respuesta es B.
13.
El número 332 – 1 tiene exactamente dos divisores que son mayores que
75 y menores que 85. ¿Cuál es el producto de esos dos divisores?
A) 5852
B) 6560 C) 6804
D) 6888
E) 6972
Sabemos que la diferencia de los cuadrados de dos números es igual a la
suma por la diferencia de ellos: a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )
332 − 1 = ( 332 + 1)( 332 − 1)
= ( 332 + 1)( 316 + 1)( 316 − 1)
Entonces
= ( 332 + 1)( 316 + 1)( 38 + 1)( 38 − 1)
= ( 332 + 1)( 316 + 1)( 38 + 1)( 34 + 1)( 34 − 1)
= ( 332 + 1)( 316 + 1)( 38 + 1)( 34 + 1)( 32 + 1)( 32 − 1)
= ( 332 + 1)( 316 + 1)( 38 + 1)( 34 + 1)( 32 + 1) ( 3 + 1)( 3 − 1)
= ( 332 + 1)( 316 + 1)( 38 + 1) ( 82 )(10 )( 4 )( 2 )
= ( 332 + 1)( 316 + 1)( 38 + 1) ( 82 )( 80 )
Por lo tanto, los divisores buscados son 80 y 82 y su producto es
( 82 )( 80 ) = 6560 . La respuesta es B)
14.
¿Cuántos números enteros positivos formados por cuatro cifras impares
son divisibles por cinco?
A) 900
B) 625
C) 250
D) 125
E) 100
Los números de cuatro cifras son de la forma mcdu con m diferente de 0.
Según las condiciones de problema m, c y d son dígitos impares: 1,3,5,7 o 9.
Para que ese número sea divisible por 5, u debe ser 5. Entonces se tienen
5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅1 = 125 posibilidades. La respuesta es D.
15.
¿Cuántos números enteros positivos de 2 cifras xy son tales que las
cifras x e y tienen la propiedad (x – 3)2 + (y – 2)2 = 0?
A) 1
B) 2
C) 6
D) 32
E) ninguno
Para que la suma de los cuadrados de dos números enteros sea 0, es necesario que
ambos sean 0. Entonces se tiene que x – 3 = 0 y y – 2 = 0. De ahí que x=3 y y=2.
La respuesta es A.