Download Actividades Ingreso Matematica 2014

Universidad Nacional de Río Cuarto
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES
Encuentros de Integración Universitaria
Exactas 2014
AREA MATEMÁTICA
Técnico de Laboratorio y Microbiología
Lic. y Prof. en Biología
Lic. Prof. y Analista Químico
Lic. y Prof. en Física
Lic. en Geología
Lic. Prof. y Analista en Computación
Lic. y Prof. en Matemática
Autores del Material: Dra. Claudia Gariboldi – Lic. Andrea Maero - Mg. Nora Zon
Departamento de Matemática
Universidad Nacional de Río Cuarto.
Facultad de Ciencias Exactas Físico-Químicas y Naturales.
Departamento de Matemática
Encuentros de Integración Universitaria Exactas 2014 – Área Matemática
Construcción de fórmulas para contar
Actividad 1:
En un salón de fiestas se disponen de mesas rectangulares para 8 personas como las de la figura:
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x
x
x
x
Para cada banquete, se disponen en una sola mesa larga, como se muestra a continuación:
x x
x
x
x x
x
X
x x
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x x
x
x
x
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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x
x
x
a) Calcula el número de sillas necesarias para un banquete de 5 mesas y otro de 25 mesas.
b) ¿Cuántas mesas forman un banquete de 26 sillas y 62 sillas (sin dejar ninguna ubicación libre)?
c) ¿Puede ser que coloque exactamente 100 sillas (sin dejar ninguna ubicación libre)?
d) Como la cantidad de mesas varía en cada banquete, el mozo decide encontrar una fórmula, que le
permita saber cuántas sillas debe colocar, contando la cantidad de mesas que se dispusieron. ¿Cuál puede
ser la fórmula que busca el mozo?
e) Para continuar con la preparación, el mozo debe colocar 3 copas en cada ubicación. Nuevamente quiere
encontrar una fórmula que le permita calcular la cantidad de copas, sabiendo la cantidad de mesas. Un día
se le ocurre escribirla de una manera pero al día siguiente duda y escribe otras. Entre todas las que pensó
el mozo, ¿Cuáles te parecen correctas y por qué?
Las fórmulas del mozo son: 3. 6 . n + 2
3. (6 . n + 2)
3. 6. n + 6
18 . n + 3
18 . n + 6
f) En una fiesta de cumpleaños se dispone de un banquete con 27 mesas.
I - ¿Cuántos invitados hay en el banquete?
II - ¿Cuántas copas colocan los mozos?
g) ¿Es posible que haya un banquete con 290 copas? JUSTIFICA TU RESPUESTA
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Actividad 2 Considerar el siguiente esquema, conocido como triángulo de Pascal:
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1
1
1
1
1
1
1
.
.
3
5
7
6
15
1
4
10
20
35
.
1
3
10
21
.
2
4
6
1
5
15
35
.
1
1
6
21
.
1
7
.
1
.
.
a) Construir las siguientes dos filas de números.
b) Cuál es la suma de los números correspondientes a la fila 4? Y la suma de la fila 8?
c) Hallar una expresión que nos permita calcular la suma de cualquier fila de este triángulo.
d) Aplicar la fórmula hallada en el inciso anterior para dar el valor de la suma de la fila 31.
e) Es posible que exista alguna fila para la cual la suma de sus números sea 129?
Actividad 3 Considerar las siguientes figuras con forma de T:
a) Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupe el lugar 5? Y la que estaría en el lugar 11?
b) Hallar una fórmula para poder calcular el número de cuadrados para la figura que ocupe el nésimo lugar.
Actividad 4
a) Dar una fórmula que permita calcular el perímetro de un triángulo isósceles con sólo dos lados iguales,
donde la medida del lado desigual supere en dos unidades a la medida de cualquiera de los otros dos
lados.
b) Comparar las expresiones que representan las situaciones de las actividades 3 y 4. Analizar el dominio
de validez de ambas.
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Actividad 5
Observa estas figuras construidas con fósforos:
a) Calcula la cantidad necesaria de fósforos para construir la figura que ocuparía el sexto lugar.
b) ¿Cuántos fósforos serían necesarios para construir la figura de lugar 100?
c) Encuentra una fórmula para la cantidad de fósforos del lugar n.
d) ¿Podrá ser que en alguna ubicación la figura tuviera 1549 fósforos? ¿Y 1500?
Actividad 6
Se colocan en línea canteros rodeados de baldosas de la misma forma como muestra el dibujo.
a) ¿Cuántas baldosas se colocan para rodear 5 canteros?
b) Calcula qué cantidad de baldosas se necesitan para rodear 24 canteros.
c) Escribe una fórmula que permita conocer el número de baldosas necesarias en función del número de
canteros utilizados.
d) ¿Cuántos canteros se colocaron si se utilizaron 113 baldosas? ¿Es posible que se hayan colocado 200
baldosas?
Formulación y prueba de conjeturas
Actividad 1
Decide si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos, justificando la respuesta:
a) La suma de dos números naturales consecutivos es impar
b) La suma de tres naturales consecutivos es par
c) Un número natural por su consecutivo da siempre par
d) La suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de tres
e) La suma de cuatro números naturales consecutivos es múltiplo de cuatro
f) Dado un número natural de una cifra, se lo eleva al cuadrado. Se suman las cifras del número
obtenido y se le suma también el número elegido. El resultado da siempre mayor que 10.
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g) Dado un número natural de una cifra, se lo eleva al cuadrado. Se suman las cifras del número
obtenido y se le suma también el número elegido. El resultado da siempre menor que 21
Actividad 2 (Justica cada respuesta)
a) Construye un procedimiento para calcular la suma de 3 números consecutivos, cualquiera sea el
número inicial.
b) ¿Cómo harías si sumaras 10 números consecutivos?
c) ¿Es posible que la suma de 10 números consecutivos sea 735245? ¿Por qué?
d) ¿Es posible que la suma sea 18450?
Actividad 3
a) Si se suman 8 números naturales consecutivos da por resultado 68, ¿cuáles números se han
sumado? Justificar
b) Si se multiplican 3 números naturales consecutivos da por resultado 1716, ¿cuáles números se han
multiplicado? Justificar
Actividad 4: El problema del mago
a) Un mago plantea la siguiente rutina a un participante:
-Piensa un número natural, elévalo al cuadrado y réstale uno, al resultado obtenido divídelo por el
consecutivo del número pensado y obtendrás el antecesor del número que pensaste.
i.
¿Siempre adivina el mago? Justificar.
ii.
¿Vale esta rutina en Z? ¿Y en R? Justificar.
b) Encontrar todos los números que verifiquen la siguiente rutina: “Al sumar el cuadrado de un
número y su doble se obtiene el mismo número que al elevar al cuadrado el consecutivo del
número pensado”. Justificar.
c) Problema Propuesto: el mago tiene cien cartas numeradas del 1 al 100. Las dispone en tres cajas
de tal manera que en cada una de ellas haya al menos una carta. Seguidamente pide a alguien de la
audiencia que tome dos cartas que estén en cajas diferentes pero, sin que el mago vea de cuáles
cajas las tomó. De inmediato esta persona debe anunciar en voz alta la suma de los números
escritos en las cartas seleccionadas. Con esta información, el mago dice de cuales cajas se tomaron
las cartas. ¿Cuántas maneras hay de disponer las cartas para que el truco funcione?
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