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1.
ALGEBRA DE BOOLE
El álgebra de Boole, se centra en el estudio en la teoría de conjuntos de dos variables.
Las variables utilizadas son el 0 y el 1 y podrían ser asociadas al conjunto vacío y al conjunto universal,
respectivamente, para una mejor comprensión de las mismas, y sobre las cuales podremos definir dos
operaciones básicas: la unión y la intersección.
Una vez introducidas ambas variables, así como sus operaciones básicas, se podrá hacer una revisión de las
propiedades del álgebra convencional y aplicarlas posteriormente al Algebra de Boole.
2.
PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE BOOLE
Estas propiedades se pueden aplicar a una unión y a la intersección.
a) Propiedad conmutativa.
A+B=B+A
Aplicada a la unión (simbólicamente suma), indica que la unión del conjunto A al conjunto B, tiene el mismo
resultado que si alteramos su orden, conjunto B unido al conjunto A. El diagrama de De Venn sería:
A.B=B.A
Aplicada a la intersección (simbólicamente multiplicación), indica que la intersección del conjunto A y el conjunto B
tiene el mismo resultado que si se altera su orden, conjunto B intersección con el conjunto A. El diagrama de De
Venn seria:
b) Propiedad asociativa.
A+(B+C) = (A+B)+C
Al aplicar la operación unión a tres conjuntos significa que el resultado es el mismo se efectuamos en primer lugar
la unión de los dos primeros con el tercero o bien la unión del primero con el que se obtiene de la unión del
segundo con el tercero.
A.(B.C) = (A.B).C
Aplicada a la intersección significa que la operación resultante de la intersección de tres conjuntos no varía si se
efectúa primero la intersección de los dos primeros y el resultado con el tercero o se efectúa la intersección del
primero con el resultado de la intersección de los segundos.
c) Propiedad distributiva. Esta propiedad indica que dados tres conjuntos el resultado de efectuar la intersección
del conjunto A con el resultante de la unión de B y C, no varía si el resultado obtenido de la intersección de A y B
lo unimos al resultado obtenido de la intersección de A y C.
A.(B+C) = A.B+A.C
Como aplicación de esta propiedad se tiene: (A+B)(A+C) = A.A+AC+AB+BC
d) Elemento simétrico. Se denomina elemento simétrico de A a aquel conjunto que unido a A da como resultado
el conjunto universal. Gráficamente se representa el elemento simétrico de A como A' o A
A+A '= Conjunto universal = 1
Estas mismas propiedades enunciadas en la teoría de conjuntos del a1gebra convencional puede aplicarse al
álgebra de Boo1e directamente y con la única consideración de que cada variable solamente puede tomar dos
valores (1,0), que implícitamente están asociados a dos significados opuestos, como puede ser todo o nada. Si las
anteriores propiedades son aplicadas al álgebra de Boo1e, se tendrán como postulados y teoremas, los
siguientes:
a) POSTULADOS
A=1
Si A = 0
A'=0
Si A = 1
0.0=0
La intersección del conjunto vacío consigo mismo es el conjunto vacío.
1+1 = 1 La unión del conjunto universal consigo mismo es el conjunto universal.
1.1 = 1 La intersección del conjunto universal consigo mismo es el conjunto universal.
0+0=0
La unión del conjunto vacío consigo mismo es el conjunto vacío.
1
1.0 = 0
1+0 = 1
0' = 1
l' = 0
La intersección del conjunto universal y el conjunto vacío, es el conjunto vacío.
La unión del conjunto universal y el conjunto vacío es el conjunto universal.
El elemento simétrico o complementario del conjunto vacío es el universal.
El elemento aritmético o complementario del conjunto universal es el conjunto vacío
b) TEOREMAS
Si se representa el conjunto A como cualquier conjunto que pueda tomar tan solo valores 1 y 0,valores que
representaran todo o nada respectivamente, se cumplirán los siguientes postulados:
A+0=A
La unión de cualquier conjunto vacío es el propio conjunto.
A.l =A
La intersección de cualquier conjunto con el conjunto universal es el propio conjunto.
A+l = 1 La unión de cualquier conjunto con el conjunto universal es el conjunto universal.
A.0=0
La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío es el conjunto vacío.
A+A=A La unión de un conjunto A consigo mismo es el propio conjunto
AA=A
La intersección de un conjunto consigo mismo es el propio conjunto
A+A' =1 La unión de un conjunto con su complementario es el conjunto universal
A.A' = 0 La intersección de un conjunto con su complementario es el conjunto vacío
Toda esta serie de postulados y teoremas serán de alta utilidad en el desarrollo de una función mediante circuitos
lógicos.
3.
LEYES DE DE MORGAN
En apoyo de los teoremas y postulados enunciados anteriormente, aparecen dos leyes, estas leyes simplifican las
funciones lógicas que se han de desarrollar, y son válidas en la utilización de las equivalencias lógicas, cuyo
significado se verá de forma detallada cuando se traten las puertas lógicas. Ambas leyes se denominan leyes de
De Morgan, y corresponden a los enunciados siguientes.
a) Dados dos conjuntos A y B, el conjunto resultante de calcular el complementario de la unión de ambos, es
idéntico al resultante de la intersección de los conjuntos complementarios de ambos.
(A + B) = A ⋅ B
b) Dados dos conjuntos A y B, el conjunto resultante del calculo del conjunto complementario de la intersección de
ambos conjuntos, es idéntico al obtenido por la unión de los complementarios de ambos conjuntos.
A ⋅ B = A + B
Ambos enunciados pueden demostrarse a través de los diagramas de De Venn, así como extendidos a mas de
dos conjuntos.
A + B + C = (A + B) ⋅ C = A ⋅ B ⋅ C
A ⋅ B ⋅ C = A + (B + C) = A + B + C
Ejemplos de aplicacion
Desarrollar las siguientes funciones:
a) Y = (A + B) ⋅ (A + B)
b) Y = (A + B) ⋅ (A ⋅ B)
4.
FUNCIONES BASICAS y SU REPRESENTACION POR PUERTAS LOGICAS
En las primeras aplicaciones correspondientes al Algebra de Boole, aparecen una serie de operaciones como la
unión y la intersección o el caso de variables negadas que denominaremos funciones básicas. Estas funciones
básicas podrán ser desarrolladas por circuitos lógicos y aplicadas a la resolución de problemas electrónicos,
dando paso a los desarrollos correspondientes de toda la electrónica digital y concretamente de los automatismos.
De igual forma, se asociará estas operaciones lógicas a las operaciones aritméticas que nos permitirán realizar, no
solo circuitos que respondan a una determinada lógica, sino también a las operaciones concretas que se deseen
resolver.
Las funciones fundamentales o básicas tomadas como de partida son las estudiadas a continuación.
4.1. Función multiplicativa o intersección. Puerta Y (AND)
La presente puerta lógica, AND, tiene como misión realizar la operación de intersección entre las variables que
intervienen en la función. En nuestro caso y refiriéndonos a una función de dos variables de entrada A y B, la
puerta lógica AND realizará la operación S = A ∩ B, y simbólicamente S = A . B.
Los diferentes valores y el resultado correspondiente así como su símbolo tabla de verdad y mapa de KARNAGHT
son los mostrados en la fig.
2
Mapa de
Karnaught
Tabla de
verdad
Circuito equivalente
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
0
0
0
1
A
B
0
0
0
0
1
Símbolo
Símbolo normalizado
1
0
1
4.2. Función suma o unión. Puerta O (OR)
La misión de esta puerta lógica es efectuar la unión entre las variables de entrada.
Para el caso de dos variables de entrada A y B, la puerta lógica O realizará la operación S = A  B o
simbólicamente S = A+B.
Los diferentes valores y el resultado correspondiente, así como su símbolo, tabla de verdad y mapa de
KARNAGHT son los mostrados en la fig.
Mapa de
Circuito equivalente
Tabla de verdad
Símbolo
Símbolo normalizado
Karnaught
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
0
1
1
1
A
B
0
1
0
0
1
1
1
1
4.3. Función complemento. Puerta NO (NOT).
La operación encomendada a dicha puerta es la de realizar la función complemento o inversión de la variable de
entrada. Esta puerta, a diferencia de las anteriores, posee una sola entrada. La tabla de verdad y el símbolo
representativo de dicha función es el mostrado en la fig.
Mapa de
Circuito
Tabla de verdad
Símbolo
Símbolo normalizado
equivalente
Karnaught
A
0
1
S
1
0
A partir de estas tres funciones (AND, OR Y NOT), se construyen otras tres funciones consideradas también como
básicas, las dos primeras corresponderían tan solo a la negación de las funciones Y y O , denominándose NOY
(NAND) y NOO (NOR) respectivamente, mientras que la tercera, OR EXCLUSIV A, correspondería a una función
específica.
4.4. Función negación de la intersección. Puerta NAND
La puerta lógica NAND tiene corno misión el efectuar la operación de negación de la intersección y podría
desarrollarse, mediante la utilización de las puertas AND y NOT como indica la fig.
Mapa de
Símbolo normalizado
Circuito equivalente
Tabla de verdad
Símbolo
Karnaught
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
1
1
1
0
A
B
0
1
0
1
1
1
1
0
S = A.B = A + B
4.5. Función negación de la unión, Puerta NOR.
3
La operación que realiza esta función es la de negar la unión de las variables de entrada A y B.
La realización de dicha función, partiendo de las puertas básicas indicadas
anteriormente, podría haberse construido a través de las puertas OR y NOT como indica
la fig.
Tabla de
verdad
Circuito equivalente
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Mapa de
Karnaught
S
1
0
0
0
A
B
0
1
0
1
0
Símbolo
Símbolo normalizado
1
0
0
S = A + B = A ⋅ B
4.6. Función lógica OR EXCLUSIVA. Puerta OR EXCLUSIVA (EXOR)
La presente puerta lógica representa una función lógica que no puede considerarse como básica, mas dentro del
entorno de las funciones generales a desarrollar, es una función altamente repetida y como tal se incorporó dentro
de las funciones lógicas elementales.
Como puerta lógica desarrolla la función S = A ⋅ B + A ⋅ B = A ⊕ B , que podría haberse realizado a través de
las puertas indicadas anteriormente, como muestra la fig., y se incorpora al grupo de las funciones básicas.
Circuito equivalente
Mapa de
Karnaught
Tabla de verdad
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
S
0
1
1
0
A
B
0
1
0
0
1
Símbolo
Símbolo normalizado
1
1
0
4