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TEMA 62: PUERTAS LÓGICAS. TÉCNICAS DE DISEÑO Y SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES
LÓGICAS
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN
2. DESARROLLO DEL TEMA
2.1. ÁLGEBRA DE BOOLE
2.1.1. POSTULADOS DE ÁLGEBRA DE BOOLE
2.1.2. PROPIEDADES DE ÁLGEBRA DE BOOLE
2.1.3. TEOREMAS DE ÁLGEBRA DE BOOLE
2.2. PUERTAS LÓGICAS
2.2.1. FUNCIÓN OR
2.2.2. FUNCIÓN AND
2.2.3. FUNCIÓN NOT
2.2.4. FUNCIÓN NOR
2.2.5. FUNCIÓN NAND
2.2.6. FUNCIÓN OR EXCLUSIVA
2.3. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
2.3.1. OBTENCIÓN DE LAS FORMAS CANÓNICAS DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE LA TABLA DE
VERDAD.
2.3.2. MÉTODO ALGEBRAICO
2.3.3. MÉTODO DE KARNAUGH
2.3.4. MÉTODO DE QUINE-MC-CLUSKEY
2.4. TÉCNICAS DE DISEÑO
2.4.1. IMPLEMENTACIÓN CON PUERTAS NAND Y NOR
3. CONCLUSIÓN
4. BIBLIOGRAFÍA COMENTADA
1. Introducción
Históricamente, se considera que la electrónica como rama de la ciencia, nace en 1895, año en el que cuando
Lorentz postuló la existencia de partículas cargadas: llamadas electrones, lo cual fue demostrado, experimentalmente,
por Thomson dos años más tarde. La electrónica no asumió las connotaciones tecnológicas que la caracterizan hasta
los inicios del siglo XX, con la invención de los primeros componentes y, en particular en 1904, con la creación del
diodo. La aparición de las válvulas de vacío primero y de los semiconductores después, supuso un avance considerable
tanto en la reducción de los circuitos, así como en la reducción Y del consumo pero fue, con la aparición de los
Circuitos Integrados, cuando se logró el máximo evolutivo. En la actualidad, nuestro modo de vida, está controlado en
gran parte por sistemas digitales cuyo funcionamiento se rige por órdenes lógicas que interpretan los componentes de
dichos circuitos.
2. Desarrollo del tema
2.1. ÁLGEBRA DE BOOLE
El Álgebra de Boole fue desarrollada por el filósofo y matemático George Boole. Funde las teorías matemáticas
de la lógica y la probabilidad y está aplicada a un conjunto de variables que sólo pueden tomar dos valores, 1 ó 0, y
sobre las que sólo se pueden realizarse tres operaciones:
-
Suma lógica (función unión, OR) A + B
-
Producto lógico (función intersección, AND) A X B
-
Inversión (función negación, NOT) Ā
Se define como función lógica o Booleana a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresión
algebraica formada por otras variables binarias relacionadas mediante los operadores del Álgebra de Boole.
2.1.1. POSTULADOS DE ÁLGEBRA DE BOOLE
Los postulados del Álgebra de Boole son:
-
Complemento:
-
Idempotencia:
a+a=a
a.a=a
-
Elemento neutro:
a+0=a
a.0=0
-
Dominio del 0 y el 1:
a+1=1
a.1=a
-
Doble complementación:
2.1.2. PROPIEDADES DE ÁLGEBRA DE BOOLE
Las propiedades del Álgebra de Boole son:
-
Conmutativa:
-
Distributiva:
-
Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · c ;
a+b=b+a ;
a·b=b·a
a + (b · c) = (a + b) · (a + c) ;
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
2.1.3. TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
Los teoremas del Álgebra de Boole son:
-
Absorción:
-
Leyes de De Morgan:
a + (a · b) = a ;
a · (a + b) = a
2.2. PUERTAS LÓGICAS
Se definen las puertas lógicas como los dispositivos electrónicos que forman los circuitos digitales capaces de
efectuar operaciones lógicas con una serie de variables de entrada. Cada puerta lógica consiste en una red de
dispositivos
interruptores
que
cumple
las
condiciones
booleanas
para
el
operador
particular.
Son
esencialmente circuitos de conmutación integrados en un chip. Las puertas lógicas básicas son AND, OR y NOT. Las
puertas lógicas específicas son NAND, NOR, EXOR Y EXNOR.
Se define una función lógica como una expresión formada por una variable binaria (0 ó 1), de salida S, cuyo
valor depende de una expresión algebraica, en las que se relacionan variables de entrada (a, b, c…) por medio de las
tres operaciones básicas del Álgebra de Boole ya citadas. Por ejemplo S = a . b + b . c
Las funciones lógicas se pueden expresar de varias formas:
-
Con la tabla de verdad: es una representación gráfica formada por un cuadro con tantas columnas como
variables contenga la función y por tantas filas como combinaciones binarias sea posible construir con
dichas variables.
+
0
1
.
0
1
a
a
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
Tabla de verdad de las funciones de OR, AND y NOT.
-
Con la función canónica: es una expresión algebraica formada por una suma de productos o un producto
de sumas de las variables de entrada, de forma directa (a, b, c,…), o de forma negada (
, en la
que cada término debe contener todas las variables de entrada. Las formas canónicas se pueden expresar
de dos formas, como suma de productos (Minterms; ejemplo:
como producto de sumas (Maxterm;
), o
)
- Con el esquema simbólico: es una forma de representar las funciones lógicas utilizando símbolos
gráficos.
2.2.1. FUNCIÓN OR
Es la función básica de unión. En ella la salida es 1 si, y solo si, al menos una de las variables de entrada
toman el valor 1. La Puerta OR realiza por tanto la función suma lógica de las variables, siendo su función y
representación simbólica las siguientes:
a
b
La tabla de verdad de esta función es:
S
S=a+b
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
S
0
1
1
1
2.2.2. FUNCIÓN AND
Es la función básica de Intersección. En ella la salida es 1 si, y solo si, todas y cada una de las variables de
entrada toman el valor 1. La Puerta AND realiza por tanto la función producto lógico de las variables, siendo su
función y representación simbólica las siguientes:
a
S
S=a.b
b
La tabla de verdad de esta función es:
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
S
0
0
0
1
2.2.3. FUNCIÓN NOT
Esta Puerta realiza la función básica de negación. En ella la salida es 1 si y solo si, la variable de entrada
toma el valor O. La Puerta NOT realiza por tanto la función de complementación, siendo su función y representación
simbólica las siguientes:
a
S
La tabla de verdad de esta función es:
a
0
1
S
1
0
2.2.4. FUNCIÓN NOR
La función NOR se obtiene de la combinación de la función OR y la negación de su salida, su símbolo y
tabla de la verdad son los siguientes:
a
b
S
La tabla de verdad de esta función es:
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
S
1
0
0
0
2.2.5. FUNCIÓN NAND
La función NAND se obtiene de la combinación de la función AND y la negación de su salida, su símbolo
y tabla de la verdad son los siguientes:
a
S
b
La tabla de verdad de esta función es:
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
S
1
1
1
0
2.2.6. FUNCIÓN OR EXCLUSIVA
La función OR-Exclusiva de dos variables a y b es aquella que toma el valor 1 cuando una de las variables
toma el valor 1 y la otra el valor 0 o viceversa. Su función y representación simbólica se muestran a continuación:
a
S
b
La tabla de verdad de esta función es:
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
S
0
1
1
0
2.3. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS
Una misma función lógica puede expresarse o realizarse con distintas combinaciones de puertas lógicas.
2.3.1. OBTENCIÓN DE LAS FORMAS CANÓNICAS DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE LA TABLA
DE VERDAD.
De la Tabla de la verdad de una función lógica es fácil deducir las formas canónicas de una función.
Tomemos como ejemplo la siguiente tabla de verdad.
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c
0
1
0
1
0
1
0
1
S
0
1
1
0
1
1
1
0
Si lo queremos expresar de la 1ª forma canónica (Miniterm), me fijo en la fila en que la función toma el
valor 0, y le asigno al valor 0, la variable complementada y al valor 1, la variable directa y los sumo todos ellos.
Si lo queremos expresar de la 2ª forma canónica (Maxterm), me fijo en la fila en que la función toma el
valor 1, y le asigno al valor 0, la variable directa y al valor 1, la variable complementada y los multiplico todos ellos.
.
Una vez obtenida la función canónica de un determinado proceso, es posible encontrar una función lógica
equivalente a la anterior, que tenga el mínimo número de términos sin que por ello varíe la función. Para conseguirlo
se disponen de varios métodos.
2.3.2. MÉTODO ALGEBRAICO
Consiste en intentar simplificar, lo más posible, los términos de la función canónica utilizando las
propiedades, postulados y teoremas del Álgebra de Boole. Un ejemplo sería:
2.3.3. MÉTODO DE KARNAUGH
Este método es un buen sistema para simplificar funciones de hasta 4 variables (es válido para más, pero es
muy tedioso). Los pasos a seguir son:
1- Construcción de las gráficas: Con “n” variables es posible obtener 2n términos o combinaciones diferentes.
Así, si se desea poder representar una función de 2 variables en un plano, será necesario prever 22 = 4
casillas. Si son 3 las variables, necesitaremos 23 = 8 casillas, etc. En el ángulo superior izquierdo se
representan las variables y en los lados superior e izquierdo los valores de las variables. Completamos la
tabla según el resultado que da la función lógica en cada casilla.
a, b\c, d 00
01
11
10
00
0
1
0
0
01
1
0
0
1
11
1
1
1
1
10
1
0
0
0
2- Ahora se realizan agrupamientos de miembros contiguos, lo más grande posibles pero siempre con número
par de miembros. Hay que tener en cuenta que podemos pasar de un límite a otro ya que ahí también cambia
sólo una variable. Los valores que no se puedan agrupar se dejan solos.
3- Los miembros rodeados serán los MINTERMS de la función, dentro de un mismo agrupamiento se elimina el
miembro que tiene dos valores digitales, ya que este no afecta al valor de la función. Así pues la función del
ejemplo queda formada por cuatro sumandos, que son los que se encuentran rodeados en la tabla.
2.3.4. MÉTODO DE QUINE-Mc-CLUSKEY
Es un método para funciones de cinco o más variables, dada su laboriosidad es susceptible de tratamiento
mediante un programa informático.
2.4. TÉCNICAS DE DISEÑO
Los pasos a seguir para crear un circuito digital son;
1-
Construimos la tabla de verdad partiendo del enunciado del problema y sacamos la función.
2-
Obtenemos la función simplificada, utilizando los métodos explicados.
3-
Implementamos el circuito con las puertas deseadas, aplicando el teorema de Morgan a la función
simplificada según las puertas.
Para implementar los circuitos siguen unos criterios de implementación que son:
-
Usar el menor número de puertas lógicas posibles.
-
Usar un solo tipo de puertas.
-
Usar puertas lógicas con el menor número de patillas posibles.
-
Implementar el circuito más económico (suele ser con puertas NAND y NOR).
2.4.1. IMPLEMENTACIÓN CON PUERTAS NAND Y NOR
Como ya hemos comentado, implementar los circuitos sólo con puertas NAND y NOR suele ser lo más
económico.
La implementación con puertas NAND se basa en hacer
y aplicar una de las leyes de De Morgan al
inversor inferior. Lo que tenemos que hacer es convertir todas las sumas lógicas en productos lógicos y usar las
siguientes equivalencias:
Tomemos como ejemplo:
Se puede expresar como
Y su implementación es:
En la implementación con puertas NOR, lo que tenemos que hacer es convertir todos los productos lógicos
en sumas lógicas y usar las siguientes equivalencias:


Tomemos el siguiente ejemplo:
Se puede expresar como
Cuya implementación es
3. Conclusión
Destacar la importancia e interés que tienen LA ENERGÍA para el alumnado, siéndoles de gran ayuda para
conocer la tecnología que se utiliza en la electrónica digital, que tiene un uso tan extendido hoy en día y para
realizar prácticas/proyectos con circuitos electrónicos en el taller de Tecnología.
4. Bibliografía comentada
Libro de Tecnología Industrial II Mac Graw Hill (Madrid) (2007)
-
Apuntes: Facultad de I.T. Industrial de Albacete. Apuntes de ”Electrónica Analógica”