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LABORATORIO 1 ‐ LABORATORIO INFORMÁTICO Un fabricante de hormigón preparado tiene su proceso de producción bajo control. Está interesado en conocer cuál es la distribución de los valores de la resistencia a compresión a los 28 días de edad y para ello decide estudiar la muestra de resultados compuesta por los ensayos del control de producción de un determinado hormigón de los que produce. La muestra está formada por los últimos 50 resultados de ensayo obtenidos. Los resultados, expresados en MPa, son que figuran en el archivo Laboratorio 1.xlxs que cada alumno tiene en su carpeta de “Espacio compartido” de PoliformaT: 1. Importar a Matlab los datos del archivo Laboratorio 1.xlxs. Asignar dichos datos a un vector denominado “datos”. Calcular la longitud de dicho vector >> datos=xlsread(‘Laboratorio 1’) >> length (datos) Longitud = 50 2. Calcular la media, la mediana, la moda y la desviación estándar de la muestra en Matlab. >> mean (datos) >> median (datos) >> mode (datos) >> std (datos) media mediana moda desviación estándar 34,8390 34,5800 35,9800 3,1267 Los valores de la media y la mediana son parecidos, lo cual no permite descartar que la distribución no sea simétrica. 3. Dibujar el histograma de frecuencias de los datos mediante Matlab >> hist (datos) 12
10
8
6
4
2
0
28
30
32
34
36
38
40
42
44
4. Dibujar el diagrama de caja y bigotes. Determinar si existen valores atípicos y si la distribución es simétrica. >> boxplot (datos) 42
40
38
36
34
32
30
28
1
5. Determinar el coeficiente de variación y expresarlo en porcentaje >> 100*std(datos)/mean(datos) 8,9747% 6. Estadística descriptiva con Minitab Estadísticas > Estadística básica > Mostrar estadísticas descriptivas Variable
datos
Conteo
total
50
Variable
datos
MediaRec
34,778
Variable
datos
Q1
32,558
Variable
datos
Asimetría
0,31
N
50
N*
0
NAcum
50
Desv.Est.
3,127
Mediana
34,580
Porcentaje
100
Varianza
9,776
Q3
36,593
Kurtosis
0,48
CoefVar
8,97
Máximo
43,240
MSSD
10,163
PrcAcum
100
Rango
15,150
Media
34,839
Suma
1741,950
IQR
4,035
Error
estándar
de la
media
0,442
Suma de
cuadrados
61166,832
Modo
35,98
Mínimo
28,090
N para
moda
2
También tenemos un resumen gráfico con Minitab muy interesante: Estadísticas > Estadística gráfica > Resumen gráfico Resumen para datos
P rueba de normalidad de A nderson-Darling
A -cuadrado
V alor P
28
32
36
40
44
0,25
0,717
M edia
Desv .E st.
V arianza
A simetría
Kurtosis
N
34,839
3,127
9,776
0,311749
0,481007
50
M ínimo
1er cuartil
M ediana
3er cuartil
M áximo
28,090
32,558
34,580
36,593
43,240
Interv alo de confianza de 95% para la media
33,950
35,728
Interv alo de confianza de 95% para la mediana
33,730
36,016
Interv alo de confianza de 95% para la desv iación estándar
Intervalos de confianza de 95%
2,612
3,896
Media
Mediana
34,0
34,5
35,0
35,5
36,0
7. Con el programa SPSS dar los estadísticos descriptivos Analizar > Estadísticos descriptivos > Explorar Descriptivos
Estadístico
Media
datos
34,8390
Intervalo de confianza para
Límite inferior
33,9504
la media al 95%
Límite superior
35,7276
Media recortada al 5%
34,7794
Mediana
34,5800
Varianza
9,776
Desv. típ.
3,12670
Mínimo
28,09
Máximo
43,24
Rango
15,15
Error típ.
,44218
Amplitud intercuartil
4,04
Asimetría
,312
,337
Curtosis
,481
,662
8. Determinar la resistencia característica del hormigón con estos datos (percentil del 5%). Analizar > Estadísticos descriptivos > Explorar Para ello usamos SPSS. Podemos ver que fck = 29,4925 MPa. Percentiles
Percentiles
Promedio
ponderado(definición
5
10
25
50
75
29,4925
31,0370
32,5575
34,5800
36,5925
32,5700
34,5800
36,5900
90
95
38,8970 40,6520
datos
1)
Bisagras de Tukey
datos
9. Determinar si la muestra procede de una población normal Con Minitab podemos obtener la siguiente gráfica. Estadísticas > Estadística básica > Prueba de normalidad Gráfica de probabilidad de datos
Normal
99
Media
Desv.Est.
N
KS
Valor P
95
90
34,84
3,127
50
0,079
>0,150
Porcentaje
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
30
35
datos
40
45
Si los puntos se encuentran dentro de las bandas, se puede considerar que los valores siguen la distribución con una confianza del 95%. Gráfica > Gráfica de probabilidad > Individual Gráfica
G
de p
probabilid
dad de dato
os
Norrmal - 95% de IC
99
Media
Desv .Est.
N
AD
Valor P
95
90
Porcentaje
j
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
25
30
35
da
atos
40
45
os ver las grá
áficas. Analizzar > Estadístticos descriptivos > Gráfiicos Q‐Q Con SSPSS podemo
34
4,84
3,,127
50
0,,254
0,,717
ptivos > Expl orar > Gráficcos > Gráfico
os con pruebaas de norma
alidad Analizar > Estadíssticos descrip
Prueebas de norrmalidad
Kolmoggorov-Smirn
nova
Shapiro--Wilk
Estadístico gl
Sig.
Estadístiico gl
Sig.
,200*
,982
,652
datoss ,079
50
50
*. Esste es un lím
mite inferiorr de la signifficación verrdadera.
a. Coorrección dee la significación de Li lliefors
05. No see puede desccartar que la distribuciónn sea normal, p‐valor>0,0
c
la
a normalidaad es comprrobando los percentiles.. Al normalizar la Otra forma de comprobar ería ser ‐2, a l igual que e
el de 97,5 debería ser 2. PPor otra partte, los variable, el perceentil 2,5 debe
6 y 84 debería
an ser de ‐1 y 1, respectiivamente. perceentiles de 16
mos una colu
umna con lass variables tip
pificadas: Primeero elaboram
Analizar > Estadíssticos descrip
ptivos > Gua rdar valores tipificados ccomo variabl es o, calculamo
os los percentiles que noss interesan:
Luego
Analizar > Estadíssticos descrip
ptivos > Freccuencias > Variables: Pun
ntuación Z: ddatos tipifica
ados > Estad
dísticos > Perrcentiles Estadísticos
Puntuación Z: datos
Válidos
50
N
Perdidos
0
2,5
-2,1391575
16
-,9865359
84
1,0860658
97,5
2,6121005
Percentiles
Con Statgraphics se puede hacer un gráfico de simetría. En el eje de abscisas se representan las distancias de los valores de la variable a la mediana que quedan por debajo de ella, y viceversa. Si la simetría fuera perfecta, el conjunto de puntos estaría alineado con la recta. Describir > Datos numéricos > Análisis de una variable > Gráfico de simetría Gráfico de Simetría
distancia sobre mediana
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
distancia abajo mediana
8
10
10. Se sabe, por los datos históricos, que la desviación estándar de las resistencias obtenidas es de 3 MPa. El objetivo es que la media sea de 35 MPa. ¿Puede decirse que el proceso se encuentra descentrado (se está fabricando hormigón con una resistencia media distinta a 35 MPa)? Vamos a ver cómo solucionamos el problema con Minitab. Estadísticas > Estadística básica > Z de 1 Muestra Prueba de mu = 35 vs. no = 35
La desviación estándar supuesta = 3
Variable
C1
N
50
Media
34,839
Desv.Est.
3,127
Error
estándar
de la
media
0,424
IC de 95%
(34,007; 35,671)
Z
-0,38
P
0,704
El p‐valor > 0,05, por tanto no se puede decir que el proceso se encuentre descentrado. En la gráfica de caja se puede ver cómo el valor objetivo (círculo en rojo) se encuentra dentro del intervalo de confianza de la media. Gráfica de caja de C1
(con Ho e intervalo de confianza Z de 95% para la media y Desv.Est. = 3)
_
X
Ho
30
35
40
45
C1
11. Ahora no conocemos los datos históricos de la desviación típica. Se quiere saber si el proceso se encuentra descentrado, suponiendo que el objetivo es que la media sea de 30 MPa. Estadística > Estadística básica > t de 1 Muestra Prueba de mu = 30 vs. no = 30
Variable
C1
N
50
Media
34,839
Desv.Est.
3,127
Error
estándar
de la
media
0,442
IC de 95%
(33,950; 35,728)
T
10,94
P
0,000
Se puede ver que el p‐valor < 0,05, y por tanto el proceso se encuentra descentrado. También se comprueba en el gráfico de caja. Gráfica de caja de C1
(con Ho e intervalo de confianza t de 95% para la media)
_
X
Ho
30
35
40
45
C1
También lo podíamos ver con SPSS. Analizar > Comparar medias > Prueba T para una muestra > Valor de prueba: 30 Prueba para una muestra
Valor de prueba = 30
t
gl
Sig. (bilateral)
Diferencia de
95% Intervalo de confianza para la
medias
diferencia
Inferior
datos
10,943
49
,000
4,83900
3,9504
Superior
5,7276
12. Establecer los límites de tolerancia estadística, con un nivel de confianza del 95%, de forma que dentro se encuentre el 99% de la población Podemos utilizar Statgraphics. Describir > Datos numéricos > Límites de tolerancia estadística > A partir de observaciones Distribución Normal Ajustada
media=34,839, desv. est.=3,1267
8
95-99 Límites
LST: 44,61
LIT: 25,07
frecuencia
6
4
2
0
25
29
33
37
41
45
Col_1
13. Establecer cuál sería el tamaño de la muestra para estimar la media, suponiendo que la desviación estándar es 3,1267 MPa y el margen de error para la media de 0,889 MPa, con un nivel de confianza del 95%. Con Minitab: Estadísticas > Potencia y tamaño de la muestra > Tamaño de la muestra para estimación > Opciones: bilateral Tamaño de la muestra para estimación
Método
Parámetro
Distribución
Desviación estándar
Nivel de confianza
Intervalo de confianza
Resultados
Margen
de error
0,889
Tamaño
de la
muestra
50
Media
Normal
3,1267 (estimado)
95%
Bilateral
14. Se quiere saber qué tamaño de muestra deberemos elegir para detectar diferencias respecto a la media mayor de 2 MPa un 80% de las veces, suponiendo un nivel de confianza del 95%. Suponemos conocida la desviación típica, que es de 3 MPa. En el caso de no conocer a priori la desviación estándar, suponemos la de una muestra. Con Minitab podemos hacer lo siguiente: Estadísticas > Potencia y tamaño de la muestra > t de 1 muestra > Diferencias: 2; Valores de potencia: 0,8; Desviación estándar: 3 > Opciones: Mayor que Potencia y tamaño de la muestra
Prueba t de 1 muestra
Probando la media = nula (vs. > nula)
Calculando la potencia para la media = nulo + diferencia
Alfa = 0,05 Desviación estándar asumida = 3
Diferencia
2
Tamaño
de la
muestra
16
Potencia
objetivo
0,8
Potencia
real
0,815566
Curva de la potencia para Prueba t de 1 muestra
1,0
Tamaño de
la muestra
16
Potencia
0,8
S upuestos
A lfa
0,05
Desv .E st.
3
A lternativ a
>
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Diferencia
2,5
3,0