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Probabilidad y Estadística
Probabilidad y
Estadística
Tema 11
Estimadores puntuales y de
intervalo
Objetivo de aprendizaje del tema
Al finalizar el tema serás capaz de:
•
•
Describir los conceptos de los estimadores puntuales y
de intervalo.
Aplicar los conceptos de intervalos de confianza para
poblaciones normales.
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Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Introducción al tema
Una cadena de centros comerciales del norte del país
adquirió los establecimientos de un competidor y fusionó
las tiendas adquiridas a su esquema de tiendas y
distribución. El problema principal al que se enfrentaba
el equipo de integración era las diferentes formas de
almacenar y explotar la información.
El equipo de integración tomó muestras de ventas para
cada línea producto y estimó un promedio de ventas
anual para cada producto de la compañía. Sin embargo
el equipo se preguntaba si realmente la estimación
obtenida de las ventas anuales era suficiente para
considerarla como un dato que de otra forma hubiera
sido obtenido de todas las tiendas.
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Introducción al tema
La correcta estimación puntual que llevó a cabo la
compañía adquirente, está basada en una serie de
propiedades que nos llevan a decir que un cálculo
basado en una muestra es representativa de la
población.
Te invito a que juntos descubramos la forma en que se
puede construir un intervalo de confianza para un
estimador puntual y validar que la información obtenida
de la muestra es representativa de la población.
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Estimación Puntual
La media muestral
es el mejor
estimador de la
media poblacional.
Otros estimadores
puntuales de una
población son la
varianza muestral y la
desviación estándar.
La estimación
puntual es un número
(denominado punto)
que se utiliza para
estimar un parámetro
poblacional.
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Propiedades de un estimador puntual
Insesgado
• Un estadístico
muestral es
insesgado cuando
el valor esperado
del estadístico
muestral es
cercano al
estadístico
poblacional.
• Un estimador es
asintóticamente
insesgado si su
posible sesgo
tiende a cero al
aumentar el
tamaño de la
muestra.
Consistencia
• Sean α y β dos
estimadores
insesgados de un
parámetro θ
desconocido,
decimos que α e
más eficiente que
β si la varianza de
β es mayor a la
varianza de α.
Intervalo
• Un estimador
asintóticamente
insesgado θ, cuya
varianza tiende a
cero al aumentar
el tamaño de la
muestra, es un
estimador
consistente.
Suficiencia
• Un estimador es
suficiente cuando
no da lugar a
pérdida de
información, es
decir, cuando la
inferencia basada
en θ es tan buena
como si la
estimación se
hubiera hecho
sobre la población.
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Estimación de Intervalo
La estimación
de intervalo
expresa la
amplitud dentro
de la cual
probablemente
se encuentra un
parámetro
poblacional.
El intervalo en el
que se espera
esté el valor real
del parámetro
poblacional se le
denomina
Intervalo de
Confianza.
Por ejemplo, el
intervalo de
confianza para la
media
poblacional es el
intervalo que
tiene una mayor
probabilidad de
contener la
media
poblacional.
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Intervalo de confianza de 95%
Indica que el 95% de las
medias muestrales, de un
tamaño de muestra
específico seleccionadas de
una población se hallarán
dentro de más o menos 1.96
desviaciones estándares de
la media poblacional
hipotética.
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Intervalo de confianza de 99%
Indica que el 99% de las
medias muestrales, de un
tamaño de muestra
específico seleccionadas
de una población se
hallarán dentro de más o
menos 2.58 desviaciones
estándares de la media
poblacional hipotética.
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Estimación de intervalo
¿De dónde provienen los valores de 1.96 y 2.58?
Veamos el caso del valor 1.96: el 95% central de
las medias muestrales se encuentra en
cualquiera de los lados de la media poblacional.
0.95 / 2 = 0.4750.
Entonces, el área a la derecha de la media
es de 0.4750.
El área a la izquierda de la media también
es de 0.4750.
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Estimación de intervalo
•
Utilizamos la tabla de la distribución normal estándar
para obtener el valor de 0.4750:
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Estimación de intervalo
1.96 2.58
-2.58 -1.96
95%
99%
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Error estándar de la media
El error estándar de
la media es la
desviación estándar de
la distribución
muestral de las medias
muestrales.
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Error estándar de la media
•
El error estándar de la media se calcula mediante la
siguiente fórmula:
Donde:
n
= Error estándar de la media
= Desviación estándar de la población
= Tamaño de la muestra
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Error estándar de la media
•
Si no se conoce, y el tamaño de la muestra es mayor o
igual a 30, la desviación estándar de la muestra sirve
para aproximar la desviación estándar de la población.
Donde:
s
n
= Error estándar de la media
= Desviación estándar de la población
= Tamaño de la muestra
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Elaboración de intervalos de confianza
•
•
Para construir un intervalo de confianza de 95%, la
fórmula es:
Para el intervalo de confianza del 99%:
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Elaboración de intervalos de confianza
En un experimento se trata de seleccionar una muestra
aleatoria de 256 administradores o gerentes para el estudio.
Un elemento de interés es su ingreso mensual. La media muestral se
calcula como $ 35,420 pesos y la desviación estándar de la muestra es de
$ 2,050 pesos.
¿Cuál es el ingreso medio estimado de todos los administradores y
gerentes?
¿Cuál es el intervalo de confianza de 95%?
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Elaboración de intervalos de confianza
•
•
•
El ingreso medio estimado de la población es de
$35,420. La media muestral es un estimador puntual de
la media poblacional.
El intervalo de confianza del 95%. Considerando la
fórmula, entonces:
El intervalo de confianza de 95% para el ingreso
mensual de todos los administradores y gerentes es
entre $35,168.87 y $35,671.13.
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Elaboración de intervalos de confianza
•
Si hubiera que seleccionar 100 muestras de tamaño 256
de la población de administradores para calcular las
medias muestrales y los intervalos de confianza,
entonces:
La media poblacional del
ingreso mensual se
encontraría en 95 de los 100
intervalos de confianza
5 de los 100 intervalos de
confianza no contendrían
a la media poblacional.
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Cierre
La imposibilidad que en ocasiones se tiene para obtener
información de una población, nos obliga a inferir
características de dicha población a través del estudio
de las características de un subconjunto de esa
población.
De ese subconjunto llamado
muestra, se obtienen datos que
representan un estimador
puntual que sirve de estimación
del valor real de toda la
población. Como vimos durante
el tema, la media de una
muestra es un buen estimador
de una media poblacional.
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Cierre
Sin embargo, si las condiciones de tiempo, costo u otras
lo permiten, podemos hacer diferentes estudios sobre
varias muestras de la misma población. Es decir, si
tomamos varias veces la muestra y les aplicamos las
mismas técnicas y obtenemos los mismos estimadores,
podemos demostrar que nuestro estimador puntual es
un buen estimador de valor de la población.
En el siguiente tema revisaremos la inferencia de
parámetros poblacionales a partir de la toma de distintas
muestras de la población, lo que nos permitirá calcular y
estimar datos poblacionales a partir de los estimadores
puntuales de varias muestras de la población. Te invito a
conocer y a aplicar estas técnicas durante el transcurso
del siguiente tema.
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Referencias bibliográficas
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Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage
Learning. Capítulo: 6
Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística
matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage
Learning.
Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed).
México: McGraw Hill.
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Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP
Coordinador académico:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED.
Edición de contenido:
Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón.
Edición de texto:
Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE
Diseño Gráfico:
Lic. Alejandro Calderas González, MATI
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