Download Probabilidad y Estadística Objetivo de aprendizaje del tema

Probabilidad y Estadística
Probabilidad y
Estadística
Tema 13
Inferencia en una población
Objetivo de aprendizaje del tema
Al finalizar el tema serás capaz de:
•
•
•
Explicar el procedimiento de pruebas en la inferencia
estadística.
Aplicar la inferencia estadística para la media una
población.
Aplicar la inferencia estadística para una proporción.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Introducción al tema
Consideremos por un momento que Pepsi Cola lanza
una campaña en el país cuando se sabe que su
participación de mercado es, por mencionar un número,
de un 15%. Durante algún tiempo se realizan todos los
eventos pensados en su campaña y al final de la misma
realiza una encuesta en varias partes de la república y
obtiene que ahora su participación de mercado ha
subido un par de puntos porcentuales para situarse en
17%.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Introducción al tema
¿Cómo sabe Pepsi Cola si su campaña realmente ha
cambiado las preferencias del consumidor hacia sus
productos a partir de una muestra de la población?,
¿cómo comprobar que la nueva participación de
mercado es real y no un simple error al tomar una
muestra de la población?
Te invito a que juntos exploremos las técnicas que nos
permiten, si no a tener una certeza clara de lo que
ocurre en la población a partir de los resultados de una
muestra, si una idea de que las tendencias de una
población en estudio han cambiado o bien, se
conservan.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
¿Qué es una hipótesis?
Es un enunciado acerca del valor de un
parámetro poblacional. La razón para
establecer una hipótesis es que la población
de interés es tan grande que por diversas
razones sería prácticamente imposible
estudiar a todos los elementos de la
población.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Algunos ejemplo de hipótesis
El ingreso mensual medio para los ciudadanos jubilados es de $9,930
pesos.
Se sabe que el 20% de los delincuentes juveniles finalmente son
arrestados, se les sentencia y encarcela.
El diámetro exterior medio de los cojines de bolas producidos durante
una jornada laboral es de 1.000 pulgadas.
En general, el 90% de las formas de impuesto federal de ingresos se
llenan correctamente.
Las resistencias al impacto de los parabrisas que producen dos
empresas industriales son iguales.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Prueba de hipótesis
Es un procedimiento basado en la
evidencia muestral y en la teoría de
probabilidad que se emplea para
determinar si la hipótesis en un
enunciado razonable y no debe
rechazarse, o si es irrazonable y
debe ser rechazada.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Procedimiento de pruebas
Paso 1: Plantear
las hipótesis
nula y
alternativa.
Paso 2:
Seleccionar el
nivel de
significación.
Paso 3:
Identificar el
estadístico de
prueba.
Paso 5: Tomar
una muestra y
llegar a la
decisión.
Paso 4:
Formular la
regla de
decisión.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Procedimiento de pruebas
La hipótesis nula es
una afirmación o
enunciado tentativo
que se realiza acerca
del valor de un
parámetro poblacional.
La hipótesis
alternativa es una
afirmación o enunciado
que se aceptará si hay
evidencia de que la
hipótesis nula es falsa.
El nivel de significación
es el riesgo que se asume
acerca de rechazar la
hipótesis nula cuando en
realidad debe aceptarse
por ser verdadera.
Error Tipo I: La
probabilidad de
rechazar la hipótesis
nula cuando en
realidad es verdadera.
Error Tipo II: La
probabilidad de aceptar
la hipótesis nula
cuando en realidad es
falsa.
Un estadístico de
prueba es un valor
determinado a partir de la
información muestral, que
se utiliza para aceptar o
rechazar la hipótesis nula.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Pruebas de significación de una y dos colas
•
El signo < apunta a la región de rechazo en la cola
inferior de la curva normal.
Región de
rechazo
Región de
aceptación
- 1.645
0
Valor crítico
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Pruebas de significación de una y dos colas
•
El signo > apunta a la región de rechazo en la cola
superior de la curva normal.
Región de
rechazo
Región de
aceptación
0
1.645
Valor crítico
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Pruebas de significación de una y dos colas
•
Si en la hipótesis alternativa no se especifica una
dirección, se aplica una prueba de dos colas o
extremidades.
Región de
rechazo
Región de
rechazo
Región de
aceptación
- 1.645
Valor crítico
0
1.645
Valor crítico
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Prueba de hipótesis para la media de una población
•
Se utiliza el estadístico z cuando el tamaño de la
muestra es grande (mayores a 30).
Donde:
= Media muestral
= Media poblacional
= Desviación estándar poblacional
n = Tamaño de la muestra
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Prueba de hipótesis para la media de una población
•
•
Se sabe que la distribución de las tasas de eficiencia
para los trabajadores de una compañía se distribuye
normalmente con una media poblacional de 200 y una
desviación estándar poblacional de 16. El departamento
de investigación cuestiona esta media, afirmando que es
diferente de 200. Usar el nivel de significación del 1% y
probar la hipótesis de que la media poblacional es de
200.
Paso 1: Plantear la hipótesis nula y alternativa.
– H0: La media poblacional es de 200
– H1: La media poblacional no es 200
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Prueba de hipótesis para la media de una población
•
Paso 2: Seleccionar el nivel de significación.
–
•
Se utilizará el nivel del 5%
Paso 3: Identificar el estadístico de prueba.
–
El estadístico adecuado es z, pues se está
analizando la hipótesis sobre una media
poblacional cuando el tamaño de la muestra es
grande (mayores a 30). La transformación de los
datos a unidades estándares (valores z) permite
que se usen en un gran número de problemas
diferentes.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Prueba de hipótesis para la media de una población
•
Paso 4: Formular la región de decisión.
–
Puesto que es una prueba de dos colas, se busca
la porción de cada cola que determina la mitad del
nivel de significación, en este caso la mitad de 0.01
es 0.005.
z
2.3
2.4
0.00
0.4893
0.4918
0.01
0.4896
0.4920
0.02
0.4898
0.4922
0.03
0.4901
0.4925
0.04
0.4904
0.4927
0.05
0.4906
0.4929
0.06
0.4909
0.4931
0.07
0.4911
0.4932
0.08
0.4913
0.4934
2.5
0.4938
0.494
0.4941
0.4943
0.4945
0.4946
0.4948
0.4949
0.4951
–
Dado que el valor 0.4950 está entre 2.57 y 2.58, se
utiliza un valor de Z de 2.575.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Prueba de hipótesis para la media de una población
•
Paso 5: Tomar la muestra y llegar a una decisión.
–
Se analizaron las calificaciones de eficiencia de 100
empleados de producción y se calculó que la media
de la muestra es de 203.5.
–
Calculamos el estadístico z para evaluar la
hipótesis nula:
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Prueba de hipótesis para la media de una población
Dado que 2.19 queda
en la región de
aceptación, la hipótesis
nula que indica que la
media poblacional no es
diferente de 200, se
acepta con un nivel del
0.01 o 1%. La
diferencia entre 203.5 y
200 puede atribuirse a
una variación aleatoria.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Prueba de hipótesis para la media de una población
•
Si se desconoce la desviación estándar poblacional,
podemos utilizar la desviación estándar de la muestra:
Donde:
= Media muestral
= Media poblacional
s = Desviación estándar muestral
n = Tamaño de la muestra
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Prueba de hipótesis para la media de una población
•
Se utiliza el estadístico t cuando el tamaño de la
muestra es pequeña (menores a 30).
Donde:
= Media muestral
= Media poblacional
= Desviación estándar poblacional
n = Tamaño de la muestra
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Prueba de hipótesis para la media de una población
La distribución t-student tiene la
siguientes características:
Como la distribución normal, es una distribución continua.
Como la distribución normal, tiene forma de campana y
simétrica.
No hay una distribución t, sino una “familia” de distribuciones t.
Todas tiene la misma media igual a cero, pero sus desviaciones
estándar difieren de acuerdo al tamaño de la muestra n.
Es más extendida y menos aguda en el centro que la
distribución normal.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Prueba de hipótesis sobre una proporción
•
Se utiliza el estadístico z con la siguiente fórmula.
Donde:
= Proporción muestral
p = Proporción poblacional
n = Tamaño de la muestra
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Cierre
Las pruebas de hipótesis nos permiten, a partir de las
muestras de una población y de los estadísticos
poblacionales con los que se cuenta, como por ejemplo
la media poblacional, investigar un poco más a fondo el
comportamiento real de la población en estudio a partir
de una nueva evaluación, como por ejemplo de la media
de una muestra.
Conocimos la teoría acerca de las pruebas de hipótesis
y utilizamos el método de cinco pasos para llevar a cabo
una prueba de hipótesis. Aprendimos a reconocer si la
prueba de hipótesis es de una cola, izquierda o derecha,
o de dos colas y determinar el signo < ó > para la
hipótesis nula.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Cierre
Durante el desarrollo de este tema, utilizamos dos
estadísticos de prueba: el de la normal estándar para
poblaciones grandes, es decir, donde la muestra es
mayor a 30 elementos, y también lo utilizamos para
realizar pruebas de hipótesis para proporciones.
También conocimos y utilizamos en estadístico t, que
diluye un poco el error ocasionado por obtener datos
muestrales a partir de muestras pequeñas, menores a
30 elementos.
¿Cómo sabemos que dos poblaciones normales o dos
proporciones tomadas de distintos grupos muestrales,
pertenecen a la misma población? En el próximo tema
realizaremos tales comparaciones.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Probabilidad y Estadística
Referencias bibliográficas
•
•
•
Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage
Learning. Capítulo: 7
Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística
matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage
Learning.
Spiegel, M. (2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed).
México: McGraw Hill.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP
Coordinador académico:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED.
Edición de contenido:
Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón.
Edición de texto:
Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE
Diseño Gráfico:
Lic. Alejandro Calderas González, MATI
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.