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Capítulo 5
Los números
reales y sus
representaciones
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Diapositiva 5-1-1
Capítulo 5: Los números reales y sus
representaciones
5.1 Números reales, orden y valor absoluto
5.2 Operaciones, propiedades y aplicaciones
de los números reales
5.3 Números racionales y representación
decimal
5.4 Números irracionales y representación
decimal
5.5 Aplicaciones de decimales y porcentajes
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Sección 5.1
Los números reales, orden
y valor absoluto
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Números reales, orden y valor absoluto
•
•
•
•
Conjuntos de números reales
Orden en los números reales
Inversos aditivos y valor absoluto
Aplicaciones
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Conjuntos de números reales
Números naturales
{1, 2, 3, 4, …} es el conjunto de números
naturales.
Números enteros
{0, 1, 2, 3, 4, …} es el conjunto de números
enteros no negativos.
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Recta numérica
Los números positivos y negativos se conocen como
números con signo.
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Conjuntos de números reales
El conjunto de números marcados en la recta
numérica en la diapositiva anterior, incluidos los
positivos, los negativos y el cero, son parte del
conjunto de los números enteros.
Enteros
{…,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…} es el conjunto de los
números enteros.
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Conjuntos de números reales
Los números como 1 and
y  1 2 no son enteros;
2
3
son números racionales.
Números racionales
{x | x es un cociente de dos enteros, con denominador
diferente de 0} es el conjunto de números
racionales.
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Conjuntos de números reales
La gráfica de un número es un punto sobre la recta
numérica. Abajo están graficados algunos números.
1

2
–2
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–1
2
2
3
0
1
2
3
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Conjuntos de números reales
No todos los números son racionales. Por ejemplo,
2 no puede escribirse como cociente de dos
enteros. Se le llama número irracional.
Números irracionales
{x | x es un número sobre la recta numérica que no es
racional} es el conjunto de números irracionales.
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Números reales
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Ejemplo: Identificación de elementos
1


Liste los números del conjunto 3,  , 0, 1, 1.8, 7 
2


que son
a) números naturales
b) números racionales
c) números reales
Solución
a) números naturales: el único número natural es el 1.
b) números racionales: {–3, –1/2, 0, 1, 1.8}
c) números reales: todos son números reales.
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Diapositiva 5-1-12
Orden en los números reales
Dos números reales pueden compararse u
ordenarse mediante las ideas de igualdad y
desigualdad.
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Diapositiva 5-1-13
Orden en los números reales
La ley de tricotomía afirma que para dos números
a y b, uno y solo uno de los siguientes enunciados
es verdadero.
a=b
a es igual a b
a<b
a es menor que b
a>b
a es mayor que b
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Orden en los números reales
El símbolo  significa “es menor que o igual a”.
El enunciado es verdadero si la parte = o la parte <
es verdadera.
5 ≤ 7 es verdad, como lo es 5 ≤ 5
El símbolo  significa “es mayor que o igual a”.
El enunciado es verdadero si la parte = o la parte >
es verdadera.
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Inversos aditivos
Para cualquier número real x diferente de cero, hay
exactamente un número sobre la recta numérica
que está a la misma distancia del 0 que x, pero en el
lado opuesto del 0. Por ejemplo, 3 y –3 están a la
misma distancia del 0, pero en lados opuestos.
Estos números son inversos aditivos, negativos u
opuestos, uno del otro.
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Regla del doble negativo
Para cualquier número real x,
( x)  x.
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Diapositiva 5-1-17
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real se define
como la distancia entre el 0 y el número en
cuestión en la recta numérica. El símbolo para el
valor absoluto de x es |x|, y se lee “el valor
absoluto de x”.
El valor absoluto de un número nunca es
negativo.
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Diapositiva 5-1-18
Valor absoluto
Para cualquier número real x,
 x siif x  0
x 
 x siif x  0.
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Ejemplo: Uso del valor absoluto
Simplifique obteniendo el valor absoluto.
a) |4|
b) |–2|
c) –|–3|
d) |1 – 8|
Solución
a)
b)
c)
d)
4
2
–3
7
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Aplicaciones
Cuando buscamos encontrar el mayor cambio, sin
importar si se trata de un aumento (positivo) o una
disminución (negativo), se usa el valor absoluto
del número.
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Diapositiva 5-1-21
Ejemplo: Valor absoluto
A partir de la lectura de las temperaturas de los
días indicados abajo, ¿cuál día registró el mayor
cambio?
Día 1
AM
Temp.
23o F
PM
Temp.
42o F
PM –
AM
19o F
Día 2
32o F
55o F
23o F
Día 3
40o F
13o F
–27o F
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Diapositiva 5-1-22
Ejemplo: Valor absoluto
Día 1
23o F
42o F
19o F
Día 2
32o F
55o F
23o F
Día 3
40o F
13o F
–27o F
Solución
El día 3 tuvo el mayor cambio de | –27| = 27 grados.
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