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y
Trigonometría
La trigonometría (del griego trígonon,
«triángulo», y metron, «medida») es la
parte de la matemática que tiene por objeto estudiar las relaciones métricas existentes entre los elementos de un triángulo. Considera para ello las funciones goniométricas o referentes a la medición de
los ángulos (del griego gonía, «ángulo»).
Supóngase una circunferencia con dos
diámetros perpendiculares
a modo de
ejes de coordenadas. Una semirrecta que
parta del centro determinará un ángulo
cualquiera; por ser central, se corresponde evidentemente con la medida del
arco que abarcan los radios (fig. 1). Los
elementos que caracterizan
a los arcos
son: el origen, punto de corte de'la circunferencia con el eje positivo de lasX (punto A); y el sentido, que se denomina positivo si recorre la circunferencia
en
sentido contrario al de las manecillas
del reloj.
Las unidades de medida son: el grado
sexagesimal, que se divide en 60 partes
llamadas minutos, y éste, en otras 60, los
segundos; y el radián. El ángulo equivalente al recorrido de toda la circunferencia se denomina giro completo, y su medida es de 360°; cada una de las cuatro
partes en que queda dividida al trazar los
dos diámetros perpendiculares
mide 90°
-x
-y
fig.
1
y se llama cuadrante de circunferencia.
Se
numeran del uno al cuatro según el orden
indicado en la figura l.
El radián se define como el arco de medida igual a la del radio con que se ha
trazado; lógicamente, su valor en grados
es constante para cada circunferencia y se
establece así: puesto que la longi tud de la
circunferencia
se calcula por medio de
la expresión.
L
= 2rrr
resulta que cada circunferencia contiene
2rr = 6,28". radianes. Si ahora tenemos en
cuen ta que para recorrerIa precisamos
dar un giro de 360°, es evidente que 2rr
145
y
x
-x
fig. 3
-y
o
y
-x
x
radianes = 360°. A partir de aquí y por
medio de una sencilla proporción podemos saber inmediatamente la medida en
grados de cada radián:
fig. 4
---360
21T
y
-x
x
fig. 5
x
-y
14ó
fig. 6
x
operando, x = 57° 17' 44" (aproximadamente).
Para estudiar las razones trigonométricas hay que considerar dos radios y sus
prolongaciones correspondientes a una
familia de circunferencias concéntricas;
están cortados por un haz de rectas paralelas como se observa en la ilustración
(fig.2). Ello da lugar a la formación de
triángulos semejantes, de acuerdo con el
teorema de Tales; se pueden, pues, escribir las proporciones siguientes:
AE A'E'
-=--=--= A"E"
OA OA'
OA"
OE OE'
OE"
-=--=--=
OA OA'
OA"
AE A'E'
A"E"
OE = OE' = OE"
OE OE'
OE"
-=--=--= A"E"
AE A'E'
OA OA'
OA"
OE = OE' =-OE"
OA OA'
OA"
AE =A'E' = A"E"
...= seno dea'
'
...= coseno dea'
'
= ...= tangente de a;
...= cotangentedea'
= ...= secante
de a;
= ...= cosecante
de a.
'
Obsérvese que la cuarta serie es inversa
de la tercera; la quinta, de la segunda, y la
última, de la primera.
Cada razón establecida se define de la
siguiente manera:
Seno de a (sen a): razón existente entre
el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa (cada triángulo considerado es rectángulo).
Coseno de a (cos a): razón existente entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Tangente de a (tg a): razón existente entre el cateto opuesto y el contiguo.
Cotangente de a (cotga): razón existente
entre el cateto contiguo y el opuesto (es
inversa de tg a).
Secante de a (sec a): razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo (es inversa de
cos a).
Cosecante
de a (cosec a): razón entre la
hipotenusa y el cateto opuesto (es inversa
de sen a).
El signo de cada una de ellas cambia
según lo hace el cuadrante en que se encuentra el ángulo de que se trate, ya que
los dos diámetros perpendiculares
admitidos a modo de ejes coordenadas tienen
valores positivos y negativos. El radio se
toma con valor absoluto, es decir, siempre posi ti va; el signo será el de sus proyecciones sobre los dos ejes, que se designan a y b, respectivamente.
Así, en el primer cuadrante todas las
razones trigonométricas
resultan positivas, pues a y b lo son siempre (fig. 3).
En el segundo (fig. 4), b sigue siendo
positivo, mientras que a es negativo, por
lo que
sena
b
=->0'
r'
cosa
y S
cotg
IY.
R
cos
a
IY.
fig. 7
son negativos, y también
cosec a; mientras que
tga
lo son sec
a
=-ba
a =b
cotg
resultan positivos.
En el cuarto (fig. 6), a es positivo y b
negativo, por lo que
sen
a =-'b
r'
tg
a
90°
b
=-a
n/2
a
0°
=-<0;
r
Ó
360°
2n
<O;
las funciones
inversas mantienen
el
mismo signo; por ello, cosec a > O, mientras que cotg a < O Y sec a < O.
En el tercero (fig. 5), a y b son negativos,
por lo que
a -
a y
b
=-a
tga
sen
x
A
b
-,r
a
270°
3n/2
fig. 8
cos a = -,
r
147
y
fíg.
9
son negativos, como sus inversos, cosec
y cotg a; mientras que
cos
,a
a = -;
sec
r
a
a
fig.
r
a
lO
resultan positi vos.
La representación gráfica de las funciones trigonométricas,
u obtención de líneas trigonométricas,
es muy sencilla si,
tomando cualquier ángulo, se sitúa en
una circunferencia o cuadrante de radio
unidad (r = OA = OQ = OS = 1) (fig. 7),
por lo que las razones pasarán a ser:
b
b
r
1
a
a
r
1
sen
a = - = - = b·
cos
a = - = - = a'
b
tg
a=
cotg
a
AP
AP
-1- = AP;
a
QR
TS
TS
= - = -= -= -= TS'
b
OR
OS
1
'
a = el =
cosec
'
-; = OA =
r
sec
'
OP
OP
OA = --1- = OP;
a = -r = -- r
b
OR
OT
OT
= -= -= OT
OS
1
.
Análogamente a como se ha estudiado
la variación de los signos para las distintas razones trigonométricas, se hace con
sus valores, buscando los máximos y mÍnimos de cada una, así como la representación gráfica de aquélla.
148
Para estudiar la función seno puede suponerse una circunferencia de radio unidad que se recorre en un giro completo, es
decir, 3600 o 27Tradianes (fig. 8).
En el primer cuadrante el seno crece al
hacerla el ángulo hasta tener el valor del
radio (uno) cuando el ángulo es de 900 o
7T/2 rad (radianes).
En adelante, en el recorrido del segundo, va decreciendo
hasta llegar a nulo para 1800 o 7Tradianes.
En el tercero experimenta
un nuevo
aumento, desde O hasta el radio, pero sus
valores son negativos, por lo que en 2700 o
37T/2 rad su valor será -1.
En el recorrido del cuarto vuelve a disminuir, pues pasa a valer O al culminar el
recorrido; es decir, para 3600 o 27Trad,
que es lo mismo que 00 y O rad. En reali-
y
dad no decrece, sino que su valor se incrementó al ir de uno negativo a cero,
como el tercer cuadrante, donde se vio
que creCÍacuando decreCÍa. De todas maneras, si se consideran las líneas trigonométricas como segmentos cualesquiera tienen validez las primeras expresiones citadas. De todo ello se concluye
que el máximo corresponde a 90° con el
valor 1; el mínimo, a 270° con -1, y los
nulos, a 180° y 360° o O°.La gráfica correspondiente es la llamada sinusoide (fig. 9).
Para la función coseno se parte de las
premisas anteriores, y en el recorrido se
advierte (fig. 10): al ir de 0° a 90°, es decir,
al recorrer el primer cuadrante, la funvalor del radio,
ción decrece desde
hasta anularse. En el segundo va de O al
valor del radio para el ángulo de 7Tradianes o 180°. Dicho valor tiene carácter negativo; o sea, ha pasado de O a-l.
En el tercer cuadrante se trasladará de
su valor mínimo a O de nuevo para 270°,
por lo que puede decirse que crece.
Por último, pasará de Oa 1 en el cuarto
cuadrante; es decir, también experimentará una crecida. La gráfica correspondiente es igual que la anterior, pero desplazada 7T/2 radianes o 90° (fig. 11).
En la representación de la función tangente debe tenerse en cuenta que hay dos
puntos en los cuales existe discontinuidad, por no estar definida la función (figuras 12 y 13).
En el recorrido del primer cuadrante se
observa un crecimiento de la función, pero, al llegar a 90° o 7T/2 rad, la prolongación del radio se hace paralela a la recta
sobre la cual se mide la tangente. Ha de
considerarse, pues, infinito, ya que en este
punto se dice por definición que se cortan
las rectas paralelas.
Al empezar el recorrido del segundo
cuadrante se observa que la prolongación
del radio que corte a la tangente debe
realizarse hacia el otro extremo de la línea trigonométrica, por lo que se afirma
que la tangente para el ángulo de 90° es
discontinua, o sea que salta de infinito a
menos infinito. Al recorrer el segundo
cuadrante la tangente vuelve a crecer,
pues va de este mínimo a Oen 7Trad0180°.
Desde aquí, durante el recorrido del
tercero, crece de nuevo desde O hasta
infinito, en el momento en que el arco es
de 270°, y como en el caso anterior,
fig.
1l
i,
lig. 12
\
\
y
fig.
13
149
Tabla de las razones trigonométricas
cosee
cos
se<
sen
se<
cosee
Grados
Grados
cos
cOlg
Ig
sen
Ig
00
Grados
)'071
70°
58°
1'600
1']79
1'887
61°
59°
60°
2'063
0'554
0'875
0'601
0'857
1'664
1'167
0'577
0'866
1'732
)'804
1'143
1'155
2'000
1'942
6r
57°
0'799
53°
0'532
0'883
0'649
0'839
1'540
1'192
1'327
1'252
1'133
0'754
1'881
1'836
1'662
0'454
2'050
63°
2'145
54°
55°
0'510
0'891
64°
2'281
0'488
0'899
65°
O'4{)6
0'906
0'727
0'809
)'376
1'236
1'428
1'221
0'819
1'963
1'122
2'203
1'103
2'366
1'113
1'701
)'743
56°
2'24{)
sr
66°
2'459
0'445
0'675
0'781
0'788
1'269
1'095
)'483
l'280
1'624
2'356
0'424
0'921
67°
1'086
2'559
50°
1'305
49°
0'810
0'777
1'235
1'287
0'869
1'150
1'325
1'524
1'556
1'589
2'475
68°
2'669
0'927
1'079
2'605
69°
0'934
2'747
0'364
0'940
0'900
1'111
1'346
)'064
2'924
1'494
2'904
71°
3'072
0'344
0'946
1'414
1'390
0'933
0'731
1'367
1'058
1'000
1'466
7r
3'078
3'236
0'325
0'951
1'051
3'271
73°
0'306
0'956
)'046
3'420
0'242
0'208
4'011
4'331
4'705
6'314
5'145
5'671
3'487
75°
3'732
81°
6'392
0'158
0'988
76°
77°
0'194
0'982
0'176
0'985
74°
0'287
0'961
3'864
0'268
4'134
0'249
4'445
0'231
0'974
4'810
0'213
0'978
1'012
1'019
5'241
1'015
5'759
1'040
3'628
1'035
1'031
1'026
1'022
0'017
57'29
86°
28'64
85°
8'144
7'115
0'999
9'514
0'052
19'08
1'001
0'035
0'070
0'998
14'30
1'002
88°
0'087
0'996
11'43
1'004
9'567
0'105
0'995
84°
83°
8'206
0'123
0'993
0'141
0'990
8r
57'30
28'65
11'47
1'010
7'185
19'11
14'34
1'006
1'008
0'530
0'625
0'848
0'485
0'500
0'515
0'469
0'545
0'602
2'130
0'438
0'423
0'588
0'574
0'700
0'407
0'559
0'616
0'914
0'829
1'206
1'788
0'391
0'375
0'643
0'629
0'656
51°
0'404
0'766
0'755
0'358
0'384
2'790
0'342
0'669
0'743
0'326
0'707
0'695
0'707
1'000
0'719
1'036
1'440
0'309
0'292
0'156
0'191
0'174
0'276
0'259
0'225
80°
78°
79°
0'966
0'970
0'000
0'000
0'035
0'070
0'087
0'052
0'105
0'122
0'139
87°
0'017
89°
0'682
00
48°
46°
45°
90°
fig. 14
\'000
b
~470
e
cuando el arco era de 90°, la tangente
vuelve a ir de infinito a menos infinito,
para seguir creciendo durante el cuarto
cuadrante y llegar a O para 360° o 2rr radianes,
Antes de realizar la gráhca de esta función conviene resumir lo dicho: La tangente de un arco crece siempre; su valor
puede ser cualquiera,
tanto positivo
como negativo, y, por último, no está
150
definida para los arcos de 90° y 270·
(fig, 13).
Las restantes funciones, inversas de las
anteriores, carecen de interés, por lo que
no se representan,
Las razones trigonométricas de los arcos
o ángulos se catalogan en forma de tablas,
denominadas trigonométricas, Por medio
de ellas se sabe inmediatamente
qué valor tiene la razón trigonométrica de cualquier arco o ángulo, Evidentemente, será
más inmediato cuanto más cortos sean
los períodos tabulados, ya que si fuese
grande, por ejemplo, uno cada diez minutos de ángulo, y se buscase la razón de un
arco dado incluso con aproximación de
segundos, deberia interpolarse entre los
valores de la tabla en que se hallase comprendido, lo cual no siempre resulta fácil.
Obsérvese que la tabla adjunta varía
de grado en grado, pues como referencia
para los cálculos que aquí se realizarán es
suficiente. En ella se tienen todas las razones trigonométricas
del primer cuadrante. La tabla es de doble entrada, por
lo que si se busca la razón de un ángulo
menor o igual a 45° hay que referirse a la
columna de la izquierda, y la consulta se
hace por medio de las funciones escri tas
en la parte superior; si es mayor o igual
que 45°, nos referiremos a la columna de
la derecha consultando las funciones que
se indican en la parte inferior. Esto se
debe a que las razones trigonométricas de
los ángulos complementarios
(entre los
dos suman 90°) cumplen la propiedad de
presentar el seno de uno igual al coseno del complementario;
por ejemplo,
sen 300 = cos 60° = 0,500. Lo mismo sucede
con la tangente y la cotangente, y la secante y la cosecante, Hay otras propiedades por medio de las cuales resulta posible reducir la función trigonométrica de
un ángulo cualquiera a la de uno menor
que 90°, o valor máximo de todas las tablas,
Por medio de la trigonometría
se resuelven en las ciencias aplicadas como la
topografía, astronomía, etc., gran cantidad de problemas que consisten por lo
general en resolver triángulos, tanto rectángulos como oblicuángulos.
A continuación se tratará del estudio 0, mejor
dicho, de la resolución de los primeros.
Los seis elementos de un triángulo rectángulo son: tres lados (catetos e hipotenusa) , y tres ángulos, uno recto (90°);
existen entre ellos unas relaciones que se
exponen más abajo.
Sea el siguiente triángulo, en el cu~l,
por analogía con los anteriores, el radio
de la circunferencia
correspondiente
coincide con la hipotenusa (fig. 14). Si se
aplican las definiciones, para el ánguloB,
senB
b
=-;
a
fig.
15
b
e
fig.
16
(1)
b
e
cosB
= -;a
tgB
=-c
(2)
b
(3).
e
(Para abreviar se usarán normalmente
sólo estas tres y se prescindirá de sus inversas.)
Análogamente, se obtendría para el ángulo c:
senC=~'
a'
(4)
cos C =~.
a'
(5)
fig.
17
b
e
tg C = ~;
(6)
Obsérvese que las funciones cumplen la
propiedad antes citada para los ángulos
complementarios, pues By C lo son siempre en los triángulos rectángulos.
Las seis expresiones anteriores hubieran podido escribirse también:
a
b
=--'
sen B
a
c
=--'
cosB'
'
(7)
b. = a . sen B ;
(13)
(8)
c = a . cos B ;
( 14 )
fig.
18
b
e
¡51
=---'
=
___
tgC
figo
19
sen
(18)
bc e= abc . cos
(15)
tg(16)
C;C;
(17)
tgB;
cos
sen
(10)
tgB
(11)
(9)C' ' (12)
0
'
3) Datos: a, b. Incógnitas: B, C, Co
En este caso no se conoce ninguno de
los ángulos agudos, por lo que hay que
buscados en las tablas basándose en las
expresIOnes:
o
b
(1)
sen B =-,
b
B =arc sen-;
(5)
b
cos C = -, de donde
C=arc
b
de donde
a
a
a
b
cos-.
a
Se ve que el seno y el coseno tienen
igual valor; evidentemente,
los ángulos
han de ser complementarios.
En realidad
no es necesario calcular los valores de los
dos ángulos en las tablas; sabido el de uno
de ellos, obtendremos
el del otro restando de 90° el valor del ángulo ya obtenido. Para el cálculo de c se utiliza la
expresión (14):
cb
b=_c_o
c = a . cos B.
por ellas se ve con mayor facilidad las
relaciones fundamentales
existentes entre los elementos de un triángulo. Así
pues, la resolución de los casos en que se
conocen sólo algunos elementos y se precisan los restantes es como sigue (figs. 15,
16,17y18):
1) Datos: a, B. Incógnitas: C, b c,
siempre 900.).
Por conocerse los ángulos A y B, puede
hallarse C:
4) Datos: b, c. Incógnitas: B, C, a.
Para los ángulos, el caso es análogo al
anterior, por lo cual se usan las expresiones:
(3)
b
tg B= -,de
c
conocido B, puede hallarse
tamente:
(A
C = 90
para calcular
C = 90
(13) y
c = a . cos B.
b = a . sen B;
2) Datos: b, B. Incógnitas: C, c, ao
El ángulo C se obtiene inmediatamen-
te:
C
= 90 -B,
y los lados, por medio de las expresiones:
(7)
152
a
=_b_,
senB
y
(9)
C
b
=--,
tgB
(7)
b
B= arc tg-;c
C inmedia-
-B;
la hipotenusa:
-B,
y los lados, usando las fórmulas
(14):
donde
a
b
=---.
senB
Como ejemplo ilustrativo, supóngase
que se quiere calcular la altura de una
torre, para lo cual una persona se sitúa a
100 m de su pie y en la misma horizontal;
el ángulo que abarca su visión es de 25°.
Puesto que se conocen un cateto y un
ángulo, este caso es como el2 anterior. Se
ponen las mismas letras en la ilustración
(fig. 19), Yse resuelve con facilidad. Como
únicamente se quiere calcular el cateto b,
la expresión es:
(15)
b
= c . tg
B;
se busca en las tablas la tangente
gulo de 25° y se obtiene:
tg 25
del án-
= 0,466;
por lo que
b
= 100 ·0,466,
de donde
b
= 46,6 m.
Otro ejemplo que nos puede ilustrar el
hecho antes aludido de la descomposición de una superficie en triángulos rectángulos es el siguiente:
Supongamos que un agrimensor quiere
hallar la distancia entre dos puntos By C
(figura 20). No puede, empero, hacerla
directamente, porque la línea BC atraviesa un pantano intransi table. El agrimensor se ve obligado a realizar su trabajo combinando medición directa y cálculo. Para ello elige un punto cualquiera
A, que sea bien visible, y mide la distancia
de A a C. Sea ésta igual a b = 308 m. Por
medio del aparato llamado teodolito, que
sirve para medir ángulos, obtiene los valores a = 55° Yj3 = 45°. Ahora ha de calcular la distancia a. Ello es posible si determinamos la altura h del triángulo ABC,
pues entonces se tiene:
sen a = h/b, o bien, h
= b . sen a;
igualmente se tiene:
sen
j3
=
o sea,
h/a,
h
=a
.
sen
j3 .
Ambos valores de h son naturalmente
iguales, es decir, que tenemos
b .
sen
a =
a . sen
j3 ,
o sea,
a
sena = 308.
=b.
sen
= 308·
j3
0,8192
07071
,
sen 55°
sen 45°
= 356,83 m.
La anterior ecuación,
b·
10 base 10 tomo
IV
sen
a = a . sen
j3,
e
fig. 20
B
A
puede ser también escrita en esta forma:
a :b
= sen a : sen /3.
y esto significa: dos lados de un triángulo
se comportan entre sí como los senos de
sus ángulos opuestos. Puede demostrarse
que ese teorema vale para cualquier
triángulo, acutángulo u obtusángulo. Se
suele llamar teorema del seno.