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y Trigonometría La trigonometría (del griego trígonon, «triángulo», y metron, «medida») es la parte de la matemática que tiene por objeto estudiar las relaciones métricas existentes entre los elementos de un triángulo. Considera para ello las funciones goniométricas o referentes a la medición de los ángulos (del griego gonía, «ángulo»). Supóngase una circunferencia con dos diámetros perpendiculares a modo de ejes de coordenadas. Una semirrecta que parta del centro determinará un ángulo cualquiera; por ser central, se corresponde evidentemente con la medida del arco que abarcan los radios (fig. 1). Los elementos que caracterizan a los arcos son: el origen, punto de corte de'la circunferencia con el eje positivo de lasX (punto A); y el sentido, que se denomina positivo si recorre la circunferencia en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Las unidades de medida son: el grado sexagesimal, que se divide en 60 partes llamadas minutos, y éste, en otras 60, los segundos; y el radián. El ángulo equivalente al recorrido de toda la circunferencia se denomina giro completo, y su medida es de 360°; cada una de las cuatro partes en que queda dividida al trazar los dos diámetros perpendiculares mide 90° -x -y fig. 1 y se llama cuadrante de circunferencia. Se numeran del uno al cuatro según el orden indicado en la figura l. El radián se define como el arco de medida igual a la del radio con que se ha trazado; lógicamente, su valor en grados es constante para cada circunferencia y se establece así: puesto que la longi tud de la circunferencia se calcula por medio de la expresión. L = 2rrr resulta que cada circunferencia contiene 2rr = 6,28". radianes. Si ahora tenemos en cuen ta que para recorrerIa precisamos dar un giro de 360°, es evidente que 2rr 145 y x -x fig. 3 -y o y -x x radianes = 360°. A partir de aquí y por medio de una sencilla proporción podemos saber inmediatamente la medida en grados de cada radián: fig. 4 ---360 21T y -x x fig. 5 x -y 14ó fig. 6 x operando, x = 57° 17' 44" (aproximadamente). Para estudiar las razones trigonométricas hay que considerar dos radios y sus prolongaciones correspondientes a una familia de circunferencias concéntricas; están cortados por un haz de rectas paralelas como se observa en la ilustración (fig.2). Ello da lugar a la formación de triángulos semejantes, de acuerdo con el teorema de Tales; se pueden, pues, escribir las proporciones siguientes: AE A'E' -=--=--= A"E" OA OA' OA" OE OE' OE" -=--=--= OA OA' OA" AE A'E' A"E" OE = OE' = OE" OE OE' OE" -=--=--= A"E" AE A'E' OA OA' OA" OE = OE' =-OE" OA OA' OA" AE =A'E' = A"E" ...= seno dea' ' ...= coseno dea' ' = ...= tangente de a; ...= cotangentedea' = ...= secante de a; = ...= cosecante de a. ' Obsérvese que la cuarta serie es inversa de la tercera; la quinta, de la segunda, y la última, de la primera. Cada razón establecida se define de la siguiente manera: Seno de a (sen a): razón existente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa (cada triángulo considerado es rectángulo). Coseno de a (cos a): razón existente entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Tangente de a (tg a): razón existente entre el cateto opuesto y el contiguo. Cotangente de a (cotga): razón existente entre el cateto contiguo y el opuesto (es inversa de tg a). Secante de a (sec a): razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo (es inversa de cos a). Cosecante de a (cosec a): razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto (es inversa de sen a). El signo de cada una de ellas cambia según lo hace el cuadrante en que se encuentra el ángulo de que se trate, ya que los dos diámetros perpendiculares admitidos a modo de ejes coordenadas tienen valores positivos y negativos. El radio se toma con valor absoluto, es decir, siempre posi ti va; el signo será el de sus proyecciones sobre los dos ejes, que se designan a y b, respectivamente. Así, en el primer cuadrante todas las razones trigonométricas resultan positivas, pues a y b lo son siempre (fig. 3). En el segundo (fig. 4), b sigue siendo positivo, mientras que a es negativo, por lo que sena b =->0' r' cosa y S cotg IY. R cos a IY. fig. 7 son negativos, y también cosec a; mientras que tga lo son sec a =-ba a =b cotg resultan positivos. En el cuarto (fig. 6), a es positivo y b negativo, por lo que sen a =-'b r' tg a 90° b =-a n/2 a 0° =-<0; r Ó 360° 2n <O; las funciones inversas mantienen el mismo signo; por ello, cosec a > O, mientras que cotg a < O Y sec a < O. En el tercero (fig. 5), a y b son negativos, por lo que a - a y b =-a tga sen x A b -,r a 270° 3n/2 fig. 8 cos a = -, r 147 y fíg. 9 son negativos, como sus inversos, cosec y cotg a; mientras que cos ,a a = -; sec r a a fig. r a lO resultan positi vos. La representación gráfica de las funciones trigonométricas, u obtención de líneas trigonométricas, es muy sencilla si, tomando cualquier ángulo, se sitúa en una circunferencia o cuadrante de radio unidad (r = OA = OQ = OS = 1) (fig. 7), por lo que las razones pasarán a ser: b b r 1 a a r 1 sen a = - = - = b· cos a = - = - = a' b tg a= cotg a AP AP -1- = AP; a QR TS TS = - = -= -= -= TS' b OR OS 1 ' a = el = cosec ' -; = OA = r sec ' OP OP OA = --1- = OP; a = -r = -- r b OR OT OT = -= -= OT OS 1 . Análogamente a como se ha estudiado la variación de los signos para las distintas razones trigonométricas, se hace con sus valores, buscando los máximos y mÍnimos de cada una, así como la representación gráfica de aquélla. 148 Para estudiar la función seno puede suponerse una circunferencia de radio unidad que se recorre en un giro completo, es decir, 3600 o 27Tradianes (fig. 8). En el primer cuadrante el seno crece al hacerla el ángulo hasta tener el valor del radio (uno) cuando el ángulo es de 900 o 7T/2 rad (radianes). En adelante, en el recorrido del segundo, va decreciendo hasta llegar a nulo para 1800 o 7Tradianes. En el tercero experimenta un nuevo aumento, desde O hasta el radio, pero sus valores son negativos, por lo que en 2700 o 37T/2 rad su valor será -1. En el recorrido del cuarto vuelve a disminuir, pues pasa a valer O al culminar el recorrido; es decir, para 3600 o 27Trad, que es lo mismo que 00 y O rad. En reali- y dad no decrece, sino que su valor se incrementó al ir de uno negativo a cero, como el tercer cuadrante, donde se vio que creCÍacuando decreCÍa. De todas maneras, si se consideran las líneas trigonométricas como segmentos cualesquiera tienen validez las primeras expresiones citadas. De todo ello se concluye que el máximo corresponde a 90° con el valor 1; el mínimo, a 270° con -1, y los nulos, a 180° y 360° o O°.La gráfica correspondiente es la llamada sinusoide (fig. 9). Para la función coseno se parte de las premisas anteriores, y en el recorrido se advierte (fig. 10): al ir de 0° a 90°, es decir, al recorrer el primer cuadrante, la funvalor del radio, ción decrece desde hasta anularse. En el segundo va de O al valor del radio para el ángulo de 7Tradianes o 180°. Dicho valor tiene carácter negativo; o sea, ha pasado de O a-l. En el tercer cuadrante se trasladará de su valor mínimo a O de nuevo para 270°, por lo que puede decirse que crece. Por último, pasará de Oa 1 en el cuarto cuadrante; es decir, también experimentará una crecida. La gráfica correspondiente es igual que la anterior, pero desplazada 7T/2 radianes o 90° (fig. 11). En la representación de la función tangente debe tenerse en cuenta que hay dos puntos en los cuales existe discontinuidad, por no estar definida la función (figuras 12 y 13). En el recorrido del primer cuadrante se observa un crecimiento de la función, pero, al llegar a 90° o 7T/2 rad, la prolongación del radio se hace paralela a la recta sobre la cual se mide la tangente. Ha de considerarse, pues, infinito, ya que en este punto se dice por definición que se cortan las rectas paralelas. Al empezar el recorrido del segundo cuadrante se observa que la prolongación del radio que corte a la tangente debe realizarse hacia el otro extremo de la línea trigonométrica, por lo que se afirma que la tangente para el ángulo de 90° es discontinua, o sea que salta de infinito a menos infinito. Al recorrer el segundo cuadrante la tangente vuelve a crecer, pues va de este mínimo a Oen 7Trad0180°. Desde aquí, durante el recorrido del tercero, crece de nuevo desde O hasta infinito, en el momento en que el arco es de 270°, y como en el caso anterior, fig. 1l i, lig. 12 \ \ y fig. 13 149 Tabla de las razones trigonométricas cosee cos se< sen se< cosee Grados Grados cos cOlg Ig sen Ig 00 Grados )'071 70° 58° 1'600 1']79 1'887 61° 59° 60° 2'063 0'554 0'875 0'601 0'857 1'664 1'167 0'577 0'866 1'732 )'804 1'143 1'155 2'000 1'942 6r 57° 0'799 53° 0'532 0'883 0'649 0'839 1'540 1'192 1'327 1'252 1'133 0'754 1'881 1'836 1'662 0'454 2'050 63° 2'145 54° 55° 0'510 0'891 64° 2'281 0'488 0'899 65° O'4{)6 0'906 0'727 0'809 )'376 1'236 1'428 1'221 0'819 1'963 1'122 2'203 1'103 2'366 1'113 1'701 )'743 56° 2'24{) sr 66° 2'459 0'445 0'675 0'781 0'788 1'269 1'095 )'483 l'280 1'624 2'356 0'424 0'921 67° 1'086 2'559 50° 1'305 49° 0'810 0'777 1'235 1'287 0'869 1'150 1'325 1'524 1'556 1'589 2'475 68° 2'669 0'927 1'079 2'605 69° 0'934 2'747 0'364 0'940 0'900 1'111 1'346 )'064 2'924 1'494 2'904 71° 3'072 0'344 0'946 1'414 1'390 0'933 0'731 1'367 1'058 1'000 1'466 7r 3'078 3'236 0'325 0'951 1'051 3'271 73° 0'306 0'956 )'046 3'420 0'242 0'208 4'011 4'331 4'705 6'314 5'145 5'671 3'487 75° 3'732 81° 6'392 0'158 0'988 76° 77° 0'194 0'982 0'176 0'985 74° 0'287 0'961 3'864 0'268 4'134 0'249 4'445 0'231 0'974 4'810 0'213 0'978 1'012 1'019 5'241 1'015 5'759 1'040 3'628 1'035 1'031 1'026 1'022 0'017 57'29 86° 28'64 85° 8'144 7'115 0'999 9'514 0'052 19'08 1'001 0'035 0'070 0'998 14'30 1'002 88° 0'087 0'996 11'43 1'004 9'567 0'105 0'995 84° 83° 8'206 0'123 0'993 0'141 0'990 8r 57'30 28'65 11'47 1'010 7'185 19'11 14'34 1'006 1'008 0'530 0'625 0'848 0'485 0'500 0'515 0'469 0'545 0'602 2'130 0'438 0'423 0'588 0'574 0'700 0'407 0'559 0'616 0'914 0'829 1'206 1'788 0'391 0'375 0'643 0'629 0'656 51° 0'404 0'766 0'755 0'358 0'384 2'790 0'342 0'669 0'743 0'326 0'707 0'695 0'707 1'000 0'719 1'036 1'440 0'309 0'292 0'156 0'191 0'174 0'276 0'259 0'225 80° 78° 79° 0'966 0'970 0'000 0'000 0'035 0'070 0'087 0'052 0'105 0'122 0'139 87° 0'017 89° 0'682 00 48° 46° 45° 90° fig. 14 \'000 b ~470 e cuando el arco era de 90°, la tangente vuelve a ir de infinito a menos infinito, para seguir creciendo durante el cuarto cuadrante y llegar a O para 360° o 2rr radianes, Antes de realizar la gráhca de esta función conviene resumir lo dicho: La tangente de un arco crece siempre; su valor puede ser cualquiera, tanto positivo como negativo, y, por último, no está 150 definida para los arcos de 90° y 270· (fig, 13). Las restantes funciones, inversas de las anteriores, carecen de interés, por lo que no se representan, Las razones trigonométricas de los arcos o ángulos se catalogan en forma de tablas, denominadas trigonométricas, Por medio de ellas se sabe inmediatamente qué valor tiene la razón trigonométrica de cualquier arco o ángulo, Evidentemente, será más inmediato cuanto más cortos sean los períodos tabulados, ya que si fuese grande, por ejemplo, uno cada diez minutos de ángulo, y se buscase la razón de un arco dado incluso con aproximación de segundos, deberia interpolarse entre los valores de la tabla en que se hallase comprendido, lo cual no siempre resulta fácil. Obsérvese que la tabla adjunta varía de grado en grado, pues como referencia para los cálculos que aquí se realizarán es suficiente. En ella se tienen todas las razones trigonométricas del primer cuadrante. La tabla es de doble entrada, por lo que si se busca la razón de un ángulo menor o igual a 45° hay que referirse a la columna de la izquierda, y la consulta se hace por medio de las funciones escri tas en la parte superior; si es mayor o igual que 45°, nos referiremos a la columna de la derecha consultando las funciones que se indican en la parte inferior. Esto se debe a que las razones trigonométricas de los ángulos complementarios (entre los dos suman 90°) cumplen la propiedad de presentar el seno de uno igual al coseno del complementario; por ejemplo, sen 300 = cos 60° = 0,500. Lo mismo sucede con la tangente y la cotangente, y la secante y la cosecante, Hay otras propiedades por medio de las cuales resulta posible reducir la función trigonométrica de un ángulo cualquiera a la de uno menor que 90°, o valor máximo de todas las tablas, Por medio de la trigonometría se resuelven en las ciencias aplicadas como la topografía, astronomía, etc., gran cantidad de problemas que consisten por lo general en resolver triángulos, tanto rectángulos como oblicuángulos. A continuación se tratará del estudio 0, mejor dicho, de la resolución de los primeros. Los seis elementos de un triángulo rectángulo son: tres lados (catetos e hipotenusa) , y tres ángulos, uno recto (90°); existen entre ellos unas relaciones que se exponen más abajo. Sea el siguiente triángulo, en el cu~l, por analogía con los anteriores, el radio de la circunferencia correspondiente coincide con la hipotenusa (fig. 14). Si se aplican las definiciones, para el ánguloB, senB b =-; a fig. 15 b e fig. 16 (1) b e cosB = -;a tgB =-c (2) b (3). e (Para abreviar se usarán normalmente sólo estas tres y se prescindirá de sus inversas.) Análogamente, se obtendría para el ángulo c: senC=~' a' (4) cos C =~. a' (5) fig. 17 b e tg C = ~; (6) Obsérvese que las funciones cumplen la propiedad antes citada para los ángulos complementarios, pues By C lo son siempre en los triángulos rectángulos. Las seis expresiones anteriores hubieran podido escribirse también: a b =--' sen B a c =--' cosB' ' (7) b. = a . sen B ; (13) (8) c = a . cos B ; ( 14 ) fig. 18 b e ¡51 =---' = ___ tgC figo 19 sen (18) bc e= abc . cos (15) tg(16) C;C; (17) tgB; cos sen (10) tgB (11) (9)C' ' (12) 0 ' 3) Datos: a, b. Incógnitas: B, C, Co En este caso no se conoce ninguno de los ángulos agudos, por lo que hay que buscados en las tablas basándose en las expresIOnes: o b (1) sen B =-, b B =arc sen-; (5) b cos C = -, de donde C=arc b de donde a a a b cos-. a Se ve que el seno y el coseno tienen igual valor; evidentemente, los ángulos han de ser complementarios. En realidad no es necesario calcular los valores de los dos ángulos en las tablas; sabido el de uno de ellos, obtendremos el del otro restando de 90° el valor del ángulo ya obtenido. Para el cálculo de c se utiliza la expresión (14): cb b=_c_o c = a . cos B. por ellas se ve con mayor facilidad las relaciones fundamentales existentes entre los elementos de un triángulo. Así pues, la resolución de los casos en que se conocen sólo algunos elementos y se precisan los restantes es como sigue (figs. 15, 16,17y18): 1) Datos: a, B. Incógnitas: C, b c, siempre 900.). Por conocerse los ángulos A y B, puede hallarse C: 4) Datos: b, c. Incógnitas: B, C, a. Para los ángulos, el caso es análogo al anterior, por lo cual se usan las expresiones: (3) b tg B= -,de c conocido B, puede hallarse tamente: (A C = 90 para calcular C = 90 (13) y c = a . cos B. b = a . sen B; 2) Datos: b, B. Incógnitas: C, c, ao El ángulo C se obtiene inmediatamen- te: C = 90 -B, y los lados, por medio de las expresiones: (7) 152 a =_b_, senB y (9) C b =--, tgB (7) b B= arc tg-;c C inmedia- -B; la hipotenusa: -B, y los lados, usando las fórmulas (14): donde a b =---. senB Como ejemplo ilustrativo, supóngase que se quiere calcular la altura de una torre, para lo cual una persona se sitúa a 100 m de su pie y en la misma horizontal; el ángulo que abarca su visión es de 25°. Puesto que se conocen un cateto y un ángulo, este caso es como el2 anterior. Se ponen las mismas letras en la ilustración (fig. 19), Yse resuelve con facilidad. Como únicamente se quiere calcular el cateto b, la expresión es: (15) b = c . tg B; se busca en las tablas la tangente gulo de 25° y se obtiene: tg 25 del án- = 0,466; por lo que b = 100 ·0,466, de donde b = 46,6 m. Otro ejemplo que nos puede ilustrar el hecho antes aludido de la descomposición de una superficie en triángulos rectángulos es el siguiente: Supongamos que un agrimensor quiere hallar la distancia entre dos puntos By C (figura 20). No puede, empero, hacerla directamente, porque la línea BC atraviesa un pantano intransi table. El agrimensor se ve obligado a realizar su trabajo combinando medición directa y cálculo. Para ello elige un punto cualquiera A, que sea bien visible, y mide la distancia de A a C. Sea ésta igual a b = 308 m. Por medio del aparato llamado teodolito, que sirve para medir ángulos, obtiene los valores a = 55° Yj3 = 45°. Ahora ha de calcular la distancia a. Ello es posible si determinamos la altura h del triángulo ABC, pues entonces se tiene: sen a = h/b, o bien, h = b . sen a; igualmente se tiene: sen j3 = o sea, h/a, h =a . sen j3 . Ambos valores de h son naturalmente iguales, es decir, que tenemos b . sen a = a . sen j3 , o sea, a sena = 308. =b. sen = 308· j3 0,8192 07071 , sen 55° sen 45° = 356,83 m. La anterior ecuación, b· 10 base 10 tomo IV sen a = a . sen j3, e fig. 20 B A puede ser también escrita en esta forma: a :b = sen a : sen /3. y esto significa: dos lados de un triángulo se comportan entre sí como los senos de sus ángulos opuestos. Puede demostrarse que ese teorema vale para cualquier triángulo, acutángulo u obtusángulo. Se suele llamar teorema del seno.