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Trigonometría
Definición de funciones trigonométricas básicas y teoremas que se cumplen en los triángulos,
referidos a los lados y ángulos de ellos.
Caso 1: En un triángulo rectángulo.
En el caso de triángulos rectángulos basta utilizar el Teorema de Pitágoras y recordar que la
suma de los ángulos interiores es 360°.
β
Teorema de Pitágoras
c
a
a2 + b2 = c2
α
b
En el triángulo rectángulo, además, se definen las siguientes funciones trigonométricas:
senα =
cat. op. a
=
hip.
c
cos α =
cat. ady. b
=
hip.
c
tgα =
cat. op. a
=
cat. ady. b
Caso 2: Otros triángulos.
En el caso de otros triángulos, es necesario recurrir a los Teoremas del Seno y del Coseno y
recordar que la suma de los ángulos interiores es 180°.
β
a
c
γ
α
b
Teorema del coseno:
a2 + b2 – 2ab cosγ = c2
a2 + c2 – 2ac cosβ = b2
b2 + c2 – 2bc cosα = a2
Teorema del seno:
a
b
c
=
=
senα senβ senγ
⇒
a
b
=
;
senα senβ
a
c
=
senα senγ
y
b
c
=
senβ senγ
Estos teoremas se aplican, entre otros, en la resolución de triángulos. En donde resolver un
triángulo significa encontrar el valor de sus tres lados y sus tres ángulos interiores.
Ejercicios
I.
Resuelva los siguientes triángulos:
1)
2)
β = 20°, γ = 80° y c = 12
α = 32°, γ = 76° y a = 10
β = 49°, γ = 60° y c = 60
β = 60°, b = 15 y a = 10
α = 100°, b = 7 y a = 18
β = 75°, c = 21 y b = 25
γ = 47°, b = 131 c = 97
3)
4)
5)
6)
7)
Hernán Verdugo Fabiani
Profesor de Matemática y Física
www.hverdugo.cl
1
8)
9)
10)
11)
β = 121° b = 0.28 c = 0.18
γ = 53°20´, a = 140 y c = 115
γ = 15° 12’, a = 12 y c = 8
α = 52°20’30”; β = 86°15’45” y c = 25
Otra aplicación que tienen los teoremas mencionados está en la física, particularmente en el
tratamiento de vectores. Por ejemplo, cuando se suman fuerzas.
II.
Resuelva los siguientes problemas de sumas de fuerzas y/o velocidades.
1)
Dos fuerzas, F1 y F2, tienen módulos de 60 N y 80 N respectivamente. Determine la
magnitud de la fuerza resultante si simultáneamente actúan perpendicularmente sobre
un cuerpo.
2)
Dos fuerzas, F1 y F2, sus módulos son 40 N y 60 N respectivamente. Hallar la magnitud
de la fuerza resultante si actúan simultáneamente sobre un cuerpo formando un ángulo
de 30°.
3)
Un velero se mueve en altamar. El timón se dirige hacia el norte y el motor le
proporciona una velocidad de 12 nudos, simultáneamente está afectado por el viento
que se dirige a razón de 8 nudos hacia el este. Determine la magnitud de la velocidad
resultante sobre el velero.
4)
Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas en forma simultánea, F1 y F2. F1 es de 200 N y se
dirige horizontalmente hacia la derecha, en tanto que F2 es de 300 N y forma un ángulo
de 40° por sobre la primera de las fuerzas. Hallar la fuerza resultante. Recuerde que la
fuerza es un vector, por lo tanto la fuerza resultante incluye su magnitud y el ángulo
que forma respecto a una referencia, por ejemplo respecto a la fuerza F1.
III.
Otros problemas con aplicación los teoremas propuestos:
1)
Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m., otro
1.5 m. y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?
2)
Desde un punto se observan unos postes con un ángulo de 36º, si avanzamos 5
metros hacia ellos en línea recta y los volvemos a observar el ángulo es de 50º. ¿Qué
altura tienen los postes?
3)
Desde la ventana de un edificio de oficinas, se ve una torre de televisión que
está a 600 metros de distancia (horizontalmente). El ángulo de elevación del
extremo superior de la torre es de 19,6º y el ángulo de depresión de la base de
la torre es de 21,3º. ¿Qué altura tiene la torre?
4)
Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un
ángulo de 38º y cada uno va por su lado, uno camina a 3 km por hora y el otro a 3.5 km
por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabo de media hora?
5)
Un asta de bandera está enclavada en lo alto de un edificio. Desde un punto situado en
el suelo, a 12 m del edificio, se observa su techo con un ángulo de elevación de 30º y
la punta del asta con un ángulo de elevación de 60º. Calcule la altura del edificio y la
longitud del asta.
6)
Un niño juega al volantín. En cierto momento el hilo que lo sostiene se encuentra tenso
y forma un ángulo de 48° respecto al suelo horizontal. Encuentre la altura a que está el
volantín, respecto al suelo, si el hilo se ha extendido 90 m y el niño sostiene su extremo
a una altura de 1,2 m respecto al suelo.
7.-
Un observador parado entre dos postes de teléfono cuyas alturas son
respectivamente 22 y 16 pies. Desde el punto situado fijado por cables de
soporte observa la punta del poste mayor bajo un ángulo de 55º y la punta del
otro poste bajo un ángulo de 36º. Determina la distancia entre los dos postes.
Hernán Verdugo Fabiani
Profesor de Matemática y Física
www.hverdugo.cl
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