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Tema 3
Trigonometría elemental plana.
1. Introducción
La palabra Trigonometría deriva de las raíces griegas gonios (ángulo) y metron
(medida). El prefijo tri se refiere a que las figuras planas geométricas más simples, y
además las más utilizadas tanto en los desarrollos teóricos como en muchas
aplicaciones, sólo poseen tres ángulos: son los triángulos. En esta lección únicamente se
estudiarán triángulos trazados en el plano y con lados rectilíneos. Por tanto, estamos
hablando de Trigonometría plana.
Fue el matemático Leonhard Euler (1707-1783), quien consideró la Trigonometría plana
como una rama independiente de las Matemáticas, desligándola de la Astronomía de
posición, que utiliza la Trigonometría esférica para efectuar cálculos sobre las
posiciones de los astros en el firmamento. En estricta lógica histórica, la Trigonometría
esférica –las conocidas coordenadas geográficas latitud y longitud, que tan habituales
son hoy día en las localizaciones mediante GPS, en sus diversas variantes- es anterior a
la Trigonometría plana.
2. Ángulos planos y su medida
Para comenzar, daremos una definición de ángulo plano, y también indicaremos cómo
medirlo. Cuando una semirrecta, sin salir del plano en que está trazada, gira o pivota
alrededor de su origen, al que llamaremos vértice del ángulo, se dice que genera,
describe o barre un ángulo, cuya magnitud indica cuánto ha girado la semirrecta. La
dirección de la semirrecta antes de iniciar su giro define el lado inicial del ángulo, y la
que alcanza al terminarlo, su lado final. Si la semirrecta gira en sentido contrario al de
las agujas del reloj, el ángulo descrito se considera positivo y si gira en el sentido de las
agujas del reloj, negativo (ver la figura adjunta).
La definición anterior de ángulo es bastante clara para ángulos “pequeños” y positivos,
sin embargo no es operativa en lo relativo a la magnitud, pues no dice cómo hacer
corresponder al barrido geométrico un número, su medida. Por ejemplo, el movimiento
podría concluir con la posición final de la semirrecta igual a la inicial, con lo que se
tendría que una vuelta completa podría interpretarse como un ángulo con medida nula.
41
Como en el presente tema se trabajará con ángulos tanto positivos como negativos y de
magnitud arbitraria, se precisa afinar algo más en las definiciones.
Supongamos que el vértice de un ángulo ocupa el centro de una circunferencia, y
quedémonos sólo con los tramos o segmentos de semirrecta que representan radios de la
circunferencia. Podemos llamar ángulo central a esta construcción geométrica. Ahora
ya se puede asignar una medida al ángulo central: Es la longitud del arco que une los
extremos de los radios que lo definen. Hay dos cuestiones importantes planteadas por
esta definición:
•
•
•
En primer lugar, usando varias circunferencias concéntricas, la medida del
ángulo resultaría diferente al medirla sobre cada circunferencia. Sin embargo, la
longitud del arco es proporcional al radio, pues la longitud total de la
circunferencia es 2 π r , así que tomaremos como medida del ángulo la razón o
cociente entre la longitud obtenida y el radio de la circunferencia sobre la que se
midió. Así, la medida del ángulo no dependerá del radio de la circunferencia
usada en su medición. Éste es un ejemplo de “cantidad adimensional”.
Segundo. Si el lado final del ángulo coincidiera con el lado inicial tras una
vuelta completa, ya podemos dar a la vuelta completa una medida distinta de
cero: Sería la longitud total de la circunferencia, y al dividirla por el radio,
2π r
resultará igual a la cantidad adimensional
= 2π .
r
Los ángulos cuya medida, según el método anterior, está entre 0 y
ángulos agudos, y si entre
π
2
π
2
π
2
, se llaman
y π , ángulos obtusos. Los ángulos con medidas
y π , respectivamente, son los ángulos rectos y llanos.
La medición de cualquier magnitud necesita una unidad adecuada. Para medir
longitudes pueden emplearse metros, yardas, etc, y para medir ángulos se usan
habitualmente como unidades el grado y el radián.
42
2.1. Sistema sexagesimal
Este método consiste en suponer dividida la circunferencia en 360 partes iguales, los
grados, usados para medir ángulos centrales. El grado se subdivide, a su vez, en 60
minutos, y el minuto en 60 segundos. Es habitual encontrar estas medidas en la
coordenadas geográficas de los GPS, en expresiones tales como 28° 06 ' 27 '' ( 28 grados,
6 minutos, 27 segundos)
2.2. Sistema circular
Este sistema –el más utilizado en las Matemáticas teóricas- toma como unidad el arco
cuya longitud sea igual al radio de la circunferencia a la que pertenece. Tal arco se
llama radián. Con estas unidades, el ángulo que abarca una circunferencia completa
mide 360° ó 2 π radianes, como ya se indicó un poco más arriba, aunque sin usar la
palabra “radián”. Así pues, los ángulos agudos miden menos de
π
2
radianes, o bien,
menos de 900 , y así sucesivamente.
2.3. Cambios entre ambos sistemas y uso de los mismos
Aunque las calculadoras científicas ofrecen la posibilidad de trabajar con los dos
sistemas de medida, es conveniente explicitar el cambio de radianes a grados y
viceversa. Así, tendremos:
2π radianes = 360o
1radián
=
( ) (π )
o
360
=
2π
180
o
360o = 2π radianes
π radianes π radianes
=
1o 2=
360
180
Ejemplo: Operaciones con ángulos en el sistema sexagesimal. Sólo hay que tener en
cuenta que al operar con minutos o segundos, a veces será necesario tener en cuenta si
las cantidades son mayores que 60:
o
Dados =
los ángulos α 53
=
20 '31'' y β 41o 35' 44'' , calcular:
a. α + β
53o 20' 31''
+ 41o 35' 44''
= =
94o 55' 75''
94o 56'
b. α − β
53o 20' 31'' es igual á
− 41o 35' 44''restando ahora:
queda
43
15''
52o
41o
11o
79' 91''
35' 44''
44' 47''
c. 3 × γ = 3 × (53o 15'31'') =159o 45 ' 93 '' =159o 46 ' 33 ''
Ejemplo: Expresar en radianes los siguientes ángulos: 330º, 1º, 22º 30’
Grados:
330º
⇓
1º
⇓
22º 30'
⇓
Radianes: 330 × π =5, 76 1× π =8, 73 ×10−3
180
180
22.5 × π =0, 3927
180
Ejemplo: Expresar en grados los siguientes ángulos:
Radianes:
7π
6
⇓
20π
9
⇓
4
⇓
1
π
⇓
180 7π 180 × 7
180 20π
× =
= 210o
× = 40o 229,18o 18, 24o
6
6
9
π
π
Ejemplo: Usar fracciones decimales de grados y pasarlas minutos y segundos.
Grados :
Se tiene que:
o
32,5=
32 grados y (0,5 × 60) minutos
= 32o30 '
Y también que:
o
42,51
=
42 grados y (0,51× 60) minutos
=
42 grados y 30, 6 minutos =
42 grados y 30 minutos y (0, 6 × 60) segundos =
42o 30 '36 ''
3. Dos propiedades fundamentales
La primera es que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo plano es 1800 .
La demostración se basa en las propiedades de los ángulos determinados por una recta
que corta a otras dos rectas paralelas, según se ve en la figura. No insistimos aquí en los
detalles, invitando al lector a observar detenidamente el dibujo.
La segunda se refiere a que en un triángulo rectángulo (esto es, uno de cuyos
44
ángulos mide 900 ó
π
radianes ), el cuadrado construido sobre la hipotenusa (el
2
mayor de los lados) tiene la misma área que la suma de los cuadrados construidos
sobre los otros dos lados (los catetos).
El resultado segundo se conoce como Teorema de Pitágoras. Una demostración
gráfica viene dada en la figura siguiente, donde h 2 , etc, son las representaciones
simbólicas de las áreas de los cuadrados. Esta demostración es de origen chino, y se
conocen más de trescientas demostraciones diferentes del Teorema
4. Razones trigonométricas y sus nombres
En la práctica basta con estudiar únicamente la medida de ángulos agudos, como se verá
más adelante en los ejercicios. Construyamos un ángulo central agudo y mediante un
sistema de rectas paralelas perpendiculares al lado inicial formemos varios triángulos
rectángulos semejantes, como se ve en la figura de la página siguiente (se llama
triángulos semejantes a los que tienen exactamente los mismos ángulos) que permiten
establecer las siguientes cadenas de igualdades, definidoras de las razones
trigonométricas cuyos nombres figuran entre paréntesis:
PM
=
OM
OP
=
OM
PM
=
OP
OP
=
PM
OM
=
OP
OM
=
PM
′
P′ M
=
OM ′
′
OP
=
OM ′
′
P′ M
=
OP′
′
OP
=
P′ M ′
′
OM
=
OP′
′
OM
=
P′ M ′
=

cateto opuesto
=
hipotenusa
senα (seno)
=

cateto adyacente
=
hipotenusa
cos α (coseno)
=

cateto opuesto
=
cateto adyacente
tgα (tangente)
=

cateto adyacente
cateto opuesto
=

hipotenusa
=
cateto adyacente
sec α (secante)
=

hipotenusa
=
cateto opuesto
cosecα (cosecante)
45
=
cot α (cotangente)
M’’’
M’’
M’
M
α
O
P
P’
P’’
P’’’
Se verifica que: Las razones obtenidas dependen sólo del ángulo α, y no del triángulo
rectángulo concreto usado para su cálculo. Los nombres de las razones son los
siguientes:
Seno de un ángulo agudo, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa
del triángulo rectángulo formado con dicho ángulo.
Coseno, la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Tangente, la razón entre los catetos opuesto y adyacente del triángulo rectángulo
definido por dicho ángulo.
Cotangente, el recíproco de la tangente. O sea,
1
.
tangente
Secante, el recíproco del coseno.
Cosecante, el recíproco del seno.
5. Fórmula fundamental de la Trigonometría plana
“La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo ángulo es igual a la
unidad”.
c
b
α
a
En efecto, sea α un ángulo agudo cualquiera y formemos un triángulo rectángulo tal
como se ve en la figura anterior. Aplicando las definiciones de seno y coseno de un
46
ángulo, se tiene que:
senα = b
c
cos α = a
c
Elevando al cuadrado ambas igualdades y sumando, quedará:
2
2
2
2
2
sen 2α + cos 2 α = b2 + a2 = b +2 a = c 2 = 1
c
c
c
c
2
2
sen α + cos α =
1
Puede verse que es un caso particular del teorema de Pitágoras.
6. Funciones trigonométricas
6.1. Definiciones
Como a cada valor α del ángulo le corresponde otro para cada una de las razones
indicadas, éstas resultan ser funciones del ángulo α, conocidas como funciones
trigonométricas o goniométricas.
Según la definición de las razones trigonométricas como cocientes de longitudes, parece
que siempre deberían ser números positivos. Sin embargo, en la práctica es conveniente
que, para indicar las posiciones relativas de puntos y figuras planas, se utilicen también
valores negativos para las razones. Dibujando unos ejes de coordenadas y adjudicando
un signo a los segmentos trazados sobre ellos a partir del origen, queda dividido el
plano en cuatro cuadrantes, habitualmente llamados I, II, III, y IV:
II: sen +, cos +
seno
(vertical)
I: sen +, cos +
coseno
(horizontal)
III: sen -, cos -
IV: sen -, cos +
En la figura se han representado dos ángulos de diferentes cuadrantes con los signos de
sus senos y cosenos, de los que se deducen los de las demás razones trigonométricas.
También es conveniente saber reconocer el aspecto de las funciones trigonométricas,
esto es, cómo varían con el ángulo. Se obtienen las gráficas que se muestran.
47
6.2. Representación gráfica de las funciones trigonométricas
sen x , en grados (izq) y radianes (der)
-300
-200
1
1
0.5
0.5
0
-100
100
200
x
300
-6
-4
0
-2
-0.5
-0.5
-1
-1
2
x
4
6
cos x , representado en grados (izq) y radianes (der)
-300
-200
-100
1
1
0.5
0.5
0
100
200
x
-6
300
-4
-2
0
-0.5
-0.5
-1
-1
2
x
4
6
tg x ( a veces, tan x ) representada en grados (izq) y radianes (der)
-300
-200
-100
30
30
20
20
10
10
0
100
200
x
-6
300
-4
-2
0
-10
-10
-20
-20
-30
-30
48
2
x
4
6
4. Aplicaciones: resolver triángulos rectángulos
En general, resolver un triángulo es calcular los elementos del mismo (lados y ángulos)
cuando se tienen datos suficientes para ello. Notemos que son seis los elementos de un
triángulo, y que no es necesario darlos todos para determinar el triángulo. Los casos
extremos son: Dados los tres lados, los demás elementos quedan determinados 1,
mientras que si se dan sólo los tres ángulos 2, es imposible determinar los lados.
Un triángulo rectángulo queda por completo determinado por dos de sus elementos,
siempre que no sean dos ángulos, y para calcular los restantes elementos, será necesario
conocer las relaciones que ligan cada elemento desconocido con los datos disponibles.
γ
a
b
α
β
c
En lo sucesivo representaremos por α , β , γ las medidas de los ángulos de un triángulo, y
por a, b, c, las medidas de los lados respectivamente opuestos a los ángulos.
1. Por ser complementarios los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, tenemos la
siguiente relación entre los ángulos:
β +γ =
90o
2. El teorema de Pitágoras nos dará b 2 + c 2 =
a2 .
3. Como consecuencia inmediata de las definiciones trigonométricas, tenemos:
Para el cateto b:
b o bien b= a × senβ
senβ =
a
b o bien b= a × cos γ
cos γ =
a
Para el cateto c:
c esto es c= a × senγ
senγ =
a
c esto es c= a × cos β
cos β =
a
1
Siempre que satisfagan la condición de que cualquier lado sea menor que la suma de los otros dos y
mayor que la diferencia.
2
Han de sumar 180 grados, claro está.
49
Operando un poco más, un cateto resulta ser igual al producto del otro cateto por la
tangente de ángulo opuesto al primero (o por la cotangente del ángulo adyacente).
Para el cateto b:
b de donde
tan β =
c
b de donde
cot γ =
c
Para el cateto c:
c luego c=
tan γ =
b
c luego c=
cot β =
b
b= c × tan β
b= c × cot γ
b × tan γ
b × cot β
Con las fórmulas halladas se puede resolver un triángulo rectángulo cualquiera, puesto
que cada fórmula relaciona a lo sumo tres elementos (dos datos y una incógnita).
Pueden presentarse cuatro casos posibles:
1.- Datos: la hipotenusa y un ángulo.
Ángulos
α = 90
β conocido
γ=
90 − β
Lados
a conocido
b= a × senβ
c=
a × cos β
2.- Datos: un cateto y un ángulo que no sea el recto.
Angulos
Lados
Angulos
Lados
b
c
α
α
=
a =
a
senβ
senγ
β conocido b conocido
β conocido b= a × senβ
90 β c =
a × cos β
90 β c conocido
γ =−
γ =−
3.- Datos: la hipotenusa y un cateto.
Angulos
Lados
a conocido
b=
a × cos γ
α
β=
90 − γ
γ=
; senγ c , esto=
es, γ arcsen c
a
a
4.- Datos: los dos catetos.
50
c conocido
Angulos
Lados
α
=
a
b2 + c 2
β ; tan β = b ⇒ β = arctan b b conocido
c
c
=
γ 90 − β
c conocido
Ejemplos
1.- Resolver el triángulo rectángulo en el que un ángulo mide 60º y el cateto adyacente a
este ángulo mide 4.
60º
a
b=4
90º
β
c
Solución: Basta ver la figura para poder escribir lo que sigue.
cateto b
cos 60o =
hipotenusa a
4
0.5 =
a
a =8
cateto c
sen 60o =
hipotenusa a
b
0.866 =
8
b = 6.928
y evidentemente, β=30º
También se podría haber hecho uso del teorema de Pitágoras o bien de la relación,
cateto opuesto
, para obtener la misma solución.
tg 60o =
cateto adyacente
51
2.- Resolver el triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 9 y un cateto mide 4.
γ
a=9
b=4
90º
β
c
2
9=
42 + c 2
2
Por el teorema de Pitágoras: c=
81 − 16
c
=
65 8.062
=
Por otro lado
b
a
4
sen β =
9
0.44 26.38º
β arcsen
=
=
γ = 90 − β = 90 − 26.38 = 63.62º
sen β =
52