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SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es de la forma:
ax  by  c 
con a, b, c, a ' ,b ' ,c ' números reales conocidos .
'
'
'
a xb y  c 
Una solución del sistema es un par de valores x   , y   que, sustituidos en lugar de x e
y, cumplen todas las igualdades. Las soluciones pueden encontrarse resolviendo el sistema por
cualquiera de los métodos conocidos: reducción, sustitución o igualación.
Al resolver un sistema lineal se da siempre una de estas tres situaciones:
1. Tiene solución única, es decir un solo valor para x y un solo valor para y. Se llama sistema
compatible determinado.
2. Tiene infinitas soluciones. Se llama sistema compatible indeterminado.
3. No tiene soluciones. Se llama sistema incompatible.
Ejemplo: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
3x  2 y  1
6 x  2 y  14
6 x  2 y  14
( S .C.D.)
( S .C.I )
( S .I .)
x  6y  7 
3x  y  7 
3x  y  10 
Sistemas lineales. Transformaciones elementales.
Consideremos un sistema lineal con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas. La
forma general de escribirlo si tiene m ecuaciones y n incógnitas es:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 
a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2 
donde x1 , x 2 , ...., x n son las incógnitas , aij y bi números conocidos
............................................... 
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm 
Una solución es un conjunto de valores x1  1 , x2   2 , ... , xn   n que, sustituidos en el
sistema, verifican todas las igualdades. Dos sistemas se llaman equivalentes si tienen las mismas
soluciones. Se puede comprobar fácilmente que las siguientes transformaciones elementales
convierten un sistema en otro equivalente:
1. Cambiar el orden de las ecuaciones.
2. Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número no nulo.
3. Sumar (o restar) a una ecuación cualquiera de las otras, multiplicada por un número.
Igual que ocurre con los sistemas de dos ecuaciones, un sistema lineal cualquiera está siempre
en uno de estos tres casos: o no tiene solución (incompatible), o tiene solución única (compatible
determinado) o tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado).
Método de Gauss.
El método de Gauss consiste en aplicar al sistema de ecuaciones inicial, las
transformaciones elementales dadas anteriormente, para obtener un sistema equivalente,
pero con ecuaciones con menos incógnitas, y por tanto más fácil de resolver.
Ejemplo:
2x  y  z  1 

3x  2 y  z  3 
5 x  y  2 z  2
Tomo la primera ecuación multiplicada por 3 y la segunda multiplicada por (-2) y tomo la primera
ecuación multiplicada por 5 y la tercera multiplicada por (-2)
6 x  3 y  3z  3 
10 x  5 y  5 z  5 
;
  7 y  5 z  3
  3y  z  1
 6 x  4 y  2 z  6
 10 x  2 y  4 z  4
Con lo cual ya he eliminado la variable “x” y sólo tengo dos ecuaciones con dos incógnitas.
7 y  5 z  3 3 x 1º Ecuación
21y  15 z  9 
 -7 x 2ª Ecuación 
  8 z  16  z  2
3y  z  1 
 21y  7 z  7
Y conocido el valor de “z” fácilmente se calcula y = 1 ; x = 1
Ejemplo: Resolver por Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones:
x  2 y  5 z  13 
x yz 7 
x  2 y  z  13 



2 x  5 y  z  19  ( S .C.D.) x  y  3z  1  ( S .C.I ) 3x  4 y  2 z  1 ( S .I )
3x  3 y  2 z  4 
2 x  y  4 z  5
2x  2 y  z  0 



Ejercicio: resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
3x  2 y  z  3 
x  2 y  3z  3 
x  3 y  2 z  4



x  y  2 z  5 
2x  y  4z  7 
2 x  2 y  z  3
2 x  y  3z  16
3x  3 y  5 z  8
3x  2 y  z  5 


2 x  y  2 z  5
x  2 y  3z  4
5 x  2 y  3z  4 

2x  2 y  z  3 
x  2 y  2 z  3
3x  y  z  3 

 y  z 1 
x  2 y  z  2
2 x  y  3z  2 

 x  2 y  z  4
3x  y  2 z  1 
3x  y  z  1 

2 x  y  2 z  2
x  3 y  6 z  3 
x  y  z 1
Sistemas no lineales:
Para resolver un sistema que no es lineal no existen métodos generales; cuando es posible,
se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye en las otras.
Ejemplo:
x y 3 
x  3 y
y  0 por tan to x  3
 y 2  3y  0 

2
2
2
2
y  3 por tan to x  0
x  y  9 3  y   y  9
Ejercicio: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
x  32  y 2  9
x2  y2  9
x 2  2 xy  24


2
y  xy  5 




x 2  y 2  10

x y 3

8x  y 2


2 x  y  8
x y 9 

x  y  90
x 2  xy  10 

y 2  xy  15
2 x 2  3xy  10

xy  x  4

3x  y 2  4 


2
2
x  3 y  4

PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Dos números suman 40 y su cociente exacto es 4. Hallarlos.
2. Hallar dos números sabiendo que su suma es 5 y que el cuadrado de uno más el otro es 35.
3. Hallar dos números, sabiendo que su diferencia es igual a 15, y que al dividirlos, el cociente
es 3 y el resto 4.
2
4. Un coche sale de A, a 60 Km/h. Dos horas después sale del mismo punto, otro coche a 90
Km/h. Hallar a qué distancia de A alcanza el segundo coche al primero y el tiempo que tarda
en conseguirlo.
5. Dos pueblo, A y B se encuentran separados por 490 km. Un ciclista sale de A hacia B a 40
Km/h y al mismo tiempo otro ciclista sale de B hacia A a 30 Km/h. ¿A que distancia de A se
encuentran?, ¿Cuánto tiempo tardan en encontrase?
6. Dos números suman 12 y sus inversos, 12/35. Hallarlos.
7. Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden de las cifras, el número
disminuye en 9. ¿Qué número es?
8. Se quiere distribuir un lote de libros entre varias personas. Si a cada una se le dan 3, sobran
17 libros, y si a cada una se le asignan 4, faltan 8 libros. ¿Cuántas personas y cuántos libros
hay?
9. Una aleación contiene 270 gramos de oro y 30 gramos de cobre, y otra, 200 gramos de oro y
50 de cobre. ¿Qué cantidad deberá tomarse de cada una para formar 400 gramos de 825
milésimas de ley?
10. Un tren de 100 metros de longitud, al entrar en un túnel, tarda 55 segundos, desde
que entra la locomotora, hasta que sale el último vagón, y sólo 45 segundos,
desde que entra en último vagón hasta que sale la locomotora. Calcula la
velocidad de tren( en m/s) y la longitud del túnel.
11. En una granja avícola hacen pienso mezclando trigo, cebada y avena. La primera vez
utilizan 10 ferrados de trigo, 20 de cebada y 30 de avena y resulta un precio total de 8600
ptas. La segunda vez utilizan 15 ferrados de trigo, 12 de cebada y 10 de avena y resulta un
precio total de 6000 ptas. Finalmente se utilizan 8 ferrados de trigo, 6 de cebada y 5 de
avena y el precio total es de 3100 ptas. ¿Cuál es el precio del ferrado de cada componente?
12. Una empresa dispone de 27680 euros para actividades de formación de sus 100 empleados.
Tras estudiar las necesidades de los empleados, se ha decidido organizar tres cursos: A, B, y
C. La subvención por persona para el curso A es de 400 euros, para el B es de 160 euros y
de 200 euros para el C. Si la cantidad que se dedica al curso A es cinco veces mayor que la
correspondiente al B, ¿cuántos empleados siguen cada curso?
13. Los estudiantes de cierto curso venden camisetas, gorras y banderines para ayudarse a
pagar un viaje. Cada camiseta se vende a 10 euros, cada gorra a 1,5 euros
y cada banderín a 2,5 euros. Los costes de cada prenda son de 4 euros
por camiseta, 0,4 euros por gorra y 1 euro por banderín. El beneficio obtenido es
de 1175 euros y el gasto es de 450 euros. Sabiendo que se han vendido un total de
270 unidades en conjunto, calcula cuántas se han vendido de cada clase.
14. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que suman 9, que si al número buscado se le resta
el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198; y que además, la cifra
de las decenas es media aritmética de las otras dos.
15. Dos torres, una de 30 metros y otra de 40 metros, están separadas 50 metros. Entre las dos
torres se encuentra una fuente hacia la que descienden dos pájaros que están en las almenas
de las torres. Yendo con igual velocidad llegan al mismo tiempo. ¿A qué distancia de las
torres se encuentra la fuente?
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES.
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
x  y  3z  3 
2 x  y  z  5
x  y  y 2  2


a. 
b)  x  y  z  0
c) x  2 y  z  2 
x  2  y  7
3x  2 y  3z  4
2 x  y  2 z  5

 x 2  5  y  20

d)  x 2  y 2  26
3
2. En una biblioteca se compran cada mes revistas de Historia, de Ciencias y de Deportes. Las
revistas de Historia cuestan 2 euros cada una, las de Ciencias 2,5 euros y las de Deportes 3
euros. Si en total se compran 15 revistas y se gastan 35,5 euros, ¿cuántas revistas de cada tipo se
compran, sabiendo que las revistas de Deportes suponen la tercera parte que las de Historia?
3. En una dulcería envasan bombones en cajas de 250g, 500g y 1kg. Un día envasaron 60 cajas en
total, habiendo 5 más de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Si el precio del kilo de
bombones es de 24€ y el importe total de los bombones envasados asciende a 750€ ¿sabrías
decir cuántas cajas se han envasado de cada tipo?
4. Una editorial edita libros, revistas y periódicos. Por cada libro editado cobra 2 euros, por cada
revista cobra la mitad que por un libro, y por cada periódico la cuarta parte que por un libro. Si
un día ha editado 4250 ejemplares y ha recaudado 3000 euros, ¿cuántos ejemplares ha editado
de cada tipo, sabiendo que se editan tres veces más periódicos que revistas.
5. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sacos sobre sus lomos. Lamentábase
el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De que te quejas?. Si te
tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco,
tu carga se igualaría a la mía”¿Cuántos sacos llevaba el caballo?, ¿y el mulo?.
PROBLEMAS PARA REPASO CON SOLUCIONES
1. Encuentra un número de 3 cifras, sabiendo que la suma de ellas es 14, si a la cifra de las
centenas le restas la de las decenas obtienes las de las unidades y que la cifra de las unidades es
la de las decenas más uno.
Sol: 734
2. Calcula las edades de 3 hermanos que sumadas dan 30. Si restamos las edades de los dos
mayores obtenemos la del menor menos 6 y si sumamos las de los dos menores da 18.
Sol: 8, 10, 12
3. En 1º de Bachillerato hay 3 cursos: A, B y C. Calcula el número de alumnos por curso si en total
hay 81 alumnos, además si sumamos los alumnos de los dos cursos de Humanidades obtenemos
el doble de los de Ciencias y si los restamos la diferencia es de 2 alumnos.
Sol: 28, 26, 27
4. Las edades de una familia formada por los padres y una hija suman 86 años. Halla la edad de
cada uno de ellos sabiendo que la edad de la madre es triple de la edad de la hija y que las
edades del padre y de la hija difieren en 26 años.
Sol: El padre tiene 38 años, la madre 36 años y la hija 12 años
5. Una agencia de alquiler de coches, utiliza sólo tres marcas de vehículos para su alquiler. Si en
total dispone de 63 coches y se sabe que los de la marca C son el doble que los
de la marca A y B juntos y que el triple de los coches de la marca A coincide
con el cuádruple de la marca B, ¿cuántos coches hay de cada marca?
Sol: A(12),B(9) y C(42)
6. En un quiosco se venden cada mes revistas de Bricolaje, de Ciencias y de Decoración. Las
revistas de Bricolaje cuestan 2 euros cada una, las de Ciencias 3 euros y las de Decoración 4
euros. Si en total se compran 25 revistas y se gastan 63 euros, ¿cuántas revistas de cada tipo
se compran, sabiendo que las revistas de Decoración suponen la cuarta parte que las de
Bricolaje?
Sol:16 de Bricolaje, 5 de Ciencias y 4 de Decoración
7. Una compañía de discos saca al mercado 3 CD de 3 grupos distintos. Por cada disco del
grupo A cobra 20 euros, por cada disco del grupo B la mitad, y por cada disco del
grupo C el 25% de lo que cuesta el A. Si un día ha vendido 190 CDs y ha recaudado
1800 euros, ¿cuántos ejemplares han vendido de cada grupo, sabiendo que se
vendieron el doble del grupo C que del B?.
Sol: A (40), B(50), C(100)
8.
Una tienda de ropa vende camisetas, playeras y pantalones. Cada camiseta se vende a 10
euros, las playeras a 15 euros y cada pantalón a 25 euros. El beneficio obtenido es de 750 euros
y el gasto es de 500 euros. Sabiendo que se han vendido un total de 100 unidades en conjunto y
que se vendieron el doble de playeras que de pantalones, calcula cuántas se han vendido de cada
clase.
Sol: 70 camisetas, 20 pares de playeras y 10 pantalones.
4
INECUACIONES LINEALES
Las inecuaciones expresan desigualdades, están por tanto asociadas a los símbolos mayor que (>),
mayor o igual que (  ), menor que (<) y menor o igual que (  ). Las inecuaciones reflejan
situaciones contrarias a las igualdades o ecuaciones, es decir, expresan situaciones en las que no
se llega o se sobrepasa un valor determinado.
El uso de inecuaciones se hace necesario como una de las técnicas matemáticas asociadas a la
resolución de problemas económicos, sociales y tecnológicos que estudiaremos el próximo curso
dentro del tema Programación Lineal.
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Son desigualdades formadas por dos expresiones algebraicas de primer grado y cuyas soluciones
son todos los valores que hacen cierta la desigualdad.
Por ejemplo:
5( x-3) < 3x +5
Para resolver una inecuación procedemos de forma análoga a la resolución de ecuaciones de
primer grado, pero teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades, es decir:
 Si se multiplica una desigualdad por un número negativo, el sentido de la desigualdad
varía.
3 < 5, si multiplicamos la desigualdad por (-1) tenemos: -3 > -5
4 > -3 , si multiplicamos por (-1) : -4 < 3
Es muy importante tener presente esta propiedad en la resolución de inecuaciones, para poder
determinar correctamente el intervalo en el que se encuentran las soluciones:
Por ejemplo:
Al dividir por un
a) 5( x-3) < 3x +5
b) -4x +2 < 5x +11
número negativo
5x -15 < 3x +5
-4x -5x < 11 -2
se cambia el
5x-3x < 5+15
-9x < 9
sentido de la
desigualdad
9
2x< 20
x>
= -1
9
x < 10
Sol: x  (-  , 10)
Sol: x  (-1,  )
Solución: Todos los
números reales
menores que 10
Solución: Todos los
números reales
mayores que -1
1. Resuelve las inecuaciones siguientes, expresando las soluciones en forma de intervalo.
a)
d)
5 x  2 x  8 x  14


2
3
4
2
x x 1

x20
2
7
e)
b)
x4 x4
3x  1

 2
3
5
15
x  2 12  x 5 x  36


1
3
2
4
c)
f)
x x 1

 x2
2
7
2x  8  x  3

8
5
Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
Son expresiones del tipo ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c  0, ax 2 + bx + c < 0 , ax 2 + bx + c  0
Para resolverlas debemos resolver previamente la ecuación asociada a esta expresión.
Tomamos las soluciones y las colocamos en la recta real y posteriormente comprobamos las
soluciones por tanteo dentro de los intervalos en los que quede dividida la recta.
Por ejemplo:
5
Resolver
x 2  6x  8  0
Ecuación asociada:
x 2  6 x  8  0  Soluciones : x 1 = 2 y
Colocamos las soluciones de la ecuación en la recta real:
____________2______________4____________
x2 = 4
Es obvio que en los valores de x = 2 y x = 1 la inecuación se cumple, puesto que el valor es 0.
Debemos comprobar que signo toma en valores que estén en los intervalos determinados por las
soluciones, entonces:
____________2______________4____________
Si x= 0
Si x = 3
Si x = 5
Signo (+)
Signo (-)
Signo (+)
Como debíamos resolver una inecuación donde se buscaba valores menores o iguales que cero,
quiere decir que la solución es el intervalo donde el signo es negativo.
Así, la solución de la inecuación es x  [2,4]
Se toma el intervalo cerrado pues la desigualdad es  , es decir, incluye a las soluciones de la
ecuación.
2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado, expresando las soluciones en forma
de intervalo:
a) x 2 -x- 6>0
b) - x 2  3x  2  0
e) x 2 -2x+3 > x+1 f)- x 2 +3x-6<-x-2
3. Resuelve:
4.
a)
b)
c)
d)
5.
6.
7.
8.
x5
a)
0
x2
c) x 2  4 x  5  0
g)(x-1)(x+3)>0
2 x
b)
0
x7
d)-x 2 4 x  0
h) (x-5)(x+2)  0
x2
0
c)
3 x
d)
i) x(4-x)<0
x 1
<0
x2
Traduce a lenguaje algebraico:
El triple de un número más 8 unidades es menor que 20.
El cuadrado de un número es menor que el doble de ese número más 1.
Si creciera 15cm., superaría la estatura que se requiere para entrar en el equipo de
baloncesto, que es 1´80 m.
Si mi dinero aumentara el triple y me tocaran 2.000€ tendría, por lo menos, 11.000€
¿Cuáles son los números cuyo triple excede a su doble en más de 20?.
Un padre y un hijo se llevan 22 años. Determina en qué periodo de sus vidas la edad del
padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.
En un rectángulo un lado es 2cm. menor que el otro. ¿Para qué dimensiones del rectángulo
es el área mayor que 15cm 2 ?
Una fábrica paga a sus viajantes 10€. por artículo vendido y además una cantidad fija de
300€. Otra fábrica de la competencia paga 25 € por artículo y 180 € fijos. ¿Cuántos artículos
debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?.
9. Un aforismo indio afirma que para que una relación sentimental sea
satisfactoria, la edad de ella no debe sobrepasar la mitad más 7 años de la edad
de él. Cierto galán tiene 10 años más que su dama. ¿Cuál es para ellos el
periodo más favorable según esta regla?.
10. Una empresa de alquiler de coches cobra 18 € fijo más 0´15 €. por km.
recorrido. Otra empresa no tiene canon fijo, pero cobra 0´30 € por km.
recorrido. ¿A partir de cuántos km. es más económica la primera?
Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Son expresiones equivalentes a
ax +b y < c
Se resuelven representando la función afín correspondiente: ax +by = c
6
Ésta divide al plano en dos semiplanos. Tomamos un punto en uno de los dos y comprobamos si
verifica la desigualdad.
Por ejemplo, 3x +y > 4
Representamos la recta
3x + y = 4, es decir, y = 4 -3x
y = 4 -3x
x y
0 4
Semiplano solución
1 1
(-1,1) 
x= -1, y= 1
3(-1) + 1 < 4
Entonces las soluciones están en el otro semiplano
Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Se resuelven representando conjuntamente las soluciones de los dos semiplanos de cada
inecuación del sistema. La intersección de ambos es la región solución del sistema.
x +y<3
-2x + y < 2
x+y=3
y = 3 –x
x y
0 3
1 2
-2x + y < 2
y = 2 +2x
x y
0 2
1 4
Región solución
11. Representa en el plano la región solución
a) x+y < 0
b) x- y  0 c) 2x –y > 1
d) x + y  -2
12. Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones
a) x+y < 0
b) 2x –y > 1
x- y  0
x + y  -2
13. Escribe un sistema de inecuaciones que represente la región marcada
a)
b)
1
3
-1
X
____
Y
2
X
Y
14. Un comerciante cafetalero quiere mezclar café de 6 € el kilo con otro de 7´2 € el kilo para
obtener una mezcla de calidad intermedia cuyo precio no pase de 7 € el kilo. Si le encargamos
60 kilos de esta mezcla ¿Qué cantidad de café debe contener de cada tipo?
7
15. He tomado un taxi para ir al cine. Después de marcar 1´5 € por la bajada de bandera, me di
cuenta de que sólo llevaba 15 €. Si la entrada al cine cuesta 8 €, y cada paso del contador del
taxi son 0´5 € ¿cuántos pueden ser el número de pasos del contador para poder entrar al cine?
16. Un comercio de La Coruña paga a sus empleados 5€ de comisión por cada camiseta vendida
y un sueldo fijo de 400 € mensuales. En otro negocio de la competencia en Ferrol se paga 8 €
por cada camiseta y 300 € de sueldo fijo al mes.
a) Si dos empleados han vendido 10 camisetas en septiembre en cada tienda ¿dónde
cobrará más?
b) ¿Para qué número de camisetas vendidas es preferible trabajar en Ferrol?
c) Si te ofrecen trabajar en las dos tiendas ¿Dónde preferirías emplearte? ¿Por qué?
17. Sabemos que el agua a partir de 0º se presenta en estado líquido. Si llamamos t a la
temperatura del agua. ¿Qué condición debe cumplir t si tenemos el agua en estado sólido?
8