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Lógica I (curso 2007-08) – Prof. Paloma Pérez-Ilzarbe
Anexo al tema 1: Nociones de teoría de conjuntos
Objetivos:
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Familiarizarse con las nociones de teoría de conjuntos que vamos a utilizar durante el curso:
conjunto, elemento, relación de pertenencia, relación de inclusión, conjunto vacío, operación
unión, función, argumento, valor.
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Aprender el lenguaje simbólico relacionado con esas nociones.
Las nociones:
Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, a los que llamaremos elementos de ese
conjunto. Usaremos letras mayúsculas latinas (A, B, ..., Z) para referirnos a conjuntos, y letras
minúsculas latinas (a, b, ..., z) para referirnos a elementos.
Cuando un objeto x es un elemento de un conjunto C, diremos que x pertenece a C: x∈C. Cuando
un objeto x no es un elemento de un conjunto C, diremos que x no pertenece a C: x∉C.
Principio de extensionalidad: Si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece
a A, entonces A=B.
Un conjunto puede definirse por comprensión: dando una propiedad que posean todos los
elementos de ese conjunto y solamente ellos. A={x : x es una vocal}
Un conjunto puede definirse por enumeración: dando la lista de todos sus elementos. A={a, e, i, o,
u}
Decimos que un conjunto A está incluido en un conjunto B (o que A es un subconjunto de B),
cuando todo elemento de A pertenece también a B: A⊆B. Si A⊆B pero A≠B, decimos que A es un
subconjunto propio de B: A⊂B.
Llamamos conjunto vacío al conjunto que no tiene ningún elemento: ∅.
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son los objetos que pertenecen a
A o a B: A∪B={x : x∈A o x∈B}.
Llamamos relación binaria a cualquier conjunto de pares ordenados (representados así: <a, b>).
Ejemplo: R={<1,1>, <1,2>, <2,1>} El dominio de R es el conjunto de los primeros componentes de
los pares de R. El recorrido de R es el conjunto de los segundos componentes de los pares de R.
(También consideraremos relaciones n-arias, cuyos elementos son n-uplas ordenadas.)
Llamaremos función a una relación en la que cada objeto del dominio se relaciona con un solo
objeto del recorrido: una relación R es una función si y sólo si para todo a∈dom(R) hay un único
objeto b tal que <a, b>∈R. Usaremos las letras minúsculas f, g, h... para referirnos a las funciones.
Llamaremos argumentos de la función a los elementos de su dominio. Si f es una función y
a∈dom(f), hay un único objeto b tal que <a, b>∈f. Designamos a ese objeto como f(a) y decimos que
f(a) es el valor que f asigna al argumento a. El conjunto de los valores de una función es su recorrido.
Una manera de definir una función es especificar cuál es su dominio e indicar qué valor asigna la
función a cada elemento del dominio.
Bibliografía:
Se puede encontrar una exposición detallada de todas estas nociones en la parte primera del
manual: Badesa et al., Elementos de lógica formal, Ariel, Barcelona, 1998.