Download Estructura formal de los sistemas lógicos y resolución de algunos

Estructura formal de los sistemas lógicos y
resolución de algunos interrogantes de interés al
respecto de las nociones de verdad y validez en
lógicas clásicas
A. Moreno Vallori
Resumen
Tras un sucinto repaso histórico, partimos del concepto elemental de lenguaje formal para
construir el de sistema lógico añadiendo una estructura deductiva y una semántica. Se ha hecho
especial hincapié en la economía conceptual, al objeto de presentar un discurso completo e integrado
en relación a contenidos que rara vez se exponen consecutivamente. Tras introducir las definiciones
de verdad y validez , planteamos y resolvemos algunas preguntas clave para lograr un entendimiento
más cabal de las dinámicas lógicas al respecto de tales nociones, dinámicas cuya comprensión
entraña cierta problemática en ocasiones, debido principalmente a conflictos lingüísticos entre la
rigurosidad de la terminología formal y la nebulosidad del lenguaje natural.
A. Moreno Vallori
1.
Estructura formal de los sistemas lógicos
Introducción histórica
Aunque el germen de la lógica, entendida como estudio formal de las leyes que rigen el razonamiento y su validez, puede atisbarse ya en las antiguas civilizaciones egipcia y babilonia1 , su
vedadero nacimiento ha de ubicarse en el pensamiento de la Antigua Grecia. Dentro de los filósofos
presocráticos, ya en el siglo VI a. C. los pitagóricos ahondaron en el concepto de demostración,
haciendo hincapié en el aspecto formal que aquella debe tener, si bien lo estudiaron inserto siempre
en un contexto geométrico. La aurora de las consideraciones intrínsecas de las dinámicas lógicas
puede hallarse, aunque sin ser estudiadas sistemática o simbólicamente, en el empleo del método
de demostración reductio ad absurdum por Zenón de Elea en el siglo V a. C. (su contemporáneo
Sócrates hacía uso de argumentos similares), así como en los filósofos socráticos menores de la
época, como Euclides de Megara (plantador de la semilla del estoicismo, del cual derivaría una
importante tradición lógica), entre otros2 . Platón, por su parte, aunque no nos legó —al menos, en
las obras conservadas— ningún desarrollo en lógica formal, sí dedicó escritos a la reflexión filosófica
de la lógica, tanto en su vertiente sintáctica3 (validez argumental) como en su vertiente semántica4
(naturaleza de la verdad). No obstante, el estudio de la lógica matemática tal y como se entiende
en la actualidad, esto es, como disciplina formal y simbólica, hubo de esperar al siglo IV a. C. para
ver la luz en su más genuina expresión de la mano de Aristóteles.
El Organon reúne las obras lógicas de Aristóteles, trabajos de extraordinaria relevancia en la
historia de la lógica y de no menor influencia en el pensamiento occidental, en el que poseerían
un papel imperante más de un milenio y medio después de concebirse. Aristóteles desarrolló por
primera vez un tratamiento in extenso de los principios rectores de la deducción válida, estudiando formal y sistemáticamente los tipos de inferencias correctas en lo que ahora conocemos como
silogística5 (del griego σ"υλλογισ"μός ‘inferencia’) que, aunque no se corresponde exactamente con
la teoría moderna de argumentos válidos, guarda fuertes similitudes y abrió el camino para el
florecimiento de aquella. Sin embargo, tras la proliferación de la hegemonía del Imperio Romano,
en el cual se ubica la lógica (megaro-)estoica, el interés de occidente por la filosofía griega decayó
1 Visos de logicidad en un sentido axiomático pueden advertirse, por ejemplo, en el tratado médico datado en el siglo XI a. C. Sakkikū
(en sumerio SA.GIG ‘todas las enfermedades’) elaborado por el ummânū (del acadio para ‘instruido, sabio’) Esagil-kin-apli.
2 Un temprano testimonio del pensamiento lógico griego puede encontrarse en las interesantes consideraciones, si bien rudimentarias,
sobre la naturaleza de la verdad que figuran en el Dissoi logoi (c. 400 a. C.), de autoría desconocida. En él se manifiesta además cierto
conocimiento de la problemática que originan los enunciados de verdad autorreferentes, de la cual se percataría también Eubulides de
Mileto al descubrir la paradoja del mentiroso a mediados del siglo IV a. C.
3 Cfr. Platón, Teeteto.
4 Sobre este ámbito arroja luz la teoría de las formas, o de las ideas. A este respecto cfr. Platón, República y Platón, El sofista.
5 Cfr. Aristóteles, Primeros analíticos.
2
A. Moreno Vallori
Estructura formal de los sistemas lógicos
hasta el punto de prácticamente pasar por alto la obra de Aristóteles hasta los siglos XII y XIII,
cuando la reintrodujeron los filósofos judíos y árabes, especialmente Averroes.
Independientemente del pensamiento aristotélico, la lógica se abrió camino en Asia, germinando
de forma original en lugares como China, donde durante los siglos VIII a III a. C. destacó la escuela
moísta (sin embargo, sus investigaciones fueron reprimidas por la dinastía Qin, la primera imperial,
en su establecimiento), y principalmente en India, con el florecimiento de escuelas filosóficas como
la Nyāya o doctrinas como la llamada lógica budista.
Durante la Edad Media, la silogística aristotélica fue el resorte sobre el cual se valieron las
grandes mentes del mundo islámico (Avicenna, Averroes, Al-Kindi, Al-Farabi...) para llevar a cabo
desarrollos ulteriores, en especial desde el siglo XI, siglo de oro del Islam, en adelante. En occidente, donde había imperado la lógica estoica, no fue hasta el siglo XIII cuando, tras la recuperación
de todo el Organon —que hasta el momento solo se encontraba parcialmente traducido— desde
oriente, nuevos desarrollos brotaron tomando la forma de lo que ha venido a denominarse lógica
escolástica o medieval, entre cuyos representantes destaca Santo Tomás de Aquino.
Muchas otras contribuciones a la lógica fueron ofrecidas en los siglos siguientes por autores
de la talla de Arnauld6 o Bacon7 . Sin embargo, tales avances fueron más bien de índole filosófica, sin contribuir al desarrollo teórico de la lógica en un sentido formal y riguroso. Parecía que
la lógica se encontraba aherrojada por barrotes forjados en la filosofía aristotélica, y que las lapidarias palabras de Kant estaban abocadas a quedar cinceladas para siempre en la historia de
las ideas humanas, cuando decía que desde las exposiciones del Organon «la lógica formal no fue
capaz de avanzar un solo paso y es así, a toda apariencia, un cuerpo doctrinal cerrado y completo»8 .
Con excepción de los modestos frutos de algunas consideraciones aisladas, principalmente las de
Leibniz (influido por las obras de Ramón Llull y Thomas Hobbes), que quizá pueden considerarse
los primeros desarrollos de la disciplina, pero que se perdieron en el tiempo siendo posteriormente
reformuladas de manera original por otros, la espera para la aparición de nuevos avances reales en
lógica formal se dilató hasta mediados del siglo XIX, donde la lógica alcanzó finalmente su máxima
expresión, ahora sí de tintes que abrazan plenamente el formalismo simbólico y el rigor matemático.
Todos estos nuevos desarrollos, que coruscan como uno de los más significativos y prometeicos
estandartes de la historia intelectual humana, fueron privilegiados, en orden cronológico, por la
tradición algebraica de Boole (incluyendo a Peirce, Schröder, Venn...), el logicismo de Frege, el
6 Cfr.
A. Arnauld y P. Nicole, La logique, ou l’art de penser.
F. Bacon, Novum Organum.
8 I. Kant, Crítica de la razón pura.
7 Cfr.
3
A. Moreno Vallori
Estructura formal de los sistemas lógicos
programa de Hilbert y las propuestas axiomáticas de Dedekind, Peano, Zermelo y otros, los trabajos
fundamentales de Russell9 , los aportes seminales a las metamatemáticas por parte de Gödel y
Tarski, y las propuestas de Church y Turing en teoría de la computabilidad. Esta última, junto
con la teoría de modelos, la teoría de la demostración y la teoría de conjuntos, sería una de las
cuatro áreas principales en las que la lógica matemática se desarrollaría a partir de la segunda
mitad del siglo XX.
2.
De los lenguajes formales a los sistemas lógicos
El concepto de sistema lógico se articula alrededor del de lenguaje formal , que pretende formalizar la noción de lenguaje natural. Un lenguaje formal se construye, similarmente al caso de una
lengua común, a partir de un conjunto de símbolos, indicando cuáles de las cadenas de caracteres
de ese «alfabeto» se consideran bien formadas y cuáles no. No obstante, un lenguaje formal se
limita a eso: posee exclusivamente un dominio de reglas gramaticales, quebrando la analogía con
los lenguajes naturales, cuya gramática consiste por un lado en la morfología, esto es, en las reglas
de formación de palabras, y por otro en la sintaxis, esto es, en las reglas de formación de oraciones.
En el contexto de los lenguajes formales nos referiremos a esa gramática unidimensional también
como sintaxis.10
Comenzaremos abordando la noción de lenguaje formal. Para una definición rigurosa de la misma conviene introducir las dos definiciones que figuran a continuación.
Definición 2.1. Sea Σ un conjunto. Definimos los conjuntos Σ0 = ∅, Σ1 = Σ y para todo i > 0:
Σi+1 = Σi × Σ
La estrella de Kleen en Σ se define según:
Σ∗ =
!
Σi = ∅ ∪ Σ ∪ Σ2 ∪ Σ3 ∪ · · ·
i∈N
9 Cfr.
B. Russell y A. N. Whitehead, Principia Mathematica.
plantearse si acaso existe una diferencia cualitativa entre morfología y sintaxis, en el sentido de si no es la sintaxis una
morfología que trabaja además con el carácter «espacio» o, en términos más habituales, si no es la morfología una sintaxis de los
morfemas. Este interrogante está íntimamente relacionado con el —al punto de ser esencialmente equivalente al— que pone en duda la
existencia de una única definición univesal —esto es, efectiva para toda lengua— de «palabra» como elemento frontera en la jerarquía
gramatical que delimitaría los dominios de aplicabilidad de la morfología y la sintaxis. Este planteamiento unificador se defiende en
varias teorías dentro del generativismo lingüístico (por ejemplo la morfología distribuida de Halle y Marantz; cfr. M. Halle y A. Marantz,
«Distributed Morphology and the Pieces of Inflection» en K. Hale y S. J. Keyser (eds.), The View from Building), y la discusión sobre la
posibilidad de reducción de la morfología a la sintaxis sigue siendo un debate abierto de gran relevancia en la lingüística contemporánea.
Cabe también plantearse que el hecho de que los lenguajes formales operen exclusivamente con una sintaxis implica que o bien el lenguaje
natural efectivamente puede poseer una única estructura gramática (en este caso convencionalmente se le llama sintaxis) generadora de
palabras y oraciones o bien existe un hiato gramatical fundamental entre los lenguajes formales y el lenguaje natural.
10 Cabe
4
A. Moreno Vallori
Estructura formal de los sistemas lógicos
Los elementos de Σ∗ serán de la forma {{{· · · {{σi }, σi−1 } · · ·}, σ2 }, σ1 } ∈ Σi , con σi ∈ Σ para todo
i. Escribiremos simplemente σi σi−1 · · · σ2 σ1 para referirnos a tales elementos, con el objetivo de
mostrar claramente que los elementos de Σ∗ se corresponden con las cadenas de caracteres que
pueden formarse utilizando los elementos de Σ (nótese que ∅ ∈ Σ∗ , esto es, se incluye también la
llamada cadena nula). A continuación podemos definir adecuadamente un lenguaje formal.
Definición 2.2. Sea Σ un conjunto. Un lenguaje formal sobre Σ o un Σ−lenguaje formal es
un subconjunto L ⊆ Σ∗ . Se dice que Σ es el alfabeto del lenguaje, que los elementos de Σ son las
letras del alfabeto Σ, que los elementos de Σ∗ son las palabras que pueden formarse con el alfabeto
Σ y que los elementos de L son las palabras del lenguaje L.
Cuando un Σ-lenguaje formal L se considere en el contexto de la lógica matemática, a las palabras que pueden formarse con Σ se las denomina generalmente fórmulas y a las palabras de L
fórmulas bien formadas. Si la situación contextual es suficientemente clara y no hay ambigüedad,
se suele referir a las fórmulas bien formadas simplemente como fórmulas; este será el caso a partir
de ahora en el presente trabajo.
Además del lenguaje en sí, nos interesa tener un mecanismo que nos permita inferir fórmulas
de otras. Tal mecanismo se define a partir de las siguientes nociones11 .
Definición 2.3. Un sistema de inferencia I sobre un conjunto X, o un X-sistema de inferencia
i
12
es un par (X, R) y R ⊆ ∪∞
de I.
i=1 X . Los elementos de R se denominan reglas de inferencia
Definición 2.4. Sea I un X−sistema de inferencia, A ⊆ X un conjunto de elementos a los que
llamaremos axiomas y (X1 , X2 , . . . , Xn ) ∈ Xn , al que llamaremos argumento o deducción, tal que
para cierto 1 ≤ m ≤ n el conjunto {X1 , X2 , . . . , Xm }, a cuyos elementos llamaremos premisas,
no contiene ninguna regla de inferencia, esto es, no existen 1 ≤ m1, m2, . . . , mp ≤ m tales que
(Xm1 , Xm2 , . . . , Xmp ) ∈ R. Diremos que Xn es la conclusión del argumento. Se dice que, en el argumento, la conclusión Xn es una consecuencia lógica sintáctica de las premisas X1 , X2 , . . . , Xn si
para todo Xi con m < i ≤ n (es decir, para todo Xi que no sea una premisa) o bien Xi es un axioma
o bien existen Xi1 , Xi2 , . . . , Xij con 1 ≤ ik < i para todo 1 ≤ k ≤ j tales que (Xi1 , Xi2 , . . . , Xij , Xi )
es una regla de inferencia. En este caso escribiremos X1 , X2 , . . . , Xm ⊢ Xn .
11 Las
definiciones 2.3. y 2.4. son propias. Vide infra nota 16.
que, para evitar que todo elemento X ∈ X fuera inferible de manera trivial, tendremos que evitar que para todo X ∈ X
suceda que (X, X) ∈ R, esto es, de un elemento no se infiere ese elemento, lo cual quizá resulte un tanto antiintuitivo. En cualquier caso,
equivalentemente podría incluirse la regla de inferencia (X, X) para todo X ∈ X y, en la definición de inferibilidad, hacer una distinción
entre inferencia trivial e inferencia no trivial.
12 Notemos
5
A. Moreno Vallori
Estructura formal de los sistemas lógicos
Notemos que en el contexto de la definición anterior se tiene que una regla de inferencia es un
argumento. El concepto de consecuencia lógica sintáctica recupera la noción informal de demostración 13 que tenemos en el lenguaje natural, se corresponde con la intuición de que un conjunto de
premisas tiene como consecuencia lógica la conclusión si esta se puede «demostrar» desde aquellas
usando axiomas y reglas de inferencia. A partir de las nociones de lenguaje formal, sistema de
inferencia y conjunto de axiomas, estamos en condiciones de definir la estructura inmediatamente
anterior a la de sistema lógico.
Definición 2.5. Un sistema formal F es una terna (L, I, A) donde L es un Σ-lenguaje formal,
I es un L-sistema de inferencia y A es un conjunto de axiomas.
Un sistema formal es pues un lenguaje formal del cual se resalta un subconjunto de fórmulas
llamadas axiomas y equipado con una estructura deductiva que permite identificar —y, en virtud
del uso adecuado de los axiomas y las reglas de inferencia, obtener—, a partir de premisas dadas,
conclusiones que sean consecuencias lógicas sintácticas de tales premisas. Para que un sistema
formal se considere un sistema lógico su lenguaje tendrá además que estar dotado de una cierta
estructura semántica, esto es, una estructura que permita una interpretación de sus fórmulas, que
les atribuya un cierto significado. Existen varios tipos de estructuras semánticas que incorporar
a un sistema formal; ante la necesidad de cierta concreción de la definición formal de semántica
para poder incorporarla al sistema formal, presentamos a continuación la semántica estándar para
lógicas clásicas (lógica proposicional, lógica de primer orden, lógica de segundo orden...).
Definición 2.6. Sea L un lenguaje formal. Una L−estructura M es un par (M, π) donde M es
un conjunto no vacío que designamos como universo y π : L → M es una función que denominamos
interpretación y que asigna a cada f ∈ L un elemento π(f ) ∈ M al que llamamos la denotación
en M de f bajo π.
Ahora ya podemos finalmente introducir la definición de sistema lógico.
Definición 2.7. Un sistema lógico L es un par (F, M) donde F = (L, I, A) es un sistema formal
y M = (M, π) es una L-estructura.
Recordemos que esta definición no es del todo general por cuanto en lugar de la L-estructura
13 En
lógica este término se reserva para el caso en el que una conclusión es consecuencia lógica de premisas que son axiomas. En ese
caso, a la conclusión se la llama teorema.
6
A. Moreno Vallori
Estructura formal de los sistemas lógicos
podría haber otro tipo de estructura semántica14 .
3.
Las nociones de verdad y validez en lógica clásica
Como hemos visto, un sistema lógico consiste en un sistema formal F(L, I, A) dotado de una Lestructura, siendo L un Σ-lenguaje formal. Tanto esta definición como los conceptos previos de los
que hemos hecho uso para construirla son nociones que hemos definido de la manera más general:
En los textos académicos de introducción a la lógica matemática habitualmente la presentación
de estos conceptos se realiza de manera más específica o al menos se acompaña, según se definen,
de matices que ilustran qué formas concretas toman todas estas nociones en el contexto particular
de los sistemas lógicos clásicos (lógica proposicional, lógica de primer orden, lógica de segundo
orden...), o en el de los que pretende considerar el propio texto. En la presente obra nos hemos
inclinado por partir de una exposición del concepto de sistema lógico en la forma más esencial
posible, haciendo hincapié en su estructura matemática fundamental y minimizando la adulteración de esa visión por parte de añadidos accesorios propios solo de lógicas concretas, añadidos los
cuales, si bien se emplean extensivamente en lógica matemática, no son, stricto sensu, elementos
intrínsecos a la definición de los conceptos presentados.
No obstante, además de la delineación conceptualmente clara de la noción de sistema lógico,
nuestro objetivo es también el tratamiento de los conceptos de verdad y validez en lógica, y para
ello necesitaremos trabajar con una semántica bivalente, esto es, con un sistema lógico L cuya
L−estructura sea de la forma M = ({V, F }, π), siendo {V, F } un conjunto cualquiera de dos elementos (que, sin pérdida de generalidad, hemos denotado adecuadamente para dar a entender
que pueden interpretarse, y usualmente se interpretan, como las nociones del lenguaje natural de
verdad y falsedad). Así, la función π asigna a cada fórmula de L o bien el elemento V o bien el
F ; naturalmente el sentido que se le da a esto desde el lenguaje natural es que π asigna a cada
fórmula de L su valor de verdad , esto es, dada f ∈ L, si π(f ) = V diremos, e interpretaremos
desde el lenguaje natural, que la fórmula f es verdadera en L bajo la interpretación de M, y si
π(f ) = F , que la fórmula f es falsa en L bajo la interpretación de M. Podemos entonces definir
verdad como ilustramos seguidamente.
Definición 3.1. Una fórmula f ∈ L se dice que es verdadera si π(f ) = V .
14 Otros ejemplos de semánticas son la semántica de Kripke, usada extensivamente en lógicas modales, o la semántica de Henkin,
de interés —y de uso habitual, además de la estándar— en lógica de segundo orden entre otras cosas porque bajo esta semántica, a
diferencia de lo que ocurre con la estándar, es posible probar los teoremas de completitud y de compacidad en dicho sistema lógico.
7
A. Moreno Vallori
Estructura formal de los sistemas lógicos
Por supuesto, a la hora de formalizar nuestras intuiciones informales lógicas a través de un
sistema lógico L, las características concretas de L, los elementos particulares que lo componen,
han de escogerse adecuadamente para que modelicen esas intuiciones y no otras. No entraremos en
la definición explícita de todos estos constituyentes, que puede encontrarse fácilmente en cualquier
texto de referencia15 , y asumiremos que nuestro sistema L está construido apropiadamente para
que refleje las características y dinámicas lógicas típicas (podemos pensar en L, y así lo haremos
explícitamente más adelante, como, por ejemplo, la lógica proposicional o la lógica de primer orden).
Para introducir la noción de validez, necesitaremos emplear el concepto de consecuencia lógica
sintáctica y, además, definir el de consecuencia lógica semántica.
Definición 3.2. Sea I = (L, R) y sea (f1 , f2 , . . . , fn ) un argumento de fórmulas de L con
premisas f1 , f2 , . . . , fm . Se dice que fn es consecuencia lógica semántica de f1 , f2 , . . . , fm si se
verifica que si f1 , f2 , . . . , fm son verdaderas entonces fn también lo es. En este caso escribimos
f1 , f2 , . . . , fm ! fn .
En virtud de los teoremas de completitud de la lógica proposicional y de la lógica de primer
orden (este debido a Gödel), se tiene que en estos sistemas lógicos las dos nociones presentadas de
consecuencia lógica, sintáctica y semántica, son equivalentes, es decir, que f1 , f2 , . . . , fm ⊢ fn ⇐⇒
f1 , f2 , . . . , fm ! fn . A partir de este dato introducimos el concepto de validez (naturalmente en el
contexto de las dos lógicas mentadas).
Definición 3.3. Sea I = (L, R) y sea (f1 , f2 , . . . , fn ) un argumento de fórmulas de L con
premisas f1 , f2 , . . . , fm . Se dice que (f1 , f2 , . . . , fn ) es un argumento válido, o una deducción válida,
si fn es consecuencia lógica de f1 , f2 , . . . , fm .
4.
Interrogantes al respecto de las nociones de verdad y validez en lógica
clásica
A continuación presentamos varias preguntas informales que ilustran posibles problemáticas,
generalmente fruto de confusiones entre la terminología formal y el lenguaje natural, asociadas a
los conceptos de verdad y validez. Como aspecto crucial y elemento clarificador conviene tener en
cuenta que el concepto de verdad se refiere a una fórmula y el concepto de validez a un conjunto
de fórmulas; más específicamente, el primero hace referencia a la interpretación de una fórmula
15 Cfr.,
por ejemplo, J. R. Mileti, Mathematical Logic for Mathematicians (http://math.uchicago.edu/~drh/mathlogic.pdf).
8
A. Moreno Vallori
Estructura formal de los sistemas lógicos
en el contexto de una semántica y el segundo a si una fórmula es consecuencia lógica de otras (lo
cual puede concebirse desde un punto de vista puramente sintáctico, en términos de pertenencia
de todas esas fórmulas al conjunto de reglas de inferencia, sin necesitarse, por tanto, recurrir a
ninguna estructura semántica). Para clarificar el discurso apoyaremos los argumentos generales en
un ejemplo básico: un caso16 de las reglas de inferencia de la lógica proposicional modus ponens, por
ejemplo (p, p → q, q), sin considerarlo desde el punto de vista de su carácter de regla de inferencia
sino simplemente como argumento que tiene como premisas a p y a p → q (si p entonces q) y como
conclusión a q y en el que, además, q es consecuencia lógica17 de las premisas p y p → q, esto es
—equivalentemente—, (p, p → q, q) es un argumento válido.
Pregunta 4.1. ¿Qué pasa si p o p → q son falsas? ¿Tienen como consecuencia lógica q o ya
no? ¿La falsedad de p o p → q no pondría en entredicho que a partir de ellas pudieramos concluir q?
Respuesta. Independientemente del valor de verdad de las fórmulas, q siempre es consecuencia
lógica de p y p → q, pues esto se deduce sintácticamente a partir del hecho de que modus ponens sea
una regla de inferencia. Desde otro enfoque, la consecuencia lógica, desde el punto de vista semántico, expresa que en caso de ser verdaderas las premisas también lo es la conclusión: que p o p → q
sean falsas pone en entredicho la verdad de q, pero no el hecho de que si p y p → q fueran verdaderas entonces q también lo sería, que es lo que significa que q sea consecuencia lógica de p y p → q.
Pregunta 4.2. ¿Qué quiere decir «q es consecuencia lógica de p y p → q pero q es falsa»?
Respuesta. La problemática es la misma que en la pregunta anterior. En lógica proposicional
la validez semántica y la sintáctica son equivalentes. Esto significa que afirmar «De p y p → q se
tiene como consecuencia lógica q» es lo mismo que afirmar «Si p y p → q son verdaderas entonces q lo es» (nótese que esto no es una implicación lógica en el sentido de la conectiva, sino una
implicación matemática dentro del contexto de las funciones de verdad). Así pues, al hablar sintácticamente de consecuencia lógica, estamos haciendo una afirmación al respecto de la situación
16 Generalmente se habla de la regla de inferencia modus ponens, que se enuncia simplemente según (p, p → q, q), sin ser esto un
caso particular sino la regla en general. Esto puede hacer referencia a dos situaciones: primero, puede estar haciendo, informalmente,
referencia a que la terna de fórmulas resultante cualquier instanciación de las variables p y q (esto es, cualquier sustitución de p y q
cada una por una fórmulas cualesquiera de L, siempre por la misma y efectuándose la sustitución en todas las apariciones de p y q)
es de alguna forma, o puede emplearse como, una regla de inferencia; segundo, p y q pueden estar tratándose como metavariables —lo
cual podría requerir una definición formal—, esto es, símbolos que hacen referencia a variables genéricas, de manera que en la expresión
compacta (p, p → q, q) o bien se expresen infinitas reglas de inferencia o bien el propio concepto de regla de inferencia haya de ser
redefinido en términos de n−tuplas de fórmulas con metavariables. En este trabajo hemos estimado que lo más claro es definir las reglas
modus ponens como las ternas (X1 , X1 → X2 , X2 ) en las que X1 , X2 ∈ L, de manera que se tienen infinitas reglas de inferencia de tipo
modus ponens.
17 Sintácticamente es claro pues para q, que es el único elemento que no es una premisa, existen elementos anteriores de la n−tupla,
en concreto p y p → q, tales que (p, p → q, q) es una regla de inferencia. Semánticamente puede probarse que q es consecuencia lógica
de las premisas usando tablas de verdad.
9
A. Moreno Vallori
Estructura formal de los sistemas lógicos
semántica en la que las premisas sean verdad (a saber, que la conclusión también lo será), por lo
que, en caso de que las premisas no sean verdaderas, no presenta ninguna problemática hablar de
un argumento cuya conclusión es falsa, pues la consecuencia lógica solo se refiere al caso de ser las
premisas verdad y, dado que no sería ese el caso, que q sea o no consecuencia lógica no aportaría
información al respecto de la verdad o no de q.
Pregunta 4.3. Pero, pensemos en el argumento «p y p → q, por lo tanto q». Si q fuera falsa,
p → q sería falsa (esto se deduce de la tabla de verdad de p → q), pero entonces ¿cómo siendo
p → q falsa puede utilizarse junto con p para llegar a la consecuencia q? Es decir: ¿si q es falsa, no
sería entonces inválido el argumento?
Respuesta. Si p → q es falsa no podría usarse junto con p para llegar a afirmar la verdad de q,
pero sí para llegar a q desde un punto de vista sintáctico. Una vez más, la validez del argumento no
depende de los valores de verdad de las fórmulas involucradas. Esta pregunta entraña confundir la
validez con la verdad. El concepto de consecuencia lógica, o, equivalentemente, de argumento válido, o bien hace referencia a una relación puramente sintáctica entre fórmulas (a saber, la relación
de ser una consecuencia de las otras en virtud de los axiomas y las reglas de inferencia), totalmente
ajena a, e independiente de, los valores de verdad de dichas fórmulas, o bien hace referencia al
caso en el que las premisas son verdaderas: Ninguno de estos dos casos hace referencia a aquel en
el que alguna premisa es falsa y, por tanto, si consideramos el argumento desde un punto de vista
semántico (considerando los valores de verdad de sus fórmulas) la única duda sería: ¿Si q es falsa,
podemos asegurar que la conclusión será verdadera? Siendo la respuesta negativa, pues la única
información semántica que nos da la validez del argumento se refiere al caso en el que las premisas
sean verdaderas. No tiene sentido plantearse la validez del argumento según los valores de verdad
de las premisas; dichos valores de verdad solo pueden emplearse para cuestionarse por la verdad
de la conclusión.
Pregunta 4.4. En un argumento ¿las premisas implican la consecuencia?
Respuesta. Tal y como está estructurado un argumento no hay una relación de implicación
lógica entre premisas y consecuencia. Ahora bien, si el argumento es válido, es decir, si la conclusión
es consecuencia lógica de las premisas, existe entonces, como hemos mencionado en la pregunta
4.2., una implicación matemática (que no es la implicación lógica de la conectiva →), en el sentido
de que la verdad de las premisas es condición suficiente para que la conclusión sea verdadera, y
solo en ese (si las premisas son falsas la conclusión puede tanto ser verdadera como falsa).
10