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Sugerencias para la tarea de Alejandro
Proposition 1 El producto de dos números enteros que terminan en 6, termina
en 6.
Proof. Queremos probar que si n y m son dos números terminados en 6,
entonces su producto nm termina en 6.
Agarramos dos números n y m que terminan en 6.
Como n termina en 6 se tiene que hay un número entero r de tal manera
que
n = 10r + 6:
Lo mismo para m, como termina en 6 podemos encontrar un número entero
s de tal forma que
m = 10s + 6:
Entonces veamos que
nm
= (10r + 6)(10s + 6)
= 100rs + 60s + 60r + 6
= 10[10rs + 6s + 6r] + 6:
Si t = 10rs + 6s + 6r; entonces nm = 10[10rs + 6s + 6r] + 6 = 10t + 6, lo que
quiere decir que el producto nm termina en 6.
Remark 2 Para resolver el problema ¿Qué pasa con el producto de dos números
terminados en 9, y en 3? se sigue un camino parecido.
Remark 3 Algoritmo para encontrar el residuo que deja un número al ser dividido entre 9: Veamos un par de ejemplos.
Example 4 ¿Cuál es el residuo que deja al dividir 36712 entre nueve?. Podemos
hacer la división
4 0 7 9
9 3 6 7 1 2
0 7 1
8 2
1
y entonces el residuo es 1. Hay otra forma de obtener este residuo sin tener que
hacer la división anterior: Sumamos los dígitos de 36712:
3 + 6 + 7 + 1 + 2 = 9 + 10 = 19:
Obtenemos 19 y volvemos a sumar sus dígitos:
1 + 9 = 10:
1
Obtenemos 10 y sumamos sus dígitos
1 + 0 = 1:
Ya obtuvimos un número de un dígito y aquí nos detenemos. Este número (el 1)
es el residuo que deja al hacer la división 36712 9: En general, para obtener el
residuo de dividir un número x entre 9, se suman sus dígitos. El nuevo número
que obtenemos volvemos a sumar sus dígitos. Y seguimos con este procedimiento
hasta obtener un número de un dígito. Este número es el residuo.
Remark 5 La prueba del nueve para la suma de dos números. Primero veamos
un ejemplo. Nos piden hallar la suma 4534 + 6745.
1
4
5
3
4
Residuos
4 + 5 + 3 + 4 = 16
1+6=7
6
1
7
2
4
7
5
9
6 + 7 + 4 + 5 = 22
1 + 1 + 2 + 7 + 9 = 20
2+2=4
2+0=2
+
1
Observar que, con el algoritmo visto antes, calculamos los residuos que dejan
los números 4534, 6745 y su suma al ser divididos entre 9. Ahora sumamos los
residuos de 4534 y de 6745
7 + 4 = 11
y calculamos su residuo al ser dividido por 9. Es fácil ver que el residuo que deja
11 al ser dividido entre 9 es 2. Este residuo debe coincidir (si hicimos bien la
suma) con el residuo que deja la suma 4534 y 6745. Obtuvimos 4534 + 6745 =
11279 y su residuo al ser dividido entre 9 es 2. Los residuos coinciden, así que la
prueba del nueve funciona. Si la prueba del nueve falla, entonces algo hicimos
mal en la suma. En general si tenemos dos números n y m calculamos los
residuos al ser divididos entre 9 de n y m. Sumamos sus residuos y calculamos
el residuo de esta suma. Este residuo debe coincidir con el residuo de la suma
n + m. Si no coinciden, hicimos mal la suma. La prueba del nueve para la
multiplicación se hace de manera parecida: si tenemos dos números n y m
calculamos los residuos al ser divididos entre 9 de n y m. Multiplicamos sus
residuos y calculamos el residuo de este producto. Este residuo debe coincidir
con el residuo del producto nm. Si no coinciden, hicimos mal la multiplicación.
Problem 6 Justi…car la prueba del nueve para la multiplicación(producto) de
un número de tres dígitos por un número de dos dígitos.
Solución: Consideramos x un número de tres dígitos y un número y de dos
dígitos. Como x es un número de tres dígitos entonces lo podemos escribir como
x = 100a + 10b + c;
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donde a, b y c son dígitos. Y como y es un número de dos dígitos lo podemos
escribir como
y = 10d + e;
donde d y e son dígitos.
¿ Cuál es el residuo que deja x al ser dividido entre 9 ? Observen que
a+b+c
9 + 9 + 9 = 27
¿ Cuál es el residuo que deja y al ser dividido entre 9 ? Se puede obtener en
términos de d y e.
¿ Cuál es el residuo que deja xy al ser dividido entre 9?
Pueden apoyarse del siguiente teorema:
Theorem 7 (Algoritmo de la división) Dados dos enteros a y b con b 6= 0
existen enteros únicos q y r de tal forma que
a = bq + r; y
0
r < jbj:
Puede que de manera general(es decir, no usan el hecho de que x es de tres
dígitos y y es de dos dígitos) se les facilite a algunos. Sabemos que (por el
algoritmo de la división) podemos escribir
x =
y =
9n + r;
9m + s;
donde n y m son números enteros y r, s son los residuos que dejan x y y al ser
divididos por 9. Usando nuevamente el algoritmo de la división escribimos
xy = 9p + t;
donde p es un entero y t es el residuo que deja al dividir xy entre 9. Nuevamente,
por el algoritmo de la división, podemos escribir
rs = 9q + u;
donde q es un número entero y u es el residuo que deja al dividir rs entre 9. Lo
que se quiere probar es que t = u: Terminen la demostración :). Esto les puede
dar ideas, no es necesario que sigan "exactamente" este camino. Suerte. Hay
que usar la unicidad que da el algoritmo de la división.
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